学情监测(1)第25章 一元二次方程-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

班级 姓名 得分 九年级数学（上册）学情监测（一） (满分：120分时间：120分钟监测范围：第二十五章) 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项， 其中只有一个是正确的) 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1.下列方程一定是一元二次方程的是 A.ax2+bx+c-0 B.2x2-1=3.x C.- -3=0 D.2x2-y=1 2.已知x=-1是一元二次方程x2十mx一5=0的一个解， 则m的值是 A.-4 B.-5 C.5 D.4 3.方程2x2=3(x一6)化为一般形式后二次项系数、一次项 系数、常数项分别是 () A.2,3,-6 B.2,-3,18 C.2,-3,6 D.2,3,6 4.某市2023年底森林覆盖率为63%.为贯彻落实“绿水青山 就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动， 2025年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率 的年平均增长率为x,那么，符合题意的方程是 () A.0.63(1+x)=0.68 B.0.63(1+x)2=0.68 C.0.63(1+2x)=0.68 D.0.63(1+2x)2=0.68 5.用配方法解一元二次方程x2+4x一6=0，此方程可变形 为 ( A.(x+2)2=10 B.(x-2)2=10 C.(x+2)2=2 D.(x-2)2=2 6.(河南中考)关于x的一元二次方程x2+mx一8=0的根 的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 7.若x1十x2=3,x12十x22=5,则以x1,x2为根的一元二次 方程是 () A.x2-3x十2=0 B.x2+3.x-2=0 C.x2+3x+2=0 D.x2-3x-2=0 8.某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队 之间都要赛一场，赛程共5天，每天3场比赛，则参加比赛 的球队应有 () A.5队 B.6队 C.8队 D.9队 9.（兰州中考)关于x的一元二次方程x2十bx十c=0有两个 相等的实数根，则b2一2(1+2c)= A.-2 B.2 C.-4 D.4 10.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方 程x2一10x+m=0的两个实数根，且其面积为11，则该 菱形的边长为 ( A.3 B.23 C.√14 D.2√/14 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.若关于x的一元二次方程(m一2)x2+3x+m2一4=0有 一个根为0，则m= 12.已知a,b是一元二次方程x2十3x一2=0的两个根，则 a2+2a一b的值是 13.(辽宁中考)关于x的一元二次方程(m一1)x2+2x+1=0 有实数根，则实数m的取值范围是 26 14.(山东中考)如图，社区利用一块矩 形空地建了一个小型的惠民停车 场，其布局如图所示，已知停车场的 长为26m,宽为14m,阴影部分设计为停车位，要铺花砖， 其余部分是等宽的通道.已知铺花砖的面积为160m,求 通道的宽是 m. 15.我国古代数学家研究过用几何法解一元二次 方程.以方程x(x十6)=72为例加以说明.数 学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的 方法是：如图，将四个长为x十6，宽为x的长方形拼成一 个大正方形，则大正方形的边长是x十6十x,面积是四个 矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即4×72十6= 2 324=182,据此易得x十6十x=18,x=6(正根).小熙用 此方法解关于x的方程x(7x一a)=20,其中7x一a>x 构造出同样的图形，已知小正方形的面积为64，则α的值 是 三、解答题（本大题共9个小题，共75分） 16.(8分)选择合适的方法解下列方程： (1)2x2-3x-1=0. (2)x2-1=2(x+1). 17.(6分)已知方程x2一4x+m=0的一根为2+√3，求方程 的另一根和m的值， 18.(6分)解方程(x一1)2一5(x一1)+4=0时，我们可以将 x一1看成一个整体，设x一1=y,则原方程可化为y2一 5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1时，即x-1=1, 解得x=2;当y=4时，即x一1=4，解得x=5,所以原方 程的解为x1=2,x2=5.请利用这种方法求方程(2x十 5)2一4(2x+5)+3=0的解. 3 19.(8分)已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、 AC的长分别为关于x的一元二次方程x2一(2k十3)x十 k2+3k十2=0的两个实数根. (1)证明：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当k=2时，求△ABC的周长. 20.(6分)广东春季是流感的高发时期，某校4月初有1人患 了流感，经过两轮传染后，共有25人患流感 (1)试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少 个人会患流感？ 21.(8分)已知关于x的一元二次方程x2一6x+2a十5=0有 两个不相等的实数根x1,x2· (1)求a的取值范围. (2)若x12十x22一x1x2≤30，且a为整数，求a的值. 7 22.(10分)芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引 进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某 芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生 产200万个，第三季度生产288万个.试回答下列问题： (1)已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生 产量的平均增长率. (2)经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度 若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20 万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600 万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产 线越多，投入成本越大)，应该再增加几条生产线？ 23.(11分【项目化学习】 【项目主题】劳动基地扩建方案 【项目背景】学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组 以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习. 【信息获取】 信息1，如图，原劳动基地为矩形，AB的长为25m,BC的 长为45m;信息2，如图，扩建后的新劳动基地仍为矩形， BE的最大长度为32m,BG的最大长度为58m. 【问题解决】 (1)若新劳动基地的面积为1500m,且AE=CG,求BG 和BE的长， (2)当CG=3AE时，新劳动基地的面积可以为1800m 吗？请说明理由， 5 D 原劳动基地 24.(12分)如果关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0有 两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这 样的方程为“三倍根方程”.例如：方程x2一4x十3=0的 两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”， (1)方程x2-12x+27=0 （填“是”或“不是”)“三 倍根方程”； (2)若x2一(m十n)x十mm=0是关于x的“三倍根方 程，求代数式mn的值： (3)如果关于x的一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0) 是“三倍根方程”，试探究a、b、c应满足的数量关系. 6(2)图略 (2)过点A作AD⊥A'C于点 (8号 D,,∠ACB=90°，∠BAC= 30°，BC=2,∴.AC=√3BC= 14.(1)(2,4). (2),一次函数y=-2x十8 .CD-AC-AD 的图象与坐标轴交于A,B两 =√/3CD=3×√/5=3. 点， 13.略 点B(4,0),,点M为线段 14.(1)BD=2. BC的中点， (2)CE=AH+BD,证明如下： .点M(3,2), 过点E作EM∥BC,交AB于 .点C和点M平移后的对应 点M,由(1)可知△AME是等 点坐标分别为(2-m,4),(3一 边三角形，.AE=ME, m,2), ∠AEM=60°，由旋转可知， .k=4(2-m)=2(3-m),. DE=DH,.∠HDE=60°，. m=1..k=4. △DEH是等边三角形，∴.HE 15.(1)3-312 =DE,∠HED=60°，'.∠AEH (2)由函数图象可知，当y1> +∠HEM=∠HEM+∠DEM y2x的取值范围是：一3<x =60°，∴.∠DEM=∠AEH, <0或x>1. ∴.△AEH≌△MED(SAS), (3)连接AO,令直线AB与x ∴.AH=MD,∴.BM=BD+ 轴的交点为M,将y=0代入 AH,'.'AM=AE,AB=AC, y=x十2得，x=一2，所以点 .BM=CE,∴.CE=AH+BD. M的坐标为（一2,0），所以 限时作业（九） S△AOB=S△AOM+S△OM= 1.D2.A3.B4.C5.C 2 6.C7.田，N,0等 ×2×1+2 ×2×3=4.由题 8.y=(x-1)2-29.6 10.100°或280° 意，可知点B和点C关于点O 11.(1)图略，点C的坐标(4,1) 成中心对称，所以BO=CO, (2)图略，点B2的坐标（一3，一3）. 所以S△ABC=2S△AOB=8. (3)△A,B,C,绕点O顺时针 限时作业（八） 旋转90°后得到△A2B2C2· 1.D2.B3.D4.C5.C 12.(1)∠BAD的度数为60. 5 6.D7.D8.1209.2 (2),点A、C、E在一条直线 上，∴.AE=AC+CE,由旋转 10.2或2/3 的性质可知CE=AB, 11.(1)图略其中A,的坐标为(3， △ADE为等边三角形，∴.AE -1). =AC+AB=6+4=10,. (2)图略. AD=AE-10. 12.(1)证明：由旋转的性质可知，13.(1)图略 CA=CA',CB=CB',ACA'= (2)四边形BCFD是菱形，理 ∠BCB',.CB=CB',∠B 由如下：点D、点E分别是 60°，.△CBB'为等边三角形 AB、AC的中点，.DE∥BC, ∴.∠BCB'=60,∴.∠ACA'= 60°，∴.△CAA'为等边三角形 DE=专BC,由旋转的性质可 76 知DE=EF,∴.DF∥BC,DF :AD平分∠BAC,.BD= =BC,.四边形BCFD是平 CD, 行四边形，AB=2BC,且点 ∴.∠BOD=∠COD=60°， D为AB的中点，∴.BD .OB=OD,OC=OD, BC,∴.四边形BCFD是菱形 ∴.△BOD和△COD是等边 14.(1)60°4150 三角形，∴.OB=BD=DC= (2)OA2+2OB2=OC2时， OC,.四边形OBDC是菱形； ∠BDC=135°，理由如下： (2)连接OA,.OB=OA, 由旋转的性质可知∠OBD= ∠AB0=15°， ∠ABC=90°，BO=BD,CD ∴.∠A0B=150°， =AO,∴.△OBD为等腰直角 .∴.∠A0=360°-150°-120 三角形，∴.OD=√2OB, =90°， .当CD2+OD2=OC2时， ∴.AC=√OA2+OC2=22. △OCD为直角三角形， 限时作业（十一） ∠ODC=90°，.OA2+2OB2 1.D2.A3.D4.B5.A =OC2,.当OA、OB、OC满 6.C7.B8.B9.相切10.2 足OA2+2OB2=OC2时， 11.37°12.2或6或10 ∠BDC=135°. 13.(1)略(2)2 限时作业（十） 14.,OM是⊙O的半径，过点M 1.B2.C3.A4.B5.B 作⊙O的切线AB,∴.OM⊥ 6.C7.D8.B9.510.60 AB.又.MA=MB,∴.OM垂 1n.9 12.2/5-2 直平分AB.∴.OA=OB. .OC=OD,∴.OA-OC=OB 13.(1)证明.∠ABC=∠APC, OD,即AC=BD ∠BAC=∠APC=60°， 15.(1)图略 ∴.∠ABC=60°，∴.∠ACB= (2)AC与⊙O相切.理由： 180°-∠ABC-∠BAC=60°， ,AB=AC,D为BC中点， ∴.△ABC是等边三角形 ∴.AD⊥BC,BD=CD, (2)4. .BC=2,..CD=BD=1, 14.略 .AE=2AC=25,∴AC=√5， 15.(1)连接OA,由题意得：AD= 在Rt△ACD与△ADE中， 合AB-30m.0D--18m AD2=AE2-DE2=AC2- 在Rt△ADO中，由勾股定理 CD2,即(25)2-DE=(√5)2 得：r2=302+(r-18)2,解得： -1,解得DE=4或-4（舍 r=34m. 去)， (2)连接OA',OE=OP-PE '.CE=DE+DC=5,在△ACE =30m,在Rt△A'EO中，由勾 中，，AE2+AC2=(25)2+ 股定理得：A'E2=A'O2-OE (5)2=52,CE2=52,.AE =342-302,解得：A′E= +AC2=CE2,∴.∠CAE 16m.∴.A'B'=32m30m. 90°，即AE⊥AC,.AE为 答：不需要采取紧急措施. ⊙O直径，∴.AC与⊙O相切. 16.(1)证明：连接OD,由圆周角定16.(1).AM⊥AB, 理得，∠B℃=2∠BAC=120°， ∴.∠OAD=90° 77 .OA=OC,OD=OD,AD=15.(1)直线PD为⊙O的切线. CD, 证明：如图1，连接OD,,AB ∴.△OAD≌△OCD(SSS). 是圆O的直径，∴.∠ADB ∴.∠OCD=∠OAD=90°.. 90°，∴.∠ADO+∠BDO=90°， OC⊥CD. 又.DO=BO,.∠BDO= 又.OC是⊙O的半径， ∠PBD,.∠PDA=∠PBD, ∴.CD是⊙O的切线 ∴.∠BDO=∠PDA,∴.∠ADO (2)①1②3 +∠PDA=90°，即PD⊥OD, 限时作业（十二） 点D在⊙O上，∴.直线PD 1.B2.D3.B4.C5.B 为⊙O的切线. 6.A7.C8.A9.相离 (2),BE是⊙O的切线， 10.12cm11.2√512.√/61-6 ∴.∠EBA=90°，.'∠BED= 13.略 60°，∴.∠P=30°，在Rt△PDO 14.(1)证明：连接OD. 中，∠P=30°，PD=5,PO= .DF是⊙O的切线，D为切 2OD,由勾股定理得OD=1,PO 点，.OD⊥DF =2,∴.PA=PO-AO=2-1= ∴.∠ODF=90°. 入 .BD=CD,OA=OB, (3)证明：依题意得：∠ADF ∴.OD是△ABC的中位线. ∠PDA,∠APD=∠AFD,· .OD∥AC.∴.∠CFD= ∠PDA=∠PBD,∠ADF= ∠ODF=90°. ∠ABF,∠PAD=∠DAF, ∴.DF⊥AC. ∴.∠ADF=∠AFD=∠BPD (2),∠CDF=30°，由(1)得 =∠ABF,∴.AD=AF,BF∥ ∠ODF=90°，∴.∠ODB= PD,∴.DF⊥PB,BE为切 180°-∠CDF-∠ODF 线，.BE⊥PB,∴.DF∥BE, 60°..OB=OD,∴.△OBD是 .四边形DFBE为平行四边 等边三角形.∴∠BOD=60°. 形，PE、BE为切线.BE= .l0= 60元×5_ DE,.四边形DFBE为菱形 180 3元 夹卷《学情监测》参考答案 学情监测（一） m=(2+3)(2-√3)=1. 1.B2.A3.B4.B5.A 18.x1=-1,x2=-2. 6.A7.A8.B9.A10.C 19.(1)证△>0： 11.-212.513.m≤2且m≠ (2)△ABC的周长为AB+ 114.315.4 AC+BC=7+5=12. 16.(1)x1= 3+√/17 4 x2= 20.(1)x1=4,x2=-6(不合题 意，舍去) 3-√/17 (2)如果按照这样的传染速 度，经过三轮传染后共有125 (2)x1=-1,x2=3. 个人会患流感. 17.设方程的另一个根为x2,由题 21.(1)由题意，得△>0，即(-6)2 意，得 -4(2a+5)>0, x2十2+5=4， 解得a<2. x2=2-5, (2)a的值为-1,0,1. 78 22.(1)前三季度生产量的平均增 学情监测（三）】 长率为20% 1.D2.D3.A4.D5.A (2)应该再增加4条生产线， 6.B7.D8.C9.D10.A 23.(1)BG的长为50m,BE的长 6 11.y=- 12.k<413.4 为30m; (2)不可以，理由略 14.y2<-2或y2>015.0 24.(1)是 ②器 16.0 6 (3)a,b,c之间的关系是3b 17.(1)当x=-2时wy=28 -16ac=0. (2②)当2<y<4时：号<x<3. 学情监测（二） 1.B2.A3.A4.D5.C (3)由图象可得当一1<x<2且 6.D7.C8.D9.C10.C x≠0时，y<-6或y>3. 11.-212.y=(x-2)2-2 18.由题意，得B(1,m+6)、D(3, 48 m), 13.-1<x<314.1015.- 5 ,B、D在反比例函数图象上， 16.y=x2+4x=(x2+4x+4) ∴.1×(m+6)=3m, 4=(x+2)2-4,对称轴为直 解得：m=3,.B(1,9), 线x=一2，顶点坐标为(-2， 故反比例函数表达式为：y= -4). 9 17.(1)y=-(.x+1)2+4. (2)令-(x+1)2+4=0,解得 19.(1)1= 36 x1=一3，x2=1,故可将图象 (2)·限制电流不能超过 向右平移3个单位或向左平 移1个单位，新图象经过坐标 10A,10,解得R≥3.6， 原点。 答：用电器的可变电阻应大于 18.(1)x1=1,x2=3 或等于3.62. (2)x>2(3)k<2 20.(1)C 19.(1)-1-2(2)25 (2)①在第三象限内，y随x 4 的增大而减小②图象的两 20.垂直于墙的边为20m,平行于 个分支分别位于第三、四象限 墙的边为60m,花园面积最大 为1200m2. x成 2 21.(1)略(2)m>1 21.(1)一次函数y1=x+4的图 22.(1)一次函数：y=-10x+900. 象过点A(-1,a), (2)当售价定为60元时，利润 .a=-1+4=3, 最大，最大值为6000元. .A(一1,3)代入反比例函数 23.(1)P(0,2.8),a的值是-0. y2=得，k=-3. (2)选择吊球方式，球的落地 点到C点的距离更近. (2)若反比例函数y-与一 24.(1)4-3 次函数y1=x十4的图象总有 (2b=-3或- 13 交点，即方程=工十4有实 79 数根，也就是x2十4x一k=0 学情监测（四） 有实数根， 1.A2.A3.C4.A5.B ∴.16+4k≥0，解得k≥-4， 6.A7.B8.C9.C10.D .k≠0， 11.x2-x一2=0（答案不唯一） ∴.k的取值范围为：k≥一4且 12.y=3(.x-1)2-213.0.8 k≠0. 14.3或415.①③④ 2.1(,7）(1,) 16.（1)x1=0,x2=4; (2）:S△ABF=S正方形ACD (2)x1=1+2 3x2=1 SAADE-SACEF-SAABF 23 49-zk-2k- 3 17.(1)2 乡)-20，解得：k=±21。 (2)4≤y<40. k>0,.k=21,反比例函 18.(1)u=40 数的解析式为y=2 (2).40>0,∴.v随t的增大 x 而减小， 23.(1)过A作AD⊥BC于D, 当t=5时，v最小=8. 易求出点B,C的坐标分别为 答：平均每小时至少要卸货8 (2,5),(10,5),进而可求出k 吨 =10,反比例函数关系式为y 19.(1)证明：方程(x-1)(x-2) 10 =m2可化为x2-3x+2-m =0..△=9-4(2-m2)= (2)点A(6,8),C(10,5),将 4m2+1>0,.方程有两个不 △ABC向下平移m个单位长 相等的实数根， 度，∴.A(6,8-m),C(10,5 (2)把x1=-1代入方程(x m),反比例函数图象经过 1)(x-2)=m2,得m2=6,.m A、C两点，∴.6(8-m)=10(5 =±6.∴.(x-1)(x-2)=6, 1 m)心m= 即x2-3.x-4=0.∴.(x-4)(x 24.(1)易求升温阶段的函数解析 十1)=0..x1=-1,x2=4. 式为y=2x+16,将x=7代 x2=4,m=土√6. 入y=2.x+16中得：y=30, (3)由题意，得x1十x2=3,x 即点B坐标为(7,30)，∴.智能 ·x2=2-m2.∴.(x1-1)(x2 控制系统设定的恒温温度是 -1)=x1·x2-(x1十x2)十1 30℃；(2)由条件可得：24=2x =2-m2-3+1=-m2..m2 +16,解得x=4,.在4时，大 ≥0，.-m2≤0，即(x1-1) 棚温度升至24℃，易求CD段 (x2-1)≤0. 函数解析式为y= 81,把y 20.(1)-1-4 (2)直线OA向上平移3个单 24代入函数y 384中得：x一 位长度后解析式为：y=一x十 3, 16,∴.在16时，大棚温度降至 则点B的坐标为(0,3)，解方 24℃，16-4=12，.大棚在0 y=-x+3 ~24时内，温度不低于24℃ 程 组 4 的时间有12小时. y=- x 80 x=-1 x=4 11.靠左侧通道行驶 y4或 y=-11 12.答案不唯一，如ABCD,AD ∴点C的坐标为(4，一1)，. =BC或∠B+∠C=180°等 OA//BC, 13.50°14.8 ∴.△ABC的面积=△OBC的 15.4/13或6/13 面积=2×3×4=6. 16.点M(1,3),点N(-1,-3). 17..四边形ABCD是正方形， 21.(1)设五、六两月销量的月平 .∠BAD=∠D=90°， 均增长率为x,由题意得：256 .AD=6,DE=2, (1+x)2=400,解得：x1=0. ∴.AE=√AD+DE=2 25=25%,x2=-2.25(不符 合题意，舍去)， √10， 答：五、六两月销量的月平均 由题意，得AF=AE,∠FAE 增长率为25%； =90°， (2)设该设备每台降价y元， ∴.△AEF是等腰直角三角 则每台盈利(40一y-25)元， 形， 月销售量为(400+5y)台，由 ∴.EF=√2AE=√2X210= 题意得：(40-y-25)(400+ 45. 5y)=4250,整理得：y2+65y 18.(1)旋转角的度数为60° -350=0,解得：y1=5,y2= (2)证明：点A,B,C1在 一70（不符合题意，舍去）. 条直线上，∴.∠ABC,=180°. 答：当该设备每台降价5元 ∠ABC=∠A,BC,=120°， 时，门店七月获利4250元. .∠ABA1=∠CBC1=60°. 22.(1)①(1,2.25)②y=-(x ∴.∠A1BC=60, -1)2+2.25; 又AB=A,B,∴.△ABA (2)由题意，可设抛物线为y= 是等边三角形， -(x-1)2十m,当h最小，此 ∴.∠AA1B=∠A1BC=60°. 时A为(0,0)，∴.h=0,当h ∴.AA1∥BC. 最大时，此时点B坐标为(2. .∠AAC=∠C 8,0),.-(2.8-1)2+m=0, 由旋转性质可得∠C=∠C1, ∴m=3.24,∴.y=-(x-1)2 ∴.∠A1AC=∠C. +3.24,将x=0,代入得h=y19.(1)图略(2)图略，C2（一1， =-1+3.24=2.24,综上，h 3) 的取值范围为0h≤2.24. 8号 23.(1)21.5 20.略 (2)①图略②不断减小 21.与△AFB全等的三角形是 (3)图略x≥2或x=0 △AGE, 24.(1)(-2,0)(2,2) 证明：由题意，可知△ACB≌ (2)y= 2++8： △ADE, .∠ABC=∠E,AB=AE, (3)m的取值范围是一2<m 又.∠FAB=∠GAE(公 ≤0或2<m<3. 共)， 学情监测（五） .△AFB≌△AGE 1.D2.C3.B4.D5.A 22.(1),△ABC是等边三角形， 6.D7.C8.C9.D10.A .∠ACB=60°. 81