4.3 用一元一次方程解决实际问题 暑期讲义 2026--2027学年苏科版数学七年级上册

暑期讲义 · 4.3 用一元一次方程解决实际问题 第四章 一元一次方程 4.3 用一元一次方程解决实际问题 暑期讲义 一、重难点一览 知识要点 重点 难点 列方程解应用题的一般步骤 掌握审、设、列、解、答五步法 找出等量关系，正确设未知数 行程问题 掌握路程=速度×时间的关系 相遇、追及问题中等量关系的分析 工程问题 理解工作效率、工作时间、工作量的关系 总工作量设为1的理解 利润问题 掌握利润、利润率、折扣的公式 打折问题中价格变化的分析 分配与配套问题 理解分配问题的等量关系 间接设未知数的方法 年龄与数字问题 掌握年龄差不变、数字表示方法 多位数用代数式表示 二、教材知识点盘点 知识点一 列方程解应用题的一般步骤 列方程解应用题的一般步骤： 第一步——____________题：弄清题意，找出已知条件和未知条件，确定____________。 第二步——____________未知数：根据题意设未知数，可以直接设（问什么设什么），也可以____________设。 第三步——____________方程：根据题目中的____________列出方程。 第四步——____________方程：解所列出的方程，求出未知数的值。 第五步——____________答：检验方程的解是否符合实际意义，写出答案（注意带上单位）。 关键：列方程解应用题的关键是找出题目中的____________。 知识点二 行程问题 基本关系式：路程=____________×____________。 相遇问题：两人相向而行，等量关系为：两人走的____________之和等于____________。 追及问题：两人同向而行，等量关系为：快者走的路程____________慢者走的路程等于____________。 航行问题：顺水速度=____________+____________；逆水速度=____________-____________。 静水速度=2分之（____________+____________）；水速=2分之（____________-____________）。 知识点三 工程问题 基本关系式：工作量=____________×____________。 通常把总工作量设为____________。 甲的工作效率为 表示甲____________完成全部工作。 合作问题等量关系：各部分工作量之和=____________。 知识点四 利润问题 利润=____________-____________。 利润率=____________分之____________×100%。 售价=____________×（1+____________）。 打 n 折后的价格=____________×____________。 知识点五 分配与配套问题 分配问题：找出分配前后总量的____________关系列方程。 配套问题：找出各部分之间的____________关系列方程。 知识点六 年龄与数字问题 年龄问题：两个人的年龄____________是不变的。 数字问题：一个两位数，十位数字为 a，个位数字为 b，则这个两位数表示为____________。 一个三位数，百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，则这个三位数表示为____________。 三、随堂练习 （一）选择题 1. 甲、乙两人同时从相距 30 km 的两地相向而行，甲的速度为 5 km/h,乙的速度为 3 经过（ ）小时两人相遇。 A. 3 B. 3.75 C. 4 D. 5 2. 一项工程，甲单独做需 10 天完成，乙单独做需 15 天完成，两人合作需（ ）天完成。 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 某商品进价为 200 元，标价为 360 元，打折销售后利润率为 8%，则该商品打（ ）折。 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 父亲今年 40 岁，儿子今年 12 岁，再过（ ）年父亲的年龄是儿子的 2 倍。 A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 5. 一个两位数，十位数字与个位数字之和为 9，如果将十位数字与个位数字对调，所得的新数比原数大 27，则原数为（ ） A. 36 B. 45 C. 54 D. 63 （二）填空题 6. 甲、乙两人练习跑步，甲每秒跑 6 m，乙每秒跑 4 m，乙先跑 10 秒后甲开始追，甲经过________秒可以追上乙。 7. 一件工作，甲单独完成需 8 小时，乙单独完成需 12 小时，甲先做 2 小时后，剩下的由乙单独完成，还需________小时。 8. 某商品原价为 a 元，提价 20% 后，再打八折出售，则实际售价为________元。 9. 一轮船在两个码头之间航行，顺水需 4 小时，逆水需 5 小时，水速为 2 km/h,则两码头之间的距离为________km。 10. 一个两位数，个位数字是十位数字的 2 倍，将十位数字与个位数字对调后得到的新数比原数大 36，则原数为________。 （三）解答题 11. A、B 两地相距 480 km，一辆客车从 A 地出发以 60 的速度驶向 B 地，同时一辆货车从 B 地出发以 40 的速度驶向 A 地。问经过多少小时两车相遇？ 12. 一项工程，甲单独做需 20 天完成，乙单独做需 30 天完成。甲先单独做 5 天后，甲、乙合作完成剩下的工程，还需多少天？ 13. 某商店购进一批商品，进价为每件 80 元，按标价的 8 折销售，仍可获利 20%。求该商品的标价。 四、分知识点强化训练 知识点一 行程问题 （一）选择题 1. 甲、乙两人从同一地点出发，甲以 4 km/h的速度先走 2 小时，乙以 6 km/h 的速度追赶，乙追上甲需要（ ）小时。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2. 一艘船在静水中的速度为 30 km/h,水速为 2 km/h,该船从 A 港顺水航行到 B 港用了 3 小时，则 A、B 两港的距离为（ ）km。 A. 84 B. 90 C. 96 D. 108 3. 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向而行，甲的速度为 60 m/min,乙的速度为 40 m/min，经过 5 分钟两人相遇，则 A、B 两地的距离为（ ）m。 A. 200 B. 300 C. 500 D. 700 （二）解答题 4. 甲、乙两人从相距 36 km 的两地同时出发，相向而行，甲的速度为 8km/h，乙的速度为 4km/h。问经过多少小时两人相遇？相遇时各走了多少千米？ 5. 小明和小华在一条 400 m 的环形跑道上跑步，小明的速度为 6m/s，小华的速度为 4m/s，两人同时同地同向出发，问经过多少秒小明第一次追上小华？ 6. 一艘轮船从甲码头顺水航行到乙码头用了 3 小时，从乙码头逆水航行返回甲码头用了 5 小时。已知轮船在静水中的速度为 20km/h，求水流速度和甲、乙两码头间的距离。 7. 甲、乙两人骑自行车从同一地点出发，甲先行 30 分钟，甲的速度为 12 km/h,乙的速度为 15km/h。问乙经过多少小时能追上甲？追上时距出发点多远？ 8. A、B 两地相距 60 km，甲骑自行车从 A 地出发以 15km/h的速度驶向 B 地，2 小时后乙骑摩托车从 A 地出发追赶甲，结果在 B 地追上甲。求乙的速度。 9. 一列火车长 200 m，以 20 m/s的速度通过一座长 1000 m 的桥，问火车完全通过桥需要多少秒？ 知识点二 工程问题 （一）选择题 1. 一项工程，甲单独做需 12 天完成，甲、乙合作需 8 天完成，则乙单独做需（ ）天完成。 A. 20 B. 24 C. 30 D. 36 2. 一批零件，甲单独做需 6 小时完成，乙单独做需 10 小时完成，甲先做 2 小时后，剩下的由乙完成，乙还需（ ）小时。 A. 5 B. C. 6 D. （二）解答题 3. 一项工程，甲单独做需 15 天完成，乙单独做需 10 天完成。两人合作 3 天后，甲因事离开，剩下的由乙单独完成，乙还需做多少天？ 4. 一个水池有甲、乙两个进水管，单独开甲管 6 小时可注满，单独开乙管 4 小时可注满。先开甲管 1 小时后，再两管同时开，还需多少小时能注满水池？ 5. 一项工作，甲单独完成需 10 天，乙单独完成需 15 天。现在先由甲、乙合作若干天后，甲因事离开，乙继续做 4 天完成全部工作。问甲、乙合作了多少天？ 6. 加工一批零件，甲单独做需 20 天完成，乙单独做需 30 天完成。现在两人合作，中途甲休息了若干天，共用 16 天完成任务。问甲休息了多少天？ 7. 一项工程，甲队单独做需 20 天完成，乙队单独做需 30 天完成。先由甲队做 5 天，再由乙队做 5 天，剩下的由两队合作完成。问还需合作多少天？ 知识点三 利润问题 （一）选择题 1. 某商品进价为 100 元，售价为 120 元，则利润率为（ ） A. 15% B. 20% C. 25% D. 30% 2. 某商品原价 500 元，先提价 10%，再降价 10%，则现在的价格为（ ）元。 A. 485 B. 495 C. 500 D. 505 3. 某商品进价为 a 元，利润率为 20%，则售价为（ ）元。 A. 0.8a B. 1.2a C. 0.2a D. a+20 （二）解答题 4. 某商店购进一批商品，进价为每件 50 元，按标价的 7 折销售仍可获利 5%。求该商品的标价。 5. 某商品进价为 800 元，标价为 1200 元，商店规定打折销售且利润率不低于 5%，则该商品最多可以打几折？ 6. 某书店购进一批图书，每本进价 25 元，按定价销售，利润率为 40%。后来搞促销活动，按定价的 8 折销售，此时每本书的利润是多少？利润率是多少？ 7. 甲、乙两种商品进价共 500 元，甲商品按 30% 的利润率定价，乙商品按 20% 的利润率定价，两种商品共卖 640 元。求甲、乙两种商品的进价各是多少元。 8. 某商场将一种商品按进价提高 50% 后标价，然后打八折销售。若某顾客购买一件该商品实际支付了 240 元，求该商品的进价。 知识点四 分配与配套问题 （一）选择题 1. 某班有学生 45 人，其中男生比女生多 3 人，则女生有（ ）人。 A. 21 B. 24 C. 27 D. 30 2. 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产 1200 个螺钉或 2000 个螺母，1 个螺钉需要配 2 个螺母。若安排 x 名工人生产螺钉，则下列方程正确的是（ ） A. 2×1200x=2000(22-x) B. 1200x=2×2000(22-x) C. 1200x=2000(22-x) D. 2×2000x=1200(22-x) （二）解答题 3. 某班有学生 48 人，其中男生人数比女生人数的 2 倍少 6 人。求该班男、女生各有多少人。 4. 某车间有 28 名工人生产螺栓和螺母，每人每天可生产螺栓 12 个或螺母 18 个，一个螺栓要配两个螺母。应分配多少人生产螺栓、多少人生产螺母，才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 5. 有一些笔记本分给若干名学生，若每人 3 本则多 8 本，若每人 5 本则最后一人分不到 5 本。问共有多少名学生？多少本笔记本？ 6. 用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 25 个或盒底 40 个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有 36 张铁皮，怎样安排才能使制出的盒身和盒底正好配套？ 7. 某工厂第一车间人数比第二车间人数的 少 30 人，如果从第二车间调 10 人到第一车间，那么第一车间的人数就是第二车间人数的 。求原来每个车间的人数。 知识点五 年龄与数字问题 （一）选择题 1. 父亲今年 36 岁，儿子今年 8 岁，再过（ ）年父亲的年龄是儿子的 3 倍。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 2. 一个两位数，十位数字为 x，个位数字为 x+2，则这个两位数可表示为（ ） A. 11x+2 B. 2x+2 C. x(x+2) D. 2+11x 3. 一个两位数，十位数字与个位数字之和为 7，若十位数字与个位数字对调，所得新数比原数小 27，则原数为（ ） A. 52 B. 61 C. 70 D. 43 （二）解答题 4. 5 年前父亲的年龄是儿子的 7 倍，10 年后父亲的年龄是儿子的 2 倍。求父亲和儿子现在的年龄。 5. 一个两位数，十位数字与个位数字之和为 8，将十位数字与个位数字对调后所得的新数比原数小 18。求原来的两位数。 6. 一个三位数，百位数字是十位数字的 2 倍，个位数字比十位数字大 1。将百位数字与个位数字对调后所得的新数比原数小 297。求原来的三位数。 7. 甲对乙说：当我是你现在的年龄时，你才 4 岁。乙对甲说：当我是你现在的年龄时，你将 61 岁。求甲、乙现在的年龄。 知识点六 其他实际问题 （一）解答题 1. 某市自来水收费规定：每月每户用水不超过 10 吨的部分按 2 元/吨收费，超过 10 吨的部分按 3 元/吨收费。某户居民本月交水费 34 元，求该户本月用水多少吨。 2. 某通讯公司手机话费收费标准：A 套餐月租 20 元，通话 0.2 元/分钟；B 套餐无月租，通话 0.4 元/分钟。若某用户每月通话 x 分钟，当 x 为何值时，两种套餐的费用相同？当 x=200 时，哪种更划算？ 3. 一次篮球比赛，每场比赛胜队得 2 分，负队得 0 分（没有平局）。某队参加了 14 场比赛，共得 22 分。问该队胜、负各多少场？ 4. 某中学组织学生到距离学校 6 km 的博物馆参观。一部分学生步行先走，速度为 4 ；其余学生骑自行车出发，速度为 12 ，比步行学生晚出发一段时间。结果骑自行车的学生比步行学生早 15 分钟到达博物馆。求骑自行车的学生比步行学生晚出发多少小时？ 5. 某药材公司以每千克 80 元的价格收购了一批药材，按每千克 100 元的价格销售了这批药材的 60%，由于市场变化，将剩余药材打折出售。全部售完后，总利润率为 14%。求剩余药材是打几折出售的？ 五、答案与解析 随堂练习答案 1. B 【解析】相遇时间=速度之和分之总路程=（5+3）分之30=8分之30=3.75 小时。 2. B 【解析】甲效率=10分之1，乙效率=15分之1。合作效率=10分之1+15分之1=6分之1，所以两人合作需 6 天。 3. B 【解析】售价=进价×(1+利润率)=200×1.08=216 元。打折==0.6，即打 6 折。 4. D 【解析】设再过 x 年，(40+x)=2(12+x)，40+x=24+2x，x=16。 5. A 【解析】设十位数字为 x，个位为 9-x。原数=10x+(9-x)=9x+9，新数=10(9-x)+x=90-9x。新数-原数=27，(90-9x)-(9x+9)=27，81-18x=27，18x=54，x=3。原数=36。 6. 20 秒 【解析】乙先跑10秒跑了40 m。追及时间==20 秒。 7. 9 小时 【解析】甲做了2小时完成8分之2=4分之1，剩余4分之3。乙单独完成需 12 小时，完成剩余工作量需 12 × 4分之3 = 9 小时。 8. 0.96a 元 【解析】提价20%后为1.2a，打八折为1.2a×0.8=0.96a。 9. 80 km 【解析】设静水速度为 v，顺水(v+2)×4=逆水(v-2)×5，4v+8=5v-10，v=18。距离=(18+2)×4=80 km。 10. 48 【解析】设十位数字为 x，个位为 2x。原数=10x+2x=12x，新数=20x+x=21x。21x-12x=36，9x=36，x=4。原数=48。 11. 设经过 x 小时两车相遇。60x+40x=480，100x=480，x=4.8。答：经过 4.8 小时两车相遇。 12. 设还需 x 天。甲做5天完成=，剩余。合作效率=+=。()x=，x=9。答：还需 9 天。 13. 设标价为 x 元。0.8x=80×(1+20%)=96，x=120。答：标价为 120 元。 分知识点强化训练答案 【知识点一 行程问题】 1. C 【解析】甲先走2小时走了8 km。追及时间==4 小时。 2. C 【解析】顺水速度=30+2=32 。距离=32×3=96 km。 3. C 【解析】距离=(60+40)×5=500 m。 4. 设经过 x 小时相遇。8x+4x=36，12x=36，x=3。甲走了 8×3=24 km，乙走了 4×3=12 km。 答：经过 3 小时相遇，甲走了 24 km，乙走了 12 km。 5. 设经过 x 秒小明追上小华。同向追及：路程差=400 m。(6-4)x=400，x=200。答：经过 200 秒。 6. 设水速为 v 。顺水：(20+v)×3，逆水：(20-v)×5。(20+v)×3=(20-v)×5，60+3v=100-5v，8v=40，v=5。距离=(20+5)×3=75 km。 答：水速 5 ，距离 75 km。 7. 30 分钟=0.5 小时。甲先走 0.5 小时走了 6 km。设乙经过 x 小时追上。15x-12x=6，3x=6，x=2。距离=15×2=30 km。 答：乙经过 2 小时追上甲，距出发点 30 km。 8. 甲从A到B需 =4 小时。乙在甲出发2小时后出发，用了 4-2=2 小时到达B。乙的速度==30 。 答：乙的速度为 30 。 9. 火车完全通过桥走的路程=桥长+火车长=1000+200=1200 m。时间==60 秒。答：需要 60 秒。 【知识点二 工程问题】 1. B 【解析】甲效率=12分之1，合作效率=8分之1。乙效率=8分之1-12分之1=24分之1，所以乙单独需 24 天。 2. D 【解析】甲做2小时完成6分之2=3分之1，剩余3分之2。乙单独完成需 10 小时，完成剩余工作量需 10 × 3分之2 = 3分之20 小时。 3. 设乙还需 x 天。合作3天完成 3×(+)=3×()=，剩余。x×()=，x=5。答：乙还需做 5 天。 4. 设还需 x 小时。甲1小时注了6分之1。两管同时开的效率=6分之1+4分之1=12分之5。12分之5 × x = 1 - 6分之1 = 6分之5，x = 6分之5 × 5分之12 = 2。答：还需 2 小时。 5. 设合作了 x 天。合作效率=+=。+=1，=，x==4.4。答：合作了 4.4 天。 6. 设甲休息了 x 天，即甲做了 (16-x) 天。乙做了 16 天。+=1，=1-=，16-x=，x=16-=。答：甲休息了 天。 7. 设还需合作 x 天。甲做5天完成=，乙做5天完成=，剩余1--=。合作效率=+=。=，x=7。答：还需合作 7 天。 【知识点三 利润问题】 1. B 【解析】利润=120-100=20，利润率==20%。 2. B 【解析】提价后 500×1.1=550，再降价 550×0.9=495 元。 3. B 【解析】售价=进价×(1+利润率)=a×1.2=1.2a。 4. 设标价为 x 元。0.7x=50×(1+5%)=52.5，x=75。答：标价为 75 元。 5. 设打 n 折。售价=1200×()≥800×(1+5%)=840，≥0.7，n≥7。答：该商品最多可以打 7 折。 6. 定价=25×(1+40%)=35 元。8折售价=35×0.8=28 元。利润=28-25=3 元。利润率==12%。答：利润 3 元，利润率 12%。 7. 设甲进价为 x 元，乙进价为 (500-x) 元。x×(1+30%)+(500-x)×(1+20%)=640，1.3x+600-1.2x=640，0.1x=40，x=400。乙=100。答：甲进价 400 元，乙进价 100 元。 8. 设进价为 x 元。标价=1.5x，打八折后售价=1.5x×0.8=1.2x。由题意：1.2x=240，x=200。答：该商品的进价为 200 元。 【知识点四 分配与配套问题】 1. A 【解析】设女生 x 人，男生 (x+3) 人。x+x+3=45，x=21。 2. A 【解析】x 人生产螺钉得 1200x 个，(22-x) 人生产螺母得 2000(22-x) 个。配套要求螺母=2×螺钉，即 2000(22-x)=2×1200x。 3. 设女生 x 人，男生 (2x-6) 人。x+2x-6=48，3x=54，x=18。男生=30。答：女生 18 人，男生 30 人。 4. 设 x 人生产螺栓，(28-x) 人生产螺母。每天螺栓 12x 个，螺母 18(28-x) 个。配套：18(28-x)=2×12x，504-18x=24x，42x=504，x=12。螺母=16。答：12 人生产螺栓，16 人生产螺母。 5. 设有 x 名学生。笔记本总数=3x+8。每人5本时，前 (x-1) 人各5本，最后一人分 a 本（1≤a<5）。5(x-1)+a=3x+8。当 a=1：5x-4=3x+8，2x=12，x=6，笔记本=26。验证：6人每人5本需30本，有26本，最后一人1本。当 a=2：5x-3=3x+8，x=5.5（非整数，舍）。当 a=3：5x-2=3x+8，x=5，笔记本=23。验证：5人每人5本需25本，有23本，最后一人3本。当 a=4：5x-1=3x+8，x=4.5（舍）。答：6名学生26本或5名学生23本。 6. 设 x 张制盒身，(36-x) 张制盒底。盒身 25x 个，盒底 40(36-x) 个。配套：40(36-x)=2×25x，1440-40x=50x，90x=1440，x=16。盒底=20。答：16 张制盒身，20 张制盒底。 7. 设第二车间 x 人，第一车间 (-30) 人。调动后：第一车间 (-30+10)=(-20)，第二车间 (x-10)。-20=3，乘20：16x-400=15(x-10)，16x-400=15x-150，x=250。第一车间=4×-30=170。答：第一车间 170 人，第二车间 250 人。 【知识点五 年龄与数字问题】 1. C 【解析】设再过 x 年，36+x=3(8+x)，36+x=24+3x，12=2x，x=6。 2. A 【解析】两位数=10x+(x+2)=11x+2。 3. A 【解析】设十位数字 x，个位 (7-x)。原数=9x+7，新数=70-9x。原数-新数=27，(9x+7)-(70-9x)=27，18x-63=27，x=5。原数=52。 4. 设父亲现在 x 岁，儿子现在 y 岁。5年前：(x-5)=7(y-5)①；10年后：(x+10)=2(y+10)②。由①：x=7y-30。代入②：7y-30+10=2y+20，5y=40，y=8，x=26。检验：5年前父亲21岁，儿子3岁，21=7×3✓；10年后父亲36岁，儿子18岁，36=2×18✓。答：父亲现在 26 岁，儿子现在 8 岁。 5. 设十位数字 x，个位 (8-x)。原数=9x+8，新数=80-9x。原数-新数=18，(9x+8)-(80-9x)=18，18x-72=18，18x=90，x=5。原数=53。答：原来的两位数是 53。 6. 设十位数字为 x，百位为 2x，个位为 (x+1)。原数=100(2x)+10x+(x+1)=211x+1。对调百位和个位后：新数=100(x+1)+10x+2x=112x+100。原数-新数=297，(211x+1)-(112x+100)=297，99x-99=297，99x=396，x=4。原数=845。验证：845-548=297 ✓。答：原来的三位数是 845。 7. 设甲现在 x 岁，乙现在 y 岁。甲比乙大 (x-y) 岁。甲说当我是你现在的年龄时即 (x-(x-y))=y 岁时，乙当时 y-(x-y)=2y-x 岁。2y-x=4（方程1）。乙说当我是你现在的年龄时即乙到 x 岁时，过了 (x-y) 年，甲将 x+(x-y)=2x-y 岁。2x-y=61（方程2）。由方程1：y=，代入方程2：2x-=61，=61，3x-4=122，x=42，y=23。答：甲 42 岁，乙 23 岁。 【知识点六 其他实际问题】 1. 设用水 x 吨（x>10）。10×2+(x-10)×3=34，20+3(x-10)=34，3(x-10)=14，x=10+=。答：该户本月用水 吨（约 14.7 吨）。 2. A套餐费用=20+0.2x，B套餐费用=0.4x。费用相同：20+0.2x=0.4x，0.2x=20，x=100。当 x=200 时：A=20+0.2×200=60 元，B=0.4×200=80 元。A 更划算。答：x=100 时费用相同；x=200 时 A 套餐更划算。 3. 设胜 x 场，负 (14-x) 场。2x=22，x=11。负=3。答：胜 11 场，负 3 场。 4. 设骑车学生比步行学生晚出发 x 小时。步行时间==1.5 小时，骑车时间==0.5 小时。骑车到达时间=x+0.5，步行到达时间=1.5。由题意：x+0.5=1.5-0.25，x=0.75。答：骑车学生比步行学生晚出发 0.75 小时（即 45 分钟）。 5. 设总收购量为 m kg，总成本=80m。已售 60%m×100=60m 元。剩余 40%m 打 n 折出售，售价=100×()×40%m=4nm 元。总收入=60m+4nm。总利润率=14%：=14%，(4n-20)=0.14，4n-20=11.2，4n=31.2，n=7.8。答：剩余药材打 7.8 折出售。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $