专题15平行线暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

专题15平行线暑假预习讲义 ①识记：牢记平行线完整定义，重点把握同一平面内这个必备前提，明确不重合两条直线位置仅有相交、平行两类；掌握平行符号的书写与读法。 ②认知：吃透平行公理（平行线基本事实）：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；理解平行公理推论，明晰平行线具备传递性。 ③实操：熟练掌握直尺+三角板画平行线四步画法（一放、二靠、三移、四画），同时学会利用方格纸快速绘制平行线，规范作图步骤。 ④识图：认识三线八角模型，精准分辨同位角、内错角、同旁内角，能在三线相交图形中快速定位三类角。 ⑤掌握：熟记平行线三大判定定理，依托同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，推理证明两条直线互相平行。 ⑥理解：熟记平行线三条性质，已知两直线平行，可推导同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，完成角度计算。 ⑦辨析：分清平行线判定与性质的逻辑区别，判定是由角的关系证直线平行，性质是由直线平行推导角的数量关系，避免二者混用。 ⑧运算：综合三线八角、平行线判定与性质，完成几何角度计算题，会结合已知角度推理未知角大小。 ⑨说理：学会简单几何推理书写，运用∵、∴规范几何语言，完整写出平行线判定、性质的说理过程。 ⑩避错：规避高频易错点，忽略“同一平面”判定异面直线平行、混淆判定与性质逻辑、找错三线八角中截线与被截直线。 ⑪素养：建立几何逻辑推理思维，区分直观观察与严谨证明，为后续几何证明题型筑牢基础。 预习必备 知识梳理 1.平行线的定义与表示 2.三线八角 3.平行线两条基本事实 4.平行线的判定 5.平行线的性质 6.判定与性质对比 7.平行线的画法 8.两条平行线间距离 常考题型 精讲精练 1.平面内的两直线位置关系 2.立体图形中平行的棱 3.用直尺.三角板画平行线 4.平行公理的应用 5.平行公理推论的应用 6.同位角相等两直线平行 7.内错角相等两直线平行 8.同旁内角互补两直线平行 9.垂直于同直线的两直线平行 10.两直线平行同位角相等 11.两直线平行内错角相等 12两直线平行同旁内角互补 13.平行线性质探究角的关系 14.平行线性质求角的度数 15.平行线性质的应用 16.平行线判定与性质求角度 17.平行线判定与性质证明 18.同位角.内错角.同旁内角 19.求平行线间的距离 20.由平行线间距离解决问题 强化题型 解答题8题 知识点 01 平行线的定义与表示 1.定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2.关键前提：必须限定同一平面内，空间中不相交的直线不一定平行。 3.符号表示：直线a平行于直线b，记作a b，读作a平行于b。 4.补充说明： 线段、射线平行，指它们所在的直线互相平行； 同一平面内两条直线的位置关系只有两种：相交、平行 知识点 02 三线八角（判定、平行线性质的基础） 1. 构成条件 一条直线（截线）截另外两条直线（被截线），共形成 8 个角，统称三线八角。 2. 三类角特征对比表 重要提醒 判断这三类角只看位置，和角的大小无关；只有两条被截直线平行时，三类角才存在固定数量关系。 知识点 03 平行线两条基本事实（公理） 基本事实 1：平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 关键点 解读 点的要求 必须是直线外一点，直线上的点无法作出已知直线的平行线 数量 有且只有一条，即唯一一条 基本事实 2：平行公理推论（平行传递性） 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 几何语言：若ab，bc，则ac。 知识点04:平行线三大判定定理（由角定线） 核心逻辑：角的关系 → 直线平行 知识点05:平行线的性质 三大性质定理（由线定角） 核心逻辑：两线平行 → 角的关系 知识点 06 判定与性质对比区分（高频考点表格） 对比项 平行线判定 平行线性质 因果关系 角相等 / 互补（因）→ 两线平行（果） 两线平行（因）→ 角相等 / 互补（果） 核心用途 证明两条直线互相平行 求角度、证明两角相等或互补 关键词 证平行 求角度 知识点07平行线画法（一靠、二移、三画） 1.三角尺一边贴已知直线； 2.直尺靠紧三角尺另一边； 3.沿直尺平移三角尺； 4.沿三角尺直角边画直线，即为平行线。 知识点08.两条平行线间的距离 1.定义 两条平行线中，一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫做这两条平行线间的距离。 2.重要性质 两条平行线间的距离处处相等。 3.与点到直线距离的关系 平行线间的距离，本质就是一条直线上任意一点到另一条直线的距离 知识点09 高频易错点（课堂重点强调） 1.忽略 “同一平面内”，直接判定不相交的两条直线平行； 2.混淆判定与性质，因果颠倒，推理逻辑写反； 3.平行公理记忆错误：认为直线上一点也能作已知直线的平行线； 4.记错同旁内角关系：把互补记成相等； 5.识别三线八角时分不清截线、被截线，找错三类角； 6几何证明书写不规范，缺少∵、∴，逻辑断层。 题型1.平面内的两直线位置关系 【典例】同一平面内的两条直线的位置关系有________种，分别是________． 【答案】 三 相交、平行、重合 【分析】本题主要考查了同一平面内的两条直线的位置关系，根据同一平面内的两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、重合回答即可． 【详解】解：同一平面内的两条直线的位置关系有三种，分别是相交、平行、重合， 故答案为：三；相交、平行、重合． 【跟踪专练1】在同一平面内有2026条直线，如果，，，，…，依此类推，那么与的位置关系是________． 【答案】 【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：与后续直线的位置关系以4为周期循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，，，，……， ∴，，，，，，，，……， ∴可推导出一般性规律，与后续直线的位置关系以4为周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列语句正确的有（    ） ①同一平面内不重合的两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则； ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：同一平面内不重合的两条直线，位置关系只有相交和平行两种，故①正确； 若给出的点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，只有过直线外一点才有且只有一条直线和已知直线平行，故②错误； 当与不平行时，不存在过点且满足，的直线，故③错误； 平行具有传递性，若直线，，则，故④正确； 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线性质，故⑤正确； 综上，正确的语句共个， 故选：B． 题型2.立体图形中平行的棱 【典例】四棱柱的侧棱都相互_________，共有_________条侧棱． 【答案】 平行 4 【分析】本题考查立体图形中平行的棱． 根据四棱柱侧棱的性质，即可求解． 【详解】解：四棱柱共有条侧棱，且侧棱互相平行． 故答案为：平行，． 【跟踪专练1】在棱柱中，平行且相等的棱（   ） A．只存在于侧棱之间 B．只存在于两个底面的对应边之间 C．既存在于侧棱之间，也存在于两个底面的对应边之间 D．可能不存在 【答案】C 【分析】本题考查棱柱的结构特征，解题关键是明确棱柱侧棱与底面边的平行且相等的特征． 根据棱柱的定义和性质，侧棱平行且相等，且两个底面对应边平行且相等，因此平行且相等的棱既存在于侧棱之间，也存在于底面边之间（指对应边之间）． 【详解】解：∵ 在棱柱中，侧棱互相平行且长度相等， ∴ 平行且相等的棱存在于侧棱之间． ∵ 棱柱的两个底面平行且全等， ∴ 底面对应边互相平行且长度相等， ∴ 平行且相等的棱也存在于底面边之间（指对应边之间）． ∴ 平行且相等的棱既存在于侧棱之间，也存在于底面边之间． 故选：C． 【跟踪专练2】在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，与一条侧棱平行的棱共有_________条． 【答案】 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系．平行六面体的侧棱互相平行，因此与一条侧棱平行的棱只有其他三条侧棱． 【详解】解：平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，其侧棱均互相平行．对于任意一条侧棱，其余三条侧棱与之平行，故与它平行的棱共有3条． 故答案为：3． 【跟踪专练3】在长方体（非正方体）中，下列各组棱一定平行的是（） A．相交于同一个顶点的三条棱 B．位于同一个面上的四条棱 C．长度相等的四条棱 D．方向相同的四条棱 【答案】D 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系．根据长方体的性质，同一方向的棱互相平行． 【详解】解：∵在长方体中，方向相同的棱具有相同的空间取向，属于同一组平行棱， ∴方向相同的四条棱一定平行． 对于其他选项：A选项相交于同一顶点的三条棱互相垂直； B选项同一面上的四条棱由两组平行的对边组成，这两组对边不互相平行； C选项长度相等的棱可能来自不同方向（如长和宽相等但不平行），因此不一定平行． 故选：D． 题型3.用直尺.三角板画平行线 【典例】用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有__________．（请填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定平行线，掌握判断步骤是解题的关键．将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③ 故答案为：①②③． 【跟踪专练1】如图，是射线上的一点，用直尺和三角尺过点画直线的平行线，下图中画法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：观察A，B，D选项，直线与边所在的直线都会相交， ∴图中画法正确的是C选项. 【跟踪专练2】过直线外的点M画直线的平行线．某同学先过点M画直线l交于点N，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点N处沿着直线l平移画出所要求作的直线．在N点处，三角板摆放方法正确的是（    ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】根据平移法画平行线的原理，三角板需有一条边贴合截线，另一条边贴合已知直线． 【详解】解：要求过点画直线的平行线，且通过将三角板从点处沿着直线平移画出， 在点处，三角板的一条边应与直线重合，另一条边应与直线重合， ，且三角板含有角（即另一个锐角为）， 三角板在点处的角应为，即三角板的角顶点在，两边分别与、重合， 观察各选项，只有C选项符合． 题型4.平行公理的应用 【典例】．已知直线，，那么b______________________c．（填“”或“”） 【答案】 【详解】解：根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行. ∵，， ∴. 【跟踪专练1】如图，是直线外一点，过点作，，则点、、必在同一直线上，其依据的基本事实是________． 【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【详解】解：是直线外一点，过点作，，则点、、必在同一直线上，其依据的基本事实是经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【跟踪专练2】如图，是一个风车的示意图，如果旋转到与地面平行的位置时，不能同时与地面平行，理由是：______________________． 【答案】 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：如果旋转到与地面平行时， 可知不能与地面平行， 理由是：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 【跟踪专练3】已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（    ） A． B．分别与相交与相交或平行 C． D．分别与相交或平行 【答案】B 【分析】本题考查直线与直线的位置关系，利用直线平行或垂直的性质逐项判断即可． 【详解】A：，但反推回去不一定成立（如图1）； B：正确（如图2） C：，但反推回去不一定成立（如图3）； D：分别与相交或平行（如图4，除去均与平行及均与相交的直线恰好相互平行的情形）． 题型5.平行公理推论的应用 【典例】三条直线，若，则与的位置关系是______． 【答案】 【分析】根据如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即可判断与的位置关系． 【详解】解：∵，， ∴． 【跟踪专练1】水平尺是用来判断物体某条边是否水平的工具．如图，当水平尺的气泡位于中央，说明水平尺与水平线平行．李师傅在挂画时将水平尺放置在画框的上沿，上沿与水平尺平行；他调整画框直至气泡位于中央，判定此时画框就是水平摆放的．以上操作，依据的数学原理是（） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】根据题意梳理出直线间的平行关系：由气泡居中得水平尺与水平线平行，由放置方式得画框上沿与水平尺平行，利用平行线的传递性即可得出结论． 【详解】解：∵当水平尺的气泡位于中央时，水平尺与水平线l平行， ∴， ∵画框上沿与水平尺平行， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． 【跟踪专练2】如图是某工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数是多少度？（允许添加字母及辅助线） 【答案】 【详解】解：如图所示， 过顶点作直线，    ，   ，   ∵，， ∴， ， ， 【跟踪专练3】如图，直线，，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定与性质，如图，过点作，得，根据平行公理的推论得，得，再根据可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数是． 故选：A． 题型6.同位角相等两直线平行 【典例】木工师傅用图中的角尺画平行线，其中的数学道理是________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】结合图示，根据“同位角相等，两直线平行”可得答案． 【详解】解：木工师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是：同位角相等，两直线平行． 【跟踪专练1】如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④． 能判断的有______个． 【答案】3 【分析】根据平行线的判定定理进行逐一判断即可． 【详解】解：①如果，那么，故①错误； ②，那么；内错角相等，两直线平行，故②正确； ③ ，那么；同位角相等，两直线平行，故③正确； ④ ，那么；同旁内角互补，两直线平行，故④正确． 即正确的有②③④，共3个． 【跟踪专练2】如图①所示的是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性．如图②，现将其中的一组背景图线条与直线，抽象出来，下列条件能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定定理，结合图形对各选项进行分析即可． 【详解】 A、与是直线，被第三条直线所截形成的同位角，则当时，，故A选项符合题意； B、与是对顶角，不能判定，故B选项不符合题意； C、与分别是两条不同截线与直线，形成的角，不能判定，故C选项不符合题意； D、与分别是两条不同截线与直线，形成的角，不能判定，故D选项不符合题意． 题型7.内错角相等两直线平行 【典例】如图，不添加辅助线，请写出一个能判定的条件__________． 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：添加条件或，可以根据内错角相等，两直线平行判定， 添加条件或，可以根据同旁内角互补，两直线平行判定． 【跟踪专练1】如图，在下列给出的条件中，可以判定的有______． ①；②；③；④；⑤． 【答案】④ 【分析】根据平行线的判定条件进行逐一判断即可． 【详解】①无法得到，不符合题意； ②可得，不符合题意； ③可得，不符合题意； ④可得，符合题意； ⑤得，不符合题意． 【跟踪专练2】如图，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．无法判定，不符合题意； B．无法判定，不符合题意； C．无法判定，不符合题意； D．，（内错角相等，两直线平行），符合题意． 题型8.同旁内角互补两直线平行 【典例】老师让同学们验证教室里黑板的上，下边缘是否平行．小明画出了如图所示的线段，并用量角器测量，的度数，解决这个问题所应用的数学依据是_____． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【详解】解：若，则教室里黑板的上，下边缘平行． 解决这个问题所应用的数学依据是同旁内角互补，两直线平行． 【跟踪专练1】．随着我国科学技术的不断发展，科学展望变为现实．图1是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之一．图2是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围数据如下：①；②；③．垂尾模型要求的位置标准之一是，则选择数据_________可判断模型位置能够达标（填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】由同旁内角互补，两直线平行．即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选择数据①③可判断模型位置能够达标． 【跟踪专练2】“桔槔”是《天工开物》中记载的古代提水工具，如图是简易装置图，若，，，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴与不平行． ∴与不平行． 观察四个选项，只有选项B符合题意． 题型9.垂直于同直线的两直线平行 【典例】在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过点作的垂线，则直线与的位置关系是________． 【答案】 【分析】根据“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行”解答即可得． 【详解】解：∵在同一平面内，，， ∴． 【跟踪专练1】如图，同一平面内，，，，则与的位置关系是________． 【答案】平行 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴，即与的位置关系是平行 【跟踪专练2】如图，已知，，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请你补充一个条件___________（只写出一种情况即可），使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 【详解】解：∵， ∴当补充时，即可得出． 【跟踪专练3】如图，于点D，于点F，垂足分别为D、F，，，则________ 【答案】/120度 【分析】利用同旁内角互补可得，则，再根据平行推出同旁内角互补，即可得解． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ， ． 题型10.两直线平行同位角相等 【典例】如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则__________°． 【答案】37 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练1】如图，，，，则________°． 【答案】 【分析】过点B作再根据平行线的性质求出，再求出，然后根据“两直线平行，同位角相等”得出答案． 【详解】解：过点B作 ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【跟踪专练2】如图，直线，点、分别是、上的点，射线，则图中与相等（不含）的角共有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由得，，由得，故可得结论． 【详解】如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 因此，图中与相等（不含）的角共有个． 题型11.两直线平行内错角相等 【典例】如图，直线，交于点，交于点，，则的度数为______． 【答案】/度 【详解】解：，， ． 【跟踪专练1】如图，若，，，则________． 【答案】 【分析】利用平行的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用两直线平行内错角相等求解即可． 【详解】解：由题意两条直线平行， ， ， ． 题型12两直线平行同旁内角互补 【典例】如图，直线，，则是________度． 【答案】 【分析】先找的对顶角，再结合平行线性质得到的度数，核心是利用平行线的性质和对顶角相等传递角度关系． 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，容器水平放置（液面），平行光线、从空气中射向某种液体时发生折射，折射光线，已知，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据“两直线平行，同位角相等”得，根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再根据可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的度数为． 【跟踪专练2】如图，如果，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质，两直线平行同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型13.平行线性质探究角的关系 【典例】如图，若，，则_____． 【答案】 【分析】由，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等即，由，利用两直线平行同旁内角互补，再等量代换即可求证． 【详解】解：如图，设与相交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，已知题设:，下列结论中:①；②；③；④．与题设组成的命题是真命题的有___________．(填序号) 【答案】①④/④① 【分析】根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，由可推出和，进而利用等式的性质判断结论④，对于结论②和③，需要或四边形为平行四边形才能成立，题设条件不足 【详解】解：∵， ∴，故结论①是真命题， ∵，∴， ∴， 即，故结论④是真命题； 与是直线与被直线所截形成的内错角，只有当时，才成立，题设未给出，故结论②不是真命题，只有当时，对角才成立，题设仅给出，无法判定，结论③不是真命题；综上所述，与题设组成的命题是真命题的有①④． 【跟踪专练2】将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置（三角尺的直角顶点刚好落在纸条的一条边上），下列结论：①；②；③；④．正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，结合三角板中的角度和平角，逐一进行判断即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴，故结论①正确； ∵，， ∴，故结论③正确； ∵， ∴， ∵，即， ∴，即，故结论④正确； ∵， ∴，但不一定等于，故不一定成立，即结论②错误； 综上所述：正确的是①③④，共3个． 题型14.平行线性质求角的度数 【典例】用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则________． 【答案】 【分析】首先利用对顶角相等求出，然后利用平行线的性质求解． 【详解】解：如图， ∵ ∴ ∵ ∴． 【跟踪专练1】如图，，与，分别相交于点，，，与的平分线相交于点，且，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可． 【详解】解：， ； ， ， ∵平分， ， ． 【跟踪专练2】如图，，点，分别在直线，上，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作，利用平行线的性质和角的和差进行求解即可． 【详解】解：作，则， ∴，， ∵ ∴ 题型15.平行线性质的应用 【典例】如图，有一段之字形路段，经过两次转弯后的路段与初始路段保持平行，若第一次转弯时，则__________． 【答案】/度 【详解】解：由题意得， ∴． 【跟踪专练1】如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射后，，，则的度数为________． 【答案】/100度 【分析】由平行线的性质推出，得到，由平角定义即可求出的度数． 【详解】解：两个平面镜是平行的， ， ， ． 【跟踪专练2】抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，可见抖空竹在民间流行的历史至少存在年．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点E作，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型16.平行线判定与性质求角度 【典例】如图，糖画是我国的一种民间传统手工艺，它以糖为墨、以勺为笔，造型精美．图2是从糖画线条中抽象出的几何图形．已知，，，则的度数是_____． 【答案】/度 【分析】过点M作，则，根据平行线的性质求出，，再由角的和差即可求解． 【详解】解∶过点M作， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 【跟踪专练1】小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为_________． 【答案】/度 【分析】如图：过点D作，过点E作，根据平行线的性质以及角的和差求解即可． 【详解】解：， ， 如图：过点D作，过点E作， ∵， ∴， ，，， ∵，， ，， ． 【跟踪专练2】如图，已知，，，，则为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作，过作，利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：过作，过作， ， ， ，，，， ，，， ， ， 故选：A． 题型17.平行线判定与性质证明 【典例】如图，直线，点E，点P在两条平行线之间，和的角平分线交于点H，，则的度数为_____． 【答案】/136度 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用两直线平行内错角相等得出结论． 过点作，过点作，根据平行线的性质得到，结合角平分线的定义得到，同理可得． 【详解】解：过点作，过点作， ， ， ， ， ， ， 平分平分， ， 同理可得，， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知，，点E、F在上，平分，且，下列结论正确的是：__________． ①；②；③；④若，则； 【答案】①③④ 【分析】由平行线的性质和判定结合角平分线的定义逐项判断即可． 【详解】解：，， ， ， ，故①正确，符合题意； 平分， ，， ，故②错误，不符合题意； ∵， ，， ，故③正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， ，故④正确，符合题意． 综上所述，结论正确的是①③④． 【跟踪专练2】如图，下列判断正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据平行线的判定和性质逐一判断即可． 【详解】解：A．若，则，该项错误； B．若，则，该项正确； C．若，则，该项错误； D．若，则该项错误． 题型18.同位角.内错角.同旁内角 【典例】如图，和________是直线与直线被直线所截得到的同位角． 【答案】 【分析】直接利用同位角的定义求解即可． 【详解】解：∵直线与直线被直线所截， ∴和是同位角． 【跟踪专练1】下列各图中，与互为补角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，不符合题意； B、与是对顶角，，不一定互补，故本选项不符合题意； C、与互为邻补角，，即与互为补角，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意． 【跟踪专练2】如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是___________（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查对顶角、内错角、同旁内角的相关概念，熟练掌握相关概念是解决本题的关键． 根据对顶角、同旁内角、内错角的性质判断即可． 【详解】解：与是对顶角，①说法正确； 与是同旁内角，②说法正确； 与不是同旁内角，③说法错误； 与是内错角，④说法正确； 故答案为：①②④． 【跟踪专练3】如图，能判断直线的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，对顶角相等，不能得到； B、，邻补角互补，不能得到； C、，内错角相等，能判断； D、，同位角互补，不能判断． 题型19.求平行线间的距离 【典例】已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是_____． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论直线的位置，分别计算得到与之间的距离. 【详解】解：分两种情况讨论： 当直线在，的外侧时， 已知与之间的距离为，与之间的距离为， 因此与之间的距离为. 当直线在，之间时， 已知与之间的距离为，与之间的距离为， 因此与之间的距离为. 综上，与之间的距离是或. 【跟踪专练1】在同一平面内，已知，若直线，间的距离是，直线，间的距离为，则直线，间的距离是__________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论直线和直线相对于直线的位置，再根据平行线间距离的定义计算结果． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况一：当直线和直线在直线的同侧时，直线与直线之间的距离为； 情况二：当直线和直线在直线的两侧时，直线与直线之间的距离为； 因此直线与直线之间的距离为或． 【跟踪专练2】如图，点C在直线a上，点A，D在直线b上（点A，D不重合），若，，，则直线a与b的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离， ∵， ∴平行线a、b之间的距离， 观察各选项，只有选项A符合题意． 题型20.由平行线间距离解决问题 【典例】如图，P、Q为直线上的任意两点，若的面积为24，则的面积是______． 【答案】24 【分析】根据平行线间的距离相等可以得出和的面积相等，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴与之间的距离相等， ∴． 【跟踪专练1】如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，且，若的面积为3，则四边形的面积为_____． 【答案】9 【分析】根据平行线间间距相等得到，据此得到的面积为6，则四边形的面积为． 【详解】解：直线， ， 的面积为3， 的面积为6， 四边形的面积为． 【跟踪专练2】如图，，，为直线上的任意两点，与相交于点，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线间距离处处相等，同底等高的三角形面积相等逐一判断各个选项即可； 【详解】解：∵， ∴和同底，高都是平行线与之间的距离， ∴，A一定正确； ∴， ∴，B一定正确； ∵、是上任意两点，长度不固定： 当时，和面积不相等，只有特殊位置下面积才相等，因此C不一定正确； ∵和同底，高都是平行线与之间的距离， ∴，D一定正确． 解答题 1．如图，已知点、分别在的边、上．用直尺和三角尺画出图形；射线，，交于点． 【答案】见解析 【分析】将三角尺的一条直角边与重合，直尺靠紧三角尺的另一条直角边，平移三角尺使之前和重合的直角边经过点C，沿该直角边过点C画射线即可； 把三角尺的一条直角边与重合，移动三角尺使另一条直角边经过点D，沿该直角边过点D画射线交于点F即可． 【详解】解：如图，射线，即为所求． 2．如图，，． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由内错角相等，两直线平行可得，再由平行线的性质并结合题意计算即可得出结果； （2）由平行线的性质可得，结合题意得出，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略． 3．如图，已知，连接，点在直线、之间，点是直线上的点，连接、，，平分交于点． (1)与是否平行？请说明理由． (2)若，，求的度数． 【答案】(1) ， 理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（）先由平行得出内错角与相等，结合已知等于等量代换得到和相等，最后依据同位角相等判定平行； （）先利用角平分线求出度数，再根据两直线平行同旁内角互补算出，结合已知相等角得到，最后相加求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．方方在学校楼道上看到“安全出口”标志（如图①），他从中抽象出几何图形（如图②），已知，，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）可求，则可得，则题目可解； （2）作，利用平行线的性质可求得，则可解． 【详解】（1）解：略； （2）解：作， ， ， ∵， ∴， ， ，， ∴， ． 5．2025年央视春晚上，一群穿着花棉袄的机器人科技感爆棚．这个《秧BOT》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． [提出问题]图1是练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面呈水平状态，若，，求的度数？ [分析问题]构造辅助平行线是解决几何问题的核心技巧，化散为聚，实现角度的转移与转化，是初中几何从看图说话迈向逻辑构造的关键一步． [解决问题]以下是学习小组的解题过程，请把证明过程补充完整． 解：如图2，过点作，过点作， 则． ，，________ ，， （理由是：________） （理由是：________） ，________． ________° 【答案】60；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；；105 【分析】根据题意，对每个步骤填写结论和依据． 【详解】解：如图2，过点作，过点作， 则． ，，． ，， （理由是：平行于同一直线的两直线平行） （理由是：两直线平行，内错角相等） ，． ． 6．如图，已知 ，． (1)试说明： ． (2)若， ，求的度数． 【答案】(1)解： ， ， ． ， (2) 【分析】（1）根据平行线的性质及判定进行证明即可； （2）根据平行线的性质及判定进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ， ， ． ， ， ． ， ， ． 7．如图，于G，于H，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵，， ∴； (2)证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，即可得出结论； （2）证明，即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 8．探究与发现： (1)在同一平面内，若直线，，则与存在什么位置关系？请说明理由． (2)在同一平面内，若直线，，，则直线与的位置关系是__________． (3)在同一平面内，现在有条直线，且有，，，，，则与的位置关系是__________． 【答案】(1)，见解析； (2)⊥； (3)⊥． 【分析】（）根据平行线的判定定理求解； （）根据（）的结论及平行公理推理； （）根据（）的结论及平行公理推理． 【详解】（1）解：，理由， ∵，， ∴， ∴， （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图， 由（）（）可知，，，；，， ∴与下标为偶数的直线垂直，与下标为奇数的直线平行， ∵下标为偶数， ∴⊥， 故答案为：⊥． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15平行线暑假预习讲义 ①识记：牢记平行线完整定义，重点把握同一平面内这个必备前提，明确不重合两条直线位置仅有相交、平行两类；掌握平行符号的书写与读法。 ②认知：吃透平行公理（平行线基本事实）：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；理解平行公理推论，明晰平行线具备传递性。 ③实操：熟练掌握直尺+三角板画平行线四步画法（一放、二靠、三移、四画），同时学会利用方格纸快速绘制平行线，规范作图步骤。 ④识图：认识三线八角模型，精准分辨同位角、内错角、同旁内角，能在三线相交图形中快速定位三类角。 ⑤掌握：熟记平行线三大判定定理，依托同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，推理证明两条直线互相平行。 ⑥理解：熟记平行线三条性质，已知两直线平行，可推导同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，完成角度计算。 ⑦辨析：分清平行线判定与性质的逻辑区别，判定是由角的关系证直线平行，性质是由直线平行推导角的数量关系，避免二者混用。 ⑧运算：综合三线八角、平行线判定与性质，完成几何角度计算题，会结合已知角度推理未知角大小。 ⑨说理：学会简单几何推理书写，运用∵、∴规范几何语言，完整写出平行线判定、性质的说理过程。 ⑩避错：规避高频易错点，忽略“同一平面”判定异面直线平行、混淆判定与性质逻辑、找错三线八角中截线与被截直线。 ⑪素养：建立几何逻辑推理思维，区分直观观察与严谨证明，为后续几何证明题型筑牢基础。 预习必备 知识梳理 1.平行线的定义与表示 2.三线八角 3.平行线两条基本事实 4.平行线的判定 5.平行线的性质 6.判定与性质对比 7.平行线的画法 8.两条平行线间距离 常考题型 精讲精练 1.平面内的两直线位置关系 2.立体图形中平行的棱 3.用直尺.三角板画平行线 4.平行公理的应用 5.平行公理推论的应用 6.同位角相等两直线平行 7.内错角相等两直线平行 8.同旁内角互补两直线平行 9.垂直于同直线的两直线平行 10.两直线平行同位角相等 11.两直线平行内错角相等 12两直线平行同旁内角互补 13.平行线性质探究角的关系 14.平行线性质求角的度数 15.平行线性质的应用 16.平行线判定与性质求角度 17.平行线判定与性质证明 18.同位角.内错角.同旁内角 19.求平行线间的距离 20.由平行线间距离解决问题 强化题型 解答题8题 知识点 01 平行线的定义与表示 1.定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2.关键前提：必须限定同一平面内，空间中不相交的直线不一定平行。 3.符号表示：直线a平行于直线b，记作a b，读作a平行于b。 4.补充说明： 线段、射线平行，指它们所在的直线互相平行； 同一平面内两条直线的位置关系只有两种：相交、平行 知识点 02 三线八角（判定、平行线性质的基础） 1. 构成条件 一条直线（截线）截另外两条直线（被截线），共形成 8 个角，统称三线八角。 2. 三类角特征对比表 重要提醒 判断这三类角只看位置，和角的大小无关；只有两条被截直线平行时，三类角才存在固定数量关系。 知识点 03 平行线两条基本事实（公理） 基本事实 1：平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 关键点 解读 点的要求 必须是直线外一点，直线上的点无法作出已知直线的平行线 数量 有且只有一条，即唯一一条 基本事实 2：平行公理推论（平行传递性） 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 几何语言：若ab，bc，则ac。 知识点04:平行线三大判定定理（由角定线） 核心逻辑：角的关系 → 直线平行 知识点05:平行线的性质 三大性质定理（由线定角） 核心逻辑：两线平行 → 角的关系 知识点 06 判定与性质对比区分（高频考点表格） 对比项 平行线判定 平行线性质 因果关系 角相等 / 互补（因）→ 两线平行（果） 两线平行（因）→ 角相等 / 互补（果） 核心用途 证明两条直线互相平行 求角度、证明两角相等或互补 关键词 证平行 求角度 知识点07平行线画法（一靠、二移、三画） 1.三角尺一边贴已知直线； 2.直尺靠紧三角尺另一边； 3.沿直尺平移三角尺； 4.沿三角尺直角边画直线，即为平行线。 知识点08.两条平行线间的距离 1.定义 两条平行线中，一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，垂线段的长度叫做这两条平行线间的距离。 2.重要性质 两条平行线间的距离处处相等。 3.与点到直线距离的关系 平行线间的距离，本质就是一条直线上任意一点到另一条直线的距离 知识点09 高频易错点（课堂重点强调） 1.忽略 “同一平面内”，直接判定不相交的两条直线平行； 2.混淆判定与性质，因果颠倒，推理逻辑写反； 3.平行公理记忆错误：认为直线上一点也能作已知直线的平行线； 4.记错同旁内角关系：把互补记成相等； 5.识别三线八角时分不清截线、被截线，找错三类角； 6几何证明书写不规范，缺少∵、∴，逻辑断层。 题型1.平面内的两直线位置关系 【典例】同一平面内的两条直线的位置关系有________种，分别是________． 【跟踪专练1】在同一平面内有2026条直线，如果，，，，…，依此类推，那么与的位置关系是________． 【跟踪专练2】下列语句正确的有（    ） ①同一平面内不重合的两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则； ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 题型2.立体图形中平行的棱 【典例】四棱柱的侧棱都相互_________，共有_________条侧棱． 【跟踪专练1】在棱柱中，平行且相等的棱（   ） A．只存在于侧棱之间 B．只存在于两个底面的对应边之间 C．既存在于侧棱之间，也存在于两个底面的对应边之间 D．可能不存在 【跟踪专练2】在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）中，与一条侧棱平行的棱共有_________条． 【跟踪专练3】在长方体（非正方体）中，下列各组棱一定平行的是（） A．相交于同一个顶点的三条棱 B．位于同一个面上的四条棱 C．长度相等的四条棱 D．方向相同的四条棱 题型3.用直尺.三角板画平行线 【典例】用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有__________．（请填写序号） 【跟踪专练1】如图，是射线上的一点，用直尺和三角尺过点画直线的平行线，下图中画法正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】过直线外的点M画直线的平行线．某同学先过点M画直线l交于点N，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点N处沿着直线l平移画出所要求作的直线．在N点处，三角板摆放方法正确的是（    ） A．B． C．D． 题型4.平行公理的应用 【典例】．已知直线，，那么b______________________c．（填“”或“”） 【跟踪专练1】如图，是直线外一点，过点作，，则点、、必在同一直线上，其依据的基本事实是________． 【跟踪专练2】如图，是一个风车的示意图，如果旋转到与地面平行的位置时，不能同时与地面平行，理由是：______________________． 【跟踪专练3】已知在同一平面内的直线，满足条件的说法是（    ） A． B．分别与相交与相交或平行 C． D．分别与相交或平行 题型5.平行公理推论的应用 【典例】三条直线，若，则与的位置关系是______． 【跟踪专练1】水平尺是用来判断物体某条边是否水平的工具．如图，当水平尺的气泡位于中央，说明水平尺与水平线平行．李师傅在挂画时将水平尺放置在画框的上沿，上沿与水平尺平行；他调整画框直至气泡位于中央，判定此时画框就是水平摆放的．以上操作，依据的数学原理是（） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【跟踪专练2】如图是某工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数是多少度？（允许添加字母及辅助线） 【跟踪专练3】如图，直线，，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 题型6.同位角相等两直线平行 【典例】木工师傅用图中的角尺画平行线，其中的数学道理是________． 【跟踪专练1】如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④． 能判断的有______个． 【跟踪专练2】如图①所示的是视觉错觉艺术风格的作品，这种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具有很强的趣味性与迷惑性．如图②，现将其中的一组背景图线条与直线，抽象出来，下列条件能判定的是（     ） A． B． C． D． 题型7.内错角相等两直线平行 【典例】如图，不添加辅助线，请写出一个能判定的条件__________． 【跟踪专练1】如图，在下列给出的条件中，可以判定的有______． ①；②；③；④；⑤． 【跟踪专练2】如图，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 题型8.同旁内角互补两直线平行 【典例】老师让同学们验证教室里黑板的上，下边缘是否平行．小明画出了如图所示的线段，并用量角器测量，的度数，解决这个问题所应用的数学依据是_____． 【跟踪专练1】．随着我国科学技术的不断发展，科学展望变为现实．图1是我国自主研发的某型号战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机的亮点之一．图2是垂尾模型的示意图，现测量垂尾模型的外围数据如下：①；②；③．垂尾模型要求的位置标准之一是，则选择数据_________可判断模型位置能够达标（填序号）． 【跟踪专练2】“桔槔”是《天工开物》中记载的古代提水工具，如图是简易装置图，若，，，则下列正确的是（     ） A． B． C． D． 题型9.垂直于同直线的两直线平行 【典例】在同一平面内，过直线外一点作的垂线，再过点作的垂线，则直线与的位置关系是________． 【跟踪专练1】如图，同一平面内，，，，则与的位置关系是________． 【跟踪专练2】如图，已知，，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请你补充一个条件___________（只写出一种情况即可），使． 【跟踪专练3】如图，于点D，于点F，垂足分别为D、F，，，则________ 题型10.两直线平行同位角相等 【典例】如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若，则__________°． 【跟踪专练1】如图，，，，则________°． 【跟踪专练2】如图，直线，点、分别是、上的点，射线，则图中与相等（不含）的角共有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型11.两直线平行内错角相等 【典例】如图，直线，交于点，交于点，，则的度数为______． 【跟踪专练1】如图，若，，，则________． 【跟踪专练2】把一块含角的直角三角板按如图方式放置在两条平行线之间，若，则的大小是（     ） A． B． C． D． 题型12两直线平行同旁内角互补 【典例】如图，直线，，则是________度． 【跟踪专练1】如图，容器水平放置（液面），平行光线、从空气中射向某种液体时发生折射，折射光线，已知，，则的度数为__________． 【跟踪专练2】如图，如果，那么（     ） A． B． C． D． 题型13.平行线性质探究角的关系 【典例】如图，若，，则_____． 【跟踪专练1】如图，已知题设:，下列结论中:①；②；③；④．与题设组成的命题是真命题的有___________．(填序号) 【跟踪专练2】将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置（三角尺的直角顶点刚好落在纸条的一条边上），下列结论：①；②；③；④．正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型14.平行线性质求角的度数 【典例】用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则________． 【跟踪专练1】如图，，与，分别相交于点，，，与的平分线相交于点，且，则的度数为________． 【跟踪专练2】如图，，点，分别在直线，上，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型15.平行线性质的应用 【典例】如图，有一段之字形路段，经过两次转弯后的路段与初始路段保持平行，若第一次转弯时，则__________． 【跟踪专练1】如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射后，，，则的度数为________． 【跟踪专练2】抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，可见抖空竹在民间流行的历史至少存在年．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型16.平行线判定与性质求角度 【典例】如图，糖画是我国的一种民间传统手工艺，它以糖为墨、以勺为笔，造型精美．图2是从糖画线条中抽象出的几何图形．已知，，，则的度数是_____． 【跟踪专练1】小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为_________． 【跟踪专练2】如图，已知，，，，则为(    ) A． B． C． D． 题型17.平行线判定与性质证明 【典例】如图，直线，点E，点P在两条平行线之间，和的角平分线交于点H，，则的度数为_____． 【跟踪专练1】如图，已知，，点E、F在上，平分，且，下列结论正确的是：__________． ①；②；③；④若，则； 【跟踪专练2】如图，下列判断正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型18.同位角.内错角.同旁内角 【典例】如图，和________是直线与直线被直线所截得到的同位角． 【跟踪专练1】下列各图中，与互为补角的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，给出下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的是___________（填序号）． 【跟踪专练3】如图，能判断直线的条件是（     ） A． B． C． D． 题型19.求平行线间的距离 【典例】已知直线a，b，c在同一平面内，且，a与b之间的距离为，b与c之间的距离为，则a与c之间的距离是_____． 【跟踪专练1】在同一平面内，已知，若直线，间的距离是，直线，间的距离为，则直线，间的距离是__________． 【跟踪专练2】如图，点C在直线a上，点A，D在直线b上（点A，D不重合），若，，，则直线a与b的距离可能是（     ） A． B． C． D． 题型20.由平行线间距离解决问题 【典例】如图，P、Q为直线上的任意两点，若的面积为24，则的面积是______． 【跟踪专练1】如图，直线，点，在直线上，点，在直线上，且，若的面积为3，则四边形的面积为_____． 【跟踪专练2】如图，，，为直线上的任意两点，与相交于点，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 解答题 1．如图，已知点、分别在的边、上．用直尺和三角尺画出图形；射线，，交于点． 2．如图，，． (1)若，求的度数； (2)求证：． 3．如图，已知，连接，点在直线、之间，点是直线上的点，连接、，，平分交于点． (1)与是否平行？请说明理由． (2)若，，求的度数． 4．方方在学校楼道上看到“安全出口”标志（如图①），他从中抽象出几何图形（如图②），已知，，． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 5．2025年央视春晚上，一群穿着花棉袄的机器人科技感爆棚．这个《秧BOT》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． [提出问题]图1是练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面呈水平状态，若，，求的度数？ [分析问题]构造辅助平行线是解决几何问题的核心技巧，化散为聚，实现角度的转移与转化，是初中几何从看图说话迈向逻辑构造的关键一步． [解决问题]以下是学习小组的解题过程，请把证明过程补充完整． 解：如图2，过点作，过点作， 则． ，，________ ，， （理由是：________） （理由是：________） ，________． ________° 6．如图，已知 ，． (1)试说明： ． (2)若， ，求的度数． 7．如图，于G，于H，． (1)求证：； (2)求证：． 8．探究与发现： (1)在同一平面内，若直线，，则与存在什么位置关系？请说明理由． (2)在同一平面内，若直线，，，则直线与的位置关系是__________． (3)在同一平面内，现在有条直线，且有，，，，，则与的位置关系是__________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $