(七)空间直角坐标系、空间向量与向量运算、空间向量基本定理及向量的直角坐标运算-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修1同步周测卷（新高考北师大版）

U 世学（北肠大极引选择性必修第一导第1亚（共4页！ ① 衡水会馨·先草量·喜二同步因测荐七 数学（北师大密}选择性业修第一卧第？页「共页） 12,(木小题满分15分) 如图，在平行六面体ABCD一A,BC,D,巾，面四边形ABCD是边长为1的正方 形，A4=2,∠AAD=∠A:AB=60',AN=2ND,点M为BD的中点，设AB-=m AD=b.AA=e. (1)用a.nr表示MN: (2)求MN1. 拉学（北师大极引选择桂必修第一册第多亚（共4页引 衡水金幕·先享题· 13,木小题满分20.分) 如函，在棱长为1的正方休ABD-A,B,CD,中，点G在棱CD上，CG-CD, E,F,H分别为DD:,BD,CG的中点， (1)求证：EF1,C: (2)求FH: (3)求EF与CG夹角的余弦值 离二同步丽测花七 数学（北师大震}选择性业修第一卧第4页「共4页）高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第一册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第一册（七） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W.空间想象能力V,数据处理能力 1.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模①直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) ①② ③④ 档次系数 1 选择题 空间向量的加减运算 易 0.80 2 选择题 中点坐标公式的应用 易 0.72 3 选择题 5 由两点间的距离公式 求参 易 0.70 由空间向量基本定理 选择题 0.55 求参 5 选择题 5 求两向量的夹角 0.45 选择题 利用坐标法求线段 8 0.30 的长 确定点关于坐标平面、 选择题 6 坐标轴、原点对称的点 多 0.72 的坐标 选择题 6 基概念的理解 中 0.60 空间向量在另一向量 9 填空题 5 0.71 方向上的投影数量 10 填空题 利用空间向量求线段 5 长的最值 中 0.45 利用空间向量坐标运 11 解答题 算证明向量平行，求向 13 量之间的夹角及三角 中0.65 形的面积 12 解答题 15 利用基表示向量，求线 段的长 √ 中0.55 利用向量的坐标运算 13 解答題 20 证明向量垂直，求线段 的长，求两向量夹角的 中 0.40 余弦值 ·27· ·数学（北师大版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 9 昏考答案及解析 一、选择题 1.D【解析】DA+CD-Ci-DA+Bi=DA-Di BA.故选D, 2.A【解析】由图可知B(1.0,一1)，D,(0,一1.0) 所以BD的中点坐标为（生，0，二），即 (2一，-之）故选A 3.C【解析】设点C的坐标为(0，y,z),则 √(0-1)+(y-2)+(-2)= 设BB=m(m>0),CE=入CC(0≤A≤1).则B(0,0, √(0-1)+(y+3)+(-1)F,即(y-2)2+(: 0),A'(1,0,m),E(0,1,Am).A它=(-1,1，m 2)2=(y十3)”+(x-1)2,即5y十十1=0，经检验知， 只有选项C满足，故选C. m),B正=(0,1，m),所以A室.B正=(-1,1，Am 4.D【解析】因为EC=2PE,所以P正=号P心，所以 m)·(0,1,m)=m2-m入+1=0，因为在棱CC 上有唯一的一点E使得A'E⊥EB,所以m一m入 D正-A花-A市=A护+P-AD=A市+P心-A前 +1=0在∈[0,1]上有雌一的解，令f()=mx m1+1,因为f(0)=f(1)=1,故要想在A∈[0,1] =A+号（衣-A)-A市=号A市+}A花-A 上有唯一的解，只需△=m一4m2=0,因为m>0,所 以m=2.故选B. -号市+号C-(AC+ò)-号市-号C 二、选择题 7.ABD【解析】对于A,点E(一3,1,5)关于原点O 市=号A市-号心+店=a-号b+号，又 对称的点的坐标为(3，一1，一5)，故A正确：对于B, 点F(1,3,一4)关于y轴对称的点的坐标为 x=1 (一1,3,4)，放B正确：对于C,点P(一1,2,3)关于平 2 0十3b+c,所以 y=- 3,则x一3y+3x=1+2+ 面xOy对称的点的坐标为（一1,2.一3），故C错误； -号 对于D,点Q(一1,1,2)在平面3yO:内的射影的坐标 为(0,1,2)，故D正确.故选ABD. 2=5.枚选D. 8.AD【解析】由c=(a+b)+(c-a一b),得向量c, 5.C【解析】：AA⊥平面ABC,ABC平面ABC,AC a+b,c一a一b共而，A正确：若存在不全为零的实数 C平面ABC,.A1A⊥AB,AA⊥AC.,AC=AB x,y,,使得0十3b十c=0,则a,b.c共面，不能构成 2,BC=2,AB+AC=BC,∴.AB⊥AC,又BC 一组基，B错误：当d≠0时，有d⊥a,d⊥b,由已知得 a,b,c不共面，不一定有c⊥a且c⊥b,即不一定有d∥ 2AE=2∴E为BC的中点∴AE=号(Ai+AC c,C错误：由(a+b+c)·(a-b+c)=0,得(a+c)2 AC-AA-AC-2.A-B+ b=0,即(a十c)=b,则a十c=b|,D正确.故 选AD. AC).(A-MA)-Ac-1.0AE.Ac- 三、填空题 AE.AC =合义成.A∈010们： 号 【解析】因为点A(1,1,1),B(2,3,1),C(3,1, AEACI 3),所以Ai=(1,2,0).AC-(2,0,2),则Ai在AC ∴.(AE,AC》=60°.放选C 6.B【解析】以点B为原点，BA,BC,BB所在直线分 方向上的投影数量为A店1cos(A成，A心=A店，Ad ACI 别为x轴，y轴，：轴，建立如图所示的空间直角坐 =1X2+2×0+0×2=2=2 标系， √2+0+2 222 【解析】以点D为原点，DA,DC,DD所 在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间 ·28 高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第一册· 直角坐标系，则D(0,0,0),A(1,0,0),D(0,0,1), B,(1,1,1),C(0.1,0),又P,Q分别为DC,AD1的 中点，所以P(o,号0)小Q(分0,2)则1P √0-)+（合-0+(0-厂-停：曲点 P在DC上运动，点Q在侧面ADD,A,上运动，设 P(0,m,0),0≤m≤1，Q(n,0,1),0≤n≤1,0≤t≤1， 所以B,Q=(m-1,-1,1-1),AD=(-1,0.1), A市=(-1，m,0),因为B,Q⊥AD,BQ⊥A户，所以 因为A前=A+B成=A店+号B市=A店+ BQ.AD=(m-1,-1,t-1)·(-1,0,1)=1-n 号（访-Ai)=AB+号A市-多(a+b =0,故t=n.BQ·AP=(n-1,-1,t-1)·(-1 (3分) m,0)=1-n-m=0,故m=1-n,又P戒=(，一m, 0,故P012=m+m2+2=2m2+(1-n) A=号AD=号(AA+A)=号(b+e. 3(w-)广'+号故当=时.à最小.此时 (5分) m=1-n= 号清足条件，所以线段PQ的最小值 所以M=AN-Ai=号(b+e)-立(a+b)= a++号e (7分) (2)因为∠A1AD=∠A1AB=60°，AA=2,且底面 四边形ABCD是边长为1的正方形， D 所以|a=1,|b|=1,c|=2,a·b=0,a·c=b· e=1×2×cos60°=1， (10分) B 由知-a+b 3c, Q 所以1：=（←a+言b+号c)=a+ 小+号e-abae+号 四、解答题 +6+吉×4号+-器 11.解：(1)由A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5), D(3,3,4), 所以M=丽 6 (15分) 得Ai=(-2,-1,3).AD=(3,1,1) 13.解：1)以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别 所以b=AB+AD=(1,0,4), 为x轴、y轴、：轴建立如图所示的空间直角坐标系， (3分) 因为a=(-2,0,-8),所以a=-2b, 所以a∥b. (6分) (2)由(1)知，AB=(-2,-1,3).AC=(1.-3,2), 所以Ai=AC=M,AB,AC=7. 所以cos0= AB.AC 1 AAC4X√= 又因为0≤≤x,所以0=吾： (10分) 所以S=专AA花sn0=号×vm×压× 则E(0.0,F(分20），c(01,0), 5-1 B(1.1,1), (2分) 2 21 (13分) 12.解：(1)连接AM,如图所示， E=(号号-2)，B衣-（-1.0，-1D. ∴成.aC=×(-1)+×0+(-号)× (-1)=0. ·29· ·数学（北师大版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 ..EFLB.C. (7分) 由1)知成-（分，之-之）。 2:F(7,克0)H(o,8,) =(←合） 成=√()+(）》+(-)-. :萨.CG=×0+号×(-)+(-)x “-√)广+（层）广+(- (13分) (-1)=8 (3)G(0.,0）.C(01,1) ios(E求，C高= EF.CG IEF·CG 171 cG=(0,-}-1 即与C夹角的余弦值为高。 (20分) ∴GG-0+(-）+(-1)-g ·30·