第1～4章 阶段性测试 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 浙教版九年级数学上册期中测试，结合《浪浪山小妖怪》卡片、《哪吒2》手办销售等时代情境，覆盖概率、相似、圆、二次函数等核心知识，注重数学眼光观察、思维推理与语言表达的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|概率（第1题）、圆（第3题）、二次函数（第5题）|基础概念辨析，如第7题用频率估计概率| |填空题|6/18|相似（第12题）、弧长（第13题）、动点相似（第15题）|几何与代数结合，第16题“果园”图形综合应用| |解答题|8/72|概率计算（17题）、二次函数应用（21题）、圆证明（24题）|21题以手办销售为情境考查利润最值，体现模型意识；24题圆与几何证明结合，培养推理能力|

第1、2、3、4章阶段性测试2026-2027学年浙教版九年级数学上册（解析版） 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件中，属于不确定（随机）事件的是（　 　） A．掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B．从装有3个白球的袋子中摸出一个红球 C．明天太阳从东方升起 D．奥运射击冠军盛李豪射击一次，命中10环 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A、掷一次骰子，朝上一面的点数大于0是必然事件，不符合题意； B、从装有3个白球的袋中摸出一个红球是不可能事件，不符合题意； C、明天太阳从东方升起是必然事件，不符合题意； D、奥运射击冠军李豪射击一次，命中10环是随机事件，符合题意． 故选：D． 2．如果，那么的值是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得到，再代入即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B 3.如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于（　 　） A．158° B．58° C．64° D．116° 【答案】D 【分析】首先根据圆周角定理可求得∠BOC的度数，再根据邻补角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵∠BOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠D=32°， ∴， ， 故选：D． 4．如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，证出，由相似三角形的判定方法即可得出结果． 【详解】解：， ， A、添加，可用两角相等判定，故本选项不符合； B、添加，可用两角相等判定，故本选项不符合； C、添加，无法判定，故本选项符合． D、添加，可用两边成比例及其夹角相等判定，故本选项不符合； 故选：C． 5． 若为二次函数的图象上的三点， 则的大小关系是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， 故选B． 6．如图，圆弧形桥拱的跨度拱高则拱桥的半径为（　 　） A．9m B．10m C．12m D．13m 【答案】D 【分析】设圆心是半径为连接根据垂径定理得再根据勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图，设圆弧形桥拱的圆心是，半径连接则三点共线， 是拱高， 在中，根据勾股定理，得 即拱桥的半径为：13 7． 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率， 绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　 　） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 C．抛一枚硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 【答案】B 【分析】此题考查了利用频率估计概率，根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项不符合题意； B、从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：；故此选项符合题意． C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； D、任意写出一个整数，能被2整除的概率为，故此选项不符合题意； 故选：B． 8． 某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段， 桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为40米，桥拱的最大高度为16米 （不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为5米的景观灯杆的高度为（　 　） A．13米 B．14米 C．15米 D．16米 【答案】C 【分析】以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当时y的值即可． 【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线表达式为， 由题意可知，B的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，． 答：与距离为5米的景观灯杆的高度为15米， 故选：C． 9．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，根据作图可知，为的角平分线，根据等腰三角形的性质求出的度数可判定A正确；进而得出，可得，根据等腰三角形的性质及外角性质得出，可得，由，推出，即可判定D正确；根据，为公共角证明，根据相似三角形的性质可判定B错误,C正确；熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键． 【详解】解：，， ，由作图可知：，为的角平分线， ，故A正确， ， ， ， ， ， ， ，故D正确， ，， ， ，即， 整理得：， ， ， ，故B错误， ，， ， ， ， ，，， ，故C正确． 故选：B． 10. 如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连结，相交于点P， 连结，．已知于点E，．下列结论： ①；②若点P为的中点，则； ③若，则；④若，则扇形的面积为． 其中正确的是（　 　） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是掌握并熟练应用以上知识点．由垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，可以解决问题． 【详解】解：①， ， ， 是的直径， ， ， 故①正确，符合题意； ②点为的中点， ， 为直径， ， ， ， ， ，， ， ，故②正确，符合题意； ③连接， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ，故③正确，符合题意； ④，， 又， ，由③知为等边三角形， ，则扇形的面积为．故④错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11. 如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了9个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时， 指针落在阴影区域的概率等于 ． 【答案】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 【详解】解：∵ 9个相同的扇形中，阴影部分占4个， ∴指针落在阴影部分的概率是； 故答案为： 12 .如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高0.8m），而且落在离网4m的位置上， 则根据图中的数据可知，球拍击球的高度为 m． 【答案】 【分析】根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即可知，根据其相似比即可求解． 【详解】解：， ， ， ， （米， 故答案为：1.6． 13 .如图，圆心角为120°，半径为4的弧，则这条弧的长度为是 ． 【答案】 【分析】根据弧长的公式进行计算即可． 【详解】解：根据弧长的公式， 得到：． 故答案为：． 14. 一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，点(4，3)为该抛物线的顶点， 则该抛物线所对应的函数式为 ． 【答案】y＝-（x﹣4）2+3 【分析】根据二次函数的顶点式即可求出抛物线的解析式． 【详解】解：根据题意，得 设抛物线对应的函数式为y＝a（x﹣4）2+3 把点（0，）代入得： 16a+3＝ 解得a＝﹣， ∴抛物线对应的函数式为y＝﹣（x﹣4）2+3 故答案为：y＝﹣（x﹣4）2+3． 15 .如图所示，在矩形中，，， 两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿、向终点B，C方向前进， 小虫P每秒走，小虫Q每秒走，它们同时出发t秒时， 以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则 秒． 【答案】2或5 【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似， 则要分两种情况进行分析．分别是或，从而解得所需的时间． 【详解】解： ①若，则， 即，解得； ②若，则， 即，解得． 故答案为：2或5． 16． 如图所示，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果园”． 已知点、、、分别是“果园”与坐标轴的交点，抛物线的对称轴为直线， 且，为半圆的直径，则这个“果园”被轴截得的弦的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了抛物线与圆的综合，掌握抛物线与轴的交点，对称轴，坐标与图形，直径所对圆周角为，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键． 根据题意，设，则，根据抛物线对称轴可得，可求出，由直径直径所对圆周角为，可证，可得，由即可求解． 【详解】解：设，则， ∴， ∴抛物线的对称轴直线为， ∴， ∴，， 如图所示，连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片： A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片 (形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 (1) 取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． (2) 若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法， 求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率公式求概率，列表法或树状图法求概率； （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪，搅匀后从中任意取出一张卡片， ∴取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率为； 故答案为：． （2）列表如下： 共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，即、， ∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为． 18．如图，，相交于点O，，，． (1) 求证：； (2) 求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质等知识点， （1）由，易得，则可证得：； （2）由，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得的长度； 熟练掌握相似三角形的判定是解决此题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 19． 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高， 当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线， 建立如图的平面直角坐标系． (1) 求出抛物线的解析式； (2) 若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】(1)； (2)此球一定能投中． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【详解】（1）解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 20．如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． (1) 求证：． (2) 若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理等,掌握定理及性质，能用勾股定理求解是解题的关键． （1）由垂径定理得，由等腰三角形的性质得，即可求证； （2）由勾股定理得，即可求解； 【详解】（1）证明：∵，是半径， ∴， ∴ ∴ （2）解：设的半径是，如图，连接 ， ∵ 由垂径定理得：， ∵ ∴ ∴ ∴的半径是5. 21．随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢， 一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现， 当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组． 设每组手办降价元．     (1) 用的代数式表示： ① 每一组手办的利润是________． ② 每天可销售的手办组数是________． (2) 当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ (3) 当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)①；② (2)每组手办降价5元时利润可以为3500元 (3)当时，有利润的最大值为3600元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． （1）根据题意可得手办利润=售价-成本，手办组数=原定卖出的组数+每降价后增加的组数； （2）根据利润关系可以列，计算结果即可； （3）设每天的利润为，根据题意可以列解析式，再化为顶点式即可得出结果． 【详解】（1）解：①根据售价-成本-降价=利润可得：（元）， ②每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组可得：（）元， 故答案为：①；② （2）根据题意得：，     整理得：， 解得：，．     答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元． （3）每天的利润为， 则      ， 当时，有利润的最大值为3600元． 22．课题学习： 【证明体验】 （1）如图1，在四边形中，点P为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2） 如图2，在四边形中，点P为上一点，当时， 上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰． 点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）结论成立，证明见解析；（3）5； 【分析】（1）如图1，由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）如图2，由可得，即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题． （3）证明，求出，再证，可求，进而解答即可． 【详解】解：（1）如图1，∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）成立，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）∵， 等腰， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，（负根舍去） ∴． 23．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴． (1) 求抛物线的函数关系式； (2) 设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； (3) 在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？ 若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝-x2+2x+3．（2）P的坐标(1，2)．（3）存在．点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)． 【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可． （2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点． （3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、③AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解 【详解】（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c， ∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）． 又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=-1． ∴抛物线的解析式为y＝-（x+1）（x-3），即y＝-x2+2x+3． （2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P． 则此时的点P，使△PAC的周长最小． 设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 将B(3，0)，C(0，3)代入，得： ，解得：． ∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3． 当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)． （3）存在．点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)． ∵抛物线的对称轴为： x=1， ∴设M(1，m)． ∵A(－1，0)、C(0，3)， ∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10． 若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1． ②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝±． ③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6， 当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去． 综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)． 24．如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，连结，，． (1) 求证：平分． (2) 如图2，延长，相交于点E． ① 求证：． ② 若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】(1)由点C为的中点，得，所以，由垂径定理得，即可根据等腰三角形的三线合一证明结论； (2)由直径所对的圆周角为直角得，则，再根据垂径定理得：，得结论；②连接，则，由，，由平行线的性质再证，得，由，得，，求出，设的半径为r，由勾股定理求出符合题意的r值即可． 【详解】（1）证明∵点C为弧的中点， ∴， ∴，， ∴平分； （2）①证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴ ②如图2，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为r， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的半径为5． 65．如图1，点，，都在上，且平分，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)如图2，是的直径，与相交于点． ①若，，求的半径． ②若于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①8；②，见解析 【分析】（1）由平分，得，则； （2）①连接，设，则，．可证明，则在中由勾股定理得，，解得，（不合题意，舍去），即的半径为； ②，理由如下：过点作于点，可证明，则．而，则四边形是矩形，则． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴， 即是等腰三角形； （2）解：①如图，连接， 设，则，． 由（1）知， 又， ∴，    ∴在中，，即， 解得，（不合题意，舍去）， 即的半径为； ②．       理由如下： 如图，过点作于点， ∵是的直径， ∴． ∵平分，，， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1、2、3、4章阶段性测试2026-2027学年浙教版九年级数学上册 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件中，属于不确定（随机）事件的是（　 　） A．掷一次骰子，朝上一面的点数大于0 B．从装有3个白球的袋子中摸出一个红球 C．明天太阳从东方升起 D．奥运射击冠军盛李豪射击一次，命中10环 2． 如果，那么的值是（　 　） A． B． C． D． 3. 如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于（　 　） A．158° B．58° C．64° D．116° 4． 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 5． 若为二次函数的图象上的三点， 则的大小关系是（　 　） A． B． C． D． 6． 如图，圆弧形桥拱的跨度拱高则拱桥的半径为（　 　） A．9m B．10m C．12m D．13m 7． 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率， 绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（　 　） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率 C．抛一枚硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 8． 某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段， 桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为40米，桥拱的最大高度为16米 （不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为5米的景观灯杆的高度为（　 　） A．13米 B．14米 C．15米 D．16米 9． 如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点， 再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是（　 　） A． B． C． D． 10. 如图，是的直径，点C，点D是半圆上两点，连结，相交于点P， 连结，．已知于点E，．下列结论： ①；②若点P为的中点，则； ③若，则；④若，则扇形的面积为． 其中正确的是（　 　） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11. 如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了9个相同的扇形，转动转盘，转盘停止时， 指针落在阴影区域的概率等于 ． 12 .如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网（网高0.8m），而且落在离网4m的位置上， 则根据图中的数据可知，球拍击球的高度为 m． 13 .如图，圆心角为120°，半径为4的弧，则这条弧的长度为是 ． 14. 一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线，点(4，3)为该抛物线的顶点， 则该抛物线所对应的函数式为 ． 15 .如图所示，在矩形中，，， 两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿、向终点B，C方向前进， 小虫P每秒走，小虫Q每秒走，它们同时出发t秒时， 以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则 秒． 16． 如图所示，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果园”． 已知点、、、分别是“果园”与坐标轴的交点，抛物线的对称轴为直线， 且，为半圆的直径，则这个“果园”被轴截得的弦的长为 ． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片： A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片 (形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片． A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪 (1) 取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________． (2) 若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法， 求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率． 18．如图，，相交于点O，，，． (1) 求证：； (2) 求的长度． 19． 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高， 当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线， 建立如图的平面直角坐标系． (1) 求出抛物线的解析式； (2) 若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 20．如图，， 交于点C，D，是半径，且于点F． (1) 求证：． (2) 若，求的半径． 21．随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢， 一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现， 当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组． 设每组手办降价元．     (1) 用的代数式表示： ① 每一组手办的利润是________． ② 每天可销售的手办组数是________． (2) 当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？ (3) 当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？ 22．课题学习： 【证明体验】 （1）如图1，在四边形中，点P为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2） 如图2，在四边形中，点P为上一点，当时， 上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰． 点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 23．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴． (1) 求抛物线的函数关系式； (2) 设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； (3) 在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？ 若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 24．如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，连结，，． (1) 求证：平分． (2) 如图2，延长，相交于点E． ① 求证：． ② 若，，求的半径． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $