3.1.2分段函数第2课时课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦分段函数的概念、表示法（解析法、图象法）及性质应用，通过“判一判”辨析概念本质，衔接函数表示法前知，以求值、图象、实际问题三类例题为支架，构建从基础到应用的学习脉络。 其亮点在于结合电费计算、销售利润等实际情境，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过分类讨论（如分段求值）、数形结合（如作分段函数图象）发展数学思维，以解析式和图象表达关系培养数学语言。方法总结与课堂小结系统梳理知识，学生能深化理解，教师可直接用于教学提升效率。

　第三章　函数的概念与性质 3.1　函数的概念及其表示 3.1.2　函数的表示法 第2课时　分段函数 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数. 2.给出分段函数，能研究有关性质. 3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题． 知识点 分段函数 (2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系． 【说明】　分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集． 判一判 (1)分段函数由几个函数构成．(　 　) (2)函数f(x)＝是分段函数．(　 　) (3)分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．(　 　) (4)分段函数各段上的函数值所构成的集合的交集为∅.(　 　) × √ √ × 例题 1．(变设问)本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值． 解　当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3，即a＝2>－2，不符合题意，舍去； 2．(变设问)本例条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围． 解　当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x，即x<1，所以x≤－2； 当－2<x<2时，f(x)>2x可化为3x＋5>2x，即x>－5，所以－2<x<2； 当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈∅. 综上可得，x的取值范围是(－∞，2)． 方法总结 (1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． [跟踪训练1]　(1)(2024·江苏常州期末)已知函数f(x)＝ 则f(－4)＝(　 　) A．2 B．4 C．6 D．8 B (2)设f(x)＝若f(x)＞－1，则实数x的取值范围为(　 　) A．(－∞，－1) B．(0，＋∞) C．(－∞，－1)∪(0，＋∞) D．(－1，0) C 类型二　分段函数的图象及其应用 【例2】　 给定函数f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，且∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}． (1)作出函数M(x)的图象，并写出函数M(x)的解析式； (2)求不等式M(x)≤2的解集． [解]　(1) ∴函数f(x)，g(x)的大致图象如图所示． x －1 0 1 2 3 f(x) －1 0 1 2 3 g(x) 3 0 －1 0 3 方法总结 分段函数图象的画法 (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． (2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象． [跟踪训练2]　(2024·浙江台州期中)已知函数f(x)＝x2，g(x)＝－x＋2，x∈R. (1)在图1中画出函数f(x)，g(x)的图象； (2)∀x∈R，用m(x)表示f(x)，g(x)中的最小者，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，请分别用图象法(在图2中画出)和解析法表示函数m(x)． 解　(1)f(x)与g(x)的图象如图， (2)图象法表示m(x)，如图， 类型三　分段函数在实际问题中的应用 【例3】　“一户一表”的城乡居民用户电量按照三档收费．第一档：月用电量为180度及以下，电价为0.50元/度．第二档：月用电量为180度以上，280度及以下，电价为0.55元/度．第三档：月用电量为280度以上，电价为0.80元/度． (1)写出月电费y(元)与月用电量x(度)的函数关系式； (2)若某户居民的月电费为110元，问这户居民的月用电量大约是多少？(结果精确到1) [解]　(1)当0<x≤180时，可得y＝0.5x； 当180<x≤280时，可得y＝0.5×180＋0.55×(x－180)＝0.55x－9； 当x>280时，可得y＝0.5×180＋0.55×(280－180)＋0.80×(x－280)＝0.8x－79， (2)由(1)中的函数， 可得当x＝180时，y＝180×0.5＝90； 当x＝280时，y＝0.55×280－9＝145， 因为某户居民的月电费为110元，90<110<145，所以用户月用电量在(180，280]内，设用户的月用电量为x，可得0.55x－9＝110，解得x≈216，即用户的月用电量大约为216度． 方法总结 分段函数的实际应用 (1)当目标在不同区间有不同的计算方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系． (2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式． [跟踪训练3]　小华在某市场独家经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利500元，未售出的产品每吨亏损300元．小华为下一个销售季度购进了130吨该农产品，以x(单位：吨，100≤x≤150)表示下一个销售季度内该市场中该农产品的需求量，y(单位：元)表示下一个销售季度内小华销售该农产品获得的利润． (1)将y表示为x的函数； (2)分别求当x＝120时，y的值；当x＝140时，y的值； (3)求出下一个销售季度利润y不少于57 000时，市场需求量x的范围． (2)当x＝120时，y＝800×120－39 000＝57 000；当x＝140时，y＝65 000. (3)当100≤x≤130时，令800x－39 000≥57 000，可得x≥120，则120≤x≤130； 当130<x≤150时，y＝65 000>57 000恒成立，则130<x≤150.综上，120≤x≤150. 课堂小结 1．知识清单 (1)分段函数的概念及求值． (2)分段函数的图象及其应用． (3)分段函数在实际问题中的应用． 2．核心提示 (1)作分段函数的图象时要注意衔接点的虚实，求分段函数的函数值时要依据自变量的取值范围确定对应的解析式，再代入求值． (2)方法归纳：分类讨论(如例3)，数形结合(如例2)． 当堂检测 1．(2024·河北石家庄期中)若f(x)＝ 则f(3)＝(　 　) A．9 B．10 C．－6 D．6 解析　f(3)＝－2×3＝－6. C 2．已知函数f(x)＝g(x)＝－f(x)，则函数g(x)的图象是(　 　) D 解析　因为g(x)＝－f(x)，所以g(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称， 由f(x)的解析式，作出f(x)的图象如图，从而可得g(x)的图象为D选项． 3．已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则a＝ ． 解析　当a≤0时，f(a)＝－a＝4，解得a＝－4；当a>0时，f(a)＝a2＝4，解得a＝2或a＝－2(舍)．综上可得a＝－4或a＝2. －4或2 4．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如表．已知某户某月份用水量超过20 m3，则该户该月应缴纳的水费y(元)关于用水量x(m3)的函数关系式是y＝ ． 解析　当x>18时，y＝3×12＋6×(18－12)＋9(x－18)＝9x－90，所以用水量超过20 m3时，水费y(元)关于用水量x(m3)的函数关系式是y＝9x－90. 9x－90，x>20 每户每月用水量 水价 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3 超过18 m3的部分 9元/m3 Thank you for watching. 题 库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $