3.1.2分段函数课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦分段函数核心素养，以基础巩固为起点，通过三级梯度设计实现从概念理解到综合应用的递进，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|分段函数定义、求值、图象识别|如选择1-3题直接考查分段函数求值与值域，夯实概念理解| |中档层|实际应用、复合求值|如填空11-12题结合停车收费、组装时间情境，培养数学建模能力| |提升层|新定义、综合探究|如选择9-10题引入Dirichlet函数、p界函数，解答20题分析交点个数，发展创新思维|

课时作业19　分段函数 一、选择题 1．设函数f(x)＝则f()＝(　　) A． B．4 C．3 D．－3 2．函数f(x)＝x＋的图象是(　　) 　 A　　　　B　　 　　C　　　　D 3．函数f(x)＝的值域是(　　) A．R B．[0，2]∪{3} C．[0，＋∞) D．[0，3] 4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　　) A．13立方米 B．14立方米 C．18立方米 D．26立方米 5．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则函数f(x)＝|x|sgn x的图象大致是(　　) 6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　　) A．13立方米 B．14立方米 C．18立方米 D．26立方米 7．设函数f(x)＝若f(f())＝4，则b＝(　　) A．1 B. C. D. 8．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 9．(多选题)著名的Dirichlet函数D(x)＝ 则与D[D(x)]相等的有(　　) A．D(2) B．D(3) C．D() D．D(π) 10．(多选题)设定义在R上的函数f(x)，对于给定的正数p，函数fp(x)＝则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”．关于函数f(x)＝x2－2x－1的“2界函数”，下列等式成立的是(　　) A．f2(f(0))＝f(f2(0)) B．f2(f(1))＝f(f2(1)) C．f2(f(2))＝f(f2(2)) D．f2(f(3))＝f(f2(3)) 二、填空题 11．我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为________元(用含[x]或{x}代数式表示). 12．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分)为f(x)＝(A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是______________，______________． 13．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________． 14．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为 . 15．函数f(x)＝若f(a)<－3，则a的取值范围是 ． 三、解答题 16．已知函数f(x)＝. (1)求f(－)，f()的值； (2)作出函数的简图； (3)由简图指出函数的值域； 17．已知函数f(x)＝ (1)求f(f(f(5)))的值； (2)画出函数的图象． 18．如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动．设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)． (1)求△ABP的面积与P移动的路程的函数关系式； (2)作出函数的图象，并根据图象求f(x)的最大值． 19．已知函数f(x)＝若c＝0，则f(x)的值域是；若f(x)的值域是，求实数c的取值范围. 20．已知函数f(x)＝|x－2|(x＋1)． (1)作出函数f(x)的图象． (2)判断直线y＝a与y＝|x－2|(x＋1)的交点的个数． 课时作业19　分段函数 （答案） 一、选择题 1．设函数f(x)＝则f()＝(　　) A． B．4 C．3 D．－3 解析：依题意知f(2)＝22＋2－2＝4，则f()＝f()＝1－()2＝.故选A. 答案：A 2．函数f(x)＝x＋的图象是(　　) 　 A　　　　B　　 　　C　　　　D 解析：当x>0时，f(x)＝x＋＝x＋1，当x<0时，f(x)＝x－1，且x≠0，故选C. 答案：C 3．函数f(x)＝的值域是(　　) A．R B．[0，2]∪{3} C．[0，＋∞) D．[0，3] 解析：当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.综上可知f(x)的值域为[0，2]∪{3}． 答案：B 4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　　) A．13立方米 B．14立方米 C．18立方米 D．26立方米 解析：该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13. 答案：A 5．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则函数f(x)＝|x|sgn x的图象大致是(　　) 解析：由题意知f(x)＝则f(x)的图象为C中图象所示． 答案：C 6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为(　　) A．13立方米 B．14立方米 C．18立方米 D．26立方米 解析：设该单位职工每月应缴水费为y元，实际用水量为x立方米，则满足的关系式为y＝ 由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13. 故选A. 7．设函数f(x)＝若f(f())＝4，则b＝(　　) A．1 B. C. D. 解析：f(f())＝f(3×－b)＝f. 当－b<1，即b>时，3×－b＝4，解得b＝(舍)． 当－b≥1，即b≤时，2×＝4，解得b＝. 故选D. 8．设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，则f＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：若0<a<1，则a＋1>1，由f(a)＝f(a＋1)得＝2(a＋1－1)，∴a＝，∴f＝f(4)＝2×(4－1)＝6. 若a≥1，则a＋1≥2，由f(a)＝f(a＋1)得2(a－1)＝2(a＋1－1)，无解． 综上，f＝6.故选C. 9．(多选题)著名的Dirichlet函数D(x)＝ 则与D[D(x)]相等的有(　　) A．D(2) B．D(3) C．D() D．D(π) 解析：因为D(x)∈{0,1}，所以D(x)为有理数，所以D[D(x)]＝1.而D(2)＝D(3)＝1，D()＝D(π)＝0，所以A，B都符合．故选AB. 10．(多选题)设定义在R上的函数f(x)，对于给定的正数p，函数fp(x)＝则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”．关于函数f(x)＝x2－2x－1的“2界函数”，下列等式成立的是(　　) A．f2(f(0))＝f(f2(0)) B．f2(f(1))＝f(f2(1)) C．f2(f(2))＝f(f2(2)) D．f2(f(3))＝f(f2(3)) 解析：令x2－2x－1＝2，解得x＝－1或x＝3，根据“p界函数”的定义，有f2(x)＝所以f2[f(0)]＝f2(－1)＝2，f(f2(0))＝f(－1)＝2，故A选项中的等式成立； f2(f(1))＝f2(－2)＝2, f(f2(1))＝f(－2)＝7，故B选项中的等式不成立； f2(f(2))＝f2(－1)＝2，f(f2(2))＝f(－1)＝2，故C选项中的等式成立；f2(f(3))＝f2(2)＝－1，f(f2(3))＝f(2)＝－1，故D选项中的等式成立．故选ACD. 二、填空题 11．我们定义函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)为“下整函数”；定义y＝{x}({x}表示不小于x的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．若李刚停车时间为x小时，则李刚应付费为________元(用含[x]或{x}代数式表示). 解析：根据收费规则，不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推．故该停车场收费应使用“上整函数”表示较好， 所以当停车时间为x小时，应付费2{x}． 答案：2{x} 12．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分)为f(x)＝(A，c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是______________，______________． 解析：因为组装第A件产品用时15分钟， 所以＝15①.由题意知4＜A，且＝＝30②. 由①②解得c＝60，A＝16. 答案：60;　16 13．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________． 解析：在同一平面直角坐标系内，作出函数y＝2a与y＝|x－a|－1的大致图象，如图所示． 由题意，可知2a＝－1，则a＝－. 答案：－ 14．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为 . 解析：由题意得f(x)＝画出函数f(x)的图象(如图)得值域是(－∞，1]． 答案：(－∞，1]． 15．函数f(x)＝若f(a)<－3，则a的取值范围是 ． 解析：当a≤－2时，f(a)＝a<－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)； 当－2<a<4时，f(a)＝a＋1<－3，此时不等式无解； 当a≥4时，f(a)＝3a<－3，此时不等式无解． 故a的取值范围是(－∞，－3)． 答案：(－∞，－3)． 三、解答题 16．已知函数f(x)＝. (1)求f(－)，f()的值； (2)作出函数的简图； (3)由简图指出函数的值域； 解：(1)由f(x)＝， ∴f(－)＝(－)2＋2×(－)＝－， f()＝－()2＋2×＝. (2)简图如图所示： (3)简图可知函数的值域为[－1，1] 17．已知函数f(x)＝ (1)求f(f(f(5)))的值； (2)画出函数的图象． 解：(1)因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3. 因为－3<0.所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1. 因为0<1<4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.即f(f(f(5)))＝－1. (2)图象如图所示． 18．如图所示，在边长为4的正方形ABCD上有一点P，沿着折线BCDA由B点(起点)向A点(终点)移动．设P点移动的路程为x，△ABP的面积为y＝f(x)． (1)求△ABP的面积与P移动的路程的函数关系式； (2)作出函数的图象，并根据图象求f(x)的最大值． 解：(1)函数的定义域为(0,12)．当0<x≤4时，S＝f(x)＝×4×x＝2x；当4<x≤8时，S＝f(x)＝×4×4＝8；当8<x<12时，S＝f(x)＝×4×(12－x)＝24－2x. ∴函数解析式为f(x)＝ (2)图象如图所示．从图象可以看出 [f(x)]max＝8. 19．已知函数f(x)＝若c＝0，则f(x)的值域是；若f(x)的值域是，求实数c的取值范围. 解：若c＝0，当－2≤x≤0时，f(x)＝x2＋x＝2－，对称轴方程为x＝－，所以当x∈[－2，0]时，f(－2)为最大值，且为2，最小值为－；当0<x≤3时，f(x)＝随着x的增大而减小，故x∈(0,3]时，f(x)的最小值为f(3)＝，则f(x)∈.综上可得f(x)的值域为. 由函数y＝x2＋x的图象(图略)得当x∈[－2,1]时，函数f(x)的最小值为f＝－，最大值为f(－2)＝f(1)＝2，且当x≥1时，x2＋x的值随着x的增大而增大，则由题意可得c≤1.∵当c<x≤3(c>0)时，f(x)＝的值随着x的增大而减小，值域为，∴由题可得≤2，解得c≥.故实数c的取值范围为. 20．已知函数f(x)＝|x－2|(x＋1)． (1)作出函数f(x)的图象． (2)判断直线y＝a与y＝|x－2|(x＋1)的交点的个数． 解：(1)函数f(x)＝|x－2|(x＋1)， 去绝对值符号得f(x)＝ 可得f(x)的图象如图所示． (2)直线y＝a与y＝|x－2|(x＋1)的图象的交点的个数．作出图象如图： 由图象可知： 当a<0时，有一个交点；当a＝0时，有两个交点； 当0<a<时，有三个交点； 当a＝时，有两个交点；当a>时，有一个交点． 综上，当a<0或a>时，有一个交点； 当a＝0或a＝时，有两个交点； 当0<a<时，有三个交点． 学科网（北京）股份有限公司 $