第03讲1.4正方形的性质与判定暑假预习讲义同步训练 2026—2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦正方形性质与判定，通过基础概念辨析、中档图形计算、拔高综合探究三层设计，构建从单一知识点到跨情境应用的巩固路径，适配暑假预习对几何直观与推理能力的培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|核心概念与性质（判定条件、对角线特征）|以命题辨析（选择1、4）、简单面积计算（选择5）为主，强化对正方形与平行四边形、矩形、菱形关系的理解，培养抽象能力| |中档|性质综合应用（折叠、平移、中点模型）|结合图形变换（填空12折叠、选择3平移）、多中点关联（选择2），需综合运用全等与勾股定理，发展几何直观与运算能力| |拔高|动态探究与拓展（坐标系、多图关联、最值问题）|含多问递进式解答题（如15题三问从证明到面积计算）、动态最值探究（14题(3)），需构建数学模型，提升推理能力与创新意识|

第03讲1.4正方形的性质与判定暑假预习讲义同步训练 新北师大版2026一2027学年九年级数学上册 一、选择题 1.下列命题中，是真命题的是() A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,CD的中点，AF,DE相交于点M ,G为BC上一点，N为EG的中点.若BG=4,CG=1,则线段MN的长度为() B GC √17 √26 A.6 B.2 c.3 D.2 3.“方胜”是中国传统吉祥纹样和文化符号，源于古代妇女的一种头饰，其图案由两个全 等的正方形相叠组成，寓意是美好吉祥，如图，将边长为8cm的正方形ABCD沿对角线 BD的方向平移8cm得到正方形AB'CD',形成一个“方胜”图案，则B'D的长度为 () 8V2-8 A B.4V2 C.8-4V2 D 4.矩形、菱形、正方形都具有的性质是() A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线平分一组对角 5.如图，正方形ABCD的边长为2，则图中阴影部分的面积为() D A.2 B.4 C.6 D.8 6.如图，正方形的对角线AC与BD相交于点O,∠ACB的平分线分别交AB,BD于点 AM=22 M,N,若 BM ,则线段b的长为() D B A V2 B2 c.2-1 D.1 7.如图，点E,点F分别为正方形ABCD边BC,CD上的点，且BE=CF,连接AE, BF.过点F作FG⊥BD于点G,连接AG,EG.下列结论： ①∠BAE=∠CBF:②AE⊥BF:③AG=EG:④∠AGE=90° 其中正确的是( A D G B A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 8.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A,C分别在x轴，y轴上，点O是 D(0)是边0C上一点，点M,N都是轴上的动点，若点 (4,4) 坐标原点， MN=1(点M在点N的左侧)，则DM+MN+NB最小时，点M的坐标是() B(4,4) D. OMN A D. 二、填空题 9.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC=4,CE=2,H是AF 的中点，那么CH的长为.（保留根号） D B E 10.如图，正方形 ABCO AB,C2C... A4,“在直线 ，按如图所示方式放置，点， y=x+1 G,C,…在轴上.则点 上，点， 的坐标是 A B2 A /0C IL,如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F是DE的中点，过点F作GH⊥DE 分别交AB,DC于点G,H,连接EG.若AD=8,CH=3,则FG的长度为 A D H B 12.如图，折叠正方形ABCD的一边BC,使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于 点G.若DE=32,则CG的长是 三、解答题 13.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,EF⊥AD于点F,DG⊥AE 于点G,DG与EF交于点O, D G B E (1)求证：四边形ABEF是正方形： (2)若AD=AE,求证：AB=AG: (3)在(2)的条件下，己知AB=1,求DF的长. 14.在正方形ABCD中，E是AD边上的点，过C作CH⊥BE于点H,连接DH. A E A E D B C B 图1 图2 (I)如图1，若AB=4,∠ABE=30°，求BH的长； (2)如图1，若DH=DC,求证：点E是AD的中点： SADCH (3)如图2，若P为DH的中点，连接CP,当CP取最大值时，求S正方形BcD的值. 15.如图1，在正方形ABCD中，点E是DA延长线上一点，连接BE,过点B作BF⊥BE ,交边CD于点F,连接EF. E B B G H D C D D 图1 图2 图3 (I)求证：∠ABE=∠CBF: (2)如图2，连接AC交EF于点G,猜想线段AE,AG与CG的数量关系，并加以证明： (③)如图3，在(2)的条件下，连接BG并延长，交边AD于点H,当AH=3,DF=4时， 求△CFG的面积. 16.正方形ABCD中，E为射线AB上一点. D A G B B 图1 图2 图3 (I)如图1，F为对角线BD上一点，过点F作EF⊥AB于点E,连接AFCF,若AD=4, AE=3,那么CF= (2)如图2，E在AB延长线上，F为对角线BD上一点，连接EF、AF、CF、CE,若 EF=AF=3,求线段CE的长： (3)如图3，E、G分别为AB、AD的中点，连接DE和CG交于点Q,连接AQ,求证： E0+GO=240 17.如图，设点B为正方形AEFH外一点，且∠ABE=90°，连接BE并延长至点C使得 HC⊥BC,过点A作AD⊥HC于点D,点O是正方形AEFH的中心，连接CF,己知M N分别为线段CE、CF的中点. B E D 图1 图2 (1)证明：四边形ABCD为正方形： (2)求∠MN的大小： > (3)如图2所示，若正方形AEFH的边长为5，点O到直线CF的距离为2，求。DCE的面 积. I8.在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE. A G D A G D E E M F B F B 图① 图② 图③ 【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F,易证△ABF≌△BCE.(不需要证明) 【探究】如图②，取BE的中点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD于点G. (I)求证：BE=FG. (2)连结CM,若CM=1,则FG的长为 (3)【应用】如图③，取BE的中点M,连结CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G,连结 EG、MG.若CM=3,则四边形GMCE的面积为 参考答案 1.c 2.D 3.D 4.A 5.A 6.B 7.D 8.c 9.i0 10.(205-12025） 1.3V5 12.3 13.(1)证明：，矩形ABCD, .∠BAF=∠ABE=90° ,EF⊥AD, .四边形ABEF是矩形. ,AE平分∠BAD, ∴.EF=EB, ∴.四边形ABEF是正方形： (2)证明：，AE平分∠BAD ,∠DAG=∠BAE DG⊥AE ∴.∠AGD=∠ABE=909 在△AGD和△ABE中， ∠DAG=∠BAE ∠AGD=∠ABE AD=AE :△AGDABE(AAS) .'AB=AG: (3)解：由(1)知，四边形ABEF是正方形： .AB=BE=1. 由(2)知△AGD≌△ABE .DG=BE=AB=AG=1 AD-VAG+DG- :DF=4D-4F=-1 14.【详解】(1)解：，正方形ABCD .∠ABC=90°，BC=AB=4, .∠CBH=90°-∠ABE=60°， CH⊥BE, ∴.∠BHC=90° .∠BCH=90°-∠CBH=30° 1 1 .BH=2BC=)×4=2: 2 2 (2)证明：作DF⊥CH于点Q,交BC于点F,连接HF, E 则∠DQH=∠DQC=90° CH⊥BE, .BE∥DF, .DH DC, ∴.DF是线段CH的垂直平分线， .FH=FC. .∠FHC=∠FCH :∠FHC+∠FHB=∠FCH+∠HBC=90°， ∴.∠FHB=∠HBC, .FB=FH, .FB=FH=FC :ED∥BF,BE∥DF, ∴.四边形BFDE是平行四边形 ED=BF=BC-4D,即点E是AD的中点： (3)解：延长DC到点M,使CM=CD,取BC的中点N,连接HM,HN,NM, D D H ,P为DH的中点， .CP是△DHM的中位线， .CP-IM 设正方形ABCD的边长为2a, :CH⊥BE :HN=BN-NC-BC=d,MN-CNCM 5a :.HM≤HN+MN=(V5+1)a 当H、N、M共线时，HM有最大值(N5+P,此时CP取最大值，连接4M交BC于点 N', E D H M ·正方形ABCD ,AB∥CD,AB=CD=CM, .∠BAW'=∠CMN', ·∠BN'A=∠CW'M. :△BAW≌aCMN(AAS) .BN'=CN' 点N与点N重合，即AH、N、M共线， 作DG⊥AM于点G, :AD=2a,DM=4a,AM=14a+16a=2/5a 在AADM中，4MxDG号4DxDM, :0G=2x和45 25a5, 在aDW中，m-号MxG-5+e45.255+y 5 5 .CM=CD 1 55+1)a :S.DCH=S.DmM 2 5 5(5+1)a2 5 5+V5 S正方形ABCD 4a2 20 15.(1)证明：，BF⊥BE, ∴.∠EBF=90° :四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABC=90° ∠ABE+∠ABF=90°，∠CBF+∠ABF=90° .∠ABE=∠CBF; CG=2AE+AG 过点F作FH⊥FC交AC于点H, D 图2 ∴.∠HFC=90° :四边形ABCD是正方形， ∴.∠BCD=∠BAD=90°，∠ACB=∠DCA=∠DAC=∠BAC=45°，AB=BC ∴.∠BAE=∠BCF=90° 又，∠ABE=∠CBF 片△B1E≌△BCF(ASA) .AE=CF 在△HFC中，∠HFC+∠FCH+∠FHC=180 ∴.∠FHC=45°=∠FCH ∴.CF=FH .AE FH, :2D1C+∠AG=180,∠FHC+∠FHG=180 .∠EAG=∠FHG=135° 又：∠EGA=∠FGH :△EAG≌△FHG(AAS) ..AG=HG 在RtAHFC中，∠HFC=90 F+FC Hc .2Fc=HC2 ..HC=FC .CG=HC+HG CG=FC+HG-AE+AG (3)解：如图，过点F作FP⊥FC交AC于点P,过点G作GM⊥CD于点M,连接 HF,GD B G D 图3 △EAG≌△FPG,△BAE≌△BCF 由(2)可得， EG=FG,BF=BE,FC=AE 设FC=AE=a,则EH=a+3,DC=4+a :四边形ABCD是正方形， ∴.AD=CD=4+a .HD=AD-AH=4+a-3=a+1 EG-FG.F ∴.BG⊥EF ∴.BH垂直平分EF ∴.HF=EH=a+3 在Rt△HDF中，∠HDF=90° HD+DEH :.(a+1)°+42=(a+3 解得a=2 .FC=AE=2,AD=CD=6. ∴.DE=AE+AD=8 在RtAEDF中，∠EDF=9O° EG=GF DG-EF-GF .GM⊥DC ∴.DM=MF :GM-IDE=4 2 CSAc=)FCXGM=,×2×4=4 2 16.【详解】(1)解：在正方形ABCD中，AB=AD=4,∠ABD=45 AE=3, .BE=AB-AE=4-3=1, EF⊥AB,垂足为E, .∠BEF=90°， ∴.∠BFE=90°-∠EBF=45, ∴.EF=BE=1, :∠AEF=90° .AF=VAE2+EF2=32+12=V0 在△ADF和△CDF中， AD=DC ∠ADF=∠CDF=45° DF =DF ∴.AADF≌aCDF(SAS) ..CF=AF=10 (2)解：连接AC, 在正方形ABCD中，∠BAC=45°，即∠EAC=45° .∠EAF+∠CAF=45° 由(1)结论可得AF=CF, .EF AF=3. ∴AF=EF=CF=3」 ∴.∠EAF=∠AEF,∠FEC=∠FCE,∠CAF=∠ACF ∠BAC+∠AEC+∠ACE=180° ∴.∠EAF+∠CAF+∠AEF+∠FEC+∠ACF+∠FCE=I8O°」 ∴.2LAEF+2∠FAC+2∠FEC=180°，即∠AEF+∠FAC+∠FEC=90°， ∴.∠EAC+∠FEC=90°， ∴.∠FEC=90°-45°=45°，即∠FCE=45°， ∴.∠EFC-180°-∠FEC-∠FCE=90°， .EC=VEF2+CF2=V32+32=3√2 D F B 图2 (3)证明：在正方形ABCD中，AB=AD=DC,∠BAD=∠ADC=90° .E,G AB,AD 分别是 的中点， AE=EB=1AB,AG=DG=1AD 2 2 ∴.AE=DG, AE=DG ∠EAD=∠CDG 在 和 中， △ADE△DCG AD=DC :∴.△ADE≌△DCG(SAS) ∴.∠ADE=∠DCG」 在Rt△CDG中，∠DCG+∠DGC=90°， ∴，∠CGD+∠ADE=90° ∴△DGQ ∠FQT=∠GQD=90° 是直角三角形， 取BC,CD的中点M,H,连接AM,BH,AM交DE,BH于点F,S,BH交CG于点T,则 EB-AE-AB,DH-HC-DC, 1 :AB∥CD,AD∥BC .AG∥CM,AG=CM,DH∥EB,DH=EB 小四边形 AGCM,BEDH 是平行四边形， ∴.AM∥CG,DE∥BH ·四边形 STO 是平行四边形， :∠FQT=90° 四边形 STO 是矩形， ∴.∠AFE=∠QFS=90° DG=AE,∠DGC=∠AED,∠AFE=∠DQG=90° ∴.△AEF≌△DGQ(AAS) ∴EF=GQ AG=DG,AF∥GQ Dg_DG=1,即p0=0F' OF AG 60- .EF=AF 2 同理，AE=EB,DE∥BH,则AF=FS, 在RtAOFS中，∠QFS=90°， 令EF=G0=x,则D0=AF=2x 在RtAEF中，AE=VAF2+EF2=VF2+(2x=V5x :.AD=AB=2AE=2V5x 在R△ADF中，DF=AD-AF=25x-(2x=4x, ∴.FQ=DF-DQ=4x-2x=2x ..AF =FS=FO OFST 四边形 是正方形， 连接QS」 :∠AFE=90°，ED⊥AS ∴QS=Ag 在Rta0rS中，QS=V2rN=2x2x=22x .EO=EF+FO=x+2x=3x GO=x ∴.EQ+G0=3x+x=4x √20S=V2x2√2x=4x ∴.EQ+GQ=V2QS ∴.EQ+GQ=V2Ag A G D H M 17.(1)证明：四边形AEFH为正方形， AE=AH,∠EAH=90° :∠ABE=90°，HC⊥BC,AD⊥HC, ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°， .四边形ABCD是矩形 ∠EAH=∠EAD+∠DAH=90°，∠BAD=∠BAE+∠EAD=90° ∴∠BAE=∠DAH, 在△ABE和△ADH中： ∠ABE=∠ADH=90° ∠BAE=∠DAH AE=AH 、△ABE≌△ADH(AAS) .AB=AD. 四边形 ABCD EH,OC,OF 为正方形.(2)解：如图，连接 B M H :点O是正方形AEFH的中心， .E.O.H 三点共线，且0为H中 OE=OF,OE⊥OF 中点， ∠BCD=90° .0C-EH=OE=OF :∴.△OEC,△OCF 为等腰三角形， MN分别为线段CE、CF的中点， ∠M0c=50c,∠0c=Roc, :∠EOF=∠EOC+∠FOC=90° ∠MON=∠MOC+∠NOC=(∠EOC+∠FOC)=45 (3)解：如图，连接EH,OC,OF,过F作FG⊥BC,交BC延长线于G, B E D 由(2)得aOEC,A0CF为等腰三角形，∠MON=45, MN分别为线段CE、CF的中点， ∴.OM⊥CE,OW⊥CF .∠MCN=360°-∠MON-∠0MC-∠ONC=360°-45°-90°-90°=135°， .∠FCG=45° :∴△FCG为等腰直角三角形 点O到直线Cr的距离为，即ON=子 7 2 :正方形AEFH的边长为5， .0C-EH-H+EF+5-52 ..CN =OC2 -ON2 ..CF=2CN=1 在RtAFCG中，CG2+FG2=CF2,且CG=FG, .CG2=1 2,可 CG=FG=2 2, :∠AEB+∠FEG=180°-∠AEF=90°，∠AEB+∠EAB=90° ∴.∠EAB=∠FEG 在△ABE和△EGF中： [∠ABE=∠EGF=90° ∠EAB=∠FEG AE=EF 片△MBE≌aEGF(AAS) .AB=EG 设正方形ABCD的边长为x, 在RErG中，Ep=EG+FG,即5=r+ 2=32 2 ADcE的积5amCD-CE-方号Ex3v恒- 2 18.(I)证明：过点A作AN⊥BE交BC于点N. AG D M B NF C 图② 由【感知】同理可得△ABW≌△BCE, .AN=BE FG⊥BE, FG∥A, :正方形ABCD中，AD∥BC,即AG∥NF, .四边形AWFG是平行四边形， ∴.AN=FG ∴.BE=FG (2)解：正方形ABCD, .∠BCD=90°， BE的中点M,CM=1, .BE=2CM=2. 由(I)得BE=FG」 ..FG=BE=2; (3)解：：正方形ABCD, ∴.∠BCD=90° ,BE的中点M,CM=3, .'BE=2CM=6,EM=CM=3, ·CG⊥BE, 由【感知】同理可得△CDG≌△BCE, ∴.CG=BE=6, 如图，BE与CG交于点O, A D M B 图③ CGL BE :5sg5aia=Sae+Sar =1OG-ME+LOC.ME GME -1CG.ME-1x3x6-9 2