精品解析：甘肃临夏回族自治州广河县2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

2026年高一下学期学情检测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】利用向量加减法的运算法则，对原式分组化简得 . 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则满足条件的三角形有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 【答案】C 【解析】 【详解】由已知，，，可得， 因，可得满足条件的三角形有2个． 4. 若函数，当y最大时，自变量x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式，结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】由， 当y最大时，自变量x满足，. 故选：C 5. 已知一组数据：中的最小数据为9，且第75百分位数是14，则的不同取值可能有（ ） A. 8个 B. 6个 C. 4个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据数据中最小数据为，得到，再由百分位数的计算方法，求得，进而得到的可能取值的个数，即可求解. 【详解】因为数据中最小数据为，可得且， 将7个数据从小到大排序， 因为，则该组数据的第75百分位数为第6个数据，可得， 所以，则的可能取值有，共6个. 6. 海伦公式是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为：，它的特点是形式漂亮，便于记忆．已知周长为32的满足，则的面积为（ ） A. B. C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由及正弦定理，得． 因为的周长为32，即， 所以． 所以的面积． 7. 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（ ） A. 若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B. 估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C. 用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D. 估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 【答案】D 【解析】 【详解】设年月到该地旅游的游客总人数为． 由题意，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为， 其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为． 对于A，，解得，即一共调查的游客人数是人，故A正确； 对于B，估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的，故B正确； 对于C，设中年人应抽取人，依题意得，解得，即中年人应抽取人，故C正确； 对于D，因为年月到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以选择自助游的游客中青年人超过一半，故D错误． 8. 已知平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．若与的夹角为，则与夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为三个力平衡， 所以，所以． 所以， 设与夹角为，则． 因为，所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用二倍角公式和两角和差公式求解即可. 【详解】，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确； 故选：ABD 10. 有一组样本数据，其平均数为5，方差为，中位数为．在这组数中，去掉一个最大的数10和一个最小的数1，余下8个数据的中位数为，方差为，极差为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据平均数和方差的运算公式，结合中位数的定义、极差的运算公式逐一判断即可. 【详解】不妨设，则． 因为与的中位数都是， 所以，故A正确． 当时，，故B错误． ，故C错误． 由已知得． 因为，所以， 去掉一个最大的数10和一个最小的数1，余下8个数据的和为， 所以由 ， 所以余下8个数据的方差 所以，故D正确． 11. 已知为边长为2的等边三角形，为的中点，点为外一点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算、数量积等知识判断各选项． 【详解】对于A,，故A正确． 对于B，由A知，，则，故B错误． 对于C，由题意得，，则向量在向量方向上的投影向量为 ，故C正确． 对于D，因为，所以三点共线，且，所以． 又因为，所以． 因为，所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】 ## 【解析】 【详解】注意到 ，令 ，已知， 由二倍角公式，代入得. 13. 若向量，则与向量方向相同的单位向量的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，所以， 则与向量方向相同的单位向量的坐标为． 14. 如图，在平面四边形中，，，，，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，由正弦定理得，，两式相除即可求出. 【详解】设，在中，由正弦定理可得①， 由可得，则，， 在中，由正弦定理可得②， ①②两式相除，得，即， 整理得，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，. （1）求，的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合角的范围，利用同角三角函数关系求解即可； （2）利用正弦二倍角公式求解即可； （3）利用余弦二倍角公式、两角和的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 由， 所以. 16. 设是两个不共线的向量，． （1）若向量与向量共线，求的值； （2）若，且与的夹角为，则当为何值时，的值最小？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理，根据系数对应相等联立方程组即可求解； （2）先表示出向量模长的平方，结合向量数量积的运算公式，利用配方法转化为二次函数求最值问题即可求得. 【小问1详解】 因为向量与向量共线，则存在实数，使得， 所以解得． 【小问2详解】 因为，且与的夹角为， 所以 所以当时，取得最小值． 17. 近日，省足球青训中心建成投用，某校为了解学生对足球的热爱程度，随机抽取名学生对足球的“喜爱度”进行评分，将样本的成绩分成这五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计样本成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）求样本成绩的中位数（结果保留两位小数）； （3）已知落在内的平均成绩是分，方差是，落在内的平均成绩是分，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记两组数据总体的样本平均数为，则总体的样本方差． 【答案】（1） （2）分 （3）平均数，方差 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式求解即得； （2）先确定中位数所在的区间，然后根据频率分布直方图中中位数的求法，即可得答案； （3）根据条件，分别求出两组数据的样本容量，平均数和方差，代入公式，整理计算，即可得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图得，样本成绩的平均数为． 【小问2详解】 设中位数为．由，，所以， 所以，解得， 所以样本成绩的中位数为分． 【小问3详解】 第一组的样本容量， 第二组的样本容量， 所以合并后的平均数， 合并后的方差． 18. 在中，角的对边分别为，且 ． （1）求角的值； （2）若的面积为，内角的平分线交边于点，，求的长； （3）若为边上一点，满足，且，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角的正弦转化为边，得到边的关系式；再结合余弦定理，即可求出角的值； （2）先根据三角形面积公式和已知条件求出边的长度，再利用角平分线性质或三角形面积分割法，结合三角形面积公式建立关于的等式，进而求解的长； （3）根据，再结合向量将的长度与三角形的边、角建立联系，然后利用基本不等式，求出三角形面积的最大值. 【小问1详解】 ， 由正弦定理，得，即． 由余弦定理，得，所以． ，． 【小问2详解】 ，， 由，得． ，． 平分，． ， ； ． 【小问3详解】 ，，即，得 ． ， ，，即，解得 ，当且仅当时，即时等号成立． ， 即的面积最大值为． 19. 已知函数. （1）求函数的最小正周期与单调递增区间； （2）若方程在上的解为，，求. 【答案】（1）最小正周期，单调递增区间 （2） 【解析】 【分析】（1）根据倍角公式、降幂公式和辅助角公式化简，利用周期公式、单调性求解即可； （2）令，则函数变形为，，从而等价于，根据函数的图象与性质，可知与的两交点的横坐标，满足，则，求解即可. 【小问1详解】 由题意可知， ， 所以函数的最小正周期， 令， 得， 则函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 ，令，则， 所以，， 又因为时，图象关于对称，且， 时，图象关于对称，且， 所以等价于，， 设为与的两交点的横坐标，则， 因为方程在上的解为， 所以， 即，即， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一下学期学情检测 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则满足条件的三角形有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 4. 若函数，当y最大时，自变量x的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据：中的最小数据为9，且第75百分位数是14，则的不同取值可能有（ ） A. 8个 B. 6个 C. 4个 D. 1个 6. 海伦公式是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，表达式为：，它的特点是形式漂亮，便于记忆．已知周长为32的满足，则的面积为（ ） A. B. C. 16 D. 7. 随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（ ） A. 若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B. 估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C. 用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D. 估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 8. 已知平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．若与的夹角为，则与夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 有一组样本数据，其平均数为5，方差为，中位数为．在这组数中，去掉一个最大的数10和一个最小的数1，余下8个数据的中位数为，方差为，极差为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知为边长为2的等边三角形，为的中点，点为外一点，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则 ______． 13. 若向量，则与向量方向相同的单位向量的坐标为___________． 14. 如图，在平面四边形中，，，，，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，. （1）求，的值； （2）求的值； （3）求的值. 16. 设是两个不共线的向量，． （1）若向量与向量共线，求的值； （2）若，且与的夹角为，则当为何值时，的值最小？ 17. 近日，省足球青训中心建成投用，某校为了解学生对足球的热爱程度，随机抽取名学生对足球的“喜爱度”进行评分，将样本的成绩分成这五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计样本成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）求样本成绩的中位数（结果保留两位小数）； （3）已知落在内的平均成绩是分，方差是，落在内的平均成绩是分，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差． 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为，记两组数据总体的样本平均数为，则总体的样本方差． 18. 在中，角的对边分别为，且 ． （1）求角的值； （2）若的面积为，内角的平分线交边于点，，求的长； （3）若为边上一点，满足，且，求面积的最大值． 19. 已知函数. （1）求函数的最小正周期与单调递增区间； （2）若方程在上的解为，，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $