课时分层检测(18) 圆的一般方程-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（十八） 圆的一般方程 :9.如图，已知线段AB的中 …0 基础达标练0 点C的坐标是(4,3)，端 1.圆x2+y2+4x-6y-3=0的圆心和半径长 点A在圆(x十1)2+y2= 分别为 ( 4上运动，求线段AB的 A.(4,-6),16 B.(2,-3),4 端点B的轨迹方程. C.(-2,3),4 D.(2,-3),16 2.已知圆C:(x-a)2十(y-b)2=1过点A(1, 0),则圆C的圆心的轨迹是 ( A.点 B.直线 C.线段 D.圆 3.方程x2+y2+a.x-2ay十2a2+3a=0表示 的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆 心在 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.圆x2+y2-4x+2y+F=0与y轴交于A,B 两点，圆心为C,若∠ACB=5,则F的值为 !10.设△ABC的顶点坐标是A(0,a), B(-√3a,0),C(√3a,0),其中a>0,圆M A.-22B.2√2 C.3 D.-3 为△ABC的外接圆. 5.已知圆C:x2+y2十2.x-2my-4-4m=0 (1)求圆M的方程； (m∈R),则当圆的面积最小时，圆上的点到： (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？ 坐标原点的距离的最大值为 请说明理由. A.√5 B.6 C.5-1 D./5+1 6.若方程x2十y2十Dx+Ey十F=0表示以(2，： 一4)为圆心，4为半径的圆，则F的值为 7.若圆的方程为x2十y2十k.x+2y+2=0,则 当圆面积最大时，圆心坐标为 8.已知圆C:x2+y2+2x十ay-3=0(a为实 数)上任意一点关于直线l:x-y十2=0的对 称点都在圆C上，则圆心为 ,半径 为 145 班级 姓名 得分 5.已知圆C过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直 …0 能力提升练 0… 线1：2x-7y十8=0上. 1.(多选)已知圆C:x2+y2十Dx十Ey+3=0, (1)求圆C的方程； 圆心在直线x十y一1=0上，且圆心在第二 (2)P为圆C上的任意一点，定点Q(8,0),求 象限，半径为√2，则 线段PQ中点M的轨迹方程 A.D=2 B.D=-2 C.E=-4 D.E=4 2.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在 《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨： 迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点 距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或： 圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已 知直角坐标系中A(一2,0)，B(2,0),则满足 |PA|=2PB|的点P的轨迹的圆心为 ,面积为 3.过点P(-5,0)作直线(1+2m)x-(m十1)y -4m-3=0(m∈R)的垂线，垂足为M,已知 点N(3,11),则|MN的取值范围是 4.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4 上运动，以OM,ON为两边作□MONP,求 点P的轨迹方程. 146解得{：Q,0. 受，CA=CB,所以△ACB是等腰直角：能力提升练 = 点A(4,一3)，∴将军行走的最短路程为 角形.又周为C《2，D,点A,B在y轴1.AC[喝心C(-号.-号) 1AQ1-1=√(4-4)2+[4-(-3)]下-1： 上，易得AB=4,CB=2√2，所以5一F=! 图为圆心在直线x十y一1=0上， =7-1=6.故远C.] (2√2)2，解得F--3.] 所以 3.1十√2[√(x-1)2+(y-1)F的几何意5.D[由x2+y+2x-2my-4-4m=0得 D-g-1=0 2 (.x十1)2十(y一m)2=m2+4n十5，因此圆1 即D十E=-2,① 义是圆上的，点P(x,y)到，点A(1,1)的距 离，由于圆x2十y=1的圆心是O(0,0),1 心为C(一1，m),半径r=√m十4m十5= 又r=D+,E亚-2， 半径r=1,OA|=√J(1-0)2+(1一0) √/(n十2)2十1≥1，当且仅当m=-2时，1 所以D+E=20,② =√2，因此最大值为OA十r=√2十1.] 半径最小，则面积也最小，此时圆心为： 4,16π[设P（x,y),则由题意有 C(一1，一2)，半径r=1,因此圆心到坐标 由①②可得D=2, E=-4, (x十3)2十y21 (x-3)2+y2 =4,整理得2+y2+10x 原点的距离d=√(-1-0)+（一2一0）1 或D=-4, {E-2 =√>r,即原点在圆C外，所以圆上的点 十9=0，即(x+5)2十y2=16,所以点P 到坐标原，点的距离的最大值为d十r=51 又圆心在第二象限，所以-D<0,即D 2 在半径为4的圆上，故其面积为16π.] 十1.故远D. >0. 5.解设圆C的圆心坐标为(m,n),因为直线：6,4[因为方程x2+y十Dx十E十F=0 7 L的斜率k= 4,圈G:(x+3)+(y-1)2 表示以(2，一4)为圆心，4为半径的圆， 所以化24] rD+E-4>0, =4的圆心坐标为（一3,1），半径r=2,由对 D 2(90智[设点P(代入 1-1 m+3-7, =2, PA=2|PB|得√x+2)+y= 称性知 14×3,+m+8×1-31=0, 所以 E=一4 2√/(x-2)2十y2,整理得3.x2十3y2-20u 2 2 解得了m一4， D+一4亚=4， 十12=0.配方得x一3 0 n=5. 所以圆C的圆心坐标为(4,5)，半径r D=-4, =2, 解得E=8,所以F的值为4.] 以点P的轨莲的国心为（号）半径为 8 所以圆C。的标准方程为(x一4)2十(y一 (F=4, 5)2=4. 17.(0,-1) 将的方程配方得（十号）】 号国的面积为] ·3.[13-√10,13十wW10][由直线(1+ 6.解(1)线段AB的中点为(1,2)，直线 2)x-(n+1)y-4-3=0(n∈R)得m AB的斜率为1， ∴线段AB的垂直平分线的方程为y-2: +(+ 3k2+1,由2= (2x-y-4)+(x-y-3)=0, 4 =-(x-1),即y=-x十3. +1>0, 令{2xy40解得{ 1x-y-3=0, 1v=-2, 所以直 联主3，。解得任。3即圆 rmx=1,此时k=0.∴圆心为(0，-1).] 线过定点(1，一2)，设为Q.因为M为垂 1x+3y-15=0, 1y=6, 8.(-1,1)√5[由题意可得圆C的圆心： 足，所以△PQM为直角三角形，斜边为 心C为（一3,6），则半径r= PQ,所以M在以PQ为直径的圆上运动， √(-3+1)+6=2/10 ! (-1,-号)在直线x-y+2=0上，将 由点P(一5,0)可知以PQ为直径的圆的 ".圆C的方程为(x十3)2+(y一6)2=40. 圆心坐标为（一2，一1），设为C,半径r （-1，- 号)代入直线方程得-1- (2):AB=√/(3+1)2+4=4√2， -5-1)+(0+2y=√10，则MN1 .圆心C到AB的距离d=· (-受）+2=0，解得a=-2.故圆C的 的取值范固为CN|一r≤MN≤|CN √/(210)2-(22)2=4√2， 方程为x2十y2十2x-2y-3=0,即(x十1 r,又因为CN ∴，点P到AB的距离的最大值为d十r= 1)2+(y-1)2=5,因此圆心为(-1,1)，半1 √/(-2-3)2+(-1-11)=13， 4√2+2√10， 径为√5.] 所以MN的取值范图是[13一√10,13+ 一△PAB的面积的最大值为号X4反×9解设B点坐标是(，)，点A的坐标是 √10].] (xo,yo),由于点C的坐标是(4,3)且点C:4.解如图所示， (4√2+2/10)=16+8√5 是线段AB的中点，所以4=十工 ,3 课时分层检测（十八） 2 基础达标练 1.C[由x2十y2+4x-6y-3=0,得(x+ 2 2)2+(y-3)2=16,故圆心为(-2,3)，半 于是有x=8-x,y=6-y.① 径长为4.] 因为点A在圆(x十1)2十v2=4上运动， 2.D[圆C:(x-a)2+(y-b)2=1过点 所以(x0十1)严+听=4，② A(1,0), 把①代入②，得(8-x+1)”+(6-y)2= .(1-a)2+(0-b)2=1, 4,整理，得(x一9)2十（y一6)2=4.所以点！ -3-2-1 012x .(a-1)2+=1, B的轨迹方程为(x一9)”十(y-6)2=4. ∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1：10.解(1)设圆M的方程为x2十y2+Dx十 为半径的圆.故远D.] Ey十F=0.圆M过点A(0,a), 设P(x,y),N(w),则线段OP的中点 3.D「因为方程x2十V2+ax-2av+2a2+ B(-/3a,0),C(/3a,0), 3a=0表示的图形是圆，又方程可化为： a2十aE+F=0, 坐标为（受，），线段MN的中点坐标 十(y-a)2-- 3a-V3aD+F=0,解得D=0,E= (3a+√3aD+F-0, 圆心坐标为 3-a,F=-3a.∴圆M的方程为x2+y 因为平行四边形的对角线互相平分】 +(3-a)y-3a=0. 3a,由r>0,即-42-3>0，解得-4 (2)圆M的方程可化为(3十y)a-(x2十 2,-6+4 2 <a0,故该圆的圆心在第四象限，] +3y)=0.由3y=0, 4.D[将原方程2+y2-4x十2y十F=0化1 {x+y+3=0,解得 则=x+8即N(x+3,y一4). y=y-4, x=0,y=-3. 又点N在圆x2+y2=4上， 为(x-2)2+(y十1)2=5一F.因为∠ACB .圆M过定点(0，一3). 故(x+3)2十(y一4)2=4. 231 由于O,M,N共线时不能作□MONP, 当直线y一k(x一2)十4为圆的切线时，可！ 方程为3x-4y-13=0. 因此点P的轨远为圆，其轨迹方程为(x十 得圆心到直线的距离d=3一2 =2,解 若直线1的斜率不存在，则直线1的方程 3)2+(y-4)2=4, /k2+1 为x=3,符合题意.综上所述，所求直线1 的方程为x=3或3x-4y-13=0. 但应除去两点 号，)和(- 得k= 2:当直线y=(x一2)十4过点！能力提升练 B-2,0时-号是 1.B 曲线x √1一y含有限制条 5-0 由图象可知，当y=k(x一2)十4与曲线有！ 件，即x≥0，故曲线 5.解(1)直线AB的斜率k= 1-6 =-1, 两个不同文点时，是<k是，故选D] 并非表示整个单位 所以线段AB的垂直平分线m的斜率.B[切线长的最小值是当直线y十1 圆，仅仅是单位圆在 为1. y轴右侧（含与y轴 上的点与圆心距离最小时取得，易知圆心 的交点)的部分.在 线段AB的中点为（是·受） (3,0)到直线的距离d=3-0十1 同一平面直角坐标系中，画出y一x十b √2 与曲线x=√/1一y2(就是x2+y2=1,x 因此，直线m的方程为y一之 .5 =I 2’ 2√2，圆的半径r为1，所以切线长的最小 ≥0)的图象，如图所示，相切时，b=一√2， 即x一y-1=0.又圆心在直线1上，所以 值为J-r2=√8-1=√7.故选B.] 其他位置符合条件时需一1<b1.故 圆心是直线n与直线l的交点. 6.[1,十∞)[将直线kx十y十1=0化简 远B.] 联立方程组x一y1=0, 解得∫x=3, 为点斜式，可得y=一kx一1，∴.直线经过284十6元[以A为原 2x-7y+8=0, y=2, 定，点(0，一1)，且斜率为一k.直线1和！ 点，AD为x轴正方 所以圆心坐标为C(3,2).又半径r=CAi 圆C:x2十y2=恒有公共点，.r≥1，即 向建立平面直角坐 =√13， 半径r的取值范圆是[1，十∞).] 标系如图所示，则直 则所求圆的方程是(x一3)？+(y一2)2：7x十2y5=0[当弦长最短时，该弦所在！ 线AB的方程为：4z =13. 直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心 十3y=0,直线CD的 (2)设线段PQ的中点M(x,y),P(xo,· O(0,0),所以过，点P(1,2)的直径所在直} 方程为：3x-4y-105=0,直线EF的方程 线的针率=8 为：y=12,设圆心为O(a,b),则圆心到直 ), 2，故所求直线的斜率！ 线AB、直线CD、直线y=12的距离均相 Io+8 号，所以所求直线方程为y一2= 等且等于r,则r= 4a+3b 则) 2 为一 %+0 解得∫x=2x一8， lyo=2y, 2 =y, 1 (x-1),即x十2y-5=0.] 3a-4h-105=12-b,解得a=15,b 5 将P(2x一8,2y)代入圆C的方程中，得8.1,22[以水位未涨前 (2x-8-3)2+(2y-2)2=13,即线段PQ! =0,r=12,易得AB=30=9,CD1= 的水面AB的中点为 5 中点M的轨迹方程为工一 11Y 原点，建立平面直角坐 +(y 标系，如图所示，设圆 B 4(35一@-16，B配对应孤长为子国的网 A 5 拱所在圆的方程为x” 长，故该零件的截面的周长为9+16+24 十(y一b)2=r2,,圆经过点B(10,0), +35+2=84+6元.] 4 课时分层检测（十九） 基础达标练 C0,40{100+=2 (4-b)2=2, 3.[2十2√2，+∞)[因为m>0,>0,直线 1.B「圆(x一a)2+(v一3)2=(2√2)2的圆1 解得10.5圆的方程是2+(v (m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1) 心为(a,3),半径为2√2.若直线x一y十4 r=14.5, 十(y一1)2=1相切，所以圆心C(1,1)到 直线的距离为半径1， =0与圆(x-a)2十(y一3)2=(2√2)2相 十10.5)2=14.5(0≤y≤4)，令x=4.5, 得y≈3.28，故当水位暴涨1.5m后，船身！ 所以m十1+1十1-2 =1, 交，则a-3+4<22,解得-5<a<3, 至少应降低1.5-(3.28-3)=1.22(m), √(m+1)+(n+1) 2 船才能安全通过桥洞.] 所以“a<3”是“直线y=x十4与圆(.x- 即m十n=√/(m十1)2十(n十1)2.两边 :9.解(1)直线1可变形为y-1=n(x-1), a)2十(y一3)2=8相交”的必要不充分 平方并整理得mn=m十n十1.由基本不等 因此直线1过定点D(1,1),又 条件.] /12+(1-1)2=1√/5， 式mm≤m十”） 2.AD[圆(x十a)2+y2=a2的圆心C(-a, 2 可得n十n十1 所以点D在圆C内，则直线L与圆C必 0),半径为r=a.圆心C到直线a.x-y 相交 ,即(m十n)一4(m十n)-4≥0， 十a=0的距离d=-a2+a ,不妨设d<· (2)由题意知m≠0，所以直线1的斜率k一 2 a2+1 m,又k-tan120°--√3，即n=-√3.此， 解得m十≥2十2√2.当且仅当n=n时等 ,即二a+a<a.化简为1一a< 时，圆心C(0,1)到直线1：w5x十y-√5-1 号成立. w/a2+1 4.解远条件①. =0的距离d= a2十1.即1-2a十a2<a2+1.所以2a> √(3)+12 ,又图c √ (1)设线段AB的垂直平分线为m,则圆心 C在直线m上且在直线l上，即C是n与 0.当a>0时，上式恒成立，即dr成立， 的半径r=√5，所以AB引=2√P-平= 1的交，点，易得直线AB的斜率是一1， 直线与圆相交，又直线y=a.x十a的斜率 ∴，直线n的斜率是1，又线段AB的中点 和裁距均大于零，故A正确，B不正确；当 a0时，上式不成立，则d>r成立，直线 25- 3\ 2 =17. 为（ 与圆相离，又直线的斜率和裁距均小于 10.解(1)易求得AB的中，点为(1,0)，且： 零，故C不正确，D正确.故选A、D.] ∴直线m:x-y-1=0, kAB=-1, 3.B由题意知所求圆的半径r= .线段AB的中垂线方程为x-y一1！ 由经7解得2： (y=2, 3十2X0=5,故所求圆的方程为(x =0. ∴.圆心C(3,2)且CA=√13， /1+2 由10，得圆心C的坐标为 3)2十y2=3.故选B.] 12.x-y-2=0, .所求圆的方程是(x一3)2十(y一2) =13. 4.D [曲线y=1十 (1,0), A V/4-x2可化为x2十(y ∴.半径CA=2√2，故圆C的标准方程 2 (2):A在圆C上，kc=-子过点A -1)2=4(y≥1)，所以 为(x-1)2+yw2=8. 2 (2)当∠MCV=90°时，圆心C到直线1i 的切线斜单为是，“过点A的切线方程 y=1+W4-x2表示以 (0,1)为圆心，2为半径 -2-1012x 的距离为2.若直线1的斜率存在，则设 直线l:y+1=k(x一3)，即k.x一y一3k 3(x-6) 的圆的上半部分，直线 是y= 1=0,∴.圆心C(1,0)到直线1的距离d= y=(x-2)十4恒过定点(2,4)，设为A, 即3.x-2y-18=0. 可得图象如图所示， 2二=2，解得k=子直线1的 选条件②. k2+1 (1)设所求圆的方程为(x一a)2十(y一b)2 232