2.3.3　点到直线的距离公式 同步练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 分层设计科学，从基础公式应用到综合几何问题，梯度合理，助力知识巩固与数学思维发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|点到直线距离公式直接应用、平行直线距离、动点距离最值|单选、多选结合解答题，如第5题通过点到直线距离求最值，强化运算能力与推理意识| |综合运用|三角形面积与距离综合、曲线动点距离、直线交点距离|如12题结合三角形面积求点坐标，体现模型意识与应用能力| |拓展提高|参数方程距离、重心性质与面积综合|15题用三角函数参数求距离范围，16题探究面积平分存在性，发展创新意识与逻辑推理|

2.3.3　点到直线的距离公式 一、基础巩固 1.点(1,2)到直线y=2x+1的距离为(　　) A. B. C. D.2 2.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于(　　) A. B.-1 C.+1 D.2- 3.若直线l平行于直线3x+y-2=0且原点到直线l的距离为,则直线l的方程是(　　) A.3x+y±10=0 B.3x+y±=0 C.x-3y±10=0 D.x-3y±=0 4.(多选)已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于(　　) A.- B.- C. D. 5.已知点M(1,2),点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是(　　) A. B. C. D.3 6.(多选)直线l过点B(3,3),若A(1,2)到直线l的距离为2,则直线l的方程可以为(　　) A.3x+4y-21=0 B.4x+3y-21=0 C.x=3 D.y=3 7.点P(2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d,则d的最大值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.7 8.点P(-1,1)到直线l:4x=3的距离是　　　　.  9.倾斜角为60°,且与原点的距离是5的直线的方程为　　　　.  10.已知直线l1:mx+y=4-3m,l2:2x+(m-1)y=-m,则原点O到l1距离的最大值是　　　　;若l1∥l2,则m=　　　　.  11.求经过两直线l1:x-3y-4=0与l2:4x+3y-6=0的交点,且与点A(-3,1)的距离为5的直线l的方程. 二、综合运用 12.(多选)已知在△ABC中,A(3,2),B(-1,5),点C在直线3x-y+3=0上.若△ABC的面积为10,则点C的坐标可以为(　　) A.(-1,0) B. C.(1,6) D. 13.在平面直角坐标系Oxy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是　　　　.  14.已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点, (1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程; (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值. 三、拓展提高 15.点P(cos θ,sin θ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为　　　　.  16.已知△ABC的重心G(1,1),B,C在直线x-y-2=0上运动,且BC=3. (1)求S△ABC; (2)点B是否存在一个位置,使得△ABC的面积被x轴平分,若存在,求出点B的坐标;若不存在,说明理由. 2.3.3　点到直线的距离公式 一、基础巩固 1.点(1,2)到直线y=2x+1的距离为(　　) A. B. C. D.2 答案　A 解析　直线化为2x-y+1=0, d===. 2.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于(　　) A. B.-1 C.+1 D.2- 答案　B 解析　由点到直线的距离公式, 得1=,即|a+1|=, 因为a>0,所以a=-1. 3.若直线l平行于直线3x+y-2=0且原点到直线l的距离为,则直线l的方程是(　　) A.3x+y±10=0 B.3x+y±=0 C.x-3y±10=0 D.x-3y±=0 答案　A 解析　设与直线3x+y-2=0平行的直线方程为3x+y+m=0(m≠-2), 由原点到直线l的距离为,得=,则m=±10, 所以直线l的方程是3x+y±10=0. 4.(多选)已知点A(-3,-4),B(6,3)到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值等于(　　) A.- B.- C. D. 答案　AB 解析　由点到直线的距离公式可得=, 化简得|3a+3|=|6a+4|, 解得a=-或-. 5.已知点M(1,2),点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是(　　) A. B. C. D.3 答案　B 解析　点M到直线2x+y-1=0的距离,即为|MP|的最小值, 所以|MP|的最小值为=. 6.(多选)直线l过点B(3,3),若A(1,2)到直线l的距离为2,则直线l的方程可以为(　　) A.3x+4y-21=0 B.4x+3y-21=0 C.x=3 D.y=3 答案　AC 解析　当直线 l的斜率不存在时,直线l的方程为x=3满足条件. 直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-3=k(x-3),即kx-y+3-3k=0. 由题意可得=2,解得k=-, 所以直线l的方程为3x+4y-21=0. 综上,可得直线l的方程为x=3或3x+4y-21=0. 7.点P(2,3)到直线l:ax+y-2a=0的距离为d,则d的最大值为(　　) A.3 B.4 C.5 D.7 答案　A 解析　直线方程可变形为y=-a(x-2),据此可知直线恒过定点M(2,0), 当直线l⊥PM时,d有最大值,结合两点间的距离公式可得d的最大值为 =3. 8.点P(-1,1)到直线l:4x=3的距离是　　　　.  答案　 解析　点P(-1,1)到直线l的距离d==. 9.倾斜角为60°,且与原点的距离是5的直线的方程为　　　　.  答案　x-y+10=0或 x-y-10=0 解析　因为直线斜率为tan 60°=, 所以可设直线方程为y=x+b, 化为一般式得x-y+b=0. 由直线与原点的距离为5, 得=5,即|b|=10, 所以b=±10. 所以直线方程为x-y+10=0或x-y-10=0. 10.已知直线l1:mx+y=4-3m,l2:2x+(m-1)y=-m,则原点O到l1距离的最大值是　　　　;若l1∥l2,则m=　　　　.  答案　5　-1 解析　直线l1:mx+y=4-3m过定点A(-3,4),原点到l1距离的最大值即为点A到原点的距离, 则|AO|==5. 当m=1时,l1:y=-x+1, l2:x=-,l1与l2不平行; 当m≠1时,l1:y=-mx+4-3m, l2:y=x-, ∵l1∥l2, ∴解得m=-1. 11.求经过两直线l1:x-3y-4=0与l2:4x+3y-6=0的交点,且与点A(-3,1)的距离为5的直线l的方程. 解　法一　由 解得即直线l过点B. ①当l与x轴垂直时,方程为x=2, 点A(-3,1)到l的距离d=|-3-2|=5,满足题意. ②当l与x 轴不垂直时,设斜率为k, 则l的方程为y+=k(x-2), 即kx-y-2k-=0, 由点A(-3,1)到l的距离为5,得=5, 解得k=, ∴l的方程为x-y--=0, 即4x-3y-10=0. 综上,所求直线l的方程为x=2或4x-3y-10=0. 法二　设l的方程为4x+3y-6+λ(x-3y-4)=0,即(4+λ)x+(3-3λ)y-(6+4λ)=0. ∵点A(-3,1)到l的距离为5, ∴=5,解得λ=或1. ∴直线l的方程为x=2或4x-3y-10=0. 二、综合运用 12.(多选)已知在△ABC中,A(3,2),B(-1,5),点C在直线3x-y+3=0上.若△ABC的面积为10,则点C的坐标可以为(　　) A.(-1,0) B. C.(1,6) D. 答案　AB 解析　由|AB|=5,△ABC的面积为10, 得点C到直线AB的距离为4. 设C(x,3x+3),利用点到直线的距离公式可求得x=-1或x=. 故点C的坐标为(-1,0)或. 13.在平面直角坐标系Oxy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是　　　　.  答案　4 解析　设P,x>0, 则点P到直线x+y=0的距离 d==≥=4, 当且仅当2x=, 即x=时取等号, 故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4. 14.已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点, (1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程; (2)求点A(5,0)到l的距离的最大值. 解　(1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x+y-5)+λ(x-2y)=0, 即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0, ∵点A(5,0)到l的距离为3, ∴=3. 即2λ2-5λ+2=0,∴λ=2,或λ=, ∴l的方程为x=2或4x-3y-5=0. (2)由解得 所以交点P的坐标为(2,1),如图, 过P作任一直线l,设d为点A到l的距离, 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立). ∴dmax=|PA|=. 三、拓展提高 15.点P(cos θ,sin θ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为　　　　.  答案　 解析　点P到直线的距离为 d==, 其中sin φ=,cos φ=, 由三角函数的性质易知, 5sin(θ+φ)-12∈[-17,-7], 故d的取值范围为. 16.已知△ABC的重心G(1,1),B,C在直线x-y-2=0上运动,且BC=3. (1)求S△ABC; (2)点B是否存在一个位置,使得△ABC的面积被x轴平分,若存在,求出点B的坐标;若不存在,说明理由. 解　(1)G到直线x-y-2=0的距离为 =, 由重心的性质可知,G到直线x-y-2=0的距离为A到直线x-y-2=0的距离的, 所以三角形BC边上的高为3, 故S△ABC=×3×3=9. (2)假设存在B满足条件, 设B(a,a-2)(a-2<0),C(3+a,1+a), A(x,y),且△ABC的重心为G(1,1), 则 即 所以kAB==-=1-, 故AB所在直线的方程为 y-a+2=(x-a), 令y=0,解得x=0, 直线AB与x轴的交点M(0,0), 直线x-y-2=0与x轴的交点N(2,0), |MN|=2, S△BMN=|MN|·(2-a)=×2×(2-a) =2-a=,即a=-, 所以B, 这时A在x轴上方,满足题意, 即存在B满足条件. 学科网（北京）股份有限公司 $