2.5.1直线与圆的位置关系同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与圆的位置关系，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到实际建模的知识进阶，培养几何直观与运算推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|直线与圆位置关系判断、圆的方程|单选题2直接判断位置关系，填空题10-11强化圆的方程与切线求法，夯实概念理解| |能力提升|弦长计算、切线长、轨迹问题|单选题3-5结合垂径定理与切线长公式，多选题8-9综合直线过定点与阿波罗尼斯圆，提升推理运算能力| |综合应用|距离最值、实际情境建模|解答题15以储备基地为背景，用坐标法求最短距离，体现数学建模与应用意识|

2.5.1 直线与圆的位置关系 同步练习 （附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题 1．如果实数满足等式，那么的最小值是（     ） A． B． C． D． 2．直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 3．已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 4．长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．点为直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（   ） A． B．2 C．2 D．4 6．一束光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径的长度是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．设点P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知直线与圆，则下列说法正确的是（   ） A．直线恒过定点（2，1） B．圆的半径为2 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．若，则直线被圆截得的弦长为2 9．阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的有（    ） A．曲线的方程为 B．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 三、填空题 10．若方程为圆的方程，则的值为______. 11．过原点且与圆相切的直线的方程为_____. 12．已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 13．过点且斜率为的直线与圆：交于，两点，若，则______. 四、解答题 14．在平面直角坐标系中，，，直线过原点O，且与直线平行，圆C是的外接圆. (1)求直线l的方程和圆C的方程； (2)P是圆C上的动点，求P到直线距离的最大值. 15．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地（如图），它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走是储备基地的边界上的点A，接着向东再走到达公路上的点B；从基地中心O向正北走到达公路上的另一点C．现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，用坐标法求线段DE的最短距离． 16．已知点，，线段AB是圆的一条直径. (1)求圆的标准方程； (2)判断点与圆的位置关系，并说明理由； (3)点是圆上任意一点，求点到直线的最大距离. 《2.5. 1直线与圆的位置关系同步练习（附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A C A A C AB 题号 9 答案 AD 1．D 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】将其看作为过原点的直线的斜率，数形结合进行求解. 【详解】中，解得， 由题意可得设过原点的直线的斜率为，即直线方程为， 同一坐标系内画出草图， 由图可得当直线与圆相切时，斜率最小或最大，圆心为，半径为， 则，解得或， 所以的最小值是. 2．A 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【详解】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径. 由可知，直线与圆相离. 3．A 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】利用垂径定理的弦长公式建立圆心到直线距离的方程，再结合点到直线的距离公式求解实数的值. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 4．C 【知识点】轨迹问题——圆、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】确定线段的中点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，结合圆的几何性质即可求得答案. 【详解】设，由题意可得：， 设的中点坐标为，则，，所以，即， 即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 圆心到直线的距离为：， 所以线段的中点到直线距离的最大值为， 故选：C 5．A 【知识点】过圆外一点的圆的切线方程、切线长 【分析】当圆心与点的距离最小时，切线长最小，则四边形的面积最小，此时是点到已知直线的垂线段. 然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再结合弦长公式和面积公式进行计算即可． 【详解】由圆方程知圆心为，半径为1， 因为为圆的切线，所以，   ，要使得最小，只要最小， 由切线长公式知，只要最小． 当时，，此时， 所以的最小值是， 故选：A 6．A 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】求出点的对称点，数形结合得到所求最短路径为到圆上一点的最小值，求出答案. 【详解】关于的对称点设为， 则，解得，故， 光线从点出发，经直线反射到圆上的最短路径 为到圆上一点的最小值， 的圆心为，半径， 连接，则即为最小值， 即. 7．C 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以点P到直线的距离的最小值为. 8．AB 【知识点】直线过定点问题、由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系 【分析】对于选项A，将直线方程变形为点斜式可判断；对于选项B，将圆的方程化为标准式可判断；对于选项C，通过判断直线所过定点与圆的关系可判断；对于选项D，时，直线过圆心，可判断直线被圆截得的弦长. 【详解】对于选项A，由直线，得，故直线恒过定点，故A选项正确； 对于选项B，由，得，所以圆的半径为，故B选项正确； 对于选项C，将点代入圆的方程，得， 所以（2，1）在圆内， 所以直线与圆相交，故不存在实数，使得直线与圆相切，故C选项错误； 对于选项D，若，直线方程为，圆心（1，2）在直线上，故直线被圆截得的弦长为直径4，故D选项错误． 故选：AB 9．AD 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）、由直线与圆的位置关系求参数、切线长 【分析】设，由点满足，求得曲线的轨迹方程为，结合圆的性质，直线与圆的位置关系和圆的切线长公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设，因为，且点满足， 可得，即， 可得， 整理得，即曲线的方程为，所以A正确； 对于B，由曲线的方程为，可得其圆心，半径为， 设过点的直线的斜率为，则其直线方程为，即， 若直线与圆有公共点，则满足圆心到直线的距离小于等于半径，即， 可得，解得，即直线的斜率范围是，所以B错误； 对于C，由圆心到直线的距离为， 则曲线上的点到直线的最小距离为，所以C不正确； 对于D，由圆心到点的距离为， 根据圆的切线长公式，可得切线长为，所以D正确. 10．1 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】根据圆的方程的形式，得，再代入验证求解. 【详解】若方程表示圆，则，即， 当时，方程，即，为圆的方程，成立， 当时，方程，即，不是圆的方程，故舍去， 所以 11． 【知识点】过圆上一点的圆的切线方程 【分析】由圆的方程确定圆心和半径，设切线为，应用点线距离公式列方程求参数值，即可得. 【详解】由圆的圆心，半径为， 若过原点且斜率不存在，则，此时圆心到其距离为，显然不满足， 所以切线斜率存在，令过原点的切线为，则， 所以，整理得， 所以，即. 故答案为： 12． 【知识点】求平面两点间的距离、由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围） 【详解】圆的标准方程为， 则圆心为，半径， 又圆心到点A的距离，所以点A在圆外， 则的最大值为，的最小值为， 则的取值范围为 13．/ 【知识点】由向量共线（平行）求参数、直线与圆相交的性质——韦达定理及应用 【分析】设出直线的方程与圆的方程联立，利用一元二次方程根与系数关系、平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】设直线的方程为， 则有， 显然点在：内部， 所以过点的直线与圆：一定交于两点， 设，则有， 因为， 所以， 于是有，或舍去， 故答案为：    14．(1)， (2) 【知识点】由两条直线平行求方程、求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】（1）先求出，进而可求出直线的方程，然后确定为圆C的直径，进而可求出圆C的方程. （2）根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）易知，依题知，直线的方程为. 是直角三角形，圆C是的外接圆，所以为圆C的直径， ∴圆心C为，半径为， ∴圆C的方程为. （2）由（1）知直线l的方程为 ∴圆心C到直线l的距离， ∴P到直线l距离的最大值为. 15． 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、坐标法的应用——直线与圆的位置关系 【分析】本题中动点是定圆上一点，是定直线上一动点，求两动点距离的最小值，则三点共线是最短，且转化为定点到定直线的距离求解. 【详解】以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则圆O的方程为， ，，所以直线BC的方程为，即．当点D是与直线BC平行的直线（距BC较近的一条）和圆O相切所成的切点时，最小，此时的最小值为， 即DE的最短距离为． 16．(1) (2)圆外 (3) 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、判断点与圆的位置关系、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】（1）由直径的两个端点，求出圆心和半径即可； （2）直接代入点的坐标，再将其与1比较大小即可； （3）先判断直线与圆的位置关系，再通过位置关系，求出圆上任意一点到直线距离的最大. 【详解】（1）∵，，线段为圆的直径， ∴圆心为线段的中点，圆心坐标为， ∴圆的半径， ∴圆的标准方程为：. （2），故点在圆外. （3）圆心到直线的距离， ∴圆与直线相离， ∴圆上任意一点到直线的距离的最大值为， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $