2.5.1 直线与圆的位置关系-同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与圆的切线问题，按过圆上点、圆外点、切线长、切点弦、求参数五题型分层，从基础应用到综合探究，强化几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |过圆上点切线|切线方程基础求法|选择+填空，直接应用公式，巩固概念| |过圆外点切线|切线方程分类讨论|含斜率存在与不存在情况，培养分类思维| |切线长|切线长计算与最值|结合点到直线距离，提升运算能力| |切点弦|切点弦方程及应用|综合切线性质，发展模型观念| |已知切线求参数|参数求解与综合应用|解答题含多问，强化逻辑推理|

2.5.1 直线与圆的位置关系 题型一 过圆上一点的圆的切线方程 1．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知点，，动点满足，动点的轨迹为曲线，为直线上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的方程 B．过作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 C．若点是上一点，则的最大值为 D．若点是上一点，则的最大值为 3．过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 4．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 题型二 过圆外一点的圆的切线方程 5．设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 6．已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（     ） A． B． C． D．当面积最大时，的方程为 7．已知圆，则过点且与圆相切的直线方程为______. 8．已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 题型三 切线长 9．已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 10．已知圆：和直线：，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是（   ） A．圆心到直线的距离为 B．切线长的最小值为3 C．四边形PACB面积的最小值为 D．当最小时，弦所在的直线斜率为1 11．已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______. 12．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆相切，一个切点为，求切线长； (3)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 题型四 切点弦及其方程 13．过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（    ） A． B． C． D． 14．已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为5 B．若圆上存在点，使得，则的取值范围为 C．四边形的面积最小时，直线的方程为 D．若，则的最大值为 15．过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 16．如图，已知圆，是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、． (1)若轴，求四边形的面积； (2)若直线、与轴分别交于点、，证明：为定值； (3)求线段的中点的轨迹方程． 题型五 已知切线求参数 17．若圆与直线只有一个公共点，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 18．已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．若直线与圆相切，则 D．圆上的点到直线的最大距离为7 19．若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则___________． 20．已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.5.1 直线与圆的位置关系 题型一 过圆上一点的圆的切线方程 1．圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 2．已知点，，动点满足，动点的轨迹为曲线，为直线上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的方程 B．过作的两条切线，切点分别为，则直线过定点 C．若点是上一点，则的最大值为 D．若点是上一点，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】由，即可整理得到曲线的方程，判断A选项；设点H坐标为，由此写出切线方程，然后求得直线的定点，判断B选项；令，由直线与曲线相切时有最值，由圆心到直线的距离建立方程解得最值，判断C选项；构造向量，，当直线与圆相切时，最小，由向量的数量积求得的最大值， 判断D选项. 【详解】对于A，因为，所以，整理得，故A正确； 对于B，因为H为直线上一点，设点H坐标为， 则直线MN的方程为，整理得， 令，解得，所以直线MN过定点，故B正确；    对于C，令，对于直线，与C相切时有最值，此时圆心到直线的距离，解得或，所以的最大值为，故C错误；      对于D，，表示点到点的距离，取，，， 则， 当直线与圆相切时，与的夹角最小， 此时在中，，，， 所以，， 所以，故D正确.    故选：ABD. 3．过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【答案】 【分析】先验证点在圆上，进而求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程并整理． 【详解】将点代入圆的方程左侧，与右侧相等， 所以点在圆上， 由圆的标准方程，得圆心的坐标为， ，所以切线斜率为1， 所以过点的切线方程为，即． 4．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用圆心与切点的连线垂直于切线，通过斜率关系求出圆心坐标，再计算半径得到圆的标准方程。 （2）分斜率存在与不存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径，求出过定点的圆的切线方程 【详解】（1）设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. （2）当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心到直线的距离为，等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离为得，，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. 题型二 过圆外一点的圆的切线方程 5．设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 6．已知圆，，．圆过坐标原点，，，成等比数列，直线与圆相切，与圆交于，两点，过作圆的切线，为切点，若，则（     ） A． B． C． D．当面积最大时，的方程为 【答案】ACD 【分析】先利用圆过原点、等比数列和弦长公式求出三个圆的半径，再借助直角三角形等面积法求出垂线段长，最后结合定点到圆切线的距离最值，即可确定三角形面积最大时的切线方程. 【详解】对于A：过坐标原点，所以，则，故A正确； 对于B：，，成等比数列，所以 ①， 设直线到的距离为，因为直线与圆相切，所以， 又因为直线与圆相交，弦长，所以 ②， 将②代入①得：，解得，所以，故B错误； 对于C：是的切线，为切点，故，又因为， ，则，在中，， 根据等面积法：，即， 所以，故C正确； 对于D：，其中为到的距离，因为为定值，故最大时，面积最大. 当时，达到最大值为， 因为，所以， 所以设的方程为，即， 因为与相切，所以，解得或， 如图可得，所以的方程为，故D正确. 7．已知圆，则过点且与圆相切的直线方程为______. 【答案】或 【分析】分析可知切线的斜率存在，设切线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径可得出关于的方程，解之可得出切线的方程. 【详解】圆的标准方程为，该圆圆心为，半径为， 因为，即点在圆外， 若切线的斜率不存在时，此时切线方程为，则圆心到该直线的距离为，不符合题意； 所以切线的斜率存在，设切线的方程为，即， 由题意可得，整理可得，解得或， 故所求切线的方程为或，即或. 8．已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 【答案】(1)或； (2)相交； 【详解】（1）圆，圆心为，半径为. 由，点在圆外. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，即直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 此时圆心到直线的距离，解得， 直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）直线与圆相交，理由如下： 圆心，， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相交. 直线被圆所截得的弦长. 题型三 切线长 9．已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用切线长公式计算. 【详解】由题意知，，半径， 则. 故选：A 10．已知圆：和直线：，点在直线上运动，直线、分别与圆相切于点，，则下列说法正确的是（   ） A．圆心到直线的距离为 B．切线长的最小值为3 C．四边形PACB面积的最小值为 D．当最小时，弦所在的直线斜率为1 【答案】ACD 【分析】本题先根据点到直线距离公式验证圆心到直线的距离，再利用切线长公式计算切线长的最小值，接着结合四边形面积与切线长的关系求面积最小值，最后依据两圆公共弦与连心线的垂直关系判断弦的斜率，逐一分析各选项得出结论． 【详解】 对于A，如图,圆：的圆心为，半径为2， 由题意可得，， 所以， 圆心到直线的距离为，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，， 所以四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，当最小时，，为以为直径的圆与圆的交线，，即平行于直线，所以斜率为1，D正确． 11．已知圆心为C的圆经过，，且圆心C在直线上，过点作圆C的一条切线，则切线长为_______. 【答案】 【详解】设圆心坐标为：，圆的半径为，圆的方程为：， 因为圆过，，且圆心在直线上， 联立方程： ，解得：， 所以圆的方程为：， 则， 所以切线长为. 12．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点． (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆相切，一个切点为，求切线长； (3)已知过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3)直线的方程为：或 【分析】（1）根据题意先求圆心，再求半径，利用圆的标准方程即可求解； （2）由，利用两点间距离公式求，再利用勾股定理即可求解； （3）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论即可求解. 【详解】（1）由题意得：圆与轴相切于点，所以圆心在直线， 所以，解得，所以，所以半径为， 所以圆的方程为； （2）由题意有：，又， 所以， 所以， 所以切线长为； （3）由已知有：当直线斜率不存在时，直线的方程为， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为，满足题意， 当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，即， 由圆心到直线的距离为， 由直线被圆截得的弦长为， 解得，即，解得， 所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为：或. 题型四 切点弦及其方程 13．过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，先利用两圆方程相减得到直线PQ的方程，再利用直线PQ过点求得t的值，进而得到直线PQ的方程. 【详解】圆C：的圆心为， 设，则以为直径的圆的方程为 与圆C的方程两式相减可得直线PQ的方程为 因为直线PQ过点，所以，解得． 所以直线PQ的方程为，即． 故选：C． 14．已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为5 B．若圆上存在点，使得，则的取值范围为 C．四边形的面积最小时，直线的方程为 D．若，则的最大值为 【答案】BD 【分析】由勾股定理表示出即可判断A；由余弦定理及根的判别式即可判断B；得出，即可判断C；求得点坐标，得出的轨迹方程为圆，即可求解的最大值． 【详解】对于A，圆的圆心为，半径， 点在轴上，过作圆的切线，切线长， 其中，故， 当时，取得最小值，故A错误； 对于B，圆上存在点使得， 所以，所以，故，又， 所以， 故，故B正确； 对于C，四边形的面积， 当时面积最小，此时， 切点弦的方程为，与选项中不符，故C错误； 对于D，直线的方程为， 当时，直线的方程为，此时，， 当时，直线的方程为， 联立得交点的坐标：， 消去参数得的轨迹方程为圆：， 圆心为半径，点到的距离为， 故的最大值为，故D正确； 故选：BD． 15．过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 【答案】 【分析】根据切线的性质易判断，，，四点共圆，且圆心为中点，半径为，进而可以求出新的圆的方程，直线即为公共弦所在的直线，方程即为两个圆方程的差，代入计算即可. 【详解】由题意知，圆心为，半径，点在圆外面， 由切线的性质定理可知，，，即， 所以点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径， 设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径， 所以圆的方程为， 因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差， 即，化简得， 所以直线的方程为. 16．如图，已知圆，是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、． (1)若轴，求四边形的面积； (2)若直线、与轴分别交于点、，证明：为定值； (3)求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明出，分析可知，求出、，即可得出，结合三角形的面积公式可得出答案； （2）设，求出直线的方程，利用直线与圆相切可得出，同理有，进而可知、是方程的两个实根，结合韦达定理可证得结论成立； （3）分析可知点、在以为直径的圆上，求出该圆的方程，将该圆方程与圆的方程作差，可得出直线的方程，可求出直线所过定点的坐标，分析可知，点在以为直径的圆上，又可知线段为该圆的直径，即可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）当轴时，不妨设、，如图所示： 所以，，且， 连接，由切线长定理可得，，，故， 则． （2）设，因为， 所以直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以， 整理得，同理有， 所以、是方程的两个实根， 所以，， 所以为定值． （3）由题知，， 所以点、在以为直径的圆上， 由、得该圆的方程为， 将与相减，得直线的方程为． 取，得，所以直线过定点， 又因为为的中点，所以，即， 所以点在以为直径的圆上，该圆的方程为． 又不可能是圆的直径，所以点不可能与原点重合， 所以点的轨迹方程为，即． 题型五 已知切线求参数 17．若圆与直线只有一个公共点，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件可知直线是已知圆的切线，由点到直线距离公式求解即得. 【详解】因圆与直线只有一个公共点， 则直线与圆切线，圆心到该直线距离为半径1， 即，而，则有， 所以的值为2. 故选：C 18．已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．若直线与圆相切，则 D．圆上的点到直线的最大距离为7 【答案】ABD 【分析】化简直线为，可判断A正确；利用圆的弦长公式，可判断B正确；由圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，求得的值，可判断C不正确；求得圆心到直线的距离的最大值，结合圆的性质，可判断D正确. 【详解】对于A，由直线，可得， 可得直线恒过定点，所以A正确； 对于B，由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到轴的距离，所以弦长为，所以B正确； 对于C，若直线与圆相切，则满足，即， 解得，所以C不正确； 对于D，由圆的圆心为，直线恒过定点，可得， 当直线与垂直时，此时圆心到直线的距离取得最大值，最大值为， 又因为圆的半径为，所以圆上的点到直线的最大距离为，所以D正确. 故选：ABD. 19．若光线通过点，经轴反射，其反射光线通过点且与圆相切，则___________． 【答案】 【分析】求得反射光线的方程为，再利用直线与相切时，求解即可. 【详解】如图： 点关于轴的对称点为， 直线的方程为，即， 由题意可知，反射光线即为直线， 则直线与圆相切， 且圆心为，半径为1， 可得，解得． 故答案为： 20．已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)或； (2)四边形面积的最小值为， 【分析】（1）设出圆心坐标，利用半径相等得到方程，求出，进而确定圆心和半径，得到圆的方程； （2）由对称性可知，四边形的面积，且当最小时，切线长最短，由点到直线距离公式得到的最小值，从而求出最小值，从而求出面积的最小值，并根据垂直关系求出直线方程为，联立求出点的坐标. 【详解】（1）圆心C在直线上，不妨设圆心C的坐标为， 则，解得， 故半径为， 故圆C的方程为； 由已知得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或. （2）当时，直线l的方程为， 如图，圆的半径为，即，其中， 由对称性可知，四边形的面积. 由勾股定理得，故当最小时，切线长最短， 显然当时，，所以， 四边形的面积的最小值， 直线的斜率为，由垂直关系可知此时， 又，故直线方程为，即， 联立与得，即.    学科网（北京）股份有限公司 $