2.4 练习1　圆的标准方程 课时练 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 圆的标准方程同步练分层设计科学，从基础概念辨析到综合应用拓展梯度清晰，适配新授课知识巩固与数学思维培养，体现从具体到抽象的认知路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|圆心坐标、半径求解、点与圆位置关系|单选直接考查圆的标准方程要素，如第1题圆心坐标辨析，夯实概念理解| |中档|对称圆方程、直径圆方程、多点共圆|多选结合几何性质，如第8题对称点在圆上的圆方程求解，培养推理能力| |拔高|圆的最值问题、外接圆方程、几何证明|解答题综合应用，如第16题证明梯形并求过四点的圆方程，发展模型观念与应用意识|

2.4 练习1　圆的标准方程 1.  (2025高二上·浙江期末) 圆C : 的圆心坐标为( 　) A. (1,2) B. (1, -2) C. (-1, -2) D. (-1,2) 2. 若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是( 　) A. (x－2)2＋(y＋1)2＝1 B. (x－2)2＋(y－1)2＝1 C. (x－1)2＋(y＋2)2＝1 D. (x＋1)2＋(y－2)2＝1 3. (2025高二上·东莞月考) 已知点A(1,1)，B(5,3)，则以线段AB为直径的圆的方程为(　　) A．(x - 2)² + (y - 3)² = 5 B．(x - 2)² + (y - 3)² = 1 C．(x - 3)² + (y - 2)² = 5 D．(x - 3)² + (y - 2)² = 1 4. 已知a，b是方程x2－x＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是( 　) A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定 5.  (2025·海淀模拟) 圆心为(-1,2)且与x轴相切的圆的方程是  (　　) A. (x - 1)² + (y + 2)² = 2 B. (x + 1)² + (y - 2)² = 2 C. (x - 1)² + (y + 2)² = 4 D. (x + 1)² + (y - 2)² = 4 6. 已知直线：与直线：相交于点，若点始终在圆内，则的取值范围为 (　　) A.  B.  C.  D.  7.  (2025高二上·黔西南期中) 已知圆心为C的圆经过A(1, -5)， B(0,2)两点，且点C在直线x - y + 1 = 0上，则此圆的标准方程为(　　) A．(x - 3)² + (y - 4)² = 25 B．(x + 3)² + (y - 2)² = 25 C．(x - 1)² + (y - 2)² = 25 D．(x + 3)² + (y + 2)² = 25 8. (多选)若圆上的点(2，1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是( 　) A. x2＋y2＝5 B. (x－1)2＋y2＝5 C. x2＋(y＋1)2＝5 D. (x－1)2＋(y＋1)2＝5 9. (多选)过点A(1，－1)与点B(－1，1)，且半径为2的圆的标准方程可能为( 　) A. (x－3)2＋(y＋1)2＝4 B. (x－1)2＋(y－1)2＝4 C. (x＋1)2＋(y＋1)2＝4 D. (x＋3)2＋(y－1)2＝4 10. 与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共圆心，且过点P(－1，1)的圆的标准方程是 .  11. 与圆有相同圆心，且过点的圆的标准方程是　 .　  12. 已知x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝1，则x2＋y2的最小值是 .  13. (2025高二上·福田期中) 已知圆C经过(2,0)，(0,2)两点，且圆心C在直线x - 2y + 2 = 0上. (1) 求圆C的方程; (2) 点(x, y)在圆C上，求x² + y²的取值范围; 14. (2024·安徽淮北高二联考)在△ABC中，A(0，1)，B(4，－1)，C(2，1). (1)求边AB的垂直平分线的方程； (2)求△ABC的外接圆的方程. 15. (多选) 已知圆，，则(　　) A．当时，的面积是 B．实数的取值范围是 C．点在内 D．当的周长最大时，圆心坐标是 16. 已知点A(－1，－3)，B(0，0)，C(1，1)，D(4，2). (1)证明：AD∥BC，并且四边形ABCD是等腰梯形； (2)若☉M过点A，B，C，D，求☉M的标准方程. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 练习1　圆的标准方程 1.  (2025高二上·浙江期末) 圆C : 的圆心坐标为( D 　) A. (1,2) B. (1, -2) C. (-1, -2) D. (-1,2) 【解析】 圆C : 的标准方程为，则圆心坐标为. 2. 若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是(　A　) A. (x－2)2＋(y＋1)2＝1 B. (x－2)2＋(y－1)2＝1 C. (x－1)2＋(y＋2)2＝1 D. (x＋1)2＋(y－2)2＝1 【解析】 由两圆关于原点对称可知圆C的圆心为(2，－1)，半径为1，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 3. (2025高二上·东莞月考) 已知点A(1,1)，B(5,3)，则以线段AB为直径的圆的方程为(　B　) A．(x - 2)² + (y - 3)² = 5 B．(x - 2)² + (y - 3)² = 1 C．(x - 3)² + (y - 2)² = 5 D．(x - 3)² + (y - 2)² = 1 【解析】 因为AB为直径，所以圆心为(3,2) ，半径为，所以圆的方程为(x - 3)² + (y - 2)² = 5 ，故答案为：C 4. 已知a，b是方程x2－x＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　A　) A. 点P在圆内 B. 点P在圆上 C. 点P在圆外 D. 无法确定 【解析】 ∵a，b是方程x2－x＝0的两个不相等的实数根，∴∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2＜8，由此可知，点P(a，b)在圆C：x2＋y2＝8内. 5.  (2025·海淀模拟) 圆心为(-1,2)且与x轴相切的圆的方程是  (　D　) A. (x - 1)² + (y + 2)² = 2 B. (x + 1)² + (y - 2)² = 2 C. (x - 1)² + (y + 2)² = 4 D. (x + 1)² + (y - 2)² = 4 【解析】 因为圆心为(-1,2)且与x轴相切，所以半径r = 2 ，则圆的方程为(x + 1)² + (y - 2)² = 4. 故答案为：D. 6. 已知直线：与直线：相交于点，若点始终在圆内，则的取值范围为 (　D　) A.  B.  C.  D.  【解析】 因为：恒过定点，直线：恒过，且两直线互相垂直，因此在以为直径的圆上运动，所以，点的轨迹为(去除点)，又因为点始终在圆内，因此内含于，所以，两圆的圆心距，解得.故答案为：D.. 7.  (2025高二上·黔西南期中) 已知圆心为C的圆经过A(1, -5)， B(0,2)两点，且点C在直线x - y + 1 = 0上，则此圆的标准方程为(　D　) A．(x - 3)² + (y - 4)² = 25 B．(x + 3)² + (y - 2)² = 25 C．(x - 1)² + (y - 2)² = 25 D．(x + 3)² + (y + 2)² = 25 【解析】设圆C的方程为 (x - a)² + (y - b)² = r²(r > 0) ，由题意可知， ，解得 ，所以圆的标准方程为 (x + 3)² + (y + 2)² = 25．故选：D. 8. (多选)若圆上的点(2，1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是(　AD　) A. x2＋y2＝5 B. (x－1)2＋y2＝5 C. x2＋(y＋1)2＝5 D. (x－1)2＋(y＋1)2＝5 【解析】 ∵圆上的点(2，1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，∴圆心在直线x＋y＝0上.设圆心坐标为(a，－a)，则由(2－a)2＋(1＋a)2＝5，解得a＝0，或a＝1，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5，或x2＋y2＝5. 9. (多选)过点A(1，－1)与点B(－1，1)，且半径为2的圆的标准方程可能为(　BC　) A. (x－3)2＋(y＋1)2＝4 B. (x－1)2＋(y－1)2＝4 C. (x＋1)2＋(y＋1)2＝4 D. (x＋3)2＋(y－1)2＝4 【解析】 连接AB，∵圆过点A(1，－1)与点B(－1，1)，∴圆心在线段AB的垂直平分线上，kAB＝＝－1.设圆心所在的直线为l，则kAB·kl＝－1，解得kl＝1.∵线段AB的中点坐标为(0，0)，∴直线l的方程为y＝x.设圆心坐标为(m，m)，∵半径为2，∴圆的方程为(x－m)2＋(y－m)2＝4，将点A(1，－1)的坐标代入，得(1－m)2＋(－1－m)2＝4，解得m＝±1.综上，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，或(x＋1)2＋(y＋1)2＝4. 10. 与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共圆心，且过点P(－1，1)的圆的标准方程是　(x－2)2＋(y＋3)2＝25　.  【解析】 圆心为(2，－3)，设所求圆的半径为r，则r2＝(－1－2)2＋(1＋3)2＝25，∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 11. 与圆有相同圆心，且过点的圆的标准方程是　　.　  【解析】 圆的标准方程为 ，则圆心，因为圆过点,半径，则圆的标准方程为．故答案为：．. 12. 已知x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝1，则x2＋y2的最小值是　3－2　.  【解析】 圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(1，1)，半径r＝1，x2＋y2表示圆M上的点与原点O(0，0)间的距离的平方.连接OM，可得|OM|＝，则x2＋y2的最小值是(|OM|－r)2＝(1)2＝3－2. 13. (2025高二上·福田期中) 已知圆C经过(2,0)，(0,2)两点，且圆心C在直线x - 2y + 2 = 0上. (1) 求圆C的方程; (2) 点(x, y)在圆C上，求x² + y²的取值范围; 解： (1) 由题意，可设圆C的圆心为C(2b - 2,b)， ∵圆C经过(2,0)，(0,2)两点， ∴， 解得b = 2， ∴C(2,2)，圆C的半径为r = ， ∴圆C的方程为. (2) ∵x² + y²表示圆上点到原点(0,0)距离的平方， 所以原点到圆心的距离d = ， ∴原点到圆上点的距离范围为[d - r,d + r]， 则. 14. (2024·安徽淮北高二联考)在△ABC中，A(0，1)，B(4，－1)，C(2，1). (1)求边AB的垂直平分线的方程； (2)求△ABC的外接圆的方程. 解： (1)设边AB的中点为E，则E(2，0)，∵A(0，1)，B(4，－1)，∴kAB＝，∴边AB的垂直平分线的斜率为2，∴边AB的垂直平分线的方程为y＝2(x－2)，整理得2x－y－4＝0. (2)∵A(0，1)，C(2，1)，∴边AC的垂直平分线的方程为x＝1.由解得∴△ABC的外接圆的圆心为(1，－2)，∴外接圆的半径r＝，∴△ABC的外接圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝10. 15. (多选) 已知圆，，则(　AB　) A．当时，的面积是 B．实数的取值范围是 C．点在内 D．当的周长最大时，圆心坐标是 【解析】将圆化为标准方程： 选项A：当时，圆的方程为，半径.根据圆的面积公式，可得面积，该选项正确. 选项B：因为圆存在，所以半径的平方.解不等式，移项得，即，解得，该选项正确. 选项C：圆的圆心为，半径.点到圆心的距离. 当时，，，此时点在圆上，并非圆内，该选项错误. 选项D：圆的周长，周长最大时半径最大.由，当时，最大为，此时圆心坐标为，并非，该选项错误. 故答案为：AB.. 16. 已知点A(－1，－3)，B(0，0)，C(1，1)，D(4，2). (1)证明：AD∥BC，并且四边形ABCD是等腰梯形； 证明： 由已知A(－1，－3)，D(4，2)，有kAD＝＝1，B(0，0)，C(1，1)有kBC＝＝1，∴kAD＝kBC，∴AD∥BC，|AD|＝＝5，|BC|＝， |AB|＝，|CD|＝， ∴|AD|≠|BC|，|AB|＝|CD|，综上，四边形ABCD是等腰梯形. (2)若☉M过点A，B，C，D，求☉M的标准方程. 解： 设圆心M(a，b)，半径为r，则☉M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由已知条件知圆心在线段AD的垂直平分线l上， 直线l过AD中点，且斜率kl·kAD＝－1，∴kl＝－1，∴直线l方程为y，即y＝－x＋1，点M(a，b)在直线l上满足a＋b＝1①，且|MC|＝|MD|，即，解得3a＋b＝9②，联立①②有解得 半径r＝|MC|＝＝5， ∴☉M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 学科网（北京）股份有限公司 $