2.4.1圆的标准方程同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学圆的标准方程新授课同步练习，通过基础巩固、综合应用、实际拓展三层设计，覆盖概念理解到问题解决，培养数学抽象、推理能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|圆的标准方程概念（圆心、半径）、直接应用（求方程、对称轴）|单选3直接考查圆心半径，填空10-12强化方程构建，夯实数学眼光中的抽象能力| |中档|多点求圆、距离与圆的综合|多选8结合点到直线距离，填空13三角形外接圆，提升数学思维的推理能力| |提升|实际情境应用（拱桥）、轨迹方程|解答15动点轨迹，16正方形外接圆，体现数学语言的应用意识与模型观念|

2.4.1 圆的标准方程 同步练习（附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若直线是圆的一条对称轴，则（   ） A．1 B． C． D． 2．已知 ，则以线段为直径的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知圆的方程为，则圆的圆心、半径分别为（   ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 4．过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 6．过三点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 7．某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（   ） A．7.5m B．8.5m C．7m D．8m 二、多选题 8．点在单位圆上运动.记点到直线的距离为，到直线的距离为.则下列说法正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．满足的点有且仅有2个 D． 9．已知圆经过点和，且圆被轴，轴截得的弦长相等，则圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 11．以为圆心，且与直线相切的圆的标准方程为______. 12．若直线是圆的一条对称轴，则______________． 13．已知点，，，则的外接圆的标准方程为_________． 四、解答题 14．已知两点，直线． (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若圆C的圆心在直线上，且两点在圆C上，求圆C的方程． 15．已知平面直角坐标系中定点，，O为坐标原点．动点M满足，记M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)求线段AM中点P的轨迹方程． 16．如图所示，已知为正方形的中心，且直线的方程为． (1)求点G到直线的距离； (2)求正方形外接圆的标准方程． 《2.4.1 圆的标准方程 同步练习 （附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A B D D C ABD 题号 9 答案 BC 1．B 【详解】由题意可知圆的圆心为， 因为圆的对称轴必过圆心，所以，解得. 2．B 【详解】圆的圆心是，半径是． 故圆的方程为． 3．A 【分析】根据圆的标准方程确定圆的圆心和半径. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心的坐标为，半径. 故选：A 4．B 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 5．D 【分析】根据直径端点的坐标可得圆心和半径，进而可求圆的方程. 【详解】由题意得圆M的圆心坐标为，，所以圆M的方程为. 6．D 【分析】待定系数法求出圆的方程. 【详解】设圆方程为， 则， 解得， 所以圆的方程为． 故选：D． 7．C 【分析】利用待定系数法来求圆的方程，再通过坐标运算求高度即可. 【详解】 以为原点，建立平面直角坐标系，如图所示． 设该圆弧所在圆为圆． 将，的坐标代入圆的方程，得得 所以圆．当时，得或． 由图可知，支柱的高度为7m． 故选：C 8．ABD 【分析】利用点到直线的距离公式、圆的定义结合基本不等式判定各选项即可. 【详解】设，则. 点到直线的距离为，点到直线的距离为. 对于A，.故A正确. 对于B，由于，且， 所以. 因此.当且仅当时取等，故B正确. 对于C，若，则. 平方得，化简得. 单位圆上满足的点有（1，0），（-1，0），（0，1），（0，-1），共4个，故C错误. 对于D，由，得.故D正确. 9．BC 【分析】设圆心为，由题意列出相应方程，求出圆心坐标和半径，即得答案. 【详解】设圆心为，由题意可得，且， 解得或 则，即圆方程为或, 故选：BC 10． 【分析】先计算圆心到点的距离得到圆的半径，再代入圆的标准公式即可求解. 【详解】根据两点间距离公式： ， 所以所求圆的标准方程为. 11． 【分析】由点到直线的距离求出圆的半径即可得解. 【详解】由题可得所求圆的半径为点到直线的距离， 则. 所以圆的标准方程为. 故答案为： 12．2 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上， 即，解得． 13． 【分析】对于本题，我们先求出线段的垂直平分线方程，然后联立求出圆心坐标，再根据圆心到顶点的距离求出半径，最后写出外接圆的标准方程. 【详解】对于和，中点坐标为. 再求线段的斜率. 那么垂直平分线的斜率为（因为两条垂直直线的斜率乘积为）. 利用点斜式，可得线段垂直平分线方程为，即.   线段的中点坐标为. 线段在轴上，其垂直平分线为.   联立，把代入， 得，解得. 所以圆心坐标为.   根据两点间距离公式，圆心到的距离就是半径. .   根据圆的标准方程，可得.   则的外接圆的标准方程为. 故答案为：. 14．(1) (2) 【分析】（1）根据垂直关系可得斜率，根据点斜式即可求解直线方程， （2）根据两点距离公式列方程求解,即可求解. 【详解】（1）直线l斜率为3，斜率为，且过， 直线的方程为，即； （2）设圆心， 由得，解得， 故圆心的坐标为，半径， 圆的方程为． 15．(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立方程化简即可得解； （2）利用中点公式表示的坐标，代入曲线的方程求解即可. 【详解】（1）设，由，， 可得， 两边同时平方，整理可得， 即， 故曲线C的方程是； （2）设， 因为，所以由中点坐标公式可得， 将点M坐标代入 得到，化简可得， 即点P的轨迹方程为. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用点到直线的距离公式计算即可； （2）利用正方形的性质得出其外接圆半径计算即可. 【详解】（1）由题意可知到的距离为； （2）由上可知该正方形的边长为，所以, 由正方形的性质可知其外接圆圆心为其中心G，半径为， 所以其外接圆标准方程为：. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $