2.5.2　圆与圆的位置关系 同步练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 分层递进设计，覆盖圆与圆位置关系全知识点，从基础判断到实际应用，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|位置关系判断、公共弦方程、圆心距计算|单选与填空结合，直接应用定义公式，夯实概念理解| |综合运用|公共弦性质、相切条件综合|多选与解答题，融合圆与直线关系，发展逻辑推理| |拓展提高|实际测量、公切线探究|情境化问题（内圆弧半径测量），培养应用意识与创新思维|

2.5.2　圆与圆的位置关系 一、基础巩固 1.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为(　　) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 2.圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是(　　) A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0 3.过两圆x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y-4=0的交点的直线的方程是(　　) A.x+y+2=0 B.x+y-2=0 C.5x+3y-2=0 D.不存在 4.已知点A(1,0),B(1,6),圆C:x2+y2-10x-12y+m=0,若在圆C上存在唯一的点P使∠APB=90°,则m等于(　　) A.-3或3 B.57 C.-3或57 D.3或57 5.(多选)下列圆中与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0相切的是(　　) A.(x+2)2+(y+2)2=9 B.(x-2)2+(y+2)2=9 C.(x-2)2+(y-2)2=25 D.(x-2)2+(y+2)2=49 6.我们把圆心在一条直线上,且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”.在如图所示的“串圆”中,圆C1和圆C3的方程分别为x2+y2=1和(x-4)2+(y-2)2=1,若直线ax+2by-2=0(a,b>0)始终平分圆C2的周长,则a+b=(　　) A. B.1 C. D.2 7.在平面直角坐标系中,点A(0,1)和点B(4,5)到直线l的距离分别为1和2,则符合条件的直线l的条数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 8.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m等于　　　　.  9.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2,则a=　　　　.   10.圆C1:x2+y2-2mx+m2-4=0与圆C2:x2+y2+2x-4my+4m2-8=0相交,则实数m的取值范围是　　　　.  11.已知两圆C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0. (1)当a为何值时,两圆外切? (2)当a=1时,试判断两圆的位置关系. 二、综合运用 12.(多选)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则有(　　) A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0 B.线段AB中垂线的方程为x+y-1=0 C.公共弦AB的长为 D.P为圆O1上一动点,则P到直线AB距离的最大值为+1 13.已知圆O:x2+y2=9与圆C:x2+y2-4x-6y+9=0交于A,B两点,则直线AB的方程为　　　　;△ABC的面积为　　　　.  14.已知两圆C1:x2+y2=4,C2:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0),直线l:x+2y=0. (1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时,求r的值; (2)当r=1时,求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程. 三、拓展提高 15.为测量一工件的内圆弧AB对应的半径R,工人将三个半径均为10 mm的圆柱形量棒O1,O2,O3放在与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h=6 mm(如图所示),则R=　　　　 mm.  16.已知圆C的圆心在直线l:2x-y=0上,且与直线l1:x-y+1=0相切. (1)若圆C与圆x2+y2-2x-4y-76=0外切,试求圆C的半径; (2)满足已知条件的圆显然不止一个,但它们都与直线l1相切,我们称l1是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线?若有,求出公切线的方程;若没有,说明理由. 2.5.2　圆与圆的位置关系 一、基础巩固 1.圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为(　　) A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 答案　B 解析　圆心距d==.由于3-2<d<2+3.故选B. 2.圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A,B两点,则AB的垂直平分线的方程是(　　) A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0 答案　C 解析　AB的垂直平分线过两圆的圆心(2,-3)和(3,0),则方程为3x-y-9=0. 3.过两圆x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y-4=0的交点的直线的方程是(　　) A.x+y+2=0 B.x+y-2=0 C.5x+3y-2=0 D.不存在 答案　A 解析　由 由①-②得x+y+2=0. 经检验此时相交,符合. 4.已知点A(1,0),B(1,6),圆C:x2+y2-10x-12y+m=0,若在圆C上存在唯一的点P使∠APB=90°,则m等于(　　) A.-3或3 B.57 C.-3或57 D.3或57 答案　C 解析　由题意得,只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点,即两圆相切. 因为A(1,0),B(1,6), 所以以AB为直径的圆M的方程为(x-1)2+(y-3)2=9, 圆C:(x-5)2+(y-6)2=61-m. 因为两圆相切, 所以|CM|=|3±|, 即5=|3±|, 解得m=57或m=-3. 5.(多选)下列圆中与圆C:x2+y2+2x-4y+1=0相切的是(　　) A.(x+2)2+(y+2)2=9 B.(x-2)2+(y+2)2=9 C.(x-2)2+(y-2)2=25 D.(x-2)2+(y+2)2=49 答案　BCD 解析　由圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,可知圆心C的坐标为(-1,2),半径r=2. A中,圆心C1(-2,-2),半径r1=3. ∵|C1C|=∈(r1-r,r1+r), ∴两圆相交, B中,圆心C2(2,-2),半径r2=3, ∵|C2C|=5=r+r2, ∴两圆外切,满足条件; C中,圆心C3(2,2),半径r3=5, ∵|C3C|=3=r3-r,∴两圆内切; D中,圆心C4(2,-2),半径r4=7, ∵|C4C|=5=r4-r,∴两圆内切. 6.我们把圆心在一条直线上,且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”.在如图所示的“串圆”中,圆C1和圆C3的方程分别为x2+y2=1和(x-4)2+(y-2)2=1,若直线ax+2by-2=0(a,b>0)始终平分圆C2的周长,则a+b=(　　) A. B.1 C. D.2 答案　B 解析　若直线ax+2by-2=0(a,b>0)始终平分圆C2的周长,则该直线经过圆C2的圆心, 由圆外切的关系知C2为线段C1C3的中点,圆C1的圆心坐标为(0,0),圆C3的圆心坐标为(4,2), 所以圆C2的圆心坐标为(2,1),可得a+b=1. 7.在平面直角坐标系中,点A(0,1)和点B(4,5)到直线l的距离分别为1和2,则符合条件的直线l的条数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　到点A(0,1)距离为1的直线,可看作以A为圆心,1为半径的圆的切线, 同理到点B(4,5)距离为2的直线,可看作以B为圆心,2为半径的圆的切线. 故所求直线为两圆的公切线. 如图.又|AB|==4>1+2,两圆外离,满足要求的公切线有4条. 8.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m等于　　　　.  答案　9 解析　C2:x2+y2-6x-8y+m=0化为(x-3)2+(y-4)2=25-m. ∵C1,C2两圆的圆心分别为(0,0),(3,4), ∴两圆圆心距d==5, 又两圆半径分别为1,,则d=r1+r2, 即5=1+,解得m=9. 9.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2,则a=　　　　.   答案　1 解析　将两圆的方程相减, 得相交弦所在的直线方程为y=, 圆心(0,0)到直线的距离d===1, 所以a=1. 10.圆C1:x2+y2-2mx+m2-4=0与圆C2:x2+y2+2x-4my+4m2-8=0相交,则实数m的取值范围是　　　　.  答案　(0,2)∪ 解析　整理圆C1得(x-m)2+y2=4,整理圆C2得(x+1)2+(y-2m)2=9, ∴圆C1的圆心为(m,0),半径为2,圆C2的圆心为(-1,2m),半径为3. ∵两圆相交,∴圆心之间的距离小于两圆半径之和,大于两圆半径之差的绝对值, 即1<<5, 解得0<m<2或-<m<-. 11.已知两圆C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和C2:x2+y2+2x-2ay+a2-3=0. (1)当a为何值时,两圆外切? (2)当a=1时,试判断两圆的位置关系. 解　将两圆的方程写成标准方程为 C1:(x-a)2+(y+2)2=9, C2:(x+1)2+(y-a)2=4, 所以两圆的圆心和半径分别为 C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2. 设两圆的圆心距为d, 则d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5. (1)当d=5,即2a2+6a+5=25时,两圆外切,此时a=-5或a=2. (2)当a=1时,d==, r1=3,r2=2, 因为|r2-r1|<d<r2+r1,所以两圆相交. 二、综合运用 12.(多选)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B,则有(　　) A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0 B.线段AB中垂线的方程为x+y-1=0 C.公共弦AB的长为 D.P为圆O1上一动点,则P到直线AB距离的最大值为+1 答案　ABD 解析　对于A,由圆O1:x2+y2-2x=0与圆O2:x2+y2+2x-4y=0的交点为A,B, 两式作差可得4x-4y=0, 即公共弦AB所在直线方程为x-y=0,故A正确; 对于B,圆O1:x2+y2-2x=0的圆心为(1,0), 又kAB=1,则线段AB中垂线的斜率为-1, 即线段AB中垂线的方程为y-0=-1×(x-1), 整理可得x+y-1=0,故B正确; 对于C,圆O1:x2+y2-2x=0的圆心O1(1,0)到直线x-y=0的距离d==,半径r=1, 所以|AB|=2=,故C不正确; 对于D,P为圆O1上一动点,圆心O1(1,0)到直线x-y=0的距离为d=,半径r=1,即P到直线AB距离的最大值为+1,故D正确. 13.已知圆O:x2+y2=9与圆C:x2+y2-4x-6y+9=0交于A,B两点,则直线AB的方程为　　　　;△ABC的面积为　　　　.  答案　2x+3y-9=0　 解析　两圆相减得4x+6y=18,化简得2x+3y-9=0, 故直线AB的方程为2x+3y-9=0, 圆C:x2+y2-4x-6y+9=0变形得到(x-2)2+(y-3)2=4,圆心C(2,3),半径为2, 故圆心C(2,3)到直线AB的距离为d==, 由垂径定理得|AB|=2×=, 故△ABC的面积为|AB|·d=××=. 14.已知两圆C1:x2+y2=4,C2:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0),直线l:x+2y=0. (1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时,求r的值; (2)当r=1时,求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程. 解　(1)由圆C1:x2+y2=4,知圆心C1(0,0),半径r1=2, 又由圆C2:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0), 可得x2+y2-2x-4y+5-r2=0, 两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x+4y-9+r2=0. 因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4, 所以此时相交弦过圆心C1(0,0), 即r2=9(r>0),解得r=3. (2)设过圆C1与圆C2的交点的圆系方程为(x-1)2+(y-2)2-1+λ(x2+y2-4)=0(λ≠-1), 即(1+λ)x2+(1+λ)·y2-2x-4y+4(1-λ)=0, 所以+=, 由圆心到直线x+2y=0的距离等于圆的半径, 可得=,解得λ=1, 故所求圆的方程为x2+y2-x-2y=0. 三、拓展提高 15.为测量一工件的内圆弧AB对应的半径R,工人将三个半径均为10 mm的圆柱形量棒O1,O2,O3放在与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h=6 mm(如图所示),则R=　　　　 mm.  答案　 解析　如图,设两圆O1,O2外切于点M,连接OM,作O1N⊥OO2交OO2于点N, 点D为线段OO2与圆O2的交点, 则|DE|=h=6,所以|NE|=10,|O2M|=10,|O2N|=10-|DN|=h=6, 因为∠O1NO2=∠OMO2=90°, ∠O1O2N=∠OO2M, 所以△O1NO2∽△OMO2, 所以=, 所以=,解得R=. 16.已知圆C的圆心在直线l:2x-y=0上,且与直线l1:x-y+1=0相切. (1)若圆C与圆x2+y2-2x-4y-76=0外切,试求圆C的半径; (2)满足已知条件的圆显然不止一个,但它们都与直线l1相切,我们称l1是这些圆的公切线.这些圆是否还有其他公切线?若有,求出公切线的方程;若没有,说明理由. 解　(1)设圆C的圆心坐标为(a,2a), 则半径r==,两圆的圆心距为=|a-1|=r, 因为两圆外切,所以r=r+9, 所以r=+1. (2)如果存在另一条切线,则它必过l与l1的交点(1,2), ①若斜率不存在,则直线方程为:x=1,圆心C到它的距离|a-1|=r=, 由于方程需要对任意的a都成立,因此无解,所以它不是公切线. ②若斜率存在,设公切线方程为y-2=k(x-1), 则d==r=对任意的a都成立, 即=,则=, 两边平方并化简得k2-8k+7=0, 解得k=1或k=7, 当k=1时,直线与l1重合, 当k=7时,直线方程为7x-y-5=0, 故还存在一条公切线,其方程为7x-y-5=0. 学科网（北京）股份有限公司 $