2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 同步练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 围绕“两条直线平行和垂直的判定”，采用基础巩固、综合运用、拓展提高三层设计，题量配比合理，梯度从概念辨析到动态几何问题，逐步深化知识应用，培养数学思维与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|平行垂直的概念辨析、斜率与倾斜角关系、简单坐标计算|以选择、填空为主，如第1题概念辨析，第8题参数计算，夯实基础| |综合运用|几何图形（直角梯形、矩形、平行四边形）中的平行垂直应用|结合图形分类讨论（第12题）、实际情境（第13题），提升综合分析能力| |拓展提高|动态几何（动点、面积最值）、多条件综合推理|如第15题面积最小值，第16题角相等条件，培养数学思维与创新意识|

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 一、基础巩固 1.下列说法正确的是(　　) A.平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B.平行的两条直线的倾斜角一定相等 C.垂直的两条直线的斜率之积为-1 D.只有斜率相等的两条直线才能平行 2.直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是(　　) A.平行 B.重合 C.相交但不垂直 D.垂直 3.直线l1的倾斜角α1=30°,若直线l1∥l2,则直线l2的斜率为(　　) A.- B. C.- D. 4.已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),则直线AB与直线CD(　　) A.平行 B.垂直 C.重合 D.以上都不正确 5.若点P(a,b)与Q(b-1,a+1)关于直线l对称,则l的倾斜角为(　　) A.135° B.45° C.30° D.60° 6.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.以点A为直角顶点的直角三角形 D.以点B为直角顶点的直角三角形 7.(多选)满足下列条件的直线l1与l2,其中l1⊥l2的是(　　) A.l1的倾斜角为45°,l2的斜率为1 B.l1的斜率为-,l2经过点A(2,0),B(3,) C.l1经过点P(2,1),Q(-4,-5),l2经过点M(-1,2),N(1,0) D.l1的一个方向向量为(1,m),l2的一个方向向量为 8.已知直线l1的斜率为3,直线l2经过点A(1,2),B(2,a),若直线l1∥l2,则a=　　　　;若直线l1⊥l2,则a=　　　　.  9.已知l1的斜率是2,l2过点A(-1,-2),B(x,6),且l1∥l2,则lox=　　　　.  10.已知点A(-2,2),B(6,4),H(5,2),H是△ABC的垂心,则点C的坐标为　　　　.  11.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,a+2).若l1⊥l2,求a的值. 二、综合运用 12.(多选)已知四边形ABCD的顶点B(6,-1),C(5,2),D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形,则点A的坐标可以为(　　) A.(1,-1) B. C. D. 13.如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB|=3 m,其中一条小路为AC,另一条小路过点D.在BC上有一点M,使得两条小路AC与DM互相垂直,此时BM的长为　　　　m.  14.已知在▱ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4). (1)求点D的坐标; (2)试判定▱ABCD是否为菱形? 三、拓展提高 15.如图,已知直线l1∥l2,点A是l1,l2之间的定点,点A到l1,l2之间的距离分别为3和2,点B是l2上的一动点,作AC⊥AB,且AC与l1交于点C,则△ABC的面积的最小值为　　　　.  16.已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0). (1)求点Q的坐标,满足PQ⊥MN,PN∥MQ; (2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角. 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 一、基础巩固 1.下列说法正确的是(　　) A.平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B.平行的两条直线的倾斜角一定相等 C.垂直的两条直线的斜率之积为-1 D.只有斜率相等的两条直线才能平行 答案　B 解析　因为当两条直线的倾斜角为90°时,两条直线平行,但是没有斜率,故A不正确; 平行的两条直线的倾斜角一定相等,故B正确; 垂直的两条直线的斜率存在时,斜率之积为-1,当一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为0时,两直线也垂直,故C不正确; 斜率不存在的两条直线也能够平行,故D不正确. 2.直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是(　　) A.平行 B.重合 C.相交但不垂直 D.垂直 答案　D 解析　方程x2-3x-1=0有两个不同实根,且两根之积为-1, 即直线l1,l2的斜率之积为-1, 所以l1与l2垂直. 3.直线l1的倾斜角α1=30°,若直线l1∥l2,则直线l2的斜率为(　　) A.- B. C.- D. 答案　B 解析　直线l1的倾斜角α1=30°,直线l1∥l2,则l2的倾斜角也等于30°, ∴l2的斜率为tan 30°=. 4.已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),则直线AB与直线CD(　　) A.平行 B.垂直 C.重合 D.以上都不正确 答案　A 解析　由题意知kAB==, kCD==,∴kAB=kCD, 同理可知kAC≠kBD,故A,B,C,D不共线, ∴两直线平行. 5.若点P(a,b)与Q(b-1,a+1)关于直线l对称,则l的倾斜角为(　　) A.135° B.45° C.30° D.60° 答案　B 解析　∵kPQ==-1,kPQ·kl=-1, ∴l的斜率为1,倾斜角为45°. 6.以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是(　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.以点A为直角顶点的直角三角形 D.以点B为直角顶点的直角三角形 答案　C 解析　∵kAB==-, kAC==, ∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC, ∴△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形. 7.(多选)满足下列条件的直线l1与l2,其中l1⊥l2的是(　　) A.l1的倾斜角为45°,l2的斜率为1 B.l1的斜率为-,l2经过点A(2,0),B(3,) C.l1经过点P(2,1),Q(-4,-5),l2经过点M(-1,2),N(1,0) D.l1的一个方向向量为(1,m),l2的一个方向向量为 答案　BCD 解析　l1的倾斜角为45°,则其斜率为tan 45°=1, 所以l1∥l2或l1与l2重合,所以A不符合题意; l2经过点A(2,0),B(3,), 则其斜率为==, 因为×=-1, 所以l1⊥l2,所以B符合题意; l1经过点P(2,1),Q(-4,-5), 则有kPQ==1, l2经过点M(-1,2),N(1,0), 则有kMN==-1, 因为kPQ·kMN=-1, 所以l1⊥l2,所以C符合题意; l1的一个方向向量为(1,m), 则=m,l2的一个方向向量为, 则=-,·=-1, 所以l1⊥l2,所以D符合题意.故选BCD. 8.已知直线l1的斜率为3,直线l2经过点A(1,2),B(2,a),若直线l1∥l2,则a=　　　　;若直线l1⊥l2,则a=　　　　.  答案　5　 解析　若l1∥l2,则=3,解得a=5; 若l1⊥l2,则·3=-1,解得a=. 9.已知l1的斜率是2,l2过点A(-1,-2),B(x,6),且l1∥l2,则lox=　　　　.  答案　- 解析　因为l1∥l2,所以=2,解得x=3. 所以lo3=-. 10.已知点A(-2,2),B(6,4),H(5,2),H是△ABC的垂心,则点C的坐标为　　　　.  答案　(6,-2) 解析　设点C的坐标为(x,y),直线AH的斜率kAH==0, ∵BC⊥AH,而点B的横坐标为6, 则x=6,直线BH的斜率kBH==2, ∴直线AC的斜率kAC==-, ∴y=-2,∴点C的坐标为(6,-2). 11.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,a+2).若l1⊥l2,求a的值. 解　设直线l2的斜率为k2, 则k2==-. ①当a=4时,l1的斜率不存在, k2=-,不符合题意; ②当a≠4时,l1的斜率存在,此时k1=. 由k1·k2=-1,得-·=-1, 解得a=3或a=-4. ∴当a=3或a=-4时,l1⊥l2. 二、综合运用 12.(多选)已知四边形ABCD的顶点B(6,-1),C(5,2),D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形,则点A的坐标可以为(　　) A.(1,-1) B. C. D. 答案　AC 解析　若∠A=∠D=90°,如图①,由题可知AB∥DC,AD⊥CD, 又kCD=0,所以A(1,-1). 若∠A=∠B=90°,如图②. 设A(a,b),则kBC=-3,kAD=, kAB=. 由AD∥BC,得kAD=kBC,即=-3. 由AB⊥BC,得kAB·kBC=-1, 即·(-3)=-1, 解得故A. 综上所述,点A的坐标为(1,-1)或.故选AC. 13.如图所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB|=3 m,其中一条小路为AC,另一条小路过点D.在BC上有一点M,使得两条小路AC与DM互相垂直,此时BM的长为　　　　m.  答案　 解析　以B为原点,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,3),D(5,3),C(5,0), 设M(x,0),0<x<5. 由题意可知直线AC和直线DM的斜率都存在,由于AC与DM互相垂直, 所以kAC·kDM=-1, 即·=-1,解得x=, 所以BM的长为 m. 14.已知在▱ABCD中,A(1,2),B(5,0),C(3,4). (1)求点D的坐标; (2)试判定▱ABCD是否为菱形? 解　(1)设点D的坐标为(a,b), 因为四边形ABCD为平行四边形, 所以kAB=kCD,kAD=kBC, 所以解得 所以D(-1,6). (2)因为kAC==1,kBD==-1, 所以kAC·kBD=-1, 所以AC⊥BD ,所以▱ABCD为菱形. 三、拓展提高 15.如图,已知直线l1∥l2,点A是l1,l2之间的定点,点A到l1,l2之间的距离分别为3和2,点B是l2上的一动点,作AC⊥AB,且AC与l1交于点C,则△ABC的面积的最小值为　　　　.  答案　6 解析　以A为坐标原点,平行于l1的直线为x轴,垂直于l1的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 设B(a,-2),C(b,3). ∵AC⊥AB,∴kAC·kAB=-1, ∴·=-1, 则ab-6=0,ab=6,b=, ∴Rt△ABC的面积S=|AB|·|AC| =·=· =≥=6(当且仅当a2=4时取等号). 16.已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0). (1)求点Q的坐标,满足PQ⊥MN,PN∥MQ; (2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角. 解　(1)设Q(x,y),由已知得kMN=3, 由PQ⊥MN,可得kPQ·kMN=-1, 即×3=-1.① 由已知得kPN=-2, 由PN∥MQ,可得kPN=kMQ, 即=-2.② 联立①②求解得x=0,y=1,即Q(0,1). (2)设Q(x,0), ∵∠NQP=∠NPQ, ∴kNQ=-kNP, 又∵kNQ=,kNP=-2, ∴=2,即x=1,∴Q(1,0). 又∵M(1,-1),∴MQ⊥x轴, 故直线MQ的倾斜角为90°. 学科网（北京）股份有限公司 $