2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（分层作业练知识）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练以分层设计为核心，通过A组基础巩固、B组能力进阶、C组思维拔高及高考链接，构建从单一知识点到综合应用的梯度化知识巩固路径，培养数学逻辑推理与问题解决能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|平行/垂直判定及参数问题|基础选择填空，聚焦斜率关系核心考点，强化概念理解| |B组|几何应用|综合几何题（如三角形、四边形形状判定），培养空间观念| |C组|分类讨论与存在性问题|开放题、探究题（如直角三角形顶点确定），发展创新意识| |拓展|高考真题|经典高考题（如垂直条件的充要条件判断），衔接升学要求|

分层作业 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 目 录 A组 巩固过关 知识点01 两条直线平行的判定 知识点02 平行关系的应用及参数问题 知识点03 两条直线垂直的判定 知识点04 垂直关系的应用及参数问题 知识点05 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 两条直线平行的判定知识点01 知识点速记： 两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，则有．特别地，当直线，的斜率都不存在时，与平行． 题型巩固练： 1．（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 2．（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 3．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 4．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 平行关系的应用及参数问题知识点02 知识点速记： 两条直线平行求参数是核心依据是斜率相等. 题型巩固练： 5．（25-26高二上·天津·阶段检测）若直线l₁经过两点A（4，2y+1），B（2，-3），直线l₂的倾斜角为，且， 则y等于（   ） A． B． C．0 D．2 6．（多选）（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知，，，，若，则的值可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 7．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 8．过,两点的直线与过，两点的直线平行，则________． 两条直线垂直的判定知识点03 知识点速记： 两条直线垂直 如果两条直线，斜率都存在，设为，，则； 题型巩固练： 9．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）直线，若的斜率为1，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 10．（22-23高二下·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 11．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·云南·期中）已知，为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为（   ） A．若，的斜率相等，则，平行 B．若，则，的倾斜角相等 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，则，的斜率乘积等于 14．（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线的一个法向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 垂直关系的应用及参数问题知识点04 知识点速记： 两条直线垂直求参数的核心依据是。注意求出参数后需检验是否符合题意。 题型巩固练： 15．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（   ） A．8 B．10 C．6 D．4 16．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知，，，，若直线与垂直，那么的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 17．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知，若点在轴负半轴上，且，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知三点，的边上的高所在直线的斜率是（　　） A． B．2 C．3 D．6 19．（24-25高二上·广东·阶段检测）已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，若，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 直线平行、垂直的判定在几何中的应用知识点05 知识点速记： 直线平行、垂直在几何中的应用 ⑴若两条不重合的直线的斜率都存在，则时两直线平行；若两条直线斜率都不存在，它们也互相平行。这一性质常用于判断四边形是否为平行四边形或梯形； ⑵若两条直线的斜率都存在，则时两直线垂直；若一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，它们也互相垂直。此判断常用于识别直角三角形、矩形或直角梯形。 题型巩固练： 20．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 21．（2026·湖南郴州·模拟预测）以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 22．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）四边形的四个顶点是，，，，则四边形为（　　） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．直角梯形 23．（24-25高二上·广西南宁·阶段检测）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 1．已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 2．（25-26高二上·湖北·期末）直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知是直线的方向向量，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知直线的斜率为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）若的三个顶点为，，，则边上的高所在直线的斜率为（    ） A．2 B．-2 C． D． 6. 若点与关于直线对称，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高二上·青海海东·期中）已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·重庆·阶段检测）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高二下·江西上饶·期中）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．5 10．（多选）（25-26高二上·广东清远·期末）已知四边形的四个顶点是，，，，则（   ） A．直线的斜率为4 B．直线的倾斜角为 C．线段的中点坐标为 D．四边形是平行四边形 11．（多选）已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·全国·课后作业）以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为_______． 13．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知点和，点P在y轴正半轴上，且∠APB为直角，则P点坐标为__________. 14．（25-26高二上·陕西商洛·期中）已知直线l经过点，. (1)若直线的斜率为1，且，求实数m的值； (2)若直线的一个方向向量的坐标为，且，求实数m的值. 15．（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 1．【分类讨论】（多选）（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知点，，点P在x轴上，若为直角三角形，则点P的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 2．【开放题】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知点，点在轴上，为直角三角形，请写出的一个坐标：________． 3．【存在性问题】（2025高二上·山西长治·专题练习）设点，，，问：是否存在正实数，使为直角三角形？若存在，求的所有值；若不存在，说明理由． 4.【存在性问题】（24-25高二上·四川广安·阶段检测）已知. (1)若四点可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下若点在第四象限的情况下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 5．【知识融合】（24-25高二上·上海·阶段检测）直角三角形的斜边在轴上，其中点B在点C的左侧，直角顶点A的坐标是，    (1)设直线AC的斜率为k，试求点C和点B的坐标（用k表示）； (2)试求直角三角形ABC的面积的最小值及面积取到最小值时的点C坐标． 1．（2006·福建·高考真题）已知两条直线和互相垂直，则等于 （ ） A．2 B．1 C．0 D．-1 2．（2008·福建·高考真题）“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2005·北京·高考真题）“”是“直线与直线垂直”的 A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2001·全国·高考真题）“”是“直线和直线平行且不重合”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 5．（2007·上海·高考真题）若直线与直线平行，则___________． 6．（2003·上海·高考真题）已知定点，点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是______. 7．（2022·上海·高考真题）已知方程组有无穷解，则的值为________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 参考答案 两条直线平行的判定知识点01 1．C； 2．D； 3．B； 4.A； 平行关系的应用及参数问题知识点02 5.B； 6.BC 7．7； 8．； 两条直线垂直的判定知识点03 9．D； 10．B； 11.A； 12．B； 13．D； 14．C； 垂直关系的应用及参数问题知识点04 15．A； 16．C； 17．A； 18．C； 19.D ； 直线平行、垂直的判定在几何中的应用知识点05 20. B； 21.A； 22．D； 23．【答案】(1)；(2)四边形为直角梯形 【详解】（1）由题意可得， 则，， 所以两条直线平行，即， （2）因为，， 所以，即与不平行， 又，所以， 所以四边形为直角梯形. 1．A； 2．B； 3．D； 4．D； 5．A； 6．B ； 7.D ； 8.C； 9．AD； 10．AC； 11.ABC； 12.A； 13．； 14．【答案】(1)；(2) 【详解】（1）∵直线l经过点、， ∴其斜率， ∵的斜率为1，且， ∴解得. （2）由题知，直线的斜率， 又直线l的斜率，， ∴，解得. 15．【答案】(1)；(2)等腰直角三角形. 【详解】（1）解：因为，，且为的中点， 设，由中点公式得，即， 又因为，可得直线的斜率为. （2）解：因为，，，且， 由斜率公式，可得， 又因为，所以，即，所以为直角三角形， 又由为的中点，且，所以，所以为等腰三角形 所以为等腰直角三角形. 1． ACD； 2．（答案不唯一，任意一个都可以）； 3. 【答案】存在，正实数或 【详解】若为直角，则，所以． 即，所以（舍去）． 若为直角，则，所以， 即，解得； 若为直角，则，所以， 即，解得或（舍去）． 综上所述，存在正实数或，使为直角三角形． 4.【答案】(1)或或；(2)不是菱形 【详解】（1）由题意得，，， 设，若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 综上所述，点的坐标为或或. （2）若的坐标为，因为， 直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 5.【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为， (2)直角三角形ABC的面积的最小值为，此时点的坐标为. 【详解】（1）因为为直角三角形，斜边在轴上，点B在点C的左侧， 故可设点的坐标为，点的坐标为，， 因为直线AC的斜率为k，点A的坐标是， 所以，，又， 所以直线的斜率为， 所以， 所以，， 所以点的坐标为，点的坐标为， （2）由（1）点的坐标为，点的坐标为，又点B在点C的左侧， 所以，所以， 所以，又点A的坐标是， 所以的面积，， 由基本不等式可得当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，直角三角形ABC的面积最小，最小值为，此时点的坐标为. 1．D； 2．C； 3．B； 4．A； 5．； 6．； 7．4； 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 目 录 A组 巩固过关 知识点01 两条直线平行的判定 知识点02 平行关系的应用及参数问题 知识点03 两条直线垂直的判定 知识点04 垂直关系的应用及参数问题 知识点05 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 两条直线平行的判定知识点01 知识点速记： 两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，则有．特别地，当直线，的斜率都不存在时，与平行． 注意在判断两直线的平行关系时，先看直线的斜率是否存在，同时注意不要漏掉两直线重合的情况。 题型巩固练： 1．（25-26高二上·福建三明·期中）已知直线的倾斜角为，直线经过点，，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．平行或重合 D．重合 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为：， 又直线经过， 所以直线的斜率为：， 所以， 所以直线与直线平行或重合. 故选：C. 2．（25-26高二上·天津·阶段检测）直线经过点且斜率为，直线经过点和，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直 【答案】D 【详解】因为直线经过点和，所以直线的斜率， 又直线的斜率，且， 所以与相交但不垂直. 故选：D 3．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，且经过不在的点，那么与（ ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【详解】由题意， 所以，且经过不在的点， 所以. 4．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）设与是平面内不重合的直线，甲：与的斜率相等；乙：，则甲是乙的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 【答案】A 【详解】因为若平面内两条不重合的直线的斜率相等，则两直线平行，所以甲是乙的充分条件； 若两直线平行，则两直线的斜率可能都不存在，即斜率可能不相等，则甲不是乙的必要条件， 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 平行关系的应用及参数问题知识点02 知识点速记： 两条直线平行求参数是核心依据是斜率相等. 题型巩固练： 5．（25-26高二上·天津·阶段检测）若直线l₁经过两点A（4，2y+1），B（2，-3），直线l₂的倾斜角为，且， 则y等于（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【详解】因为直线l₁经过两点A（4，2y+1），B（2，-3），所以直线l₁的斜率为， 因为直线l₂的倾斜角为，所以直线l₂的斜率为， 因为，所以，所以，所以. 故选：B 6．（多选）（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知，，，，若，则的值可能为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】BC 【详解】，， 由,得， 展开并整理得，解得或. 当时，, 由图可知，符合题意. 当时，， 由图可知，符合题意. 综上所述，或. 故选：BC 7．（25-26高二上·陕西西安·期末）已知过点和的直线与过点和的直线平行，则m的值是______. 【答案】7 【详解】由题意得，直线的斜率为，直线的斜率为， 则，得. 8．过,两点的直线与过，两点的直线平行，则________． 【答案】 【详解】由题可得：，因为，所以，解得：； 两条直线垂直的判定知识点03 知识点速记： 两条直线垂直 如果两条直线，斜率都存在，设为，，则； 当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 题型巩固练： 9．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）直线，若的斜率为1，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 故选：D 10．（22-23高二下·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率，由，得， 所以，即，又，则， 所以直线的倾斜角为． 故选：B． 11．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【详解】由题意， 所以，所以. 故选：A. 12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 直线的斜率不存在，所以只有，所以． B选项正确，其它选项错误. 故选：B 13．（24-25高二上·云南·期中）已知，为两条不重合的直线，则下列说法中错误的为（   ） A．若，的斜率相等，则，平行 B．若，则，的倾斜角相等 C．若，的斜率乘积等于，则，垂直 D．若，则，的斜率乘积等于 【答案】D 【详解】根据两直线的位置关系可知若，斜率相等且不重合，则，平行，A正确. 由，可得，的倾斜角相等，B正确. 由，的斜率乘积等于，可得，垂直，C正确. 当与轴平行，与轴平行时，，但直线的斜率不存在，D错误. 故选：D. 14．（25-26高二上·福建厦门·期末）若直线的一个法向量为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取坐标平面内两点和，则， 则直线OA的斜率与直线的斜率乘积为，而， 所以直线的斜率为. 故选：C 垂直关系的应用及参数问题知识点04 知识点速记： 两条直线垂直求参数的核心依据是。注意求出参数后需检验是否符合题意。 题型巩固练： 15．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（   ） A．8 B．10 C．6 D．4 【答案】C 【详解】因为点，，所以直线的斜率． 因为，所以直线的斜率， 即，解得． 故选：C． 16．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知，，，，若直线与垂直，那么的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．1或3 【答案】A 【详解】, 因为直线与垂直， 所以， 解得或， 当时，，与题意不符，故舍去. 故选：A 17．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知，若点在轴负半轴上，且，则点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点，则直线的斜率必存在，分别为， 由，得，即， 而，解得，点的纵坐标为. 故选：A 18．（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知三点，的边上的高所在直线的斜率是（　　） A． B．2 C．3 D．6 【答案】C 【详解】直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率是. 故选：C 19．（24-25高二上·广东·阶段检测）已知直线的倾斜角为，直线的方向向量为，若，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】设的斜率分别为，因为直线的倾斜角为，则， 因为，则， 又因为直线的方向向量为，则有，则有. 故选：D 直线平行、垂直的判定在几何中的应用知识点05 知识点速记： 直线平行、垂直在几何中的应用 ⑴若两条不重合的直线的斜率都存在，则时两直线平行；若两条直线斜率都不存在，它们也互相平行。这一性质常用于判断四边形是否为平行四边形或梯形； ⑵若两条直线的斜率都存在，则时两直线垂直；若一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，它们也互相垂直。此判断常用于识别直角三角形、矩形或直角梯形。 题型巩固练： 20．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【详解】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 21．（2026·湖南郴州·模拟预测）以，，，为顶点的四边形是（    ） A．矩形 B．菱形 C．直角梯形 D．正方形 【答案】A 【详解】根据斜率公式 ​​，代入四个点坐标，，，， 则， 所以，， 两组对边分别平行，该四边形是平行四边形， 又因为 ，所以，即邻边垂直，则该平行四边形为矩形， 再根据两点间距离公式可得： 由于邻边长度不相等，排除菱形、正方形,故该四边形是矩形. 22．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）四边形的四个顶点是，，，，则四边形为（　　） A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．直角梯形 【答案】D 【详解】由， ，，， ，， ，与不平行， 则四边形为梯形， 又 ， 四边形为直角梯形， 故选：D. 23．（24-25高二上·广西南宁·阶段检测）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 【答案】(1)；(2)四边形为直角梯形 【详解】（1）由题意可得， 则，， 所以两条直线平行，即， （2）因为，， 所以，即与不平行， 又，所以， 所以四边形为直角梯形. 1．已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 2．（25-26高二上·湖北·期末）直线的倾斜角为，的一个方向向量为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 由，得，故. 故选：B. 3．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知是直线的方向向量，且直线，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B． C． D． 【答案】D 【详解】由于是直线的方向向量，故直线的斜率为， 故直线的斜率为，进而可得倾斜角为， 故选：D 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知直线的斜率为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由于直线的斜率为，且直线与垂直， 所以直线的斜率为， 所以，解得. 故选：D. 5．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）若的三个顶点为，，，则边上的高所在直线的斜率为（    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】A 【详解】，，，设边上的高所在直线的斜率为，，. 故选：. 6. 若点与关于直线对称，则的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，则， ∴，得， 设的倾斜角为，， ∴，则． 故选：B． 7．（22-23高二上·青海海东·期中）已知点是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设C点坐标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则，， ∴，则， ∴点C的坐标为. 故选：D. 8．（23-24高三上·重庆·阶段检测）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 故选：C. 9．（多选）（24-25高二下·江西上饶·期中）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】AD 【详解】由斜率的定义，直线的斜率， 因为，则，解得或， 代入验证或时，两点横坐标均不同，直线的斜率均存在， 故或均满足题意， 故选：AD. 10．（多选）（25-26高二上·广东清远·期末）已知四边形的四个顶点是，，，，则（   ） A．直线的斜率为4 B．直线的倾斜角为 C．线段的中点坐标为 D．四边形是平行四边形 【答案】AC 【详解】A选项，直线的斜率为，A正确； B选项，直线的斜率为，故直线的倾斜角不为，B错误； C选项，线段的中点坐标为，C正确； D选项，，显然，故与不平行， 故四边形不是平行四边形，D错误. 故选：AC 11．（多选）已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】解：由斜率公式知，，，，，．所以ABC均正确，D错误． 故选：ABC. 12．（24-25高二上·全国·课后作业）以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为_______． 【答案】A 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以，所以以A点为直角顶点的直角三角形， 故答案为：A. 13．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知点和，点P在y轴正半轴上，且∠APB为直角，则P点坐标为__________. 【答案】 【详解】由点P在y轴正半轴上，可设点， 由点和，可得 因为∠APB为直角，所以， 即， 因为，所以，即点， 故答案为： 14．（25-26高二上·陕西商洛·期中）已知直线l经过点，. (1)若直线的斜率为1，且，求实数m的值； (2)若直线的一个方向向量的坐标为，且，求实数m的值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）∵直线l经过点、， ∴其斜率， ∵的斜率为1，且， ∴解得. （2）由题知，直线的斜率， 又直线l的斜率，， ∴，解得. 15．（25-26高二上·内蒙古兴安·阶段检测）已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； 【答案】(1)；(2)等腰直角三角形. 【详解】（1）解：因为，，且为的中点， 设，由中点公式得，即， 又因为，可得直线的斜率为. （2）解：因为，，，且， 由斜率公式，可得， 又因为，所以，即，所以为直角三角形， 又由为的中点，且，所以，所以为等腰三角形 所以为等腰直角三角形. 1．【分类讨论】（多选）（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知点，，点P在x轴上，若为直角三角形，则点P的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】设，易知当或时，不合题意， 因此当且时，可得，， 当为直角时，，得的坐标为． 当为直角时，，得的坐标为． 当为直角时，，化简得， 解得或，的坐标为或． 故选：ACD 2．【开放题】（23-24高二上·广东深圳·期中）已知点，点在轴上，为直角三角形，请写出的一个坐标：________． 【答案】（答案不唯一，任意一个都可以） 【详解】设，易知当或时，不合题意， 因此当且时，可得，， 当为直角时，，得的坐标为． 当为直角时，，得的坐标为． 当为直角时，，化简得，该方程无解． 3．【存在性问题】（2025高二上·山西长治·专题练习）设点，，，问：是否存在正实数，使为直角三角形？若存在，求的所有值；若不存在，说明理由． 【答案】存在，正实数或 【详解】若为直角，则，所以． 即，所以（舍去）． 若为直角，则，所以， 即，解得； 若为直角，则，所以， 即，解得或（舍去）． 综上所述，存在正实数或，使为直角三角形． 4.【存在性问题】（24-25高二上·四川广安·阶段检测）已知. (1)若四点可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下若点在第四象限的情况下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】(1)或或；(2)不是菱形 【详解】（1）由题意得，，， 设，若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 综上所述，点的坐标为或或. （2）若的坐标为，因为， 直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 5．【知识融合】（24-25高二上·上海·阶段检测）直角三角形的斜边在轴上，其中点B在点C的左侧，直角顶点A的坐标是，    (1)设直线AC的斜率为k，试求点C和点B的坐标（用k表示）； (2)试求直角三角形ABC的面积的最小值及面积取到最小值时的点C坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为， (2)直角三角形ABC的面积的最小值为，此时点的坐标为. 【详解】（1）因为为直角三角形，斜边在轴上，点B在点C的左侧， 故可设点的坐标为，点的坐标为，， 因为直线AC的斜率为k，点A的坐标是， 所以，，又， 所以直线的斜率为， 所以， 所以，， 所以点的坐标为，点的坐标为， （2）由（1）点的坐标为，点的坐标为，又点B在点C的左侧， 所以，所以， 所以，又点A的坐标是， 所以的面积，， 由基本不等式可得当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，直角三角形ABC的面积最小，最小值为，此时点的坐标为. 1．（2006·福建·高考真题）已知两条直线和互相垂直，则等于 （ ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】D 【详解】解：因为两条直线和互相垂直，则斜率之积为-1，可知参数a的值为-1,选D 2．（2008·福建·高考真题）“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】直线和直线互相垂直的充要条件是，即，故选C 3．（2005·北京·高考真题）“”是“直线与直线垂直”的 A．充分必要条件 B．充分非必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为直线与直线垂直， 则，即，解得或； 因此由“”能推出“直线与直线垂直”，反之不能推出， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件. 故选B 4．（2001·全国·高考真题）“”是“直线和直线平行且不重合”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】当时，直线和直线平行且不重合，故充分； 当直线和直线平行且不重合时， 则，解得或-2，故不必要； 故选：A 5．（2007·上海·高考真题）若直线与直线平行，则___________． 【答案】 【详解】直线的斜率为3 直线的斜率即 故答案为：. 6．（2003·上海·高考真题）已知定点，点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是______. 【答案】 【详解】当直线AB与直线x+y=0垂直时，此时AB最短， 设B的坐标为， 则， 解得：， 所以B的坐标为 7．（2022·上海·高考真题）已知方程组有无穷解，则的值为________ 【答案】4 【详解】解：因为方程组有无穷解，所以直线与直线重合，所以且，解得； 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $