2.2.2　直线的两点式方程 同步练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

**基本信息** 本同步练习聚焦“直线的两点式方程”，以数学眼光观察现实问题，通过基础-进阶-拓展三层设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固，适配新授课教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|截距概念、斜率计算|选择填空直接考查定义（如第1-2题），夯实运算能力| |进阶层|截距关系、反射问题|多选及中档解答题（如第5-6题），发展推理意识| |拓展层|实际应用、面积最值|结合行李票情境及最值问题（如第11-16题），培养模型观念|

2.2.2　直线的两点式方程 1.直线－＝1在y轴上的截距为（　　） A.｜b｜　　　 B.－b　　　 C.b　　　 D.±b 2.已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为（　　） A.－ B. C.－ D. 3.（2024·宁波月考）过点（－2，0）且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的方程是（　　） A.＋y＝1 B.＋＝1或＋＝1 C.＋＝1 D.＋y＝1或＋＝1 4. (2025·青神模拟) 两条直线和在同一直角坐标系中的图象可以是（　　） 5.（多选）下列说法正确的是（　　） A.不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示 B.若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为（4，1），则直线l的方程为＋＝1 C.在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程x＋y＝a（a∈R）表示 D.直线3x－2y＝4的截距式方程为＋＝1 6.（多选）光线自点（2，4）射入，经y轴反射后经过点（5，0），则下列选项中反射光线所在的直线经过的点有（　　） A.（－9，8） B.（3，1） C.（7，－1） D.（12，－4） 7.过点（1，3）且在x轴上的截距为2的直线方程是　　　　. 8.（2024·淮安月考）已知A（2，－1），B（6，1），则在y轴上的截距是－3，且经过线段AB中点的直线方程为　　　　. 9.已知直线l过点P（2，3），且与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点.若△AOB的面积为12（O为坐标原点），则直线l的方程为　　　　. 10.（2025高二上·河池期末) 已知三角形三顶点A(3,1)，B(0,-2)，C(-1,0)，求： (1) 直线AB的一般式方程； (2) AB边上的高所在直线的一般式方程. 11.某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）与行李重量x（kg）的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为（　　） A.20 kg B.25 kg C.30 kg D.80 kg 12.（多选）直线l经过点A（1，2），在x轴上的截距的取值范围是（－3，3），则其斜率的取值范围可以是（　　） A. B.（－∞，－1） C. D. 13.已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），则xy的最大值是　　　　. 14.已知直线l过点P（4，1）. （1）若直线l过点Q（－1，6），求直线l的方程； （2）若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程. 15.（2024·珠海质检）过点（1，3）作直线l，若l经过点（a，0）和（0，b），且a，b∈N*，则可作出的直线l的条数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.多于3 16.（2024·青岛月考）已知直线l经过点P（－1，2）. （1）若l在两坐标轴上截距之和为零，求l的点斜式方程； （2）设l的斜率k＞0，l与两坐标轴的交点分别为A，B，当△AOB的面积最小时，求l的斜截式方程. 2.2.2　直线的两点式方程 1.B　直线－＝1，令x＝0，解得y＝－b，∴直线－＝1在y轴上的截距为－b.故选B. 2.A　由两点式方程＝，知直线l过点（－5，0），（3，－3），所以l的斜率为＝－. 3.D　由题意得，直线在x轴上的截距为－2.因为直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或－5，所以所求的直线的方程为＋y＝1或＋＝1. 4.A　由截距式方程可得直线的横、纵截距分别为，，直线的横、纵截距分别为，. A、由的图象可得，可得直线的截距应均为正数，故选项A正确；B、由的图象可得，可得直线的截距应均为正数，与图象不对应，故选项B错误；C、由的图象可得，可得直线的横截距应为负数，纵截距为正数，与图象不对应，故选项C错误；D、由的图象可得，可得直线的横截距应为正数，纵截距为负数，与图象不对应，故选项D错误. 5.BD　与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错误；因为线段AB的中点为（4，1），所以直线l过点（8，0），（0，2），所以直线l的方程为＋＝1，故B正确；直线x－y＝0在两坐标轴上的截距相等，但不能用x＋y＝a（a∈R）表示，故C错误；方程3x－2y＝4可化为＋＝1，故D正确.故选B、D. 6.AD　点（2，4）关于y轴的对称点为（－2，4），则反射光线所在的直线经过点（－2，4）和点（5，0），则反射光线所在直线的方程为＝，即4x＋7y－20＝0.将四个选项中的点的坐标分别代入直线方程进行验证可知A、D选项符合题意. 7.3x＋y－6＝0　解析：由题意知直线过点（2，0），又直线过点（1，3），由两点式可得，＝，整理得3x＋y－6＝0. 8.3x－4y－12＝0　解析：由于A（2，－1），B（6，1），故线段AB中点的坐标为（4，0），又直线在y轴上的截距是－3，∴直线方程为－＝1，即3x－4y－12＝0. 9.3x＋2y－12＝0　解析：设直线l的方程为＋＝1（a＞0，b＞0），则△AOB的面积为ab＝12　①.因为直线l过点P（2，3），所以＋＝1　②.联立①②，解得a＝4，b＝6，故直线l的方程为＋＝1，即3x＋2y－12＝0. 10.解：（1）∵A(3,1)，B(0,-2)， ∴直线AB的方程为， 化简得. （2）∵直线AB的斜率为， ∴AB边上的高所在直线的斜率为， ∴AB边上的高所在直线的方程为，即. 11.C　由图知点A（60，6），B（80，10），由直线方程的两点式，得直线AB的方程是＝，即y＝x－6.依题意，令y＝0，得x＝30，即旅客最多可免费携带30 kg行李. 12.BD　设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B（3，0）时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C（－3，0）时，直线l在x轴的截距为－3，此时k＝，满足条件的直线l的斜率范围是（－∞，－1）∪（，＋∞）. 13.3　解析：直线AB的方程为＋＝1，P（x，y）在直线AB上，则x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝（－y2＋4y）＝[－（y－2）2＋4]≤3.即当P点坐标为时，xy取得最大值3. 14.解：（1）因为直线l过点P（4，1），Q（－1，6），所以直线l的方程为＝，即x＋y－5＝0. （2）由题意知，直线l的斜率存在且不为0，所以设直线l的斜率为k，则其方程为y－1＝k（x－4）. 令x＝0，得y＝1－4k；令y＝0，得x＝4－. 所以1－4k＝2（4－），解得k＝或k＝－2. 所以直线l的方程为y－1＝（x－4）或y－1＝－2（x－4），即x－4y＝0或2x＋y－9＝0. 15.B　∵l过点（a，0）和（0，b），且a，b∈N*，∴可设l：＋＝1.又l过点（1，3），∴＋＝1，整理得＝.当a＝1，b∈N*时，等式显然不成立；当a≥2且a∈N*时，b＝＝＝3＋.∵b∈N*，∴a－1＝1或a－1＝3，解得a＝2或a＝4.当a＝2时，b＝6；当a＝4时，b＝4.∴满足题意的直线l的方程为＋＝1或＋＝1，∴满足题意的直线l有2条.故选B. 16.解：（1）由题意知，l的斜率存在且不为0，设斜率为k， 则l的点斜式方程为y－2＝k（x＋1）， 所以它在两坐标轴上的截距分别为－1－和k＋2， 所以－1－＋k＋2＝0，解得k＝－2或k＝1， 所以l的点斜式方程为y－2＝－2（x＋1）或y－2＝x＋1. （2）由（1）知，A（－－1，0），B（0，k＋2）， 所以△AOB的面积S＝｜－－1｜·｜k＋2｜＝＝＋2＋≥2＋2＝4，当且仅当k＝2时，等号成立， 所以当△AOB的面积最小时，l的斜截式方程为y＝2x＋4. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $