专题05 有理数的乘方 暑假预习讲义 2026年人教版七年级数学上册

专题05 有理数的乘方 暑假预习讲义 ✺知识框架 有理数乘方的概念：乘方定义、各部分名称、读写方法、符号规律、基础运算 混合运算：含乘方的有理数四则混合运算顺序、规范计算步骤 数的简单表示：科学记数法、近似数与精确度 ✺学习目标 基础知识：理解乘方的意义，掌握底数、指数、幂的概念及读写方法，能准确区分-an与(-a)n。 能力提升：熟记乘方符号法则，熟练进行基础乘方运算；掌握含乘方的有理数混合运算顺序，规范解题；会用科学记数法表示大数，能区分准确数与近似数，掌握基础精确度判断。 综合素养：体会乘方简化运算的数学思想，养成分步计算、严谨验算的解题习惯。 ✺题型归纳 题型1.有理数幂的概念理解 题型2.有理数的乘方运算 题型3.有理数乘方逆运算 题型4.乘方运算的符号规律 题型5.乘方的应用 题型6.程序流程图与有理数计算 题型7.算“24”点 题型8.含乘方的有理数混合运算 题型9.计算器——有理数运算 题型10.用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型11.将用科学记数法表示的数变回原数 题型12.求一个数的近似数 题型13.求近似数的精确度 题型14.近似数推断取值范围 题型15.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、有理数的乘方 1.乘方的定义：求若干个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果称为幂。 在乘方表达式中，a为底数（参与相乘的相同因数），n为指数（相同因数的个数），读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 示例：，底数是2，指数是3，表示3个2相乘，即=2×2×2=8。 2.有理数乘方的符号法则 （1）正数的任何正整数次幂都是正数； （2）负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。 速记口诀：正数幂恒正，负数偶正奇负，零的正次幂恒零。 3.特殊有理数的乘方性质 （1）1的任意正整数次幂都等于1； （2）-1的偶次幂为1，-1的奇次幂为-1； （3）0的任意正整数次幂都等于0。 4.重点概念辨析 严格区分与(-a)n的运算意义。 底数为a，表示a的n次方的相反数； (-a)n底数为-a，表示n个-a连续相乘， ▲二者底数、运算逻辑完全不同，计算结果存在明显差异，是本节最易混淆的考点。 示例：-32=-9，=9，二者意义与结果完全不同。 ★注意：任意非零数均可看作自身的一次方，指数1通常省略不写，属于数学规范写法。 知识点二、有理数混合运算 1.运算顺序 ◆先算乘方，再算乘除，最后算加减； ◆同级运算从左至右依次进行； ◆含有括号时，优先计算括号内运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序由内向外逐层计算。 2.核心运算原则 分级运算：数学规定乘方为三级运算、乘除为二级运算、加减为一级运算，运算时优先计算高级运算； 同级运算：只有加减或只有乘除时，严格从左往右依次计算，杜绝随意跳步运算； 括号优先：所有括号内运算优先完成，多层括号由内向外逐层计算。 3.简便运算原则与技巧 在严格遵守运算顺序的前提下，可合理运用运算律重组算式，简化计算、减少失误： （1）加法：结合互为相反数、同分母、可凑整的数优先计算； （2）乘法：巧用交换律、结合律约分凑整，运用乘法分配律展开简化多步运算； （3）同级运算可灵活组合凑整约分，避免机械顺序计算。 知识点三、科学记数法 定义：把大数写成a×的形式（1≤|a| < 10，n为正整数）。 示例：56000000=5.6× 对于小于-10的数也可以类似表示。例如：﹣56000000=﹣5.6× ▲科学记数法的形式a×10n中a和n的确定方法 ◆将小数点移到左起第1个数字的后边即可得到a的取值.  ◆确定n有两种方法： ① 数小数点移动的位数，小数点移动几位，n就是几； ② 数原数的整数位数，原数的整数位数减1就是n的值。 知识点四、近似数与精确度 1.准确数和近似数 准确数：在日常生活和生产实际中，能准确地表示一些量的数。称为准确数. 例如：二班共60人，小红养了5条金鱼，“60”、“5”都是准确数。 近似数：与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数。 例如：π取3.14，体重约56kg，这里“3.14”和“56”都是近似数。 精确度：四舍五入到哪一位，就称近似数精确到哪一位。 示例：3.1（精确到十分位），3.14（精确到百分位）。 ✺题型精讲 题型1.有理数幂的概念理解 1．的意义是（     ） A．乘以 B．个相乘 C．个相乘 D．个相加 【答案】C 【详解】解：的意义是个相乘． 2．，，说说它们的意义与读法． ，表示4个相乘，读作____________． 表示4个2相乘的相反数，读作__________或____． 【答案】 负2的4次方 负的2的4次方 2的4次方的相反数 【分析】本题考查了有理数乘方的定义． 根据有理数乘方的定义，表示底数为的4次幂，读法强调底数是负数；表示2的4次幂的相反数，读法有两种，一种强调负号与指数的关系，另一种强调相反数的意义． 【详解】解：中，括号表示底数是，指数4表示4个相乘，即，读作“负2的4次方”； 中，没有括号，指数运算优先于负号，即4个2相乘的积的相反数，结果为，读作“负的2的4次方”或“2的4次方的相反数”； 故答案为：负2的4次方，负的2的4次方，2的4次方的相反数． 3．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 【答案】(1)，底数为，指数为5 (2)，底数为，指数为6 【分析】本题考查乘方定义，乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．首先化成幂的形式，再指出底数和指数，熟记乘方定义是解决问题的关键． 【详解】（1）解：， 底数为，指数为5； （2）解：， 底数为，指数为6． 题型2.有理数的乘方运算 1．下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方的定义计算每个选项，即可判断正误． 【详解】解：对选项A， ， A错误； 对选项B， ， B错误； 对选项C， ， C错误； 对选项D， ， D正确． 2．计算： ____________． 【答案】 【详解】解：原式． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解：． 题型3.有理数乘方逆运算 1．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 2．若，，则______． 【答案】 【详解】解：，则， ，则， ． 3．根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘方、有理数乘方的逆运算等知识点，掌握有理数乘方的逆运算是解题的关键． （1）根据阅读材料中的运算过程变形即可解答； （2）根据阅读材料，结合根据（1）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：； ． 故答案为：，． （2） 解：由（1）的结论可得：． 题型4.乘方运算的符号规律 1．下列选项中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了乘方符号的规律，根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，逐项进行比较即可． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．这组数字的第7个数是__________． 【答案】 【分析】根据题意，先确定数的符号：根据数的属性与序号的关系确定，再确定分子是常数1，确定分母的规律，解答即可． 本题考查了有理数乘方的规律探索，熟练掌握规律探索是解题的关键． 【详解】解：根据题意，第1个数为：，第2个数为：， 第3个数为：，第4个数为：， 故第n个数为， 当时，第7个数是． 故答案为：． 3．观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)128，64， (2)， (3)存在， 【分析】此题考查数字的变化规律，有理数的乘方运算，找出数字的变化规律，得出行之间的运算方法解决问题． （1）根据题干中的数字规律求解即可； （2）利用（1）中的数据找到规律即可； （3）首先得到第③行的第n个数为，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵2、、8、、32、……① ∴，，，，… ∴当时，； ∵1、、4、、16、……② ∴，，，，， ∴当时，； ∵0、6、、18、、66……③ ∴，，，，， ∴； （2）解：由（1）可得，第①行的第n个数为； 第②行的第n个数； （3）解：由（1）可得，第③行的第n个数为， ∵ ∴ ∴． 题型5.乘方的应用 1．把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】C 【分析】根据题意明确第n次对折后的厚度为，根据，求出n的最小整数值即可． 【详解】解：设对折次后整叠纸总厚度为． 由题意得， ． ，，， ， 至少要对折8次． 2．阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即，，等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和时，我们可以假设这个求和的结果为： 我们将每一项都乘以2，就可以得到，我们将两个数相减就可以得到．现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点______． 【答案】 个单位 【分析】先根据运动方向表示出点第次运动后的位置表达式，再利用题干给出的错位相减法求和，最后取绝对值得到点到原点的距离. 【详解】解：规定向右运动为正方向，向左运动为负方向，则第次运动后点的位置坐标为： 将①两边同时乘以得： ①+②得：，整理得：， ∵点到原点的距离为位置坐标的绝对值， 故第n次它距离原点. 3．进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统．如三进制数就是用0，1，2这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位．不同的进位制是可以互相转换的，若将三进制数转换为十进制数，就可以这样转换：． 解答下面问题： (1)将三进制数，转换为十进制数； (2)已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除，求的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据三进制转换为十进制数的转换方法计算即可； （2）先推导出，得到能被3整除，根据整个数能否被3整除，仅由剩余项d决定，即d必须是3的倍数，且三进制数的数字取值范围为0，1，2，故，即可解答． 【详解】（1）解： ， 答：三进制数转换为十进制数为16． （2）解： ， ∵三进制的四位数对应的十进制数能被3整除， ∴能被3整除， ∵，是3的倍数；，是3的倍数；，是3的倍数， ∴整个数能否被3整除，仅由剩余项d决定，即d必须是3的倍数， 又因为三进制数的数字取值范围为0，1，2， 故． 题型6.程序流程图与有理数计算 1．任意给一个非零数，按如图所示的程序写出输出结果，则与之间的关系式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照程序给出运算顺序列出代数式，然后化简式子即可得到与的关系式． 【详解】解：根据程序步骤列式： ， ， ． 2．有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是________． 【答案】 10 【分析】把代入转换器中计算即可． 【详解】解：， ， 输出结果为10． 3．如图是一个数值转换机，当输入的数字是时，按照图中的程序计算，求输出的答案． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，先将代入程序，然后按照程序图计算即可． 【详解】解：根据题意可知， 当时，原式． 题型7.算“24”点 1．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，通过计算每个算式的值，判断是否等于24即可得到答案． 【详解】解：A、，原式不正确，符合题意； B、，原式正确，不符合题意； C、，原式正确，不符合题意； D、，原式正确，不符合题意； 故选：A． 2．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 3．有一种“二十四点”游戏，规则是将四个绝对值小于或等于的整数进行加减乘除混合运算（每个数都用，且只用一次），使其结果等于．现有四个数，请你运用上述规则至少设计三种运算． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，根据题意写出算式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：运算如下： ①； ②； ③． 题型8.含乘方的有理数混合运算 1．定义，例如，则的结果为（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴ ． 2．定义运算，则_______． 【答案】 【详解】解：根据定义 ． 3．计算：． 【答案】6 【详解】解： ． 题型9.计算器——有理数运算 1．用计算器计算，按键顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查应用计算器，掌握计算器的各个按键的功能及使用计算器进行各种运算，能够正确输入顺序是解题关键．按照计算器输入顺序计算，即可得出答案． 【详解】 解：用计算器计算，按键的顺序为， 故选：B． 2．在计算器上按键，显示的结果为________． 【答案】 【分析】本题考查了利用计算器进行计算，解题关键是知道每个键的含义． 根据计算器各键的含义即可得出． 【详解】解：根据计算器的按键顺序可知，， 故答案为：． 3．用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果保留小数点后三位）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，四则混合计算，正确在计算器中输入是解题的关键． （1）在计算器中正确输入对应的算式求解即可； （2）在计算器中正确输入对应的算式求解即可； （3）在计算器中正确输入对应的算式求解即可； （4）在计算器中正确输入对应的算式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： 题型10.用科学记数法表示绝对值大于1的数 1．吉林省光电信息“一号工程”目标是：“十五五”末光电产业产值达160000000000元，将长春市建设成为“中国光电城”．数据160000000000用科学记数法表示为（ 　　  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：数据160000000000用科学记数法表示为． 2．某快递分拣中心每小时能处理件包裹，为应对电商发展，该中心优化流程后，每小时处理量提升到原来的倍，若将优化后每小时处理量用科学记数法表示为，则的值是________． 【答案】3.5 【分析】先根据题意计算优化后每小时的包裹处理量，再根据科学记数法的定义确定的值． 【详解】解：根据题意，优化后每小时处理量为 ． 3．用科学记数法表示下列各数． (1)4020.7； (2)576； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示数， 将各数写成的形式，其中，n为整数． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型11.将用科学记数法表示的数变回原数 1．表示的原数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的定义，移动小数点即可得到原数． 【详解】解：科学记数法形式为（，为正整数），还原原数时需将的小数点向右移动位， 本题中，，将的小数点向右移动位， 得到原数为． 2．北京故宫的占地面积大约为平方米，用科学记数法表示的数，原来是__________ 【答案】720000 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为正整数，将其还原为原数，只需将的小数点向右移动位即可． 【详解】解：． 3．已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了把科学记数法表示的数变为原数，熟知科学记数法是解题的关键． （1）把一个用科学记数法 表示的数写出原数，当n为正整数时，只需把a的小数点向右移动n位（位数不够时用0补足）即可； （2）把一个用科学记数法 表示的数写出原数，当n为正整数时，只需把a的小数点向右移动n位（位数不够时用0补足）即可； （3）把一个用科学记数法 表示的数写出原数，当n为正整数时，只需把a的小数点向右移动n位（位数不够时用0补足）即可； （4）把一个用科学记数法 表示的数写出原数，当n为正整数时，只需把a的小数点向右移动n位（位数不够时用0补足）即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型12.求一个数的近似数 1．精确到百分位是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找准要观察的尾数数位，当尾数最高位数字小于5时直接舍去，大于或等于5则向前一位进1后舍去尾数． 【详解】解：要将精确到百分位，即保留小数点后两位，需看千分位上的数字． ∵的千分位数字是4，且， ∴直接舍去千分位及后面的数字，得到． 因此正确选项为C． 2．取近似数精确到百分位为_______________． 【答案】 【分析】要得到精确到百分位的近似数，需观察千分位上的数字，根据四舍五入法则计算即可． 【详解】解：根据近似数的规则，精确到某一位时，应当对下一位的数字进行四舍五入． 百分位是小数点后第二位，的千分位数字为，，因此向百分位进． 百分位原数字为，，因此向十分位进，百分位保留， 计算得： 3．按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： ①1.596（精确到0.01）    ②0.03057（精确到千分位）    ③2345000（精确到万位） 【答案】①1.60；②0.031；③ 【分析】本题主要考查了近似数的四舍五入取法，熟练掌握四舍五入的规则及不同精确度的取法是解题的关键． ①将1.596精确到0.01，需看千分位数字，按四舍五入取近似值； ②将0.03057精确到千分位，需看万分位数字，按四舍五入取近似值； ③将2345000精确到万位，先确定万位数字，看千位数字，按四舍五入后用科学记数法表示． 【详解】解：①； ②； ③． 题型13.求近似数的精确度 1．关于近似数，下列说法正确的是（    ） A．精确到十分位，有2位有效数字 B．精确到十分位，有3位有效数字 C．精确到百分位，有2位有效数字 D．精确到百分位，有3位有效数字 【答案】D 【分析】根据定义判断即可，四舍五入到哪一位，就说明近似数精确到哪一位，有效数字是从左边第一个不为0的数字起，到末位为止的所有数字． 【详解】解：∵近似数的末位数字在百分位，从左边第一个非零数字起共有，，三个数字， ∴精确到百分位，有位有效数字． 2．自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，溱湖国家湿地公园累计接待游客超万人次．该近似数万精确到______位． 【答案】千 【分析】本题考查了近似数．先将以“万”为单位的近似数还原为原数，再根据近似数精确位数的判断规则，确定末位有效数字所在的数位即可． 【详解】解：．观察可知，数字9位于千位，因此该近似数精确到千位． 故答案为：千． 3．下列各数都是由四舍五入法得到的近似数，它们分别精确到哪一位？各有几个有效数字？ (1)小红的体重为千克； (2)小明的妈妈的年薪约为5万元； (3)月球轨道呈椭圆形，远地点平均距离为千米． 【答案】(1)精确到十分位，有3个有效数字； (2)精确到万位，有1个有效数字； (3)精确到百位，有4个有效数字 【分析】本题考查了近似数的精确度和有效数字的概念． （1）、（2）、（3）近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位；有效数字，即从数字的左边第一个不是0的数字起，所有的数字都是有效数字．据此求解即可． 【详解】（1）解：近似数，数字0所在是位是十分位，则精确到十分位，有3个有效数字； （2）解：近似数5万，数字5所在的位是万，则精确到万位，有1个有效数字； （3）解：近似数，右边的数字5所在的位是百位，则精确到百位，有4个有效数字． 题型14.近似数推断取值范围 1．据统计，至2025年年末，拱墅区常住人口四舍五入后约为万人．这时的拱墅区常住人口最多可能是（     ）人． A．1201000 B．1201400 C．1201499 D．1201999 【答案】C 【详解】解：∵万是四舍五入到千位得到的近似数，原数为整数人数，要使原数最大，需满足四舍条件，即百位数字最大为，个位和十位取最大数字， ∴最大原数为． 2．一个三位小数用四舍五入法取近似值8.40，则这个数原来最小是________． 【答案】 【详解】解：若为“五入”得到，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位需满足进位条件，最小为，即原数为， 因此这个数原来最小是． 3．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ 【答案】(1)原轴长的合格范围为大于或等于，且小于 (2)产品不合格 【分析】本题主要考查了根据近似数求原数的范围，熟知近似数的相关知识是解题的关键． （1）图纸要求精确到，相当于要精确到小数点后两位，据此根据四舍五入的方法求解即可； （2）根据即可得到结论． 【详解】（1）解：∵图纸要求精确到， ∴原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； （2）解：由（1）可知，原轴长的合格范围为大于或等于，且小于； ∵， ∴产品不合格． ✺巩固测试 一、单选题 1．下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 【答案】A 【详解】解：A．表示的是3个相乘，即选项A错误，符合题意； B．的底数是，故选项B正确，不符合题意； C．的指数是3，故选项C正确，不符合题意；   D．，故选项D正确，不符合题意． 2．计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 【答案】B 【分析】根据有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的逆运算，熟练掌握有理数乘方的逆运算法则是解题关键． 3．若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案． 【详解】解：当，则， 当，则， 当，则，则， ∴当，则， 故选：C 4．一种叫水浮莲的水草生长很快，每天增加1倍，10天刚好长满池塘，到第几天刚好长满池塘面积的一半（     ） A．6天 B．5天 C．8天 D．9天 【答案】D 【分析】水浮莲每天面积增加1倍，即后一天面积是前一天面积的2倍，可通过逆推直接得到长满一半池塘的天数． 【详解】解：∵水浮莲每天增加1倍， ∴后一天的水草面积为前一天水草面积的倍，即前一天水草面积是后一天水草面积的一半， ∵天刚好长满整个池塘， ∴长满池塘面积一半的时间为天． 5．如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】根据流程图，列式计算即可． 【详解】解：． 二、填空题 6．火星和地球的距离约为340000000千米，用科学记数法表示340000000的结果是____ 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，的绝对值与原数变为时小数点移动的位数相等. 【详解】解：. 7．定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有，例如：．则的计算结果为________． 【答案】49 【详解】解：由题意得，． 8．计算器按键顺序为：，结果为_____________． 【答案】6.5 【分析】本题考查了计算器的运用，根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 9．根据如图所示的4张扑克牌上的点数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为，可以列出综合算式是________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键．利用“24点”游戏规则列出等式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（大数的读写）世界上最大的海洋是太平洋，包括属海的面积约是平方千米，这个数读作__________，改写成以“万”为单位的数是__________万，省略亿位后面的尾数约为__________亿． 【答案】 一亿八千一百三十四万 【分析】整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的都不读出来，其他数位连续几个都只读一个“零”．改写成用“万”作单位的数，就是把万位后面的个去掉，再在数的后面写上“万”字．省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字． 【详解】读作一亿八千一百三十四万；数中，万位上的数字为，去掉末尾的个为，所以改写成以“万”为单位的数是万；数中，亿位上数字为，千万位上的数为，满向前进，故亿． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 12．用四舍五入法对下列各数取近似数 (1)（精确到千分位）； (2)（精确到0.001）； (3)（精确到十位）； (4)亿（精确到万位）； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据小数点左边第一位为个位，右边第一位为十分位，第二位是百分位，第三位是千分位，第四位是万分位，精确到千分位，只需对万分位上的数字实施四舍五入求解即可； （2）精确到0.001即千分位，解答即可； （3）根据解答即可； （4）根据亿，且，解答即可； 本题考查了精确度的计算，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得． （2）解：根据题意，得． （3）解：根据， 故． （4）解：根据亿，且， 故亿． 13．图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘除，最后计算减法． 【详解】（1）解：；；综合算式： （2）解： ． 14．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出一个运算结果为24的算式：___________； (2)如果表示正，表示负，请你用（1）中的4张牌表示的数写出一个运算结果为24算式：___________． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的四则运算： （1）观察所给数字及运算结果，根据有理数的运算法则列式计算即可； （2）观察所给数字及运算结果，根据有理数的运算法则列式计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：由题意知，（1）中4张牌表示，4，，12， ， 故答案为：（答案不唯一）． 15．为节约水资源，某中学环保宣传小组做了一项调查．调查结果显示，如果我们洗漱时都能及时关掉水龙头，那么每人每次可节省约的水． (1)如果某市有160万人，每人每天洗漱2次，并且在洗漱时都能及时关掉水龙头，那么每天共可节约多少毫升的水？ (2)如果用容量为的水瓶来装（1）中节约的水，那么可以装满多少瓶？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了科学记数法．将数据用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据160万，且结合每人每天洗漱2次，每人每次可节省约的水，进行列式计算，即可作答． （2）根据用容量为的水瓶来装（1）中节约的水，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，160万， 则， 即每天共可节约毫升的水； （2）解：由（1）得每天共可节约毫升的水； ∵用容量为的水瓶来装（1）中节约的水， ∴ 即可以装满瓶． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 有理数的乘方 暑假预习讲义 ✺知识框架 有理数乘方的概念：乘方定义、各部分名称、读写方法、符号规律、基础运算 混合运算：含乘方的有理数四则混合运算顺序、规范计算步骤 数的简单表示：科学记数法、近似数与精确度 ✺学习目标 基础知识：理解乘方的意义，掌握底数、指数、幂的概念及读写方法，能准确区分-an与(-a)n。 能力提升：熟记乘方符号法则，熟练进行基础乘方运算；掌握含乘方的有理数混合运算顺序，规范解题；会用科学记数法表示大数，能区分准确数与近似数，掌握基础精确度判断。 综合素养：体会乘方简化运算的数学思想，养成分步计算、严谨验算的解题习惯。 ✺题型归纳 题型1.有理数幂的概念理解 题型2.有理数的乘方运算 题型3.有理数乘方逆运算 题型4.乘方运算的符号规律 题型5.乘方的应用 题型6.程序流程图与有理数计算 题型7.算“24”点 题型8.含乘方的有理数混合运算 题型9.计算器——有理数运算 题型10.用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型11.将用科学记数法表示的数变回原数 题型12.求一个数的近似数 题型13.求近似数的精确度 题型14.近似数推断取值范围 题型15.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、有理数的乘方 1.乘方的定义：求若干个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果称为幂。 在乘方表达式中，a为底数（参与相乘的相同因数），n为指数（相同因数的个数），读作“a的n次方”或“a的n次幂”。 示例：，底数是2，指数是3，表示3个2相乘，即=2×2×2=8。 2.有理数乘方的符号法则 （1）正数的任何正整数次幂都是正数； （2）负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数。 速记口诀：正数幂恒正，负数偶正奇负，零的正次幂恒零。 3.特殊有理数的乘方性质 （1）1的任意正整数次幂都等于1； （2）-1的偶次幂为1，-1的奇次幂为-1； （3）0的任意正整数次幂都等于0。 4.重点概念辨析 严格区分与(-a)n的运算意义。 底数为a，表示a的n次方的相反数； (-a)n底数为-a，表示n个-a连续相乘， ▲二者底数、运算逻辑完全不同，计算结果存在明显差异，是本节最易混淆的考点。 示例：-32=-9，=9，二者意义与结果完全不同。 ★注意：任意非零数均可看作自身的一次方，指数1通常省略不写，属于数学规范写法。 知识点二、有理数混合运算 1.运算顺序 ◆先算乘方，再算乘除，最后算加减； ◆同级运算从左至右依次进行； ◆含有括号时，优先计算括号内运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序由内向外逐层计算。 2.核心运算原则 分级运算：数学规定乘方为三级运算、乘除为二级运算、加减为一级运算，运算时优先计算高级运算； 同级运算：只有加减或只有乘除时，严格从左往右依次计算，杜绝随意跳步运算； 括号优先：所有括号内运算优先完成，多层括号由内向外逐层计算。 3.简便运算原则与技巧 在严格遵守运算顺序的前提下，可合理运用运算律重组算式，简化计算、减少失误： （1）加法：结合互为相反数、同分母、可凑整的数优先计算； （2）乘法：巧用交换律、结合律约分凑整，运用乘法分配律展开简化多步运算； （3）同级运算可灵活组合凑整约分，避免机械顺序计算。 知识点三、科学记数法 定义：把大数写成a×的形式（1≤|a| < 10，n为正整数）。 示例：56000000=5.6× 对于小于-10的数也可以类似表示。例如：﹣56000000=﹣5.6× ▲科学记数法的形式a×10n中a和n的确定方法 ◆将小数点移到左起第1个数字的后边即可得到a的取值.  ◆确定n有两种方法： ① 数小数点移动的位数，小数点移动几位，n就是几； ② 数原数的整数位数，原数的整数位数减1就是n的值。 知识点四、近似数与精确度 1.准确数和近似数 准确数：在日常生活和生产实际中，能准确地表示一些量的数。称为准确数. 例如：二班共60人，小红养了5条金鱼，“60”、“5”都是准确数。 近似数：与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数。 例如：π取3.14，体重约56kg，这里“3.14”和“56”都是近似数。 精确度：四舍五入到哪一位，就称近似数精确到哪一位。 示例：3.1（精确到十分位），3.14（精确到百分位）。 ✺题型精讲 题型1.有理数幂的概念理解 1．的意义是（     ） A．乘以 B．个相乘 C．个相乘 D．个相加 2．，，说说它们的意义与读法． ，表示4个相乘，读作____________． 表示4个2相乘的相反数，读作__________或____． 3．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2) 题型2.有理数的乘方运算 1．下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．计算： ____________． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型3.有理数乘方逆运算 1．如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 2．若，，则______． 3．根据乘方的意义及乘法运算律可知： ； ； (1)根据以上材料可知： ___________， ___________（n为正整数）； (2)根据上面得到的结论，计算： ___________． 题型4.乘方运算的符号规律 1．下列选项中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．这组数字的第7个数是__________． 3．观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 题型5.乘方的应用 1．把足够大的一张厚度为的纸连续对折，要使对折后的整叠纸总厚度超过，至少要对折（     ） A．次 B．次 C．次 D．次 2．阅读材料完成问题：在中学生涯中，我们常常会遇到等比数列，即，，等，每两个数之间都是2倍数关系，若要求和时，我们可以假设这个求和的结果为： 我们将每一项都乘以2，就可以得到，我们将两个数相减就可以得到．现在有一点M从坐标原点开始运动，第一次向右2个单位，第二次向左4个单位，第三次向右8个单位，第四次向左16个单位，如此循环往复，第n次它距离原点______． 3．进位制是人们为了满足记数和运算的需求而约定的记数系统．如三进制数就是用0，1，2这三个数字来表示数的记数方式，逢三进一位．不同的进位制是可以互相转换的，若将三进制数转换为十进制数，就可以这样转换：． 解答下面问题： (1)将三进制数，转换为十进制数； (2)已知一个三进制的四位数对应的十进制数能被3整除，求的值． 题型6.程序流程图与有理数计算 1．任意给一个非零数，按如图所示的程序写出输出结果，则与之间的关系式为（   ）． A． B． C． D． 2．有一个数值转换器，其工作原理如图所示，若输入，则输出的结果是________． 3．如图是一个数值转换机，当输入的数字是时，按照图中的程序计算，求输出的答案． 题型7.算“24”点 1．有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数必须且只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10．运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 3．有一种“二十四点”游戏，规则是将四个绝对值小于或等于的整数进行加减乘除混合运算（每个数都用，且只用一次），使其结果等于．现有四个数，请你运用上述规则至少设计三种运算． 题型8.含乘方的有理数混合运算 1．定义，例如，则的结果为（     ） A． B． C．1 D．3 2．定义运算，则_______． 3．计算：． 题型9.计算器——有理数运算 1．用计算器计算，按键顺序是（   ） A． B． C． D． 2．在计算器上按键，显示的结果为________． 3．用计算器计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果保留小数点后三位）． 题型10.用科学记数法表示绝对值大于1的数 1．吉林省光电信息“一号工程”目标是：“十五五”末光电产业产值达160000000000元，将长春市建设成为“中国光电城”．数据160000000000用科学记数法表示为（ 　　  ） A． B． C． D． 2．某快递分拣中心每小时能处理件包裹，为应对电商发展，该中心优化流程后，每小时处理量提升到原来的倍，若将优化后每小时处理量用科学记数法表示为，则的值是________． 3．用科学记数法表示下列各数． (1)4020.7； (2)576； (3)； (4)． 题型11.将用科学记数法表示的数变回原数 1．表示的原数是（    ） A． B． C． D． 2．北京故宫的占地面积大约为平方米，用科学记数法表示的数，原来是__________ 3．已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数： (1)； (2)； (3)． (4) 题型12.求一个数的近似数 1．精确到百分位是（   ） A． B． C． D． 2．取近似数精确到百分位为_______________． 3．按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数： ①1.596（精确到0.01）    ②0.03057（精确到千分位）    ③2345000（精确到万位） 题型13.求近似数的精确度 1．关于近似数，下列说法正确的是（    ） A．精确到十分位，有2位有效数字 B．精确到十分位，有3位有效数字 C．精确到百分位，有2位有效数字 D．精确到百分位，有3位有效数字 2．自2025年11月1日泰州队斩获苏超冠军以来，溱湖国家湿地公园累计接待游客超万人次．该近似数万精确到______位． 3．下列各数都是由四舍五入法得到的近似数，它们分别精确到哪一位？各有几个有效数字？ (1)小红的体重为千克； (2)小明的妈妈的年薪约为5万元； (3)月球轨道呈椭圆形，远地点平均距离为千米． 题型14.近似数推断取值范围 1．据统计，至2025年年末，拱墅区常住人口四舍五入后约为万人．这时的拱墅区常住人口最多可能是（     ）人． A．1201000 B．1201400 C．1201499 D．1201999 2．一个三位小数用四舍五入法取近似值8.40，则这个数原来最小是________． 3．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到，一根为，另一根为，怎么不合格？” (1)图纸要求精确到，则原轴长的合格范围是多少？ (2)你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？ ✺巩固测试 一、单选题 1．下列说法中不正确的是（    ） A．表示3个2相乘 B．底数是 C．指数是3 D．幂为 2．计算：（    ） A． B．1 C．0 D．2023 3．若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 4．一种叫水浮莲的水草生长很快，每天增加1倍，10天刚好长满池塘，到第几天刚好长满池塘面积的一半（     ） A．6天 B．5天 C．8天 D．9天 5．如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 二、填空题 6．火星和地球的距离约为340000000千米，用科学记数法表示340000000的结果是____ 7．定义一种新运算“※”：对于任意有理数、，都有，例如：．则的计算结果为________． 8．计算器按键顺序为：，结果为_____________． 9．根据如图所示的4张扑克牌上的点数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为，可以列出综合算式是________． 10．（大数的读写）世界上最大的海洋是太平洋，包括属海的面积约是平方千米，这个数读作__________，改写成以“万”为单位的数是__________万，省略亿位后面的尾数约为__________亿． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)； (3)． 12．用四舍五入法对下列各数取近似数 (1)（精确到千分位）； (2)（精确到0.001）； (3)（精确到十位）； (4)亿（精确到万位）； 13．图是一个计算程序． (1)按照顺序计算并填写其中的“     ”，并在下面横线上列出综合算式； 综合算式：___________________（仅列算式无需计算）； (2)计算：． 14．24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用． (1)在玩“24点”游戏时，小明抽到以下4张牌（Q表示12）： 请你帮他写出一个运算结果为24的算式：___________； (2)如果表示正，表示负，请你用（1）中的4张牌表示的数写出一个运算结果为24算式：___________． 15．为节约水资源，某中学环保宣传小组做了一项调查．调查结果显示，如果我们洗漱时都能及时关掉水龙头，那么每人每次可节省约的水． (1)如果某市有160万人，每人每天洗漱2次，并且在洗漱时都能及时关掉水龙头，那么每天共可节约多少毫升的水？ (2)如果用容量为的水瓶来装（1）中节约的水，那么可以装满多少瓶？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $