专题2.2 有理数的乘法与除法（暑假预习讲义）2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题2.2 有理数的乘法与除法 【本节预习目标】 1.知识目标：理解有理数乘法、除法的意义，熟练掌握有理数乘法、除法的运算法则，明确倒数的定义，能准确进行有理数乘除基础运算。 2.能力目标：掌握多个有理数相乘的符号确定方法，会运用乘法交换律、结合律、分配律简化运算，能规范解决简单的有理数乘除混合运算。 3.素养目标：通过类比小学正数乘除运算，体会数形结合、分类讨论的数学思想，提升运算能力和逻辑推理能力，适应有理数范围内的运算规则。 【前置旧知回顾】 本节内容是小学正数乘除运算的延伸，同时依托上一节有理数的加减运算知识，为新知学习铺垫基础，旧知梳理如下： 旧知模块 核心知识点 备注 小学正数乘除运算 1.乘法：求几个相同加数和的简便运算； 2.除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算； 3.正数乘除结果仍为正数。 有理数乘除沿用运算本质，新增符号判断 有理数的分类 有理数包含正数、0、负数，运算需区分符号与数值两部分 是乘除符号法则的基础 相反数、绝对值 1.绝对值：数轴上数到原点的距离，正数和0的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数； 2.运算时先定符号，再算绝对值是有理数运算通用规则 乘除运算核心步骤：定符号、算绝对值 知识点1：有理数的乘法法则 有理数乘法是小学乘法的拓展，运算核心分为判断符号和计算绝对值两步。 1.两数相乘法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。 2.完整运算步骤：第一步，观察两个因数的符号，根据法则确定积的符号；第二步，计算两个因数绝对值的乘积，作为积的数值部分。 知识点2：倒数的定义 1.定义：乘积是1的两个数互为倒数。 2.核心要点：1的倒数是1，-1的倒数是-1；0没有倒数（因为0乘任何数都得0，无法得到1）；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 3.求倒数方法：整数（非0）的倒数是几分之一；分数的倒数是分子分母互换位置；小数先化成分数，再求倒数。 示例：2的倒数是，的倒数是。 知识点3：多个有理数相乘的符号法则 1.不含0的多个数相乘：积的符号由负因数的个数决定。当负因数有偶数个时，积为正数；当负因数有奇数个时，积为负数。 2.含0的多个数相乘：几个有理数相乘，只要有一个因数是0，积就为0。 3.运算步骤：先观察因数中是否有0，有0直接得结果0；无0则先数负因数个数定符号，再将所有因数的绝对值相乘。 示例：，3个负因数（奇数个），积为负，结果。 知识点4：有理数乘法的运算律 小学乘法运算律在有理数范围内依然适用，可简化复杂乘法运算。 运算律名称 文字表述 字母公式 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变 乘法分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点5：有理数的除法法则 有理数除法与乘法互为逆运算，同样遵循“先定符号，再算绝对值”的规则，有两种常用法则。 1.除法法则一（通用法则）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 2.除法法则二（转化法则）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。字母公式：。 3.核心注意事项：0不能作为除数；除法没有交换律、结合律，不可随意调换顺序、增减括号。 示例：，。 知识点6：有理数的乘除混合运算 1.运算顺序：同级运算，从左到右依次进行；有括号的先算括号内的运算。 2.简便运算技巧：先将所有除法转化为乘法（统一成乘法运算），再利用乘法运算律简化计算，最后确定结果符号、算出数值。. 3.易错点：乘除混合运算中，切勿先算右侧运算，杜绝跳步运算，避免符号和顺序出错。 【基础巩固题型】 【题型1】两个有理数的乘法运算 1.核心知识点 有理数乘法法则；符号判断与绝对值计算 2.解题方法技巧 ①遵循“先定号，后定值”的原则，先根据因数的符号判断积的符号； ②同号相乘结果为正，异号相乘结果为负，再将绝对值相乘； ③任何数与相乘结果直接为，无需计算绝对值。 【例题1】.（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算： ______． 【答案】1 【详解】解：． 【变式题1-1】.（2026·天津滨海新区·二模）计算的结果等于（     ） A．4 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解：. 【变式题1-2】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)0 (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【变式题1-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查两个有理数的乘法，根据“同号得正，异号得负”的法则求解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【题型2】有理数除法运算 1.核心知识点 有理数除法法则；倒数的概念 2.解题方法技巧 ①两数能整除时，直接用符号法则：同号得正，异号得负，绝对值相除； ②不能整除或含有分数时，将除法转化为“乘除数的倒数”再计算； ③不能作为除数，除以任何非数都得。 【例题2】.（2026·天津东丽·二模）计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】运用有理数除法法则计算即可得到结果. 【详解】解：． 【变式题2-1】.（2026·陕西西安·二模）计算：（     ） A． B．6 C．10 D． 【答案】A 【详解】解：根据有理数除法法则，异号两数相除结果为负，再将两数的绝对值相除即可 ， ． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的除法，有理数的除法法则是除以一个数等于乘以这个数的倒数，解决本题的关键是根据有理数的除法法则把除法转化为乘法，再根据有理数的乘法法则进行计算． (1)根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； (2)根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； (3)先将小数化为分数，再根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； (4)根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5) (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题主要考查了有理数的除法． 根据除以任何不为的数都等于计算； 根据两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除计算； 根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则进行计算； 根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则进行计算； 根据两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除计算； 首先把除数化为假分数，再根据除以一个不为的数等于乘以这个数的倒数，可得：原式，再根据有理数的乘法法则进行计算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【题型3】多个有理数相乘的符号判断 1.核心知识点 多个非零因数相乘的符号法则；含因数的积的特征 2.解题方法技巧 ①先检查算式中是否有因数，有则积直接为； ②无时统计负因数的个数：奇数个则积为负，偶数个则积为正； ③可先定符号，再计算绝对值的乘积，简化运算过程。 【例题3】.（25-26七年级上·全国·期末） 下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查多个有理数相乘的符号法则，熟练掌握多个有理数相乘的符号法则是解题的关键． 根据多个有理数相乘的符号法则“多个数非零有理数相乘时，负数的个数为奇数时积为负数，负数的个数为偶数时积为正数；有零相乘时，结果为0”即可求解． 【详解】解：选项A：，故选项A不符合题意； 选项B：中负数的个数为偶数，故选项B不符合题意； 选项C：中负数的个数为偶数，故选项C不符合题意； 选项D：中负数的个数为奇数，故选项D符合题意． 故答案为：D． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·云南曲靖·期中）不计算，直接判断的结果是（   ） A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘法中的负号问题． 负数个数为奇数时，结果为负；偶数时为正，所有因数均非零，故结果不为零． 【详解】解：∵负数有：、、，共3个（奇数）， ∴结果为负数． 故选：B． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）五个数相乘的积为负数，则这五个数中负因数有（　　） A．1个 B．1个或3个 C．5个 D．1个或3个或5个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，解题的关键是掌握：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． 根据有理数的乘法法则解答即可． 【详解】解：五个有理数的积为负数， 这五个有理数中有奇数个负因数，即1个或3个或5个， 故选：D． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·陕西安康·阶段检测）若，8，a的积是一个负数，则a的值可以是（   ） A． B． C．0 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的乘法，掌握多个有理数相乘的运算法则是关键．根据多个非零有理数相乘时积的符号取决于负因数的个数求解可得． 【详解】解：若，8，a的积是一个负数， ， 符合条件的只有D选项． 故选：D． 【培优提升题型】 【题型4】乘法运算律的简便计算 1.核心知识点 乘法交换律、结合律、分配律；简便运算策略 2.解题方法技巧 ①凑整结合：利用交换律、结合律，将能凑成整数、整十的数优先相乘； ②分配律正用：将括号外的数分别乘括号内每一项，消去分母简化计算； ③分配律逆用：提取公共因数，将剩余部分合并后再相乘； ④带分数拆分：将接近整数的带分数拆成“整数±分数”的形式，再用分配律计算。 【例题4】.（25-26六年级上·山东淄博·期末）计算时，将式子变形为进行简便运算，这样做的依据是运用了______． 【答案】乘法交换律和结合律 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算、有理数的乘法运算律等知识点，掌握乘法运算律是解题的关键． 通过改变乘数的顺序和分组，使计算简便，依据是乘法的交换律和结合律． 【详解】解：原式计算中，将式子变形为先计算与的乘积，再乘以8，应用了乘法的交换律改变乘数的顺序，并结合结合律改变乘法的分组，从而使计算简便． 故答案为：乘法交换律和结合律． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·陕西汉中·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】利用乘法分配律进行简单计算即可． 【详解】解：原式           ． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·吉林松原·期中）用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，观察式子，运用有理数的乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·河南南阳·期中）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又对又快． 下面是两位同学给出的不同解法． 小亮：原式 小舒：原式． (1)以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？理由是什么？ (2)请你用简便方法计算． 【答案】(1)我认为小数的解法比较简便；理由是她把带分数拆成了一个整数与真分数的和，运用了乘法分配律简化了计算过程 (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算； （1）根据题意，说明理由即可； （2）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：我认为小舒的解法比较简便；理由是她把带分数拆成了一个整数与真分数的和，运用了乘法分配律简化了计算过程． （2）解： 【题型5】有理数乘除混合运算 1.核心知识点 除法化乘法；乘除混合运算顺序 2.解题方法技巧 ①第一步将所有除法统一转化为乘法，写成连乘的形式； ②先根据负因数个数确定最终结果的符号； ③再对所有绝对值进行约分，约去公因数后计算最终结果。 【例题5】.（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： 【答案】36 【详解】解： . 【变式题5-1】.（26-27七年级·全国·暑假作业）计算：． 【答案】 【分析】本题为同级乘除运算，所以按照从左到右的顺序计算，再将除法转化为乘法，统一为分数乘法运算即可． 【详解】解： ． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式题5-3】.（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 【题型6】错中求解类乘除问题 1.核心知识点 乘除法的互逆关系；有理数乘除运算 2.解题方法技巧 ①根据“看错运算符号后得到的结果”，利用逆运算反推出原式中的未知数字； ②将求出的原数代入正确的算式，计算出正确结果； ③注意符号在逆运算中的传递，避免符号出错。 【例题6】.（25-26七年级上·全国·周测）小虎把一个数乘错看成除以，结果得，则正确的结果是________． 【答案】 【分析】本题根据乘除法的关系先逆推出未知的因数，再进一步求解． 先用乘以求出未知的因数，再乘以即可. 【详解】解：， ， . 故答案为：. 【变式题6-1】.（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）明明在计算时，错看成了，得到的结果会比正确的结果少6．( ) 【答案】√ 【分析】本题主要考查了乘法分配律， 乘法分配律是指两个数的和同一个数相乘，等于把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积加起来，结果不变．据此先将原算式变为，再与错看成的算式进行比较，据此判断． 【详解】解：正确的结果：， 所以． 因此正确的结果会比错看成得到的结果多6，也就是错看成，得到的结果比正确的结果少6，原题干的说法是正确的． 故答案为：√． 【变式题6-2】.（24-25六年级下·山东滨州·期末）小米把错看成了，那么她算出的结果与正确结果相差（   ） A．4 B．15 C．56 D．60 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，分别求出和的结果，再计算两者的差值即可得出结果． 【详解】解：正确算式展开：， 错误算式展开：， 正确结果错误结果 ． 因此，算出的结果与正确结果相差56， 故选：C． 【变式题6-3】.（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段检测）已知算式“”． (1)请你计算上式结果； (2)小红将数字“8”抄错了，所得结果为，求小红把“8”错写成了哪个数； (3)改变原算式中的一个运算符号，使得计算结果比原算式的正确结果大，请计算比原算式的结果大了多少？ 【答案】(1) (2)3 (3)答案不唯一，见解析 【分析】本题主要考查有理数的运算，解一元一次方程，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． （1）根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）设小红把“8”错写成了，解一元一次方程即可； （3）把运算符号“”改变为“+”，得到的计算结果为，即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：设小红把“8”错写成了， 根据题意得：，解得：， 所以，小红把“8”错写成了3； （3）解：把运算符号“”改变为“+”， 得到的计算结果为， 所以，，改变运算符号后的结果比原来的结果大10． 【压轴素养题型】 【题型7】倒数法巧算有理数除法（阅读探究型） 1.核心知识点 有理数四则混合运算；乘法分配律；倒数的性质 2.解题方法技巧 ① 当除数为多个有理数的和差形式时，可先求原式的倒数，将除法转化为乘法； ② 利用乘法分配律简化倒数部分的运算，降低计算量； ③ 求出倒数结果后取倒数，即为原式的值；注意除法无分配律，不可直接拆分被除数。 【例题7】.（24-25七年级上·云南文山·期中）阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 【答案】(1)小云的方法不对，正确做法见解析； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数混合运算运算法则和运算顺序，运算律是解题的关键． （）小云的方法不对，根据有理数的混合运算的计算方法可以解答本题； （）根据小南的方法可以解答本题． 【详解】（1）解：小云的方法不对， 正确做法： ； （2）解： ． 【变式题7-1】.（24-25七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小英的解法：． 小李的解法：原式的倒数为…第一步， …第二步， …第三步， …第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 【答案】(1)小李 (2)乘法分配律 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）因为除法没有分配律，所以小李的解法正确； （2）小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律； （3）先求出原式的倒数，将除法变为乘法，再根据乘法分配律计算出原式的倒数，最后取倒数即可解答． 【详解】（1）解：因为除法没有分配律，所以小李的解法正确， 故答案为：小李； （2）解：小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （3）解：， 原式的倒数为：， ， ， ， 原式． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）项目式学习 项目背景 在有理数除法运算中，当除数是一个复杂的有理数的和差形式时，直接计算比较繁琐，可先求原式的倒数，再利用乘法分配律简化计算，最后取倒数得到结果． 学习目标 理解“倒数法”在有理数除法中的原理；熟练运用乘法分配律进行有理数乘法运算． 材料阅读 计算：． 解：原式的倒数： ， 故原式． 任务解决 用倒数法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了倒数、有理数的除法、乘法分配律，理解“倒数法”是解题的关键． 仿照题意的“倒数法”进行计算即可． 【详解】解：原式的倒数： ， 故原式． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·广东肇庆·期中）阅读下面材料，然后回答问题． 计算． 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪种解法是错误的？并说明错误原因． (2)请选择适当的方法计算：． 【答案】(1)解法一和解法二都错误，原因见解析 (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题意是解本题的关键． （1）根据有理数运算法则和运算律分析判断即可； （2）利用乘法分配律求出原式倒数的值，即可求出原式的值． 【详解】（1）解：解法一和解法二错误， 原因：解法一错误地运用了除法分配律，除法不具有分配律； 解法二在运用加法交换律时，没有连同数字前面的符号一起移动； （2）解：∵ ， ∴． 【题型8】新定义乘除运算 1.核心知识点 有理数乘除运算；分类讨论思想 2.解题方法技巧 ①先准确理解新定义的运算规则，明确触发不同运算的边界条件； ②根据参数的取值范围，分类讨论对应哪种运算规则，再代入计算； ③嵌套型新定义从最内层开始计算，每一步都验证条件，逐步向外求解。 【例题8】.（24-25八年级上·北京海淀·期中）将四个有理数a，b，c，d写成的形式，称它为由有理数a，b，c，d组成的二阶矩阵，a，b，c，d为构成这个矩阵的元素，定义矩阵的运算为：，两个矩阵相加我们定义为：，下面是两个二阶矩阵的加法运算过程： ． (1)计算的值； (2)计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，整式的加减运算，弄清题中的运算法则是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的方法计算即可； （2）根据阅读材料中的方法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·湖南长沙·期中） 定义新运算： (右边的运算为平常的加、减、乘、除)． 例如： 若， 则称有理数a， b为“隔一数对”． 例如： 所以2，3就是一对“隔一数对” (1)下列各组数是“隔一数对”的是 ；(请填序号) ①，； ②， ； (2)计算： ； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用和分式的运算．理解新定义运算的运算法则是解题的关键． （1）根据“隔一对数”的定义分别计算每组数的，对比是否相等即可判断； （2）按“隔一对数”的定义进行计算即可； （3）利用“隔一对数”的性质转化为的形式进行简便计算即可． 【详解】（1）解：①，， ， ①为“隔一数对”； ②，， ， ②不为“隔一数对”； 故答案为①． （2）解： ． （3）解： ． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·陕西西安·期中）【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； （4）若整数满足，求、的值． 【答案】（1）0，；（2）；（3）；（4）或， 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据定义的运算法则计算各式即可； （2）根据定义的运算法则计算即可； （3）根据定义的运算法则列得算式并整理，然后将原式变形后代入数值计算即可； （4）根据定义的运算法则列得算式并整理，然后确定a，b的值即可． 【详解】解：（1），， 故答案为：0；； （2） ． （3）， ， ． （4）整数、满足， 当与同号时， ，， ，， ，． 当与异号时， ，， ， ，， ，． 综上，或，． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·福建莆田·期末）新定义：对于有理数a，将a的绝对值的各数位上的数字相乘，若结果大于等于10，则继续将结果的各数位上的数字相乘，直到得到一个个位数，这个数称为a的“数字积值”．定义运算：如果a是正数，则就是这个数字积值；如果a是负数，则就是这个数字积值的相反数；如果a是0，特别地，0的数字积值是0，则． 例：，所以； ，因为原数是负数，所以． (1)计算：_________；_________． (2)若a是一个两位数，且，写出满足条件的一个有理数a的值：_________； (3)猜想：对任意整数m，n是否一定有成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举一个例子说明． 【答案】(1)2； (2)23（答案不唯一） (3)不一定成立，例子见解析 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题例即可求解； （2）根据数字积值为，可得为正数，再根据即可得到答案； （3）举出反例进行验证即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ， ∴， 故答案为：2，； （2）解：∵数字积值为， ∴为正数， ∵， ∴， 故答案为：23； （3）解：当，时，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴对任意整数m，n不一定成立． 易错点 1、多个有理数相乘时，负因数个数统计错误导致符号出错；或忽略算式中含的因数，错误计算绝对值乘积。 2、除法转化乘法时变形不完整：只改变除号不将除数变为倒数，或遗漏除数的符号，导致结果符号错误。 3、乘法分配律应用错误：漏乘括号内的某一项，或括号前是负号时括号内各项符号处理错误；误将除法套用分配律。 4、倒数概念混淆：误认为有倒数，或负数没有倒数；将倒数与相反数的概念混淆。 重点 1、有理数乘法、除法的运算法则，掌握“先定符号，后算绝对值”的核心运算逻辑。 2、灵活运用乘法运算律进行简便计算，熟练完成有理数乘除混合与四则混合运算。 3、运用有理数乘除建立实际问题的数学模型，解决生活与简单跨学科情境问题。 难点 1、多个有理数乘除混合的符号精准处理，以及运算律的灵活选用与技巧变形。 2、规律探究、新定义、跨学科创新题型中的逻辑推理与数学建模。 一、单选题 1．水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据数轴上点的位置判断两个数的符号，再利用有理数除法法则判断商的符号即可． 【详解】解：∵有理数，在数轴上对应的点分别在原点的两侧， ∴和一个是正数，一个是负数，即，异号， 又∵有理数除法法则为：两数相除，同号得正，异号得负， ∴这两个数相除所得的商一定是负数． 3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用数轴确定a、b的取值范围，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴，，，， ∴选项A、B、C说法错误；选项D说法正确． 二、填空题 4．有理数的倒数为_____________． 【答案】 【详解】解：有理数的倒数为． 5．按运算步骤：输入乘加，若输入，则输出结果为______． 【答案】1 【详解】解：根据题意得，． 6．规定，求的值为( ) 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 三、解答题 7．怎样算简便就怎样算．（在第4小题括号里填上合适的数，使计算可以简便，并计算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4)，3 (5)1 (6) (7)1 (8)2 【分析】本题考查的是简便运算，按照分配律，结合律，交换律的规则以及运算顺序和规则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：      ； （4）解：      ； （5）解： ； （6）解：      ； （7）解：      ； （8）解： ． 8．小河和小北计算的过程如下． 小河的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 小北的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 (1)小河和小北的解题过程都出现了错误，小河是第________步开始出现错误，小北是第________步开始出现错误； (2)请你正确计算该题． 【答案】(1)一，一 (2) 【分析】（1）先根据有理数混合运算的顺序，分别检查小河和小北的每一步计算：小河在第一步计算时，违反同级运算从左到右的顺序，错误先算，因此从第一步开始出错；小北在第一步计算时，错误对除法使用分配律拆分，因此从第一步开始出错． （2）按照有理数混合运算的正确顺序：先算括号内的减法，再算乘除，最后算减法，同级运算从左到右依次计算，逐步脱式计算出正确结果． 【详解】（1）解：小河计算时，违反同级运算从左到右的计算顺序，先计算了后一项的乘法，第一步就得到错误结果，因此小河从第一步开始出现错误． 小北计算时，错误对除法使用分配律拆分，第一步就得到错误结果，因此小北从第一步开始出现错误． （2）解：正确计算过程如下： ． 9．先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 【答案】(1)一 (2) 【分析】（1）本题考查有理数运算的法则．除法不存在分配律，解法一错误使用了分配律展开计算，因此解法一错误． （2）本题可采用两种正确方法计算，第一种先通分计算括号内的结果，再计算除法；第二种先计算原式的倒数，利用乘法计算后再求原式的值，均符合有理数运算法则． 【详解】（1）解 ：除法不满足分配律，不能将除以多个项和的运算拆分为分别除以各项再求和，因此解法一是错误的． （2）方法一： 原式 ． 方法二：原式的倒数为 ． 所以原式 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 有理数的乘法与除法 【本节预习目标】 1.知识目标：理解有理数乘法、除法的意义，熟练掌握有理数乘法、除法的运算法则，明确倒数的定义，能准确进行有理数乘除基础运算。 2.能力目标：掌握多个有理数相乘的符号确定方法，会运用乘法交换律、结合律、分配律简化运算，能规范解决简单的有理数乘除混合运算。 3.素养目标：通过类比小学正数乘除运算，体会数形结合、分类讨论的数学思想，提升运算能力和逻辑推理能力，适应有理数范围内的运算规则。 【前置旧知回顾】 本节内容是小学正数乘除运算的延伸，同时依托上一节有理数的加减运算知识，为新知学习铺垫基础，旧知梳理如下： 旧知模块 核心知识点 备注 小学正数乘除运算 1.乘法：求几个相同加数和的简便运算； 2.除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算； 3.正数乘除结果仍为正数。 有理数乘除沿用运算本质，新增符号判断 有理数的分类 有理数包含正数、0、负数，运算需区分符号与数值两部分 是乘除符号法则的基础 相反数、绝对值 1.绝对值：数轴上数到原点的距离，正数和0的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数； 2.运算时先定符号，再算绝对值是有理数运算通用规则 乘除运算核心步骤：定符号、算绝对值 知识点1：有理数的乘法法则 有理数乘法是小学乘法的拓展，运算核心分为判断符号和计算绝对值两步。 1.两数相乘法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。 2.完整运算步骤：第一步，观察两个因数的符号，根据法则确定积的符号；第二步，计算两个因数绝对值的乘积，作为积的数值部分。 知识点2：倒数的定义 1.定义：乘积是1的两个数互为倒数。 2.核心要点：1的倒数是1，-1的倒数是-1；0没有倒数（因为0乘任何数都得0，无法得到1）；正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。 3.求倒数方法：整数（非0）的倒数是几分之一；分数的倒数是分子分母互换位置；小数先化成分数，再求倒数。 示例：2的倒数是，的倒数是。 知识点3：多个有理数相乘的符号法则 1.不含0的多个数相乘：积的符号由负因数的个数决定。当负因数有偶数个时，积为正数；当负因数有奇数个时，积为负数。 2.含0的多个数相乘：几个有理数相乘，只要有一个因数是0，积就为0。 3.运算步骤：先观察因数中是否有0，有0直接得结果0；无0则先数负因数个数定符号，再将所有因数的绝对值相乘。 示例：，3个负因数（奇数个），积为负，结果。 知识点4：有理数乘法的运算律 小学乘法运算律在有理数范围内依然适用，可简化复杂乘法运算。 运算律名称 文字表述 字母公式 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变 乘法分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 知识点5：有理数的除法法则 有理数除法与乘法互为逆运算，同样遵循“先定符号，再算绝对值”的规则，有两种常用法则。 1.除法法则一（通用法则）：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 2.除法法则二（转化法则）：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。字母公式：。 3.核心注意事项：0不能作为除数；除法没有交换律、结合律，不可随意调换顺序、增减括号。 示例：，。 知识点6：有理数的乘除混合运算 1.运算顺序：同级运算，从左到右依次进行；有括号的先算括号内的运算。 2.简便运算技巧：先将所有除法转化为乘法（统一成乘法运算），再利用乘法运算律简化计算，最后确定结果符号、算出数值。. 3.易错点：乘除混合运算中，切勿先算右侧运算，杜绝跳步运算，避免符号和顺序出错。 【基础巩固题型】 【题型1】两个有理数的乘法运算 1.核心知识点 有理数乘法法则；符号判断与绝对值计算 2.解题方法技巧 ①遵循“先定号，后定值”的原则，先根据因数的符号判断积的符号； ②同号相乘结果为正，异号相乘结果为负，再将绝对值相乘； ③任何数与相乘结果直接为，无需计算绝对值。 【例题1】.（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算： ______． 【变式题1-1】.（2026·天津滨海新区·二模）计算的结果等于（     ） A．4 B． C．1 D． 【变式题1-2】.（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型2】有理数除法运算 1.核心知识点 有理数除法法则；倒数的概念 2.解题方法技巧 ①两数能整除时，直接用符号法则：同号得正，异号得负，绝对值相除； ②不能整除或含有分数时，将除法转化为“乘除数的倒数”再计算； ③不能作为除数，除以任何非数都得。 【例题2】.（2026·天津东丽·二模）计算的结果等于（     ） A．3 B． C．2 D． 【变式题2-1】.（2026·陕西西安·二模）计算：（     ） A． B．6 C．10 D． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； (5) (6)． 【题型3】多个有理数相乘的符号判断 1.核心知识点 多个非零因数相乘的符号法则；含因数的积的特征 2.解题方法技巧 ①先检查算式中是否有因数，有则积直接为； ②无时统计负因数的个数：奇数个则积为负，偶数个则积为正； ③可先定符号，再计算绝对值的乘积，简化运算过程。 【例题3】.（25-26七年级上·全国·期末） 下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·云南曲靖·期中）不计算，直接判断的结果是（   ） A．正数 B．负数 C．0 D．无法确定 【变式题3-2】.（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）五个数相乘的积为负数，则这五个数中负因数有（　　） A．1个 B．1个或3个 C．5个 D．1个或3个或5个 【变式题3-3】.（25-26七年级上·陕西安康·阶段检测）若，8，a的积是一个负数，则a的值可以是（   ） A． B． C．0 D．7 【培优提升题型】 【题型4】乘法运算律的简便计算 1.核心知识点 乘法交换律、结合律、分配律；简便运算策略 2.解题方法技巧 ①凑整结合：利用交换律、结合律，将能凑成整数、整十的数优先相乘； ②分配律正用：将括号外的数分别乘括号内每一项，消去分母简化计算； ③分配律逆用：提取公共因数，将剩余部分合并后再相乘； ④带分数拆分：将接近整数的带分数拆成“整数±分数”的形式，再用分配律计算。 【例题4】.（25-26六年级上·山东淄博·期末）计算时，将式子变形为进行简便运算，这样做的依据是运用了______． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·陕西汉中·期中）用简便方法计算：． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·吉林松原·期中）用简便方法计算：． 【变式题4-3】.（25-26七年级上·河南南阳·期中）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又对又快． 下面是两位同学给出的不同解法． 小亮：原式 小舒：原式． (1)以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？理由是什么？ (2)请你用简便方法计算． 【题型5】有理数乘除混合运算 1.核心知识点 除法化乘法；乘除混合运算顺序 2.解题方法技巧 ①第一步将所有除法统一转化为乘法，写成连乘的形式； ②先根据负因数个数确定最终结果的符号； ③再对所有绝对值进行约分，约去公因数后计算最终结果。 【例题5】.（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： 【变式题5-1】.（26-27七年级·全国·暑假作业）计算：． 【变式题5-2】.（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式题5-3】.（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【题型6】错中求解类乘除问题 1.核心知识点 乘除法的互逆关系；有理数乘除运算 2.解题方法技巧 ①根据“看错运算符号后得到的结果”，利用逆运算反推出原式中的未知数字； ②将求出的原数代入正确的算式，计算出正确结果； ③注意符号在逆运算中的传递，避免符号出错。 【例题6】.（25-26七年级上·全国·周测）小虎把一个数乘错看成除以，结果得，则正确的结果是________． 【变式题6-1】.（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）明明在计算时，错看成了，得到的结果会比正确的结果少6．( ) 【变式题6-2】.（24-25六年级下·山东滨州·期末）小米把错看成了，那么她算出的结果与正确结果相差（   ） A．4 B．15 C．56 D．60 【变式题6-3】.（24-25七年级上·贵州贵阳·阶段检测）已知算式“”． (1)请你计算上式结果； (2)小红将数字“8”抄错了，所得结果为，求小红把“8”错写成了哪个数； (3)改变原算式中的一个运算符号，使得计算结果比原算式的正确结果大，请计算比原算式的结果大了多少？ 【压轴素养题型】 【题型7】倒数法巧算有理数除法（阅读探究型） 1.核心知识点 有理数四则混合运算；乘法分配律；倒数的性质 2.解题方法技巧 ① 当除数为多个有理数的和差形式时，可先求原式的倒数，将除法转化为乘法； ② 利用乘法分配律简化倒数部分的运算，降低计算量； ③ 求出倒数结果后取倒数，即为原式的值；注意除法无分配律，不可直接拆分被除数。 【例题7】.（24-25七年级上·云南文山·期中）阅读下列材料，计算：． 小云的方法：原式； 小南的方法：先计算原式的倒数，，故原式等于． (1)你认为小云的方法对吗？如果不对，请按照有理数混合运算法则给出正确做法； (2)小南的方法你学会了吗？请你根据你的所学所悟计算：． 【变式题7-1】.（24-25七年级上·江西上饶·期中）数学老师布置了一道思考题“计算”：． 小英的解法：． 小李的解法：原式的倒数为…第一步， …第二步， …第三步， …第四步． 所以． 分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中， 同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是 ； (3)用一种你喜欢的方法计算：． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·安徽阜阳·期中）项目式学习 项目背景 在有理数除法运算中，当除数是一个复杂的有理数的和差形式时，直接计算比较繁琐，可先求原式的倒数，再利用乘法分配律简化计算，最后取倒数得到结果． 学习目标 理解“倒数法”在有理数除法中的原理；熟练运用乘法分配律进行有理数乘法运算． 材料阅读 计算：． 解：原式的倒数： ， 故原式． 任务解决 用倒数法计算：． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·广东肇庆·期中）阅读下面材料，然后回答问题． 计算． 解法一：原式 ． 解法二：原式 ． 解法三：原式的倒数为 ， 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪种解法是错误的？并说明错误原因． (2)请选择适当的方法计算：． 【题型8】新定义乘除运算 1.核心知识点 有理数乘除运算；分类讨论思想 2.解题方法技巧 ①先准确理解新定义的运算规则，明确触发不同运算的边界条件； ②根据参数的取值范围，分类讨论对应哪种运算规则，再代入计算； ③嵌套型新定义从最内层开始计算，每一步都验证条件，逐步向外求解。 【例题8】.（24-25八年级上·北京海淀·期中）将四个有理数a，b，c，d写成的形式，称它为由有理数a，b，c，d组成的二阶矩阵，a，b，c，d为构成这个矩阵的元素，定义矩阵的运算为：，两个矩阵相加我们定义为：，下面是两个二阶矩阵的加法运算过程： ． (1)计算的值； (2)计算． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·湖南长沙·期中） 定义新运算： (右边的运算为平常的加、减、乘、除)． 例如： 若， 则称有理数a， b为“隔一数对”． 例如： 所以2，3就是一对“隔一数对” (1)下列各组数是“隔一数对”的是 ；(请填序号) ①，； ②， ； (2)计算： ； (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·陕西西安·期中）【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； （4）若整数满足，求、的值． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·福建莆田·期末）新定义：对于有理数a，将a的绝对值的各数位上的数字相乘，若结果大于等于10，则继续将结果的各数位上的数字相乘，直到得到一个个位数，这个数称为a的“数字积值”．定义运算：如果a是正数，则就是这个数字积值；如果a是负数，则就是这个数字积值的相反数；如果a是0，特别地，0的数字积值是0，则． 例：，所以； ，因为原数是负数，所以． (1)计算：_________；_________． (2)若a是一个两位数，且，写出满足条件的一个有理数a的值：_________； (3)猜想：对任意整数m，n是否一定有成立？若成立，请说明理由，若不成立，请举一个例子说明． 易错点 1、多个有理数相乘时，负因数个数统计错误导致符号出错；或忽略算式中含的因数，错误计算绝对值乘积。 2、除法转化乘法时变形不完整：只改变除号不将除数变为倒数，或遗漏除数的符号，导致结果符号错误。 3、乘法分配律应用错误：漏乘括号内的某一项，或括号前是负号时括号内各项符号处理错误；误将除法套用分配律。 4、倒数概念混淆：误认为有倒数，或负数没有倒数；将倒数与相反数的概念混淆。 重点 1、有理数乘法、除法的运算法则，掌握“先定符号，后算绝对值”的核心运算逻辑。 2、灵活运用乘法运算律进行简便计算，熟练完成有理数乘除混合与四则混合运算。 3、运用有理数乘除建立实际问题的数学模型，解决生活与简单跨学科情境问题。 难点 1、多个有理数乘除混合的符号精准处理，以及运算律的灵活选用与技巧变形。 2、规律探究、新定义、跨学科创新题型中的逻辑推理与数学建模。 一、单选题 1．水的化学式是，其中氢元素的化合价是，氧元素的化合价是．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 2．如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 3．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．有理数的倒数为_____________． 5．按运算步骤：输入乘加，若输入，则输出结果为______． 6．规定，求的值为( ) 三、解答题 7．怎样算简便就怎样算．（在第4小题括号里填上合适的数，使计算可以简便，并计算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 8．小河和小北计算的过程如下． 小河的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 小北的解答 解：原式  ……第一步   ……第二步   ……第三步 (1)小河和小北的解题过程都出现了错误，小河是第________步开始出现错误，小北是第________步开始出现错误； (2)请你正确计算该题． 9．先阅读下面的材料，再回答后面的问题： 计算：． 解法一：原式 解法二：原式 解法三：原式的倒数为， 故原式． (1)上面三种解法得到的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的； (2)请用两种不同的方法解决下面的问题：计算：． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $