1.4.1.2空间中直线、平面的平行同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦“空间中直线、平面的平行”，分层设计从基础概念到创新应用，梯度合理，通过方向向量、法向量工具巩固平行关系判定与性质，培养数学思维与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|直线、平面平行的基础概念与简单运算（方向向量、法向量平行判定，三点共线）|选择、填空题为主，聚焦单一知识点（如方向向量平行求参数、线面平行条件判断）| |B级|线面平行、面面平行的综合应用（正方体轨迹、存在性问题）|解答题为主，结合空间几何体（如正方体中点轨迹探究、直三棱柱中平行关系证明）| |C级|空间平行关系与动态问题创新结合（长方体动点与面积最值）|探究性问题，培养空间观念与运算能力（通过法向量与动点轨迹求面积最小值）|

1.4.1.2　空间中直线、平面的平行 A级　必备知识基础练 1.已知两直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,3,-1),b=(4,m,n),若l1∥l2,则m+n=(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 2.(2026上海高二期中)设直线l的方向向量为d,平面α的法向量为n,则d⊥n是l∥α的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(2026广东高二期中)若M(0,0,1),N(2,1,4),P(4,2,n)三点共线,则n=(　　) A.1 B.2 C.5 D.7 4.已知平面α的一个法向量为m=(-4,2,t),平面β的一个法向量为n=(6,s,1),若α∥β,则st=(　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 5.(多选题)若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则不可能使l∥α的是(　　) A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.m=(1,3,5),n=(1,0,1) C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1) 6.(多选题)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是(　　) A.若两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-2,-3,1),则l1∥l2 B.若直线l的方向向量a=(0,3,0),平面α的法向量μ=(0,-5,0),则l∥α C.若两个不同平面α,β的法向量分别为n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),则α∥β D.若平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n1=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1 7.已知直线l的方向向量为a=(-1,1,2),平面α的法向量为n=(,λ,-1).若l∥α,则实数λ的值为　　　　　.  8.如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点,求证:平面EFG∥平面PBC. B级　关键能力提升练 9.(2026四川内江高二月考)在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1,CC1的中点,点P在上底面A1B1C1D1内运动,若PE∥平面BDF,则点P的轨迹的长度为(　　) A. B.2 C. D.3 10.若A(0,2,),B(1,-1,),C(-2,1,)是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=　　　　　　　　　　　.  11.《九章算术》中将底面为矩形,且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图,在阳马P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,E,F分别为PD,PB的中点,点G在线段AP上,AC与BD交于点O,PA=AB=2,若OG∥平面EFC,则AG=　　　　　.  12.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4. (1)求证:AC⊥BC1; (2)在棱AB上是否存在点D,使得AC1∥平面CDB1?若存在,确定D点位置并说明理由;若不存在,说明理由. C级　学科素养创新练 13.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=,E,F,G分别是棱AB,BC,CC1的中点,P是底面ABCD(不含边界)内的动点,若直线D1P与平面EFG平行,求△BB1P的面积的最小值. 答案 1.A　由a∥b,得,解得所以m+n=6-2=4.故选A. 2.B　当d⊥n时,直线l∥α或直线l在平面α内,故充分性不成立;当l∥α时,则必有d⊥n,必要性成立.故d⊥n是l∥α的必要不充分条件.故选B. 3.D　因为M(0,0,1),N(2,1,4),P(4,2,n),所以=(2,1,3),=(4,2,n-1). 因为M,N,P三点共线,所以存在实数λ,使得=λ,故(4,2,n-1)=λ(2,1,3), 即解得故选D. 4.A　因为α∥β,所以m∥n,则∃λ∈R,使得m=λn,即解得 所以st=2.故选A. 5.ABC　若l∥α,则需m⊥n,即m·n=0, 根据选项验证可知:A中,m·n=-2;B中,m·n=6;C中,m·n=-1;D中,m·n=0,故选ABC. 6.ACD　因为两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-2,-3,1),所以a=-b,所以a,b共线.又直线l1,l2不重合,所以l1∥l2,故A正确.因为直线l的方向向量a=(0,3,0),平面α的法向量μ=(0,-5,0),且μ=-a,所以l⊥α,故B不正确.两个不同平面α,β的法向量分别为n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),则n2=-2n1,所以α∥β,故C正确.因为平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),所以=(-1,1,1),=(-1,1,0).又向量n1=(1,u,t)是平面α的法向量,所以则u+t=1,故D正确.故选ACD. 7.　由题意可得,n·a=×(-1)+λ×1-1×2=0,即-+λ-2=0,解得λ=. 8.证明 因为平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,所以AB,AP,AD两两垂直. 以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0), 所以=(2,0,-2),=(0,-1,0),=(1,1,-1),=(0,2,0). 设n1=(x1,y1,z1)是平面EFG的法向量,则n1⊥,n1⊥,即 令z1=1,则x1=1,y1=0,所以n1=(1,0,1). 设n2=(x2,y2,z2)是平面PBC的法向量,由n2⊥,n2⊥,即 令z2=1,则x2=1,y2=0,所以n2=(1,0,1). 因为n1=n2,所以平面EFG∥平面PBC. 9.B　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),B(,0),E(,0,),F(0,). 设P(x,y,),0≤x≤,0≤y≤,则=(-x,-y,-),=(,0),=(0,). 设平面BDF的法向量为m=(a,b,c),则取a=1,则b=-1,c=2,则m=(1,-1,2).因为PE∥平面BDF,所以·m=(-x)×1+(-y)×(-1)+( -)×2=y-x=0, 所以y=x,即点P的轨迹为线段B1D1,则点P的轨迹长度为|B1D1|==2.故选B. 10.2∶3∶(-4)　因为=(1,-3,-),=(-2,-1,-), 又因为a·=0,a·=0, 所以解得 所以x∶y∶z=y∶y∶(-y)=2∶3∶(-4). 11.　以A为原点,AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),O(1,1,0),F(1,0,1),E(0,1,1), 所以=(1,2,-1),=(-1,1,0). 设平面EFC的法向量为n=(x,y,z),则 令x=1,则y=1,z=3,所以平面EFC的一个法向量为n=(1,1,3). 因为OG∥平面EFC,则n·=0. 设G(0,0,a),则=(-1,-1,a),所以-1-1+3a=0,解得a=, 所以G(0,0,),即AG=. 12.(1)证明 因为AC=3,BC=4,AB=5,所以AC2+BC2=AB2. 则△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,以C为原点,CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4). 因为=(-3,0,0),=(0,-4,4), 所以=0,则,即AC⊥BC1. (2)解 存在.由题可得=(0,-4,-4),=(-3,0,4),=(-3,4,0). 设=λ=(-3λ,4λ,0),0≤λ≤1,得D(3-3λ,4λ,0),=(3-3λ,4λ-4,-4). 设n=(x,y,z)是平面CDB1的法向量, 则取y=1, 则x=,z=-1,故n=. 若存在点D使AC1∥平面CDB1,则⊥n,即×(-3)+1×0-1×4=0,解得λ=. 故在棱AB上存在点D使AC1∥平面CDB1,此时D为AB中点. 13.解 如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,,0),C(0,,0),D1(0,0,1),C1(0,,1), ∴E(1,,0),F(,0),G(0,), ∴=(-,0),=(-,0,). 设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,则 即令x=,则y=1,z=,∴平面EFG的一个法向量n=(,1,). 设P(m,s,0)(0<m<1,0<s<),则=(m,s,-1),=(m-1,s-,0). ∵D1P∥平面EFG,∴n⊥,∴n·m+s-=0,∴s=m,易知BB1=1, ∴BB1×BP=×1×, 当m=时,取得最小值. 7 学科网（北京）股份有限公司 $