专题13坐标平面内图形的轴对称和平移暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026年浙教版八年级数学上册

专题13坐标平面内图形的轴对称和平移暑假预习讲义 1. 熟记规律：牢记点关于x轴、y轴对称的坐标变化口诀，能快速由已知点坐标写出对称点坐标。 2. 图形作图：掌握方法，可在平面直角坐标系中画出多边形关于坐标轴的轴对称图形，理解图形对称本质是所有对应点依次对称变换。 3. 掌握平移法则：弄懂点左右、上下平移时横、纵坐标的增减变化规律，熟练计算平移后点的坐标。 4. 双向推导能力：既能根据平移方向、距离算出平移后的坐标，也可对照平移前后两点坐标，逆向判断图形平移路线与单位长度。 5. 性质理解：明白轴对称、平移均属于全等变换，变换前后图形形状、大小完全不变，仅位置发生改变。 6. 简单求值应用：借助对称、平移的坐标规律，求解坐标中字母参数的值，解决基础代数结合几何题型。 7. 规避易错点：混淆横纵坐标变化规则；左右平移改动纵坐标、上下平移改动横坐标；正负符号频繁出错；画图时点位置标注偏差。 8. 数学素养：建立数形结合思想，学会用代数坐标刻画图形运动变化，衔接后续几何变换内容学习。 预习必备 知识梳理 1.点关于坐标轴的对称点坐标 2.点关于原点对称 3.点左右上下平移坐标变化规律 4.图形平移的性质 5.平移作图 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.坐标系中的对称 2.坐标与图形变化-轴对称 3.坐标系中的平移 4.求点沿x轴y轴平移后的坐标 5.由平移方式确定点的坐标 6.平移前后坐标判断平移方 7.由图形平移求点的坐标 8.由平移后坐标求原坐标 9.坐标系中的动点问题 10.中点坐标 11.点坐标规律探索 强化题型 解答题6题 知识点 01 点关于坐标轴的对称点坐标规律 对称对象 原点点P(a,b) 对称点坐标 变换口诀 关于 x 轴对称 P(a,b) (a,-b) a不变，b变相反数 关于 y 轴对称 P(a,b) (-a,b) b不变，a变相反数 关于原点对称 P(a,b) (-a,-b) a、b全变相反数 知识点 02 点关于原点对称（拓展常考） 点P(x,y)关于原点对称点：P0(-x,-y) 口诀：x、y全部变相反数 例：A(2,1)关于原点对称点(-2,-1) 知识点 03 点左右、上下平移坐标变化规律 设点P(x,y)，平移后得到对应点P' 平移方向 平移操作 平移后坐标 记忆口诀 向右平移 h 个单位 横坐标加h，纵坐标不变 P(x+h,y) 右加 向左平移 h 个单位 横坐标减h，纵坐标不变 P(x-h,y) 左减 向上平移 k 个单位 纵坐标加k，横坐标不变 P(x,y+k) 上加 向下平移 k 个单位 纵坐标减k，横坐标不变 P(x, y-k) 下减 知识点 04 图形平移的核心性质 全等不变：平移前后的两个图形全等。 对应线段：平行（或在同一直线上）且相等。 对应角：完全相等。 对应点连线：平行（或在同一直线上）且相等，都等于平移距离。 知识点05:平移作图 “标准三步法”（规范不丢分） 作图原理 抓住关键点：找出图形顶点→平移顶点→顺次连接对应点。 步骤 几何语言 图形 (1)确定关键点（如多边形顶点）。 (2)按方向和距离平移各关键点。 (3)连接对应点.得到平移后图形. (1)取关键点 A、B、C； (2)按方向距离平移得 A'、B'、C'； (3)连接 A'B'、B'C'、C'A'，得平移后图形 知识点 06 已知平移后点，反推原坐标（逆向平移） 已知平移后点P'(m,n)，求原点P： 若P'是P右移a得到：原x=m-a 若P'是P上移b得到：原y=n-b 口诀：正向加，逆向减；正向减，逆向加。 例：点A'(-1,4)是点A向左平移 3 个单位得到，求A 逆向向右加 3：x=-1+3=2，A(2,4) 知识点07：高频易错点（考试扣分重点） 1.对称坐标混淆：关于 x 轴对称错变 x，关于 y 轴对称错变 y； 2.平移左右搞反：向左平移给 x 加数字，向右给 x 减数字； 3.复合变换跳步计算，先平移再对称时分不清先后顺序； 4.作图遗漏：只算坐标，不描点、不连线，图形不完整； 5.逆向平移不会反向运算，依旧同方向加减； 6.误以为平移会改变图形大小、形状（平移全等）； 7.多边形变换只算一个顶点，其余顶点不做同步变换； 8.关于原点对称只变一个坐标，忘记 x、y 同时取反。 题型1.坐标系中的对称 【典例】如图是一幅源自山西剪纸文化的“晋”字团花剪纸，它将汉字“晋”与传统纹样巧妙融合，造型对称饱满．现将该剪纸放置在如图所示的平面直角坐标系中，若点的坐标为，则其关于轴的对称点的坐标为__________． 【答案】 【详解】解：点的坐标为，则其关于轴的对称点的坐标为． 【跟踪专练1】已知平面内不同的两点，点，点，关于直线叙述一定正确的是（     ） A．直线轴 B．直线轴 C．直线轴 D．直线轴 【答案】B 【分析】根据两点坐标特征结合平行、垂直的定义判断即可，需注意重合不满足平行关系． 【详解】∵点，点是平面内不同的两点， ∴两点横坐标相等，纵坐标不相等， 可得直线上所有点的横坐标都为， ∴直线一定垂直于轴， 当时，直线与轴重合，不满足平行于轴，因此C不一定正确， 综上，一定正确的是B选项． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为，它关于y轴的对称点为，关于x轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，利用点关于坐标轴对称的坐标变化规律：关于y轴对称，横坐标取相反数，纵坐标不变，关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标取相反数即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵关于y轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为3， ∴， ∵关于x轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为， ∴， 故选：A． 【跟踪专练3】如图，小明同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.1，则的值是______． 【答案】 【分析】根据题意得出，，……得出，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵函数图象关于点中心对称，这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴，，……， ∵即， ∴， ∵， 当时，，即，即， ∴． 题型2.坐标与图形变化-轴对称 【典例】已知点和点关于y轴对称，则的值是________ 【答案】5 【分析】根据关于轴对称的点的坐标性质：关于轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，先求出和的值，再代入计算即可. 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴. 【跟踪专练1】如图是某城市的街道规划图的一部分，以市中心为原点，东西方向为轴，南北方向为轴，已知城市中的少年宫位于点处，若豆豆家与少年宫关于穿过市中心的南北向主干道（即轴）对称，则豆豆家用坐标可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意，得豆豆家用坐标可以表示为． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点的坐标为，点的坐标为，为第一象限内的整点．若连接不共线的，，三点构成轴对称图形，则点的坐标为______（写出一个即可），在网格图中符合要求的点的个数为______． 【答案】 （任写一个即可） 7 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，坐标与图形的变化，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键． 由不共线的，，P三点构成轴对称图形，则是等腰三角形，再根据两圆一中垂可解决问题． 【详解】解：依题意，由不共线的，，P三点构成轴对称图形， 是等腰三角形， 则以为圆心，为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的P点； 或以为圆心，为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的P点； 或为底边，作其垂直平分线，与网格顶点相交，即为满足条件的P点； 如图，共有符合要求的点P有7个． 其中点P坐标为， 故答案为：（任写一个即可）；7． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做格点．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C为第一象限内的格点，若不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，则满足条件的点C的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的性质作出点，即可得到满足条件的点的个数． 【详解】解：满足条件的点有4个． 故选：B． 【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，坐标与图形变化对称等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 题型3.坐标系中的平移。 【典例】在平面直角坐标系中，点沿轴正方向平移个单位长度，得到对应点，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【详解】解：∵点沿轴正方向平移个单位长度，得到对应点， ∴， 解得． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点，，，点为平面直角坐标系中的点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标______． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质．分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点的坐标． 【详解】解：如图，分三种情况： ①为对角线时，平行且等于，点的坐标为； ②为对角线时，平行且等于，点的坐标为； ③为对角线时，平行且等于，点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 故答案为：或或． 【跟踪专练2】如图，A，B，C，D 四个五角星在平面直角坐标系中的位置如图所示，且A，D两个五角星的坐标分别为．若将五角星A向右平移7个单位后，图中的四个五角星关于y轴对称，则B，C两个五角星之间的距离为_____________ 【答案】1 【分析】本题考查了点的平移，轴对称的性质，将五角星A向右平移7个单位后可得平移后的坐标为，此时点与点的距离为1，根据轴对称的性质即可解答，熟练运用轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解： 则设将五角星A向右平移7个单位后可得平移后的坐标为， ， 平移后，两个五角星之间的距离为， 平移后图中的四个五角星关于y轴对称， B，C两个五角星之间的距离为， 故答案为：1． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，，，，，三角形沿轴向右平移得到三角形．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用坐标与图形性质得到，，利用平移性质得到，结合已知列方程即可求出m的值． 【详解】解：连接，如图， ∵，，，， ∴，， ∵三角形沿轴向右平移得到三角形． ∴， ∵， ∴，解得． 题型4.求点沿x轴y轴平移后的坐标 【典例】在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______． 【答案】 【详解】解：点先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 点的坐标为，即． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形的变化．根据“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”即可求解． 【详解】解：点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的点的坐标是，即． 故选：B． 【跟踪专练2】若线段轴，且，点A的坐标为，现将线段先向左平移1个单位，再向下平移两个单位，则平移后B点的坐标为________． 【答案】或 【分析】先由轴且得出点B的坐标，再根据“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”可得答案． 【详解】解：∵线段轴，且，其中点A的坐标为， ∴点B的坐标为或， 则线段先向左平移1个单位，再向下平移两个单位后B点的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律． 【跟踪专练3】已知和互为相反数，则点向上平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度后的坐标是（    ） A．(11，-17) B．(8，31) C．(15，-21) D．(15，-31) 【答案】C 【分析】利用算术平方根与绝对值非负性的含义先求解的值，再利用点的平移坐标变化规律：左减2加，上加下减，从而可得答案． 【详解】解： 和互为相反数， 点向上平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度后的坐标是 故选C 【点睛】本题考查的是算术平方根与绝对值非负性的含义，点的平移，掌握“点的平移坐标变化规律”是解本题的关键． 题型5.由平移方式确定点的坐标 【典例】将点先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，平移规律为横坐标左减右加，纵坐标上加下减，根据规律计算即可得到平移后点的坐标． 【详解】解：已知点，向左平移个单位长度，得新横坐标为，再向上平移个单位长度，得新纵坐标为，因此得到点的坐标为． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后与点重合，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将点向右平移6个单位长度，横坐标为，再向下平移4个单位长度，纵坐标为，即点的坐标为． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中有两点，，将线段平移得到线段，则点的坐标为__________． 【答案】 或 【分析】根据点与对应点或点与对应点的坐标确定平移规律，再根据平移规律计算点的坐标即可． 【详解】情况一：点与点对应， 将线段平移得到线段，点的对应点为， 平移规律为向右平移个单位，向下平移个单位， 的对应点的坐标为，即； 情况二：点与点对应， 将线段平移得到线段，点的对应点为， 平移规律为向左平移个单位，向上平移个单位， 的对应点的坐标为，即， 点的坐标为或． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，已知，，将线段AB平移得到线段，其中点A的对应点为点C．若，，则的值为（     ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】平移后所有点的横纵坐标变化量相同，根据平移规律得到和的表达式，即可计算出的值． 【详解】解：∵线段平移得到线段，平移过程中所有点的横纵坐标变化量相同， 由的对应点为，可得横坐标变化量为：， 由的对应点为，可得纵坐标变化量为：， ∴对点横坐标，有，得， 对点纵坐标，有，得， ∴． 题型6.平移前后坐标判断平移方式 【典例】点向________平移________个单位长度后所对应的点的坐标是． 【答案】 右 5 【分析】根据平移前后点的坐标特征，纵坐标不变，可知点沿水平方向平移，再计算横坐标的变化量，结合平面直角坐标系中点的平移规律即可得到平移方向和平移单位长度. 【详解】解：∵点，平移后对应的点的坐标为，纵坐标不变， 故点沿着水平方向平移，平移距离为． 故点A向右平移5个单位长度得到点. 【跟踪专练1】平移线段到，若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点A和点的坐标得到平移方式，再根据平移方式即可得到点的坐标． 【详解】解：∵平移线段到，点平移后得到对应点， ∴平移方式为向左平移3个单位长度，向下平移4个单位长度， ∵点B坐标为， ∴点B的对应点的坐标为，即． 【跟踪专练2】如图，顶点A，B的坐标分别为，将平移后，点A的对应点D的坐标是，则点B的对应点E的坐标是 ______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质、图形与坐标等知识点，根据已知平移点确定平移方式成为解题的关键． 根据点A和点D的是平移后的对应点，计算出平移的方向和单位长度，由于图形平移所有点的平移方向和单位长度一致，即可确定点E的坐标． 【详解】解：由题可知平移后得到点； ∴是先向右平移2个单位长度，在向上平移1个单位长度； ∴点先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度； ∴点． 故答案为． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，已知点，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点B的对应点D的坐标确定平移规律，再利用平移规律即可确定点C的坐标． 【详解】解：∵将线段平移后得到了线段，点， ∴线段向右平移7个单位，再向下平移2个单位得到线段，点A的对应点为点C， ∵， ∴点C的横坐标为，纵坐标为， ∴点C的坐标为． 题型7.由图形平移求点的坐标 【典例】如图，已知点，，连接，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据点B和其对应点D的坐标，计算出平移的横坐标变化量和纵坐标变化量．利用上述计算出的变化量，结合点A的坐标求出点C的坐标． 【详解】∵点平移后得到对应点， ∴横坐标变化：，纵坐标变化：． ∵， ∴的横坐标：，的纵坐标：， ∴的坐标为． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．将折线段平移，使点的对应点移动到点处，平移后，轴，轴，记这次平移为一次平移．按上述方式平移次后，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移的性质，找到规律即可解答． 【详解】解：根据平移可得 第1次平移后，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为， 第2次平移后，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为， 第次平移后，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为， 则平移次后，点的对应点的坐标为． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中平移后，点的对应点的坐标为．则点的对应点的坐标为_______． 【答案】 【分析】先确定平移方式，再根据平移方式求解即可． 【详解】解：由图可得点的坐标为，点的坐标为， ∵平移后，点的对应点的坐标为， ∴平移方式为先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴点的对应点的坐标为，即． 【跟踪专练3】如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，正方形的四个顶点都在格点上．将正方形沿x轴正方向平移3个单位长度，则点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的坐标变换，熟练掌握平移的坐标变换规律“左减右加，上加下减”是解题的关键． 先写出点C的坐标，再根据“左减右加”得出点的坐标即可． 【详解】解：由图可知：点C的坐标为， ∵将正方形沿x轴正方向平移3个单位长度， ∴点C的对应点的坐标是，即． 故先：B． 题型8.由平移后坐标求原坐标 【典例】在平面直角坐标系中，把点向左平移可以得到点，把点向上平移可以得到点，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】 根据向左平移时点的纵坐标不变，可得点的纵坐标，根据向上平移时点的横坐标不变，可得点的横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：将点向左平移可得到点， 点的纵坐标为， 将点向上平移可得到点， 点的横坐标为， 点的坐标为． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度后，得到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平移规律即可求出点M的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， 点向左平移3个单位长度后得到点， 根据平移规律可得：， 解得：， 点的坐标为． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，将线段先向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，是线段上一点，点平移后的对应点为，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】点平移的坐标变化规律“左减右加，上加下减”． 【详解】解：由题意可知，点先向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到对应点.， 因此将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度即可得到点， 则点的坐标为，即． 【跟踪专练3】小明和小亮在玩“你来说，我来猜”的游戏． 小明经过思考给出了正确答案，这个游戏的谜底是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】平面直角坐标系中一点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，据此可确定点P的纵坐标，在y轴上的点的横坐标为0，结合向右平移时横坐标加上平移距离可得点P的横坐标． 【详解】解：∵点P到x轴的距离为3个单位长度， ∴点P的纵坐标的绝对值为3，即点P的纵坐标为3或， ∵点P向右平移4个单位长度后落在y轴上， ∴点P的横坐标为， ∴点P的坐标为或． 题型9.坐标系中的动点问题 【典例】在平面直角坐标系中，已知，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线轴且过，可得直线上点的纵坐标均为；根据垂线段最短，最短时，结合轴推出轴，可得点横坐标与横坐标相同，即可求解． 【详解】解：∵直线轴，且过点， ∴直线上所有点的纵坐标均为，设点， ∵当线段长度最短时，， 又轴， ∴轴， ∴点与点横坐标相同， ∵， ∴， ∴点坐标为． 【跟踪专练1】．如图，动点按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次运动到点，第次运动到点…按这样的规律运动，则第次运动到点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题中所给的运动过程，得出坐标变化规律求解即可． 【详解】解：由题意可知： 第次从原点运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次从原点运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次从原点运动到点， 则规律为：第次运动到点的横坐标为，纵坐标按照每次为一个循环， ， 第次运动到点，即． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿方向匀速循环前行．当机器人前行了秒时，其所在位置的点的坐标是___________． 【答案】 【分析】根据点坐标求出矩形周长，计算出循环一周时间，再进行判断秒循环的次数，即可确定坐标． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴矩形周长为， ∵机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度移动， ∴机器人每秒完成一次循环， ∴， ∴机器人处于第圈的第秒的位置， ∴点沿着到达点时，用时秒， 点沿着到达点，用时秒， 点沿着运动时，第秒位置是点向左平移个单位，到达， ∴当机器人前行了秒时，其所在位置的点的坐标是． 【跟踪专练3】如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂线段最短的性质，计算出面积即可计算出的最小值． 【详解】解：点为直线上一动点，根据垂线段最短的性质，当时，线段的值最小． 已知，，，， 过点作轴于点，交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，如图， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为 ， ∴，，， ，，， 观察图形可知， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型10.中点坐标 【典例】点和点的中点坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查中点坐标公式．若，，则中点坐标为，熟练掌握公式是解题的关键． 根据中点坐标公式运算即可． 【详解】解：∵点和点 ∴，， ∴点和点的中点坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（   ） A．8 B．9 C．12 D．24 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质．过点作，利用等腰三角形的三线合一，求出，，据此求解即可． 【详解】解：∵轴，，， ∴点的纵坐标为， 过点作，交轴于点，交于点，则：，    ∵ ∴， ∴，， ∴的面积为． 故选：C． 【跟踪专练2】如图所示，阴影部分的匀质薄板置于平面直角坐标系中（单位：），原点为薄板左下角顶点，该匀质薄板的重心坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，分别为的中点，为的中点，则为该匀质薄板的重心 依题意，，， ∴， ∴即 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______． 【答案】或 【分析】由题意可得，，分两种情况：当点在上运动时；当点在上运动时；分别结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵三角形中，， ∴，， ∵动点C从点O出发，沿，三角形的面积等于三角形一半， ∴当点在上运动时，，， ∴， ∴，即此时点的坐标为； 当点在上运动时，设点到的距离为，则，， ∴， ∴，即点为的中点， ∴此时点的坐标为，即； 综上所述，点C的坐标为或． 题型11.点坐标规律探索 【典例】如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到点P的横，纵坐标的规律，然后结合求解即可． 【详解】解：由图象得，、、、，， ∴横坐标和序号相同，纵坐标的变化是以1，0，，0，4个数为一组循环变化， ∵， ∴点的纵坐标和的纵坐标相同， ∴的坐标为． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中半径为1的圆从原点出发沿x轴正方向滚动2025周，圆上一点由原点到达点，圆心也由点到达点，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】先求出沿x轴向右滚动一周，圆心向右运动的距离，再求出沿横轴向右滚动2025周，圆心A向右移动的距离，又滚动过程中，圆心的纵坐标不变，问题可得解． 【详解】解：根据题意可知，滚动过程中，圆心的纵坐标不变，即为， 根据题意，沿x轴向右滚动一周，圆心A向右运动的距离为：， ∴从原点出发沿x轴正方向滚动2025周，圆心A向右移动的距离为， ∴点的坐标为． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A．（10，10） B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点的坐标求出四边形各边的长度及周长，再用细线总长度除以周长求出余数，根据余数确定细线另一端在四边形边上的具体位置，进而求出坐标． 【详解】解：∵，，，， ∴，，，， ∴四边形的周长为， ∵， ∴细线另一端在绕四边形第21圈的第26个单位长度的位置， ∵从点出发，按的方向绕行，且， ∴细线另一端落在边上，且距离点为26个单位长度， ∴该点的横坐标为，纵坐标为， 即细线另一端所在位置的点的坐标是． 解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴对称的图形（点的对应点分别是点），并写出的坐标； (2)请在图中作出关于轴对称的图形（点的对应点分别是点）． 【答案】(1) 解：如图，作出关于轴对称的图形， 即为所求作，； (2) 解：作出关于轴对称的图形，如图， 即为所求作． 【分析】本题考查了坐标系中的对称，坐标与图形变化——轴对称，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）利用轴对称的性质，作出关于轴对称的图形，再写出的坐标； （2）利用轴对称的性质，作出关于轴对称的图形． 【详解】（1）略 （2）略 2．在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若直线平行于轴，求的值． (2)将点向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，当点正好在轴上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移变换的性质，坐标系中点的特征，点到坐标轴的距离等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）根据直线平行于y轴，则点A点B的横坐标相等，据此建立方程求解即可； （2）根据平移法则得到平移后，再根据点C正好在x轴上，即纵坐标为0，得到，求解即可得到m的值，即可求解． 【详解】（1），直线平行于y轴， 点A点B的横坐标相等，即， 解得：； （2）将点B向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点C， 即， 点C正好在x轴上， ， 解得：， ， ． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将经过平移得到，点B的对应点的坐标为，点A，C的对应点分别为，． (1)请在图中画出； (2)点是边上的一点，经过平移后，点P的对应点是点，则点的坐标为________． 【答案】(1) (2) 【分析】先根据点B和对应点的坐标确定整个图形的平移规律，再根据平移规律作出平移后的三角形，最后推导点对应点的坐标即可． 【详解】（1）解：已知中，平移后对应点的坐标为， 因此的平移规律为：向右平移6个单位，向下平移5个单位； ∵，， ∴，， 在平面直角坐标系中描出，，顺次连接，，，即可得到； 作图略． （2）解：根据平移规律，点平移后，横坐标加6，纵坐标减5，因此对应点的坐标为． 4．如图，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．请回答下列问题： (1)平移后的三个顶点坐标分别为：（ ， ），（ ， ），（ ， ）； (2)画出平移后三角形； (3)若平移后的三角形内部有任意一点，则平移前对应点的坐标为：P（ ， ）． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3) 【分析】（1）在平面直角坐标系中得到三角形三个顶点的坐标，再由图形的平移方式即可得到平移后图形的坐标； （2）由（1）中的坐标直接描点连线即可得到答案； （3）根据点的平移规律作答即可． 【详解】（1）解：由图可知、、， 将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度， 、、； （2）解：如图所示： 即为所求； （3）解：∵将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到，平移后的三角形内部有任意一点， ∴平移前对应点的坐标为：． 5．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，的对应点，，连接，，． (1)写出点，的坐标． (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积是三角形面积的2倍，若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点是直线上一个动点，连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)， (2)存在，点的坐标为或 (3)当点在线段上运动时，；当点在线段的延长线上运动时，；当点在的延长线上运动时，． 【分析】（1）根据点的平移规律可得、的坐标； （2）根据三角形的面积是三角形面积的2倍，得．即可求出点的坐标； （3）分三种情况，当点在线段上运动时，当点在线段的延长线上运动时，当点在的延长线上运动时，分别画图，利用平行线的性质，得出答案． 【详解】（1）解：点，的坐标分别为，， 将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得，； （2）解：存在， 根据题意可得， ，， ， 三角形的面积是三角形面积的2倍， ． 点的坐标为， 点的坐标为或； （3）解：当点在线段上运动时，如图，过点作， ， ， ，， ； 当点在线段的延长线上运动时，如图，过点作， ， ， ，， ； 当点在的延长线上运动时，如图，过点作， ， ， ，， ； 综上：当点在线段上运动时，； 当点在线段的延长线上运动时，； 当点在的延长线上运动时，． 6．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按照先向上、再向右、最后向右下方向依次平移，向上、向右都是每次移动1个单位长度，向右下方向每次移动个单位长度，依次得到点，，，，，， ，点的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据点，，，，，， ，得点的纵坐标3个点一循环，再结合横坐标规律求解即可． 【详解】解：∵点，，，，，， ， ∴点的纵坐标3个点一循环， ∵， ∴在类似，的位置上，纵坐标为1， 横坐标与的横坐标相同， ∵的横坐标为， 的横坐标为， 的横坐标为， ， ∴， ∴点的坐标为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13坐标平面内图形的轴对称和平移暑假预习讲义 1. 熟记规律：牢记点关于x轴、y轴对称的坐标变化口诀，能快速由已知点坐标写出对称点坐标。 2. 图形作图：掌握方法，可在平面直角坐标系中画出多边形关于坐标轴的轴对称图形，理解图形对称本质是所有对应点依次对称变换。 3. 掌握平移法则：弄懂点左右、上下平移时横、纵坐标的增减变化规律，熟练计算平移后点的坐标。 4. 双向推导能力：既能根据平移方向、距离算出平移后的坐标，也可对照平移前后两点坐标，逆向判断图形平移路线与单位长度。 5. 性质理解：明白轴对称、平移均属于全等变换，变换前后图形形状、大小完全不变，仅位置发生改变。 6. 简单求值应用：借助对称、平移的坐标规律，求解坐标中字母参数的值，解决基础代数结合几何题型。 7. 规避易错点：混淆横纵坐标变化规则；左右平移改动纵坐标、上下平移改动横坐标；正负符号频繁出错；画图时点位置标注偏差。 8. 数学素养：建立数形结合思想，学会用代数坐标刻画图形运动变化，衔接后续几何变换内容学习。 预习必备 知识梳理 1.点关于坐标轴的对称点坐标 2.点关于原点对称 3.点左右上下平移坐标变化规律 4.图形平移的性质 5.平移作图 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.坐标系中的对称 2.坐标与图形变化-轴对称 3.坐标系中的平移 4.求点沿x轴y轴平移后的坐标 5.由平移方式确定点的坐标 6.平移前后坐标判断平移方 7.由图形平移求点的坐标 8.由平移后坐标求原坐标 9.坐标系中的动点问题 10.中点坐标 11.点坐标规律探索 强化题型 解答题6题 知识点 01 点关于坐标轴的对称点坐标规律 对称对象 原点点P(a,b) 对称点坐标 变换口诀 关于 x 轴对称 P(a,b) (a,-b) a不变，b变相反数 关于 y 轴对称 P(a,b) (-a,b) b不变，a变相反数 关于原点对称 P(a,b) (-a,-b) a、b全变相反数 知识点 02 点关于原点对称（拓展常考） 点P(x,y)关于原点对称点：P0(-x,-y) 口诀：x、y全部变相反数 例：A(2,1)关于原点对称点(-2,-1) 知识点 03 点左右、上下平移坐标变化规律 设点P(x,y)，平移后得到对应点P' 平移方向 平移操作 平移后坐标 记忆口诀 向右平移 h 个单位 横坐标加h，纵坐标不变 P(x+h,y) 右加 向左平移 h 个单位 横坐标减h，纵坐标不变 P(x-h,y) 左减 向上平移 k 个单位 纵坐标加k，横坐标不变 P(x,y+k) 上加 向下平移 k 个单位 纵坐标减k，横坐标不变 P(x, y-k) 下减 知识点 04 图形平移的核心性质 全等不变：平移前后的两个图形全等。 对应线段：平行（或在同一直线上）且相等。 对应角：完全相等。 对应点连线：平行（或在同一直线上）且相等，都等于平移距离。 知识点05:平移作图 “标准三步法”（规范不丢分） 作图原理 抓住关键点：找出图形顶点→平移顶点→顺次连接对应点。 步骤 几何语言 图形 (1)确定关键点（如多边形顶点）。 (2)按方向和距离平移各关键点。 (3)连接对应点.得到平移后图形. (1)取关键点 A、B、C； (2)按方向距离平移得 A'、B'、C'； (3)连接 A'B'、B'C'、C'A'，得平移后图形 知识点 06 已知平移后点，反推原坐标（逆向平移） 已知平移后点P'(m,n)，求原点P： 若P'是P右移a得到：原x=m-a 若P'是P上移b得到：原y=n-b 口诀：正向加，逆向减；正向减，逆向加。 例：点A'(-1,4)是点A向左平移 3 个单位得到，求A 逆向向右加 3：x=-1+3=2，A(2,4) 知识点07：高频易错点（考试扣分重点） 1.对称坐标混淆：关于 x 轴对称错变 x，关于 y 轴对称错变 y； 2.平移左右搞反：向左平移给 x 加数字，向右给 x 减数字； 3.复合变换跳步计算，先平移再对称时分不清先后顺序； 4.作图遗漏：只算坐标，不描点、不连线，图形不完整； 5.逆向平移不会反向运算，依旧同方向加减； 6.误以为平移会改变图形大小、形状（平移全等）； 7.多边形变换只算一个顶点，其余顶点不做同步变换； 8.关于原点对称只变一个坐标，忘记 x、y 同时取反。 题型1.坐标系中的对称 【典例】如图是一幅源自山西剪纸文化的“晋”字团花剪纸，它将汉字“晋”与传统纹样巧妙融合，造型对称饱满．现将该剪纸放置在如图所示的平面直角坐标系中，若点的坐标为，则其关于轴的对称点的坐标为__________． 【跟踪专练1】已知平面内不同的两点，点，点，关于直线叙述一定正确的是（     ） A．直线轴 B．直线轴 C．直线轴 D．直线轴 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为，它关于y轴的对称点为，关于x轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，小明同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.1，则的值是______． 题型2.坐标与图形变化-轴对称 【典例】已知点和点关于y轴对称，则的值是________ 【跟踪专练1】如图是某城市的街道规划图的一部分，以市中心为原点，东西方向为轴，南北方向为轴，已知城市中的少年宫位于点处，若豆豆家与少年宫关于穿过市中心的南北向主干道（即轴）对称，则豆豆家用坐标可以表示为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点的坐标为，点的坐标为，为第一象限内的整点．若连接不共线的，，三点构成轴对称图形，则点的坐标为______（写出一个即可），在网格图中符合要求的点的个数为______． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做格点．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C为第一象限内的格点，若不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，则满足条件的点C的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型3.坐标系中的平移。 【典例】在平面直角坐标系中，点沿轴正方向平移个单位长度，得到对应点，则的值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点，，，点为平面直角坐标系中的点，以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标______． 【跟踪专练2】如图，A，B，C，D 四个五角星在平面直角坐标系中的位置如图所示，且A，D两个五角星的坐标分别为．若将五角星A向右平移7个单位后，图中的四个五角星关于y轴对称，则B，C两个五角星之间的距离为_____________ 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，，，，，三角形沿轴向右平移得到三角形．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型4.求点沿x轴y轴平移后的坐标 【典例】在平面直角坐标系中，将点先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为______． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若线段轴，且，点A的坐标为，现将线段先向左平移1个单位，再向下平移两个单位，则平移后B点的坐标为________． 【跟踪专练3】已知和互为相反数，则点向上平移3个单位长度，再向右平移7个单位长度后的坐标是（    ） A．(11，-17) B．(8，31) C．(15，-21) D．(15，-31) 题型5.由平移方式确定点的坐标 【典例】将点先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的坐标是__________． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后与点重合，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中有两点，，将线段平移得到线段，则点的坐标为__________． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，已知，，将线段AB平移得到线段，其中点A的对应点为点C．若，，则的值为（     ） A． B． C．1 D．5 题型6.平移前后坐标判断平移方式 【典例】点向________平移________个单位长度后所对应的点的坐标是． 【跟踪专练1】平移线段到，若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，顶点A，B的坐标分别为，将平移后，点A的对应点D的坐标是，则点B的对应点E的坐标是 ______． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，将线段平移后得到了线段，已知点，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型7.由图形平移求点的坐标 【典例】如图，已知点，，连接，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是_____． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．将折线段平移，使点的对应点移动到点处，平移后，轴，轴，记这次平移为一次平移．按上述方式平移次后，点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中平移后，点的对应点的坐标为．则点的对应点的坐标为_______． 【跟踪专练3】如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小格的顶点叫格点，正方形的四个顶点都在格点上．将正方形沿x轴正方向平移3个单位长度，则点C的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型8.由平移后坐标求原坐标 【典例】在平面直角坐标系中，把点向左平移可以得到点，把点向上平移可以得到点，则点的坐标是________． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度后，得到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，将线段先向下平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，是线段上一点，点平移后的对应点为，则点的坐标为________． 【跟踪专练3】小明和小亮在玩“你来说，我来猜”的游戏． 小明经过思考给出了正确答案，这个游戏的谜底是（   ） A． B． C．或 D．或 题型9.坐标系中的动点问题 【典例】在平面直角坐标系中，已知，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】．如图，动点按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次运动到点，第次运动到点…按这样的规律运动，则第次运动到点（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿方向匀速循环前行．当机器人前行了秒时，其所在位置的点的坐标是___________． 【跟踪专练3】如图，已知，，，，点为直线上一动点，连接，则线段的最小值为（     ） A． B． C． D． 题型10.中点坐标 【典例】点和点的中点坐标为__________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系xOy中，为等腰三角形，AB=AC，轴，若，，则的面积为（   ） A．8 B．9 C．12 D．24 【跟踪专练2】如图所示，阴影部分的匀质薄板置于平面直角坐标系中（单位：），原点为薄板左下角顶点，该匀质薄板的重心坐标为（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______． 题型11.点坐标规律探索 【典例】如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中半径为1的圆从原点出发沿x轴正方向滚动2025周，圆上一点由原点到达点，圆心也由点到达点，则点的坐标为______． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按…的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A．（10，10） B． C． D． 解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为． (1)请在图中作出关于轴对称的图形（点的对应点分别是点），并写出的坐标； (2)请在图中作出关于轴对称的图形（点的对应点分别是点）． 2．在平面直角坐标系中，已知点，点． (1)若直线平行于轴，求的值． (2)将点向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，当点正好在轴上时，求点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将经过平移得到，点B的对应点的坐标为，点A，C的对应点分别为，． (1)请在图中画出； (2)点是边上的一点，经过平移后，点P的对应点是点，则点的坐标为________． 4．如图，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度．请回答下列问题： (1)平移后的三个顶点坐标分别为：（ ， ），（ ， ），（ ， ）； (2)画出平移后三角形； (3)若平移后的三角形内部有任意一点，则平移前对应点的坐标为：P（ ， ）． 5．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，的对应点，，连接，，． (1)写出点，的坐标． (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积是三角形面积的2倍，若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点是直线上一个动点，连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 6．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按照先向上、再向右、最后向右下方向依次平移，向上、向右都是每次移动1个单位长度，向右下方向每次移动个单位长度，依次得到点，，，，，， ，点的坐标是_______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $