专题13一元一次方程的应用 暑假预习讲义 2025-2026学年北师大版七年级数学上册

专题13一元一次方程的应用暑假预习讲义 1. 梳理步骤：熟记利用一元一次方程解决实际问题完整流程：审题→找等量关系→设未知数→列方程→解方程→检验作答。 2. 核心能力：学会读题分析题意，从文字信息中找准等量关系（本节课重中之重）。 3. 规范书写：掌握应用题标准格式，分清直接设未知数与间接设未知数的使用场景。 4. 题型感知：初步认识和差倍分、行程、数字等基础题型，了解各类问题常见等量关系。 5. 检验意识：懂得双重检验，一是检验方程解是否正确；二是检验结果是否符合现实实际意义。 6. 辨析思维：能够区分算术解法与方程解法，体会方程建模思路的优势。 7. 规避易错点：找不到等量关系；单位不统一；忘记检验结果是否符合实际；答题缺少文字总结。 8. 数学素养：建立数学建模思想，学会运用方程工具解决生活实际问题。 预习必备 知识梳理 1.一元一次方程应用解题步骤 2.两种设元方法对比 3.分析问题中的等量关系 4.常见问题中的等量关系 5.检验的两大要求 6.寻找等量关系的4种方法 7.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.工程问题（重） 2.销售盈亏问题（常） 3.比赛积分问题（重） 4.方案问题（难） 5.数字问题 6.几何问题（难） 7.动点问题（难点） 8.电费和水费问题（常考） 9.行程问题（重） 10.比例分配问题（难点） 11.日历问题 12.古代问题（难点） 13.其他实际应用问题 14.配套问题（常） 15.和差倍分问题（常+重） 知识的：列一元一次方程解应用题通用标准步骤（必考书写模板） 共 6 步，每一步规范要求、易错点整理： 步骤 操作内容 书写规范 / 核心要点 高频易错 1. 审（审题） 通读题目，圈画已知量、未知量，找出等量关系 标记数字、关键词：一共、比… 多、比… 少、几倍、相等、剩余、提前、延后 找错等量关系，左右写反 2. 设（设未知数） 直接设：求什么设什么；间接设：直接设难计算时，设中间量 规范书写：设 ×× 为x（带单位） 漏写单位；设两个未知数（只能一元） 3. 列（列方程） 用含x的代数式表示所有相关量，根据等量关系列出一元一次方程 等式左右两边单位统一 代数式漏括号、等量颠倒 4. 解（解方程） 按五步完整解一元一次方程，求出x的值 步骤完整，不随意跳步 计算符号、去分母漏乘常数项 5. 验（双重检验） ①代入方程，检验左右相等；②检验结果符合实际生活意义（人数、物品不能为小数 / 负数） 应用题必须检验，不能省略 只验方程，忽略实际合理性 6. 答（写答句） 完整回应题目提问，带上对应单位 语句通顺，对应问题 漏单位、答非所问 关键核心：等量关系寻找技巧 关键词法： 相等、等于、和、共、多、少、倍、几分之几、剩余、还差、比…… 大 / 小； 公式法：路程、价格、工程、浓度、周长面积固定公式； 不变量法：总量不变、路程不变、容器体积不变、年龄差不变。 知识点 02 两种设元方法对比 设元类型 定义 适用场景 直接设元 题目求什么，就设什么为x 和差倍分、简单销售、基础行程 间接设元 设中间关联量为x，求出后再计算最终答案 比例、复杂数字、多步行程、配套问题 知识点 03 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点04常见问题中的等量关系 题型 1 和差倍分问题（基础必考） （1）核心文字等量翻译 A 比 B 多m：A=B+m A 比 B 少m：A=B-m A 是 B 的k倍：A=k·B A、B 总和为S：A+B=S （2）解题思路 一般设较小量为x，大量用含x代数式表示，根据 “和” 列方程。 （3）易错点 “甲比乙多 3 倍”≠甲 = 3 乙，而是甲 = 4 乙。 题型 2 行程问题（重难点，细分 3 小类） 统一基础公式：路程=速度×时间 s=vt 细分类型 核心等量关系 典型关键词 相遇问题 甲路程 + 乙路程 = 总路程 相向而行、同时出发、两地相距 追及问题 快路程 − 慢路程 = 路程差 同向、落后、提前出发 航行 / 飞行 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度逆水速度 = 静水速度−水流速度 顺水、逆水、顺风、逆风 辅助方法：线段示意图 标出起点、终点、相遇点、速度、时间，直观找路程等量。 题型 3 销售利润问题（生活应用题高频） 基础专用公式 单件利润 = 售价 − 进价（成本） 总利润 = 单件利润 × 销售数量 利润率 = ×100% 打折：售价 = 标价 × （打 8 折 = 标价 ×0.8） 等量思路 打折后售价−成本 = 利润；总销售额 = 单价 × 数量。 题型4 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 题型 5 等积变形问题（几何类） 核心不变量：物体体积 / 面积不变 圆柱形倒水：原水体积 = 新容器中水的体积 钢材锻造：锻造前体积 = 锻造后体积 长方形拉伸 / 切割：周长 / 面积固定等式 常用几何公式 长方体V=长×宽×高；圆柱V=r2h 题型 6 数字问题 两位数模型 十位数字a，个位数字b，则这个两位数表示为：10a+b 三位数模型 百位a、十位b、个位c：100a+10b+c 等量关系 新数字与原数字的和 / 差为定值、数字互换后大小变化。 易错 不能直接设两位数为ab，ab代表a×b，必须用数位加权表示。 题型 7 年龄问题 核心不变规律：两人年龄差永远不变 等量模板 n年前：各自年龄同时减n； n年后：各自年龄同时加n； 根据倍数、和差建立等式。 题型 8 配套 / 分配问题（生产、人员调配） 两类细分 人员调配：调出、调入后，两组人数倍数相等； 零件配套：一套产品需要甲m件、乙n件， 则 甲总数量\(:\)乙总数量=m:n，交叉相乘列方程。 例：1 个产品配 2 个螺丝，螺丝总数 = 2× 零件总数。 知识点 05 检验的两大要求 数学检验：将解代入原方程，左右两边相等，是方程的解； 实际检验：数值必须符合现实，不能出现负数人数、小数物品、负长度等。 知识点 06 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 知识点07:高频易错点（阅卷扣分重点） 1.设未知数、答句遗漏单位，代数式中单位重复书写； 2.行程、工程问题等量左右颠倒，相遇 / 追及路程混淆； 3 打折计算错误：直接用标价 × 折扣数，忘记除以 10； 3.数字问题直接把两位数写成xy，不用10x+y； 4.解方程后只检验方程，忽略实际意义（人数、时间不能为负数、小数）； 5.工程问题忘记总量设为 1，直接用天数计算； 6.配套比例交叉相乘出错，前后零件数量比写反； 7.分段收费只算一段，漏掉基础固定费用； 8.年龄问题忘记两人同时增减岁数，只单独加减一人年龄； 9.应用题不按六步完整书写，省略检验、答句。 题型1.工程问题 【典例】．完成某工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，直至完成这项工程．若设完成此项工程一共用x天，则可列方程__________________． 【跟踪专练1】为传承清明文化、缅怀先辈，某班以小组为单位，精心布置清明节主题黑板报．甲组单独布置需4小时，乙组单独布置需6小时，如果甲、乙两组合作了2小时后，因甲组另有任务，剩下的任务由乙组单独完成，若设乙单独完成剩下的任务还需要小时，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某工厂计划加工一批零件，甲车间单独加工需要10天完成，乙车间单独加工需要15天完成．若两车间先合作加工3天，再由甲车间完成剩余部分，还需要多少天才能加工完这批零件？ 【跟踪专练3】【项目式学习：校园广告牌制作工程】 某校初中七年级数学社团的学生学习了方程的知识后，参与了一个项目式学习——校园广告牌制作工程，下面是他们学习单的一部分，请你结合工程实际，用方程（组）的知识解决下列问题： 项目背景 学校校办厂需制作一块公益广告牌，邀请两名工人完成制作．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天． (1)若两名工人从一开始就合作制作，需要多少天可以完成全部广告牌？ (2)现调整施工方案：由徒弟先单独制作1天，再由两人合作完成剩余工作．全部完工后共获得报酬450元，若按各自完成的工作量计算报酬，请你分别求出师傅和徒弟应分得的报酬金额． (3)请你再设计一种新的施工方案（例如“一人先做若干天，再两人合作”或“两人合作后一人离开”等），并列出对应的方程，无需求解． 题型2.销售盈亏问题（常） 【典例】若一件商品按成本价提高后标价卖出，结果可获利16元，则这件商品的成本价为____元． 【跟踪专练1】学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（     ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】列方程计算 光明实验小学要用一笔钱购买图书，如果买《少儿百科全书》可买30套，如果买《中国古典名著》，可以买多少套？ 图书 《中国古典名著》 《少儿百科全书》 《上下五千年》 单价（元/套） 90 81 48 【跟踪专练3】某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 题型3.比赛积分问题（重） 【典例】足球比赛的计分方法为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一个队共打了场比赛，负了场，得分，设该队共平场，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某次数学竞赛有10道试题，若小宁得70分，根据图中两人的对话可知小宁答对_____题，答错_____题． 【跟踪专练2】为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，郑州市教育体育局持续推动全民阅读行动．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分90分，他答对了几道题？ 【跟踪专练3】学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 题型4.方案问题（难） 【典例】某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买本图书，两种方案费用相等时的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【跟踪专练1】某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如下两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有___________ 团购优惠方案： ①全体人员均八折； ②除7人免票外，其余人员可享九折优惠 【跟踪专练2】某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价如表： 吉祥物名称 琮琮 莲莲 进价/（元/个） 60 70 问：该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？ 【跟踪专练3】暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 题型5.数字问题 【典例】用一元一次方程的知识，可以把无限循环小数化为分数，如：把化为分数，设，两边同乘，得，，即，移项，合并同类项，得，解得：，即，把化为分数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则“”位置的数是________． 【跟踪专练2】我国古代的“九宫图”是由方格构成的，每个方格均有不同的数，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如下给出了“九宫图”的一部分，请推算的值． 【跟踪专练3】我们规定一种运算，如，按照这种运算规定，解答下列各题： (1)计算：________； (2)若，求x的值； (3)当________时，． 题型6.几何问题（难） 【典例】用一根长的铁丝围成一个长方形，若长方形的宽比长少，则这个长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】课外活动时，小兵用超轻黏土刀竖直切割一块超轻黏土塑成的棱长为的正方体，正好将其分成两个长方体，如图，若这两个长方体体积之比为，则______． 【跟踪专练2】如图所示，将底面半径为的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为，，的长方体铁盒中，正好倒满，求圆柱形水桶的高．（取3.14，精确到）． 【跟踪专练3】竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          题型7.动点问题（难点） 【典例】在数轴上，点向右移动1个单位长度得到点，点向右移动2个单位长度得到点，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．若a、b、c三个数的乘积为负数，且这三个数的和与其中一个数相等，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练1】如图，已知数轴上，两点表示的数分别是，，点以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度向右运动，点从点出发，以每秒个单位速度在之间往返，直到点追上点时所有运动停止．则在这个过程中，点运动的路线总长是________． 【跟踪专练2】如图，在长方形中，，，点P从点A出发，沿的路线运动，速度为每秒，设运动时间为t秒． (1)当时，点P的位置在________； (2)当t为何值时，点P到点A的距离为（沿的运动路线测量长度）？ 【跟踪专练3】如图，在数轴上点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，为原点． (1)，两点间的距离是______，，两点的中点所对应的数是______； (2)若点以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，则秒时，点走到的位置所对应的数是______（用含的代数式表示）； (3)若点，都以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向同时运动，而点不动，秒时，，，中有一点是三点所在线段的中点，则的值为______． 题型8.电费和水费问题（常考） 【典例】为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行“阶梯收费”，规定每户每月用水量不超过的，每吨2元；超过的部分，每吨3.5元．已知小莉家某月交水费34元，则小莉家该月用水量为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 （1）小明家2月份用水量为，应缴纳水费____元； （2）已知小红家3月份共缴纳水费120元，那么小红家3月份用水量是_______； 【跟踪专练2】某地居民用水收费标准如下表： 家庭每年用水量 收费标准 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元 小亮家去年缴水费980元，他家去年实际用水量是多少？ 【跟踪专练3】某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 题型9.行程问题（重） 【典例】我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）中有这样一个问题，“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】中国古代数学名著《算法统宗》中记载了一些诗歌形式的数学问题，其中一个问题为：三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还．意思是：一个人到关口要走378里路．第一天健步行走，从第二天起因脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达关口，算算每天行走的里数．（“里”是我国古代长度单位）根据题中的信息，这个人第一天走的路程是( )里． 【跟踪专练2】周末，小明和爸爸骑车去郊外游玩，他们同时从家出发，沿相同的路线分别以10千米/时和12千米/时的速度一直骑行，爸爸骑行了11千米后发现小明没跟上，立刻回头去找小明，往回骑行的速度还是12千米/时，不一会儿，就遇到了小明，此时小明骑行了多长时间？ 【跟踪专练3】周末，李叔叔驾驶汽车从淮安出发前往苏州参加培训，完成培训活动后立即原路返回淮安，全程共用时9小时（路上）．已知去程时汽车每小时行驶120千米，返程时因道路拥堵速度降至每小时80千米．请问淮安到苏州距离是多少千米？ 题型10.比例分配问题（难点） 【典例】一种石灰与水混合后的石灰浆，石灰与水的质量比是．现在向石灰浆中加入120千克水，要使石灰与水的质量比不变，还应加入（    ）千克石灰． A．150 B．90 C．80 【跟踪专练1】张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的，王用了自己钱数的，李用了自己钱数的，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有( )元． 【跟踪专练2】在《国家空间科学中长期发展规划（2024-2050年）》中，明确了我国空间科学发展目标，提出我国拟突破的“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”5大科学主题．某班老师在进行相关科普时，让48名学生从这5大科学主题中各自选择一个喜欢的主题，最终选择“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”的人数比是，那么喜欢“宜居行星”主题的人数是多少？ 【跟踪专练3】如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 题型11.日历问题 【典例】在如图的2026年4月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（     ） A．27 B．51 C．69 D．75 【跟踪专练1】如图是某月的月历，将正方形方框放入月历，方框内恰好是9个数，若方框内的9个数的和为，方框正中心的数为，若，则的值为______________． 【跟踪专练2】下方左图是2026年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如右图，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d． (1)若，则______，______，______；（用含x的代数式表示） (2)若，求c的值； (3)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为79，你认为他的说法对吗？请说明理由． 【跟踪专练3】图1是2025年1月的月历，用如图所示的“”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如图2，设“”字形框中的4个数分别为． (1)若，则___________，若，则___________； (2)在移动“”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为107，你认为他的说法对吗？请说明理由； 题型12.古代问题（难点） 【典例】《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？设共有辆车，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】幻方起源于中国，是我国古代数学杰作之一．在幻方的9个格子中，每个数互不相同且满足每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和均相等．如图是一个已知部分信息的幻方，则________． 【跟踪专练2】（用一元一次方程解应用题） 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，求快马几天可以追上慢马． 【跟踪专练3】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你列一元一次方程解决这个问题． 题型13.其他实际应用问题 【典例】市中区某小学今年六年级毕业学生450人，比去年多了，该小学去年毕业学生多少人？设去年毕业学生人，下面方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】由于水对物体的浮力作用，实心的纯金和纯银浸没水中称重时，弹簧测力计的示数分别约为原来的和．一件重80克的实心金银饰品，浸没水中称重，弹簧测力计的示数为原来的，若实心的纯金和纯银浸没水中称重，弹簧测力计的示数分别按原来的和计算，则这件金银饰品中含金____________克． 【跟踪专练2】编程社团的“小码农”们为机器人小Q设计了一个有趣的路径规划程序．小Q在数轴上移动，规定向右为正方向．程序设定小Q从初始位置x出发，依次经过以下三个运算关卡： 第一关：将当前数值x减2； 第二关：将第一关的结果乘； 第三关：将第二关的结果加5，得到终点位置P的值． (1)若，求机器人小Q的终点位置P的值； (2)若终点位置P的值为，求初始位置x的值． 【跟踪专练3】现有浓度为的盐水克，加入多少克水就能得到浓度为的盐水？ 题型14.配套问题（常） 【典例】某加工厂有名工人，平均每人每天加工桌面个或桌腿个，已知1个桌面与4个桌腿配成一套，问需分别安排多少名工人加工桌面、桌腿，才能使每天生产的桌面桌腿刚好配套？设安排x名工人加工桌面，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在我国传统文化中，茶与茶具都承载着深厚的文化底蕴．某车间共有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯，1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排______名工人加工茶壶．（每名工人每天只加工茶壶和茶杯中的一种） 【跟踪专练2】某小型工厂有12个工人，生产大齿轮和小齿轮，平均每天每人可生产大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮和3个小齿轮可以配成一套，则需要多少工人生产大齿轮多少工人生产小齿轮，可使每天生产的大小齿轮刚好配套． 【跟踪专练3】某眼镜厂生产一批眼镜，分两个车间进行，甲车间生产镜架，乙车间生产镜片．已知两个车间共有50名工人，且甲车间人数比乙车间人数的2倍少1人． (1)甲、乙两车间各有多少人？ (2)若每个工人平均每天可以生产镜架50个或镜片150片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天生产的镜架与镜片刚好配套，应如何调整两车间的人数？ 题型15.和差倍分问题（常+重） 【典例】小川今年4岁，他爸爸今年36岁，几年后他爸爸的年龄是小川的年龄的3倍？设年后爸爸的年龄是小川的年龄的3倍，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】今年爸爸与两个儿子的年龄的总和是100岁，12年后，爸爸的年龄等于两个儿子的年龄之和，爸爸今年_________岁． 【跟踪专练2】猎豹是世界上跑得最快的动物，能达到每小时，比大象的2倍还多，大象最快能达到每小时多少千米？ 【跟踪专练3】小艺读一本书，第一天读了全书的，第二天比第一天多读12页，这时已读页数和未读页数的比是，这本书一共多少页？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13一元一次方程的应用暑假预习讲义 1. 梳理步骤：熟记利用一元一次方程解决实际问题完整流程：审题→找等量关系→设未知数→列方程→解方程→检验作答。 2. 核心能力：学会读题分析题意，从文字信息中找准等量关系（本节课重中之重）。 3. 规范书写：掌握应用题标准格式，分清直接设未知数与间接设未知数的使用场景。 4. 题型感知：初步认识和差倍分、行程、数字等基础题型，了解各类问题常见等量关系。 5. 检验意识：懂得双重检验，一是检验方程解是否正确；二是检验结果是否符合现实实际意义。 6. 辨析思维：能够区分算术解法与方程解法，体会方程建模思路的优势。 7. 规避易错点：找不到等量关系；单位不统一；忘记检验结果是否符合实际；答题缺少文字总结。 8. 数学素养：建立数学建模思想，学会运用方程工具解决生活实际问题。 预习必备 知识梳理 1.一元一次方程应用解题步骤 2.两种设元方法对比 3.分析问题中的等量关系 4.常见问题中的等量关系 5.检验的两大要求 6.寻找等量关系的4种方法 7.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.工程问题（重） 2.销售盈亏问题（常） 3.比赛积分问题（重） 4.方案问题（难） 5.数字问题 6.几何问题（难） 7.动点问题（难点） 8.电费和水费问题（常考） 9.行程问题（重） 10.比例分配问题（难点） 11.日历问题 12.古代问题（难点） 13.其他实际应用问题 14.配套问题（常） 15.和差倍分问题（常+重） 知识的：列一元一次方程解应用题通用标准步骤（必考书写模板） 共 6 步，每一步规范要求、易错点整理： 步骤 操作内容 书写规范 / 核心要点 高频易错 1. 审（审题） 通读题目，圈画已知量、未知量，找出等量关系 标记数字、关键词：一共、比… 多、比… 少、几倍、相等、剩余、提前、延后 找错等量关系，左右写反 2. 设（设未知数） 直接设：求什么设什么；间接设：直接设难计算时，设中间量 规范书写：设 ×× 为x（带单位） 漏写单位；设两个未知数（只能一元） 3. 列（列方程） 用含x的代数式表示所有相关量，根据等量关系列出一元一次方程 等式左右两边单位统一 代数式漏括号、等量颠倒 4. 解（解方程） 按五步完整解一元一次方程，求出x的值 步骤完整，不随意跳步 计算符号、去分母漏乘常数项 5. 验（双重检验） ①代入方程，检验左右相等；②检验结果符合实际生活意义（人数、物品不能为小数 / 负数） 应用题必须检验，不能省略 只验方程，忽略实际合理性 6. 答（写答句） 完整回应题目提问，带上对应单位 语句通顺，对应问题 漏单位、答非所问 关键核心：等量关系寻找技巧 关键词法： 相等、等于、和、共、多、少、倍、几分之几、剩余、还差、比…… 大 / 小； 公式法：路程、价格、工程、浓度、周长面积固定公式； 不变量法：总量不变、路程不变、容器体积不变、年龄差不变。 知识点 02 两种设元方法对比 设元类型 定义 适用场景 直接设元 题目求什么，就设什么为x 和差倍分、简单销售、基础行程 间接设元 设中间关联量为x，求出后再计算最终答案 比例、复杂数字、多步行程、配套问题 知识点 03 分析问题中的等量关系 1.逐步列式法：例如，x+2的 2 倍比3x-6大 5。首先写出 “x+2的 2 倍”，即2(x+2)，它比3x-6大 5，那么 “大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。 2.列表分析法：用行（或列）表示不同的项目或种类，用列（或行）表示相应的数量。 3.画图分析法：用图形表示题目中的数量关系。例如，行程问题中常用线段示意图帮助分析相等关系。 知识点04常见问题中的等量关系 题型 1 和差倍分问题（基础必考） （1）核心文字等量翻译 A 比 B 多m：A=B+m A 比 B 少m：A=B-m A 是 B 的k倍：A=k·B A、B 总和为S：A+B=S （2）解题思路 一般设较小量为x，大量用含x代数式表示，根据 “和” 列方程。 （3）易错点 “甲比乙多 3 倍”≠甲 = 3 乙，而是甲 = 4 乙。 题型 2 行程问题（重难点，细分 3 小类） 统一基础公式：路程=速度×时间 s=vt 细分类型 核心等量关系 典型关键词 相遇问题 甲路程 + 乙路程 = 总路程 相向而行、同时出发、两地相距 追及问题 快路程 − 慢路程 = 路程差 同向、落后、提前出发 航行 / 飞行 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度逆水速度 = 静水速度−水流速度 顺水、逆水、顺风、逆风 辅助方法：线段示意图 标出起点、终点、相遇点、速度、时间，直观找路程等量。 题型 3 销售利润问题（生活应用题高频） 基础专用公式 单件利润 = 售价 − 进价（成本） 总利润 = 单件利润 × 销售数量 利润率 = ×100% 打折：售价 = 标价 × （打 8 折 = 标价 ×0.8） 等量思路 打折后售价−成本 = 利润；总销售额 = 单价 × 数量。 题型4 工程问题 （1）基本相等关系：工作量=工作效率 工作时间，工作时间=，工作效率=； （2）当问题中总工作量未知而又不求总工作量时，要把总工作量看作整1； （3）常见的相等关系为总工作量=各部分工作量之和。 题型 5 等积变形问题（几何类） 核心不变量：物体体积 / 面积不变 圆柱形倒水：原水体积 = 新容器中水的体积 钢材锻造：锻造前体积 = 锻造后体积 长方形拉伸 / 切割：周长 / 面积固定等式 常用几何公式 长方体V=长×宽×高；圆柱V=r2h 题型 6 数字问题 两位数模型 十位数字a，个位数字b，则这个两位数表示为：10a+b 三位数模型 百位a、十位b、个位c：100a+10b+c 等量关系 新数字与原数字的和 / 差为定值、数字互换后大小变化。 易错 不能直接设两位数为ab，ab代表a×b，必须用数位加权表示。 题型 7 年龄问题 核心不变规律：两人年龄差永远不变 等量模板 n年前：各自年龄同时减n； n年后：各自年龄同时加n； 根据倍数、和差建立等式。 题型 8 配套 / 分配问题（生产、人员调配） 两类细分 人员调配：调出、调入后，两组人数倍数相等； 零件配套：一套产品需要甲m件、乙n件， 则 甲总数量\(:\)乙总数量=m:n，交叉相乘列方程。 例：1 个产品配 2 个螺丝，螺丝总数 = 2× 零件总数。 知识点 05 检验的两大要求 数学检验：将解代入原方程，左右两边相等，是方程的解； 实际检验：数值必须符合现实，不能出现负数人数、小数物品、负长度等。 知识点 06 寻找等量关系的 4 种方法 1.抓关键词：一共、比… 多、比… 少、是几倍、剩余、相等； 2.画图辅助：行程画线段图、几何等积画示意图； 3.列表梳理：多组数量用表格整理，直观找等式； 4.套用固定公式：行程、工程、销售直接用公式建立等量。 知识点07:高频易错点（阅卷扣分重点） 1.设未知数、答句遗漏单位，代数式中单位重复书写； 2.行程、工程问题等量左右颠倒，相遇 / 追及路程混淆； 3 打折计算错误：直接用标价 × 折扣数，忘记除以 10； 3.数字问题直接把两位数写成xy，不用10x+y； 4.解方程后只检验方程，忽略实际意义（人数、时间不能为负数、小数）； 5.工程问题忘记总量设为 1，直接用天数计算； 6.配套比例交叉相乘出错，前后零件数量比写反； 7.分段收费只算一段，漏掉基础固定费用； 8.年龄问题忘记两人同时增减岁数，只单独加减一人年龄； 9.应用题不按六步完整书写，省略检验、答句。 题型1.工程问题 【典例】．完成某工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现由甲先做2天，乙再加入合作，直至完成这项工程．若设完成此项工程一共用x天，则可列方程__________________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 设完成工程共用x天，将总工程量看作单位1，甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲先做2天，则甲工作x天，乙工作天，根据甲和乙完成的工作量之和等于1，列出方程即可． 【详解】解：甲完成的工作量为，乙完成的工作量为，由总工作量为1，得方程． 故答案为：． 【跟踪专练1】为传承清明文化、缅怀先辈，某班以小组为单位，精心布置清明节主题黑板报．甲组单独布置需4小时，乙组单独布置需6小时，如果甲、乙两组合作了2小时后，因甲组另有任务，剩下的任务由乙组单独完成，若设乙单独完成剩下的任务还需要小时，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．工作效率 = 总工作量÷单独完成时间，因此把总的工作量看作“1”，甲的工作效率是，乙的工作效率是，根据“甲、乙两组合作了2小时后，剩下的任务由乙组单独完成，”列出方程并解答． 【详解】 解：设乙单独完成剩下的任务还需要小时，由题意得 ， 故选：D ． 【跟踪专练2】某工厂计划加工一批零件，甲车间单独加工需要10天完成，乙车间单独加工需要15天完成．若两车间先合作加工3天，再由甲车间完成剩余部分，还需要多少天才能加工完这批零件？ 【答案】天 【分析】设还需要x天才能加工完这批零件，根据题意列出一元一次方程，然后解方程即可． 【详解】解：设还需要x天才能加工完这批零件， 根据题意，得 解得 答：还需要5天才能加工完这批零件． 【跟踪专练3】【项目式学习：校园广告牌制作工程】 某校初中七年级数学社团的学生学习了方程的知识后，参与了一个项目式学习——校园广告牌制作工程，下面是他们学习单的一部分，请你结合工程实际，用方程（组）的知识解决下列问题： 项目背景 学校校办厂需制作一块公益广告牌，邀请两名工人完成制作．已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天． (1)若两名工人从一开始就合作制作，需要多少天可以完成全部广告牌？ (2)现调整施工方案：由徒弟先单独制作1天，再由两人合作完成剩余工作．全部完工后共获得报酬450元，若按各自完成的工作量计算报酬，请你分别求出师傅和徒弟应分得的报酬金额． (3)请你再设计一种新的施工方案（例如“一人先做若干天，再两人合作”或“两人合作后一人离开”等），并列出对应的方程，无需求解． 【答案】(1)两人合作需要天完成全部广告牌 (2)师傅和徒弟应分得的报酬金额各为225元 (3)师傅与徒弟合作先合作2天，然后由徒弟独自完成剩余部分，徒弟还需几天完成？ 【分析】（1）设两人合作需要x天完成，由题意得：，进一步求解即可； （2）设两人合作还需y天完成，由题意得：，再进一步求解即可； （3）设置合理问题即可. 【详解】（1）解：设两人合作需要x天完成，由题意得：， 解得：． 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：两人合作需要天完成． （2）解：设两人合作还需y天完成，由题意得：， 解得：． 经检验是原方程的解，且符合题意． 师傅的工作量为，徒弟的工作量为，因为师傅和徒弟的工作量相同，所以报酬也相同，每人应得元． 答：师傅和徒弟各得225元． （3）解：（问题不唯一） 如：师傅与徒弟先合作2天，然后由徒弟独自完成剩余部分，徒弟还需几天完成？ 解：设徒弟还需m天完成，由题意得：. 题型2.销售盈亏问题（常） 【典例】若一件商品按成本价提高后标价卖出，结果可获利16元，则这件商品的成本价为____元． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设商品成本价为未知数，根据“提高后的标价成本价利润”的等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这件商品的成本价为元， 根据题意列方程：， 整理得， 解得． 答：这件商品的成本价为元． 【跟踪专练1】学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用“总利润=每套利润×购买套数”表示出两种方案的总利润即可列方程。 【详解】解：设每套课桌椅的成本为元， 原订购60套，每套售价100元，每套利润为元， 原方案总利润为元； 实际购买72套，每套减价3元，实际每套售价为元，每套利润为元， 实际方案总利润为元， 两种方案利润相同， 列方程得． 【跟踪专练2】列方程计算 光明实验小学要用一笔钱购买图书，如果买《少儿百科全书》可买30套，如果买《中国古典名著》，可以买多少套？ 图书 《中国古典名著》 《少儿百科全书》 《上下五千年》 单价（元/套） 90 81 48 【答案】可以买27套 【分析】设可以买套，根据题意列出一元一次方程，求出x的值即可． 【详解】解：设可以买套． ． 答：可以买27套． 【跟踪专练3】某商场A，B两种玩偶在市场热销，商场现购进A，B两种玩偶一共100个，其中每个A玩偶进价12元，每个B玩偶进价15元，总共花费1380元． (1)求购进A，B两种玩偶各多少个？ (2)A、B两种玩偶标价分别为20元/个、25元/个，销售过程中，A种玩偶全部按标价售完，B种玩偶售出一部分后，进行促销，剩余的打八折出售，若购进的两种玩偶全部销售后利润刚好是720元，求B种玩偶打折前卖出多少个？ 【答案】(1)购进A种玩偶个，B种玩偶个； (2)B种玩偶打折前卖出个． 【分析】（1）设购进A种玩偶个，则购进B种玩偶个，根据题意列方程即可； （2）设B种玩偶打折前卖出个，则B种玩偶打折后卖出个，根据题意列方程即可． 【详解】（1）解：设购进A种玩偶个， ， 解得， ， 答：购进A种玩偶个，B种玩偶个． （2）解：设B种玩偶打折前卖出个， ， 解得， 答：种玩偶打折前卖出个． 题型3.比赛积分问题（重） 【典例】足球比赛的计分方法为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分，一个队共打了场比赛，负了场，得分，设该队共平场，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据总场次和负场数求出胜场数，再根据“胜场得分+平场得分=总得分”的等量关系列方程即可． 【详解】解：设该队共平了场， ∵该队共进行场比赛，负了场， ∴该队胜的场次为 ， ∵胜一场得分，平一场得分，总得分是分， ∴胜场总得分是，平场总得分是， 根据总得分列方程得：． 【跟踪专练1】某次数学竞赛有10道试题，若小宁得70分，根据图中两人的对话可知小宁答对_____题，答错_____题． 【答案】 8 2 【分析】设小宁答对了x题，根据题意列出方程求解即可 【详解】解：设小宁答对了x题， 依据题意，得， ， ， 解得， 所以答错了（题）． 【跟踪专练2】为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，郑州市教育体育局持续推动全民阅读行动．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分90分，他答对了几道题？ 【答案】 他答对了19道题 【分析】设他答对了道题，根据答对一题得5分，答错或不答一题扣5分，由此列式求解即可． 【详解】解：设他答对了道题， 依题意得：， 解得． 答：他答对了19道题． 【跟踪专练3】学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 【答案】解：给这个同学颁发金奖，理由如下： 设体验时编程挑战得分，手工创作得分，则正式计分时编程挑战得分，手工创作得分． 根据题意可列方程为：． 解得， ∴编程得（分）， 手工创作得（分）， ， ∴给这个同学颁发金奖， 答：给这个同学颁发金奖． 【分析】先设出体验时编程挑战得分，手工创作得分，利用两项共得123分求出x的值，即可计算得出编程得分与手工创作得分，根据获奖条件即可求解． 【详解】略 题型4.方案问题（难） 【典例】某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买本图书，两种方案费用相等时的值为（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程在实际问题中的应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系列方程并求解的方法是解题的关键． 先分别用含的代数式表示出两种购书方案的费用，再根据两种方案费用相等这一等量关系列出一元一次方程，最后解方程求出的值． 【详解】解：设购买本图书时两种方案费用相等， ∵方案①的费用为元， 方案②的费用为元，即元， 又∵两种方案费用相等， ∴， 移项得， 即， 解得， 故选：A． 【跟踪专练1】某校七年级三个班级联合开展户外研学活动，此次活动由一班班长负责购买车票，票价每张20元．有如下两种优惠方案：班长思考一会儿说，无论选择哪种方案所要付的车费是一样的，则七年级三个班级共有___________ 团购优惠方案： ①全体人员均八折； ②除7人免票外，其余人员可享九折优惠 【答案】63人 【分析】根据题意，设七年级三个班级共有人，根据两种方案的费用相同建立方程，解方程即可得到答案． 本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据两种方案费用相同建立方程． 【详解】解：设七年级三个班级共有人， 由题意得， ， ， ， 则七年级三个班级共有人． 故答案为：63人． 【跟踪专练2】某玩具店购进亚运会吉祥物“琮琮”“莲莲”共100个，总费用为6600元，这两种吉祥物的进价如表： 吉祥物名称 琮琮 莲莲 进价/（元/个） 60 70 问：该玩具店购进“琮琮”和“莲莲”各多少个？ 【答案】该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．设该玩具店购进“琮琮”个，“莲莲”个，利用总价单价数量，结合玩具店花费6600元购进亚运会吉祥物“琮琮”、“莲莲”共100个，可列出一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该玩具店购进“琮琮”个，“莲莲”个， 由题意，得，解得． 所以该玩具店购进“琮琮”40个，“莲莲”60个． 【跟踪专练3】暑假期间，小旭和几名同学随家长一同到某景区游玩，下面是购买门票时小旭与爸爸的对话，根据图中的信息，解答问题． (1)小旭他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)请你帮助小旭算一算，为他们设计出最省钱的购票方案，并求出此时的购票费用． 【答案】(1)一共去了成人8人，学生12人； (2)购买15张团体票，5张学生票更省钱，此时的购票费用为575元 【分析】（1）设一共去了位成人，则去了位学生，根据题意列出方程，解方程即可； （2）计算全部购买团体票和组合购买的金额，与700元进行比较，据此解答即可． 【详解】（1）解：设一共去了位成人，则去了位学生， 根据题意得， 解得， 则学生人数为（人）， 答：一共去了成人8人，学生12人； （2）解：若购买20张团体票，则共需付款（元）， 若购买15张团体票，5张学生票，则共需付款（元）， ∵， ∴购买15张团体票，5张学生票更省钱． 题型5.数字问题 【典例】用一元一次方程的知识，可以把无限循环小数化为分数，如：把化为分数，设，两边同乘，得，，即，移项，合并同类项，得，解得：，即，把化为分数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】仿照题目给出的方法，拆分整数部分与循环小数部分，设未知数列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【跟踪专练1】宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则“”位置的数是________． 【答案】7 【分析】 标记“”位置的数为x，左上角的数字为a，左下角的数字为b，中间的数字为m，根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等”，可得，，推出，，再根据左边一列的和等于右边一列的和，列方程，解方程求出x的值即可． 【详解】解：如图，标记幻方中的相关数字， a 3 1 m 17 b x 由题意得：，， 解得，， 由，得：， 解得， 即“”位置的数是7． 【跟踪专练2】我国古代的“九宫图”是由方格构成的，每个方格均有不同的数，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如下给出了“九宫图”的一部分，请推算的值． 2025 x 1 5 【答案】 【分析】先得出第一行第一列的数，再根据第二行上的三个数字之和、对角线上的三个数之和相等建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设“九宫图”中的数字如下图所示： 2025 1 5 由题意得：①，②， 整理①得：，解得， 整理②得：， ∴， 解得． 【跟踪专练3】我们规定一种运算，如，按照这种运算规定，解答下列各题： (1)计算：________； (2)若，求x的值； (3)当________时，． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）根据，列出算式即可求解； （2）根据题意列出一元一次方程即可求解． （3）根据题意列出一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：∵， ∴， 解得． （3）∵， ∴， 解得． 题型6.几何问题（难） 【典例】用一根长的铁丝围成一个长方形，若长方形的宽比长少，则这个长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出长方形的长，从而可表示出宽，然后根据铁丝长度等于长方形周长列方程，求出长和宽后计算面积即可． 【详解】解：设长方形的长为，则宽为， 根据题意得， 解得， 长为，宽为， 面积为． 【跟踪专练1】课外活动时，小兵用超轻黏土刀竖直切割一块超轻黏土塑成的棱长为的正方体，正好将其分成两个长方体，如图，若这两个长方体体积之比为，则______． 【答案】 或 【详解】解：∵这两个长方体体积之比为， ∴或， 解得：或． 【跟踪专练2】如图所示，将底面半径为的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为，，的长方体铁盒中，正好倒满，求圆柱形水桶的高．（取3.14，精确到）． 【答案】圆柱的高为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据圆柱的体积长方体的体积，列方程，即可求解． 【详解】解：设圆柱形水桶的高为，由题意，得 ， 解得． 答：圆柱的高为． 【跟踪专练3】竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          【答案】 【分析】设竹节人的头长为，根据线段之间的数量关系，表示出相关线段的长度，列方程求解即可． 【详解】解：设竹节人的头长为，则它的上身长为，头宽为，即长竹节为，短竹节为． 依题意，得． 解得． 所以． 答：这个竹节人的总高度为． 题型7.动点问题（难点） 【典例】在数轴上，点向右移动1个单位长度得到点，点向右移动2个单位长度得到点，点A、B、C分别表示有理数a、b、c．若a、b、c三个数的乘积为负数，且这三个数的和与其中一个数相等，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的乘法、一元一次方程、数轴，根据数轴、结合题意设的值为，分情况列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的值为，则的值为，的值为， 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，不合题意； 当时，， ，，， ，符合题意， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，已知数轴上，两点表示的数分别是，，点以每秒个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度向右运动，点从点出发，以每秒个单位速度在之间往返，直到点追上点时所有运动停止．则在这个过程中，点运动的路线总长是________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点间的距离公式求出 的初始距离，再根据速度差求出点 追上点 所需的时间，该时间即为点 的运动时间，最后利用路程等于速度乘以时间求解. 【详解】解：由题意可知，点表示的数为，点表示的数为 ∴、两点间的初始距离为， 设点追上点所用的时间为秒， 根据题意可得， 解得， ∴点运动的路线总长为． 【跟踪专练2】如图，在长方形中，，，点P从点A出发，沿的路线运动，速度为每秒，设运动时间为t秒． (1)当时，点P的位置在________； (2)当t为何值时，点P到点A的距离为（沿的运动路线测量长度）？ 【答案】(1)边上距离A点处 (2)或9 【分析】此题考查了有理数的乘法的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是正确列出方程． （1）根据题意求出当时，，进而求解即可； （2）根据题意分两种情况讨论，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵， ∴当时，点P的位置在边上距离A点处； （2）解：①当点P在边上时 根据题意得，， 解得； ②当点P在边上时， 根据题意得，， 解得：； 综上，当或9时，点P到点A的距离为． 【跟踪专练3】如图，在数轴上点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，为原点． (1)，两点间的距离是______，，两点的中点所对应的数是______； (2)若点以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，则秒时，点走到的位置所对应的数是______（用含的代数式表示）； (3)若点，都以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向同时运动，而点不动，秒时，，，中有一点是三点所在线段的中点，则的值为______． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出，两点间的距离和，两点的中点所对应的数； （2）根据题意，可以用含的代数式表示秒时，点走到的位置所对应的数； （3）根据题意，可知存在两种情况，然后列出相应的方程，求解即可． 【详解】（1）解：点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ，两点间的距离是：， ，两点的中点所对应的数是． （2）解：点对应的数为，点以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动， 秒时，点走到的位置所对应的数是； （3）解：由题意可得：秒时，点所对应的数是，点所对应的数是， 当点为点和点的中点时， ， 解得：； 当点为点和点的中点时， ， 解得：； 点不可能是点和点的中点，因为点和点的速度一样，点始终在最右边； 由上可得，的值为或． 题型8.电费和水费问题（常考） 【典例】为鼓励居民节约用水，某市对居民用水实行“阶梯收费”，规定每户每月用水量不超过的，每吨2元；超过的部分，每吨3.5元．已知小莉家某月交水费34元，则小莉家该月用水量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 利用应缴水费超出10吨的部分，即可得出关于的一元一次方程，此题得以解决． 【详解】解：由题意，得： 解得：． 故选：D ． 【跟踪专练1】某市采用分段收费的方式按月计算每户家庭的水费，收费标准如下： 阶梯 户月用水量（） 收费标准（元/） 第一阶梯 不超过 3 第二阶梯 超过，但不超过 4 第三阶梯 超过的部分 7 （1）小明家2月份用水量为，应缴纳水费____元； （2）已知小红家3月份共缴纳水费120元，那么小红家3月份用水量是_______； 【答案】 65 30 【分析】本题考查有理数四则运算的实际应用，一元一次方程，能够理解题意，根据不同的取值范围列出相应的方程是解题的关键． （1）根据表格列式计算水费即可； （2）设用水量为立方米，通过比较水费判断用水量超过25立方米，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：（元）， 应缴纳水费65元． 故答案为：65； （2）当用水量为25立方米时，水费为元； ∵， ∴小红家3月份用水量超过25立方米， 设小红家3月份用水量为立方米，则水费为，即， 解得，即用水量为30立方米． 故答案为：． 【跟踪专练2】某地居民用水收费标准如下表： 家庭每年用水量 收费标准 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 4元 超过的部分 6元 小亮家去年缴水费980元，他家去年实际用水量是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．根据题意得到小亮家去年实际用水量应为“超过但不超过”，然后列出方程求解即可． 【详解】解：（元） （元） （元） ， 小亮家去年实际用水量应为“超过但不超过”这种情况． 设小亮家去年实际用水量为，根据题意可知： 解得 答：小亮家去年的实际用水量是． 【跟踪专练3】某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 a 第2档 超过240度但不超过400度的部分 0.65 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元； (1)表中a的值为______；若用电420度，则应缴电费______元； (2)若11月份老李家交电费183元，求老李家11月份的用电量． 【答案】(1)； (2) 老李家11月份的用电量为300度 【分析】（1）利用10月的用电数据列等式求，再按阶梯电价分三档计算420度的总电费； （2）先通过临界电费判断用电量所属档位，再列一元一次方程求解； 【详解】（1）解：∵用电200度未超过240度，属第1档， ∴，解得， 用电420度时，分三档计费： 第1档费用：（元）， 第2档费用：（元）， 第3档费用：（元）， 总电费：（元）； （2）解：用电240度时，电费为（元）， 用电400度时，电费为（元）， ∵， ∴11月份用电量在第2档， 设11月份用电量为度， 则， 解得， 答：老李家11月份的用电量为300度． 题型9.行程问题（重） 【典例】我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）中有这样一个问题，“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意为：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设快马天可以追上慢马，根据快马追上慢马时，快马走的总路程等于慢马走的总路程列方程即可． 【详解】解：设快马天可以追上慢马， 由题意得，． 【跟踪专练1】中国古代数学名著《算法统宗》中记载了一些诗歌形式的数学问题，其中一个问题为：三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还．意思是：一个人到关口要走378里路．第一天健步行走，从第二天起因脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达关口，算算每天行走的里数．（“里”是我国古代长度单位）根据题中的信息，这个人第一天走的路程是( )里． 【答案】192 【分析】设这个人第一天走的路程是x里，因为每天走的路程为前一天的一半，因此第二天走了里，第三天走了里，第四天走了里，第五天走了里，第六天走了里，根据6天的总路程为378里建立方程求解即可． 【详解】解：设这个人第一天走的路程是x里， 由题意得，， 所以， 所以， 所以， 所以这个人第一天走的路程是192里． 【跟踪专练2】周末，小明和爸爸骑车去郊外游玩，他们同时从家出发，沿相同的路线分别以10千米/时和12千米/时的速度一直骑行，爸爸骑行了11千米后发现小明没跟上，立刻回头去找小明，往回骑行的速度还是12千米/时，不一会儿，就遇到了小明，此时小明骑行了多长时间？ 【答案】小明骑行了1小时 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 先设会合时他们骑行了小时，利用路程等于速度乘以时间，结合两人的路程之和为，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设小明骑行了小时，根据题意，得 解这个方程，得 答：小明骑行了1小时． 【跟踪专练3】周末，李叔叔驾驶汽车从淮安出发前往苏州参加培训，完成培训活动后立即原路返回淮安，全程共用时9小时（路上）．已知去程时汽车每小时行驶120千米，返程时因道路拥堵速度降至每小时80千米．请问淮安到苏州距离是多少千米？ 【答案】432 千米 【分析】设淮安到苏州距离是千米，根据题意，去程时间为小时，返程时间为小时，根据一共用时9小时建立方程求解即可． 【详解】解：设淮安到苏州距离是千米， 由题意得， 方程两边同时乘 240得， ， ， 答：淮安到苏州距离是432千米． 题型10.比例分配问题（难点） 【典例】一种石灰与水混合后的石灰浆，石灰与水的质量比是．现在向石灰浆中加入120千克水，要使石灰与水的质量比不变，还应加入（    ）千克石灰． A．150 B．90 C．80 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：比的应用，解题的关键是：根据题意，设应加入x千克石灰，根据石灰与水的质量比是，列出比例，解方程即可． 【详解】解：根据比例关系，设原有石灰和水的质量分别为和千克，加入120千克水后，总水量变为千克，设需加入x千克石灰，使石灰与水的质量比不变，根据题意得： ， 解这个方程得：， 要使石灰与水的质量比不变，还应加入90千克石灰， 故选：B． 【跟踪专练1】张、王、李三个人共有108元，张用了自己钱数的，王用了自己钱数的，李用了自己钱数的，各买了一支相同的钢笔，问张和李剩下的钱共有( )元． 【答案】28 【分析】本题考查了方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设一支钢笔的价格为元，根据题意建立方程，解方程求出的值，由此即可得． 【详解】解：设一支钢笔的价格为元， 则， 解得， 所以张自己的钱数为（元），李自己的钱数为（元）， 所以张和李剩下的钱共有（元）， 故答案为：28． 【跟踪专练2】在《国家空间科学中长期发展规划（2024-2050年）》中，明确了我国空间科学发展目标，提出我国拟突破的“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”5大科学主题．某班老师在进行相关科普时，让48名学生从这5大科学主题中各自选择一个喜欢的主题，最终选择“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”、“太空格物”的人数比是，那么喜欢“宜居行星”主题的人数是多少？ 【答案】喜欢“宜居行星”主题的人数是16 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据喜欢5大科学主题的人数为48列方程求解即可． 【详解】解：设喜欢“太空格物”主题的人数为，则喜欢“极端宇宙”、“时空涟漪”、“日地全景”、“宜居行星”主题的人数分别为：、、、． 由题意列方程为： 得：． 答：喜欢“宜居行星”主题的人数是16． 【跟踪专练3】如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据空宽：字宽：字距设边空宽为，字宽为，字距为.再根据长的横幅列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：因为边空宽：字宽：字距， 所以设边空宽为，字宽为，字距为. 由题意可得：， 解得. 答：横幅字距为． 题型11.日历问题 【典例】在如图的2026年4月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是（     ） A．27 B．51 C．69 D．75 【答案】D 【分析】先设竖列上中间的数为，则上面的数为，下面的数为，再表示出三数之和，即可得出关于的一元一次方程，最后结合月历表中数的特点，即可得出结论． 【详解】解：根据月历表可设竖列上中间的数为，则上面的数为，下面的数为， 这三个数的和为． A、当时，解得，则，，符合月历表中数的特点，故A选项不符合题意； B、当时，解得，则，，符合月历表中数的特点，故B选项不符合题意； C、当时，解得，则，，符合月历表中数的特点，故C选项不符合题意； D、当时，解得，则，，，不符合月历表中数的特点，故D选项符合题意． 【跟踪专练1】如图是某月的月历，将正方形方框放入月历，方框内恰好是9个数，若方框内的9个数的和为，方框正中心的数为，若，则的值为______________． 【答案】 【分析】设中心数为未知数，利用日历中左右相邻数相差、上下相邻数相差的规律，用含的代数式表示其余个数，求和后建立与的关系式，从而求出的值． 【详解】解：如下表： ， ， ． 【跟踪专练2】下方左图是2026年1月的月历，用如图所示的“T”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如右图，设“T”字形框中的4个数分别为a、b、c、d． (1)若，则______，______，______；（用含x的代数式表示） (2)若，求c的值； (3)在移动“T”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为79，你认为他的说法对吗？请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)他的说法不对，理由见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用． （1）结合日历作答即可； （2）结合（1）将转化为关于的方程，求解即可； （3）根据题意得到，结合（1）将其转化为关于的方程，求解后判断即可． 【详解】（1）解：由日历可知，，，， 故答案为：，，； （2）解：由（1）得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：他的说法不对，理由如下： ∵框中的4个数之和可能为79， ∴， 由（1）得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∵a为最左边的数，为最右边的数， ∴他的说法不对． 【跟踪专练3】图1是2025年1月的月历，用如图所示的“”字形框在月历中任意框出4个数（框中的数没有空白），如图2，设“”字形框中的4个数分别为． (1)若，则___________，若，则___________； (2)在移动“”字形框的过程中，小明说被框中的4个数之和可能为107，你认为他的说法对吗？请说明理由； 【答案】(1)14； (2)小明的说法错误，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用，可求出的值，利用，即可用含的代数式表示出的值； （2）假设小明的说法正确，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再分别求得b，c和d可得出假设不成立，即小明的说法错误． 【详解】（1）解：根据题意得：若，则， 若，则． 故答案为：14；； （2）解：小明的说法错误，理由如下： 假设小明的说法正确，根据题意得：， 即， 解得：， 则， ， 小明的说法错误． 题型12.古代问题（难点） 【典例】《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？设共有辆车，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别用含的式子表示两种乘车方案下的总人数，即可列出方程． 【详解】解：∵设共有辆车，总人数保持不变，且每人乘一车，剩余辆空车， ∴实际使用辆车， ∴总人数可表示为， ∵每人乘一车，剩余人步行， ∴总人数可表示为， ∴． 【跟踪专练1】幻方起源于中国，是我国古代数学杰作之一．在幻方的9个格子中，每个数互不相同且满足每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和均相等．如图是一个已知部分信息的幻方，则________． 【答案】2 【分析】设幻方的第二行第一列中的数为，第二行第三列中的数为，根据“每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和均相等”，可确定的值，然后再建立关于的一元一次方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：如下图，设幻方的第二行第一列中的数为，第二行第三列中的数为， 根据题意，可得，， 整理并解得，， ， 解得． 【跟踪专练2】（用一元一次方程解应用题） 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，求快马几天可以追上慢马． 【答案】快马天追上慢马 【分析】设快马天追上慢马，根据慢马先走天，追及时快马所行路程等于慢马所行总路程列出方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：设快马天追上慢马， ∵跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里，慢马先走天， ∴， ∴ 解得： 答：快马20天追上慢马． 【跟踪专练3】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你列一元一次方程解决这个问题． 【答案】 共有9个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70钱 【分析】本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用，解题的关键是抓住“鸡的价钱不变”这一等量关系，通过两种不同的出钱方式列出方程． 设人数为未知数，根据“每人出9钱多11钱”和“每人出6钱少16钱”分别表示鸡价，令两式相等列方程求解；再将人数代入表达式求出鸡价． 【详解】解：设共有人共同出钱买鸡．， ， ， ． 鸡的价钱为：． 答：有9个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70钱． 题型13.其他实际应用问题 【典例】市中区某小学今年六年级毕业学生450人，比去年多了，该小学去年毕业学生多少人？设去年毕业学生人，下面方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等量关系“去年毕业的学生今年毕业的学生”即可列方程． 【详解】解：设去年毕业学生人，列方程为：． 【跟踪专练1】由于水对物体的浮力作用，实心的纯金和纯银浸没水中称重时，弹簧测力计的示数分别约为原来的和．一件重80克的实心金银饰品，浸没水中称重，弹簧测力计的示数为原来的，若实心的纯金和纯银浸没水中称重，弹簧测力计的示数分别按原来的和计算，则这件金银饰品中含金____________克． 【答案】60 【分析】设这件金银饰品中含金克，则含银克，根据浸没水中后弹簧测力计总示数等于金的示数与银的示数之和，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这件金银饰品中含金克，则含银克， 根据题意列方程得： 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为，得． 【跟踪专练2】编程社团的“小码农”们为机器人小Q设计了一个有趣的路径规划程序．小Q在数轴上移动，规定向右为正方向．程序设定小Q从初始位置x出发，依次经过以下三个运算关卡： 第一关：将当前数值x减2； 第二关：将第一关的结果乘； 第三关：将第二关的结果加5，得到终点位置P的值． (1)若，求机器人小Q的终点位置P的值； (2)若终点位置P的值为，求初始位置x的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据题意列式计算； （2）根据题意列方程求解． 【详解】（1）解：当时，， 答：机器人小Q的终点位置P的值为． （2）解：当P的值为时，即， 解得，即初始位置x的值为6． 【跟踪专练3】现有浓度为的盐水克，加入多少克水就能得到浓度为的盐水？ 【答案】 克 【分析】首先明确该问题的核心突破口是加水稀释过程中盐的质量保持不变，所以设加克水，根据盐的质量保持不变以及初始盐水的浓度和质量，列方程计算所加水的质量． 【详解】解：设加入克水， 根据盐质量不变列方程： ， 解得． 题型14.配套问题（常） 【典例】某加工厂有名工人，平均每人每天加工桌面个或桌腿个，已知1个桌面与4个桌腿配成一套，问需分别安排多少名工人加工桌面、桌腿，才能使每天生产的桌面桌腿刚好配套？设安排x名工人加工桌面，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据总人数得到加工两类部件的人数，分别表示出每天生产桌面和桌腿的总数，再根据配套的数量关系列方程即可． 【详解】解：安排名工人加工桌面，则加工桌腿的工人人数为名，依题意得 【跟踪专练1】在我国传统文化中，茶与茶具都承载着深厚的文化底蕴．某车间共有14名工人，每名工人每天可以加工10只茶壶或30只茶杯，1只茶壶需要配4只茶杯，为使每天加工的茶壶和茶杯刚好配套，该车间应安排______名工人加工茶壶．（每名工人每天只加工茶壶和茶杯中的一种） 【答案】 【分析】设安排名工人加工茶壶，根据总工人数量表示出加工茶杯的工人数，根据配套要求得到茶杯总数量与茶壶总数量的等量关系，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设该车间应安排名工人加工茶壶，则安排名工人加工茶杯， 根据题意列方程得：， 解得， ∴应安排名工人加工茶壶． 【跟踪专练2】某小型工厂有12个工人，生产大齿轮和小齿轮，平均每天每人可生产大齿轮20个或小齿轮15个，已知2个大齿轮和3个小齿轮可以配成一套，则需要多少工人生产大齿轮多少工人生产小齿轮，可使每天生产的大小齿轮刚好配套． 【答案】需要4个工人生产大齿轮，8个工人生产小齿轮 【分析】根据配套比例，大齿轮数量与小齿轮数量应满足的比例，因此大齿轮数的3倍等于小齿轮数的2倍，据此列出方程即可． 【详解】解：设生产大齿轮的工人数为个，则生产小齿轮的工人数为个， 则可得， 解得， 个， 答：需要4个工人生产大齿轮，8个工人生产小齿轮． 【跟踪专练3】某眼镜厂生产一批眼镜，分两个车间进行，甲车间生产镜架，乙车间生产镜片．已知两个车间共有50名工人，且甲车间人数比乙车间人数的2倍少1人． (1)甲、乙两车间各有多少人？ (2)若每个工人平均每天可以生产镜架50个或镜片150片，一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，为使每天生产的镜架与镜片刚好配套，应如何调整两车间的人数？ 【答案】(1)甲车间有33人，乙车间有17人. (2)应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套. 【分析】（1）设乙车间有x人，则甲车间有人，结合两个车间共有50名工人，再建立方程求解即可； （2）设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套，利用一个镜架和两个镜片刚好配成一副眼镜，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：设乙车间有x人，则甲车间有人， 根据题意，得． 解得． 所以． 答：甲车间有33人，乙车间有17人. （2）解：设应从甲车间调名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套， ∴， 解得：， 答：应从甲车间调3名工人到乙车间，使每天生产的镜架与镜片刚好配套. 题型15.和差倍分问题（常+重） 【典例】小川今年4岁，他爸爸今年36岁，几年后他爸爸的年龄是小川的年龄的3倍？设年后爸爸的年龄是小川的年龄的3倍，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设年后爸爸的年龄是小川年龄的倍，根据年后爸爸年龄等于倍的年后小川年龄这一等量关系，即可列出一元一次方程． 【详解】解：设年后爸爸的年龄是小川年龄的倍， ∴年后小川的年龄为 岁，年后爸爸的年龄为 岁， 根据题意得： ． 【跟踪专练1】今年爸爸与两个儿子的年龄的总和是100岁，12年后，爸爸的年龄等于两个儿子的年龄之和，爸爸今年_________岁． 【答案】 【分析】设爸爸今年岁，则今年两个儿子的年龄和为岁，根据“12年后爸爸的年龄等于两个儿子的年龄之和”的等量关系列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设爸爸今年岁，则今年两个儿子的年龄和为岁， 由题意得， 所以， 所以， 所以， 所以爸爸今年56岁． 【跟踪专练2】猎豹是世界上跑得最快的动物，能达到每小时，比大象的2倍还多，大象最快能达到每小时多少千米？ 【答案】 【详解】解：设大象最快能达到每小时，根据题意得： ， ， 解得：. 答：大象最快能达到每小时. 【跟踪专练3】小艺读一本书，第一天读了全书的，第二天比第一天多读12页，这时已读页数和未读页数的比是，这本书一共多少页？ 【答案】40页 【分析】设这本书有x页，则第一天读的页数是页，第二天读的页数就是，由已读的页数与剩下的页数的比是可知，已读的就是总页数的． 【详解】解：设这本书有x页，根据题意可列方程为： ． 答：这本书有40页． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $