第20讲 一元一次方程的解法（7类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材北师大版

第20讲 一元一次方程的解法 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 解一元一次方程--合并同类项与移项 题型2 解一元一次方程--去括号 题型3 解一元一次方程--去分母（整数） 题型4 解一元一次方程--去分母（小数） 题型5 一元一次方程的错解复原问题 题型6 利用一元一次方程同解问题求解 题型7 一元一次方程整数解问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一元一次方程、解方程、移项、去分母、去括号、化归、x=a。 1. 理解一元一次方程的概念（含一个未知数、未知数次数为1、整式方程）。 2. 掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 3. 能熟练运用各步骤解一元一次方程，并检验方程的解是否正确。 4. 体会化归思想（将方程逐步转化为x=a的形式），培养运算能力与严谨性。 学习重点：解一元一次方程的五个基本步骤及其顺序，特别是移项和去分母的规则。 学习难点：去分母时各项都要乘以公分母（特别是常数项易漏乘），去括号时符号的处理（括号前为负号），以及移项时变号的正确性。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元一次方程的解法 ◆合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用. ◆移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. ◆去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号. ◆去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数. 【注意】：（1）移项的时候注意变号； （2）去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号. 【易错提醒】 解一元一次方程易错警示：去分母时每项都乘公倍数（勿漏常数项）；去括号注意符号（负号变号）；移项要变号；系数化1时，若系数为负，勿忘两边同除以或乘。检验代入原方程。 即时即练1．解一元一次方程． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 2．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并得：． （2）解：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （3）解：， 去分母得：， 移项得：， 合并得：， 解得：． （4）解：， 移项得：， 合并得：． 知识点02 一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值. 【易错提醒】 同解方程易错警示：两个方程解相同。对方程变形（如两边同乘非零数、去括号、移项）所得方程与原方程同解。注意：若两边同乘含未知数的式子可能产生增根或失根，需检验。勿随意放大缩小系数。 即时即练1．若方程与方程同解，则a的值是_____． 【答案】3 【分析】先求出第二个方程的解，把求出的代入第一个方程得出，再求出a即可． 【详解】解：解方程得：， 即方程的解也是， 代入得：， 解得：， 故答案为：3． 2．已知关于的方程与有相同的解． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，熟知方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． （1）先求出方程的解，得到，再把这个解代入到方程中得到关于m的方程，据此求解即可； （2）把，代入方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 把代入到方程中得：， 去括号得： ， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：； （2）解：∵，， ∴关于的方程为， 整理得， 解得． 3．在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，我们就称这两个方程为同解方程．例如：方程与方程的解都为，所以它们为同解方程． (1)若方程与关于x的方程 是同解方程，求k的值． (2)若关于x的方程与是同解方程，求a的值． (3)若关于x的两个方程与是同解方程，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同解方程，整体代入的数学思想，解决本题的关键是理解题意进行准确计算． （1）根据方程与 是同解方程，即可求出k的值； （2）根据方程与是同解方程，用含a的式子表示x，即可求a的值； （3）根据方程与是同解方程，利用整体思想将得出的，代入化简后的式子即可求值． 【详解】（1）解：解方程，得， 把代入，得， 解得：； （2）解：由方程，得， 解方程，得， 由题意，得， 解得； （3）解：由，得， 解，得， 由题意，得， 整理，得：， ， 因为， 所以， 所以， 所以． 题型1 解一元一次方程--合并同类项与移项 【例1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤． （1）按照解一元一次方程的一般步骤，先合并同类项，再把未知数的系数化为1即可； （2）按照解一元一次方程的一般步骤，先移项，再合并同类项，然后把未知数的系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． （2）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【例2】解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可； （3）先移项，再合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解：移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）解：移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【技巧归纳】 移项：将含未知数项移到左边，常数项移到右边，移项要变号。合并同类项：将方程两边分别合并（ax=b形式）。系数化为1：两边同除以未知数系数。步骤：去括号（如有）→移项→合并→系数化1。注意符号，避免漏乘。检验代入原方程。 【变式1-1】解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】移项、合并同类项、系数化为，即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ； （4）解：， ， ． 【变式1-2】解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：， 移项，得：， 解得：； （2）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （3）解：， 移项，得：， 合并同类项得：； （4）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （5）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：； （6）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：. 题型2 解一元一次方程--去括号 【例3】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去括号，得 移项及合并，得 ， 系数化为1，得 ； （2）解： 去括号，得 ， 移项及合并，得 系数化为1，得 ． 【例4】解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （2）按去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【技巧归纳】 去括号法则：括号前“+”直接去；括号前“-”各项变号；系数乘括号内每项。注意分配律，防止漏乘。去括号后，移项合并。如3(x-2)=5→3x-6=5。多层括号从内向外去。去括号后检查符号和系数是否正确，可代入验证。 【变式2-1】解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果； （2）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果； （3）根据解一元一次方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （3）解：去括号得， 移项得， 合并同类项得． 【变式2-2】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤是去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去括号得，， 移项得，， 系数化为1得，． 题型3 解一元一次方程--去分母（整数） 【例5】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得； （2）解：整理得， 去括号得， 移项合并得， 解得． 【例6】解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤计算即可； （2）根据解一元一次方程的步骤计算即可． 【详解】（1）解：去分母得， 移项并合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：去分母得， 去括号得， 移项并合并同类项得， 系数化为1得． 【技巧归纳】 去分母：方程两边同乘所有分母的最小公倍数（LCM）。注意每一项都要乘，包括不含分母的项。分子是多项式时加括号。去分母后去括号、移项、合并。如 (x+1)/2 - x/3 = 1，乘以6得3(x+1)-2x=6。检验分母不为0。注意整数项同样乘LCM。 【变式3-1】解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可． 【详解】（1）解：去分母，得： ， 移项，得： ， 合并同类项，得： ， 系数化为，得： ； （2）去分母，得： ， 去括号，得： ， 移项，得： ， 合并同类项，得： ， 系数化为，得： ． 【变式3-2】解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，． （2）解：， 去括号得，， 合并同类项得，， 去括号得，， 去分母得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，． 【变式3-3】解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 方程的两边都除以8，得． （2）解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 方程的两边都除以，得． （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 方程的两边都除以12，得． （4）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 方程的两边都除以－1，得． 题型4 解一元一次方程--去分母（小数） 【例7】解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键；去分母，去括号，移项、合并同类项即可解决． 【详解】解：， 原方程化为：， 去分母，得：， 去括号得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得． 【例8】解方程：． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化．先化整，然后根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：， 方程整理得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：． 【技巧归纳】 先将小数化分数（如0.5=1/2）或把分子分母同乘10、100变为整数。也可直接给方程两边乘适当的10的幂，使所有系数变为整数，再去分母。注意每一项都要乘，不漏项。如0.2x-0.3=0.5→乘以10得2x-3=5。解后检验。 【变式4-1】解方程：； 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，解含绝对值的方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键；去分母，去括号，移项、合并同类项即可； 【详解】解：， 整理得：， 去分母得：， 去括号得：， ∴， 解得：； 【变式4-2】解方程 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，比例的基本性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据比例的基本性质可得，即可求解； （2）先去分母，合并同类项，然后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 题型5 一元一次方程的错解复原问题 【例9】阅读下面解一元一次方程的过程，并解答问题： 解：        （第一步）                 （第二步）                 （第三步）                             （第四步）                             （第五步） (1)第一步的步骤是______，依据是______． (2)从第______步开始出现错误，错误的原因是______． (3)请写出正确的解方程的过程． (4)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项，给同学们提一条建议． 【答案】(1)去分母，等式的基本性质； (2)二，括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键． （1）根据一元一次方程的解法以及等式的基本性质作答即可； （2）根据去括号法则作答即可； （3）根据一元一次方程的解法和步骤计算即可； （4）根据一元一次方程的解法和步骤作答即可． 【详解】（1）解：第一步的步骤是去分母，依据是等式的基本性质， 故答案为：去分母，等式的基本性质； （2）解：从第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号， 故答案为：二，括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； （3）解： ； （4）解：移项要注意变号（答案不唯一）． 【例10】下面是小马同学错题本上的一道题，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母得：，……第一步 去括号得：，……第二步 _______得：，……第三步 合并同类项得：，……第四步 系数化为1得：……第五步 (1)以上解方程步骤中第三步进行的是________，这一步的依据是________； (2)以上解题过程中，小马从第________步开始出错，错误的原因是________； (3)请直接写出该方程正确的解________； (4)除上述错误外，还应注意哪些问题，请你给小马提一条合理的建议． 【答案】(1)移项，等式的基本性质1 (2)一，去分母时，1漏乘12 (3) (4)去括号时，括号前为负号时，括号内各项要变号 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 根据解一元一次方程的步骤，结合等式的基本性质进行解答即可． 【详解】（1）解：根据解方程的步骤，第三步进行的是移项，这一步的依据是等式的基本性质1； （2）解：根据解方程的步骤，小马从第一步开始出错，错误的原因是去分母时，1没有乘12； （3）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （4）解：建议：去括号时，括号前为负号时，括号内各项要变号． 【技巧归纳】 从错误结果反推：将错解代入原方程（或错误变形后的方程），找到运算错误点（符号、漏乘、去分母漏项）。再按正确步骤重解。常见错因：移项不变号、去分母漏乘、括号前负号。验证正解是否满足原方程。分析差异。 【变式5-1】下面是小陈同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：去分母，得．……………………………………第一步 去括号，得．………………………………………………第二步 移项，得．…………………………………………………第三步 合并同类项，得．………………………………………………………第四步 方程两边都除以7，得．…………………………………………………第五步 任务： (1)以上求解过程中，第一步变形的依据是____________． (2)以上求解过程中，第____________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________． (3)请你写出该方程的正确解答过程． 【答案】(1)等式的性质2（或等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式） (2)二；去括号时，括号内的第二项没有变号 (3)过程见解析 【分析】本题考查解一元一次方程． （1）根据等式的性质即可求解； （2）根据去括号的法则即可求解； （3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，即可求解． 【详解】（1）解：第一步变形的依据是等式的性质2． 故答案为：等式的性质2． （2）解：第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，括号内的第二项没有变号． 故答案为：二；去括号时，括号内的第二项没有变号． （3）解：， 去分母得， 去括号得 移项得， 合并同类项得， 方程两边都除以7，得． 【变式5-2】复习课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1： 解方程 解：去分母，得第①步 去括号，得第②步 移项，得第③步 合并同类项，得第④步 系数化为1，得第⑤步 习题2： 解方程： 解：去括号，得第①步 移项，得第②步 合并同类项，得第③步 系数化为1，得：第④步 (1)习题1的解题过程从第_________步开始出现错误，理由：_________． (2)习题2的解题过程从第_________步开始出现错误，理由：_________． (3)从中任选一题，写出它的正确解答过程． 【答案】(1)①，去分母时常数项未乘分母的最小公倍数12 (2)②，移项时未变号 (3)选习题1时，；选习题2时， 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）去分母漏乘； （2）移项时，部分数据未变号； （3）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：习题1的解题过程从第①步开始出现错误，理由：去分母时常数项未乘分母的最小公倍数12， 故答案为：①，去分母时常数项未乘分母的最小公倍数12 （2）解：习题2的解题过程从第②步开始出现错误，理由：移项时未变号， 故答案为：②，移项时未变号； （3）解：选习题1： 解得； 选习题2： ， 解得 题型6 利用一元一次方程同解问题求解 【例11】已知方程与方程的解相同，则的值为 ． 【答案】 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的解法．根据解一元一次方程的一般步骤，可得的解，把解代入方程，解方程可得答案． 【详解】解： 解得：， ∵方程与方程的解相同， ∴把代入得：， 解得：． 故答案为： 【例12】若方程与的解相同，则a的值为 ． 【答案】8 【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查同解方程，先求出方程的解，将其代入中，求出a的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 把代入，得：， 解得：； 故答案为：8． 【技巧归纳】 两个方程同解：先解不含参数的方程，得到x的值。再将x代入含参数方程，求参数。或先将两个方程均用参数表示解，令其相等。注意参数方程可能需分类讨论（如分母为0）。如ax+1=0与2x+3=0同解，先解后者x=-1.5，代入前者求a。 【变式6-1】若关于的方程和有相同的解，则 ． 【答案】/ 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了方程的解的定义，已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”． 解方程，把方程的解代入即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值． 【详解】解：解方程得：， 把代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 【变式6-2】若方程的解与关于x的方程的解相同，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，分别解出两方程的解，然后让它们的解相等，即可求得的值．掌握解一元一次方程是解答本题的关键． 【详解】解：， 去分母得， 去括号， 移项合并得， 解得得， 解， 移项合并得：， 解得， 由题意得：， 解得． 故答案为：． 题型7 一元一次方程整数解问题 【例13】若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ． 【答案】2或3或4或7 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】首先解方程表示出的值，然后根据解为正整数求解即可．本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 关于的方程的解为正整数， 为正整数， 或或或 或或或． 故答案为：2或3或4或7 【例14】若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为 ． 【答案】，0和1 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于的一元一次方程，然后根据，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 要为的倍数， 或或． 故答案为：，0和1． 【技巧归纳】 方程ax=b有整数解，需a整除b。若含参数，将解表示为x=b/a，再根据整除性求参数值。注意参数需使a≠0。常利用因数分解，列出a的因数。如(m-2)x=6有整数解，则m-2为6的因数，可求m。检验解的正负。 【变式7-1】关于的一元一次方程的解为整数，则所有整数的和为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程——拓展 【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程去分母，去括号，移项合并，把的系数化为1，表示出方程的解，由方程的解为整数，确定出整数的值即可． 【详解】解： 解为整数， 或或或， 则所有整数的和为， 故答案为：． 【变式7-2】已知关于的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程——拓展 【分析】本题考查了一元一次方程的解．先根据等式的性质求出方程的解，根据方程的解为非整数得出m的值，进而得出答案． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 方程的解是非负整数， ∴为1或2或5或10， 的值为或或或4， ∴， 故答案为：． 一、单选题 1．解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 去括号得：． 2．已知关于x的一元一次方程的解是，则m的值为（     ） A．2 B．3 C． D．0 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵一元一次方程的解为， ∴将代入原方程，得， 化简得， 移项合并同类项得， 解得． 3．解方程时，去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】去分母时需要给方程每一项都乘以分母的最小公倍数，分子是多项式时要添加括号． 【详解】解：∵方程的分母为2和3，最小公倍数是， ∴给方程两边同时乘去分母，得：． 4．小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘以10，由此求得的解为，则方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据错误的去分母规则得到错误方程，将错解代入求出参数的值，再将参数的值代入原方程求解，即可解题． 【详解】解：∵小明去分母时，方程右边的没有乘以， ∴错误去分母得到的方程为：， 将代入错误方程，得， 解得， 将代入原方程，得， 两边同乘10正确去分母，得， 展开得， 移项合并得， 解得， ∴方程正确的解为． 5．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过变量代换，将关于的方程转化为关于的方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设， 则方程化为， 此方程与已知方程同解， 已知解为， 故， 即， 解得． 二、填空题 6．若与互为相反数，则________． 【答案】3 【详解】解：与互为相反数， ， 解得． 7．已知关于的方程的解与方程的解相同，则的值为________． 【答案】 【分析】根据同解方程即两个方程的解相同，先求解不含参数的方程得到x的值，再将x代入含参数的方程，即可求出参数m的值． 【详解】解：解方程， 解得 ． 解方程， 解得 ． 两个方程的解相同， ，解得 ． 8．小明解方程时，去分母时方程右边的1忘记乘6，得到错误解，则方程正确的解_____． 【答案】7 【分析】先根据小明错误的解法求出，从而可得原方程为，再解一元一次方程即可得出结果． 【详解】解：∵小明解方程时，去分母时方程右边的1忘记乘6，得到错误解， ∴， ∴将代入可得， 解得：， ∴原方程为， 去分母可得：， 解得：． 9．对于任意实数，，定义一种运算：，例如．请根据上述定义解决问题：若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则列出关于的一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：由，可得：， 整理得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：． 10．若关于的方程的解是负整数，且也是整数，则满足条件的所有的值为_________． 【答案】， 【分析】先解关于的一元一次方程，用含的代数式表示出，根据方程的解是负整数，为整数，可知是的负因数，进而求出所有满足条件的的值． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 解得 方程的解是负整数，是整数 是的负因数，即或 当时， 解得，符合题意 当时， 解得，符合题意 故满足条件的所有的值为，． 三、解答题 11．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先移项，再合并同类项，系数化为即可； （2）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为即可． （3）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （2）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 系数化为得：． 12．解下列方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 13．在解方程时，两位同学提出了如下两种解法． 嘉嘉的解法： 淇淇的解法： 利用分数的性质， 得， …… 利用等式的性质， 得， …… (1)对于嘉嘉的解法，他是将的分子、分母同时扩大为原来的________倍；对于淇淇的解法，他是将等式两边同时乘以________，或同时除以________； (2)从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程． 【答案】(1) ；； (2) 【分析】（1）根据分数的基本性质和等式的基本性质，分析两人的变形过程即可得到对应结果． （2）解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 变形为，是将分子分母同时扩大为原来的倍． 原方程变形为，是将等式两边同时乘或，也可同时除以得到， 因此对应结果为，或，． （2）解：选择嘉嘉的解法进行计算 原方程变形得： 两边同乘6去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： 系数化为1得： 若选择淇淇的解法，过程如下： 原方程变形得： 两边同乘12去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得：． 14．已知代数式，，解答下列问题： (1)若，则为何值时，代数式与相等？ (2)若关于的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，求的值． 【答案】(1)的值为8时，这两个代数式的值相等 (2)的值为9 【分析】（1）根据题意，列出方程，即可求解； （2）先解出关于x的方程，再根据关于x的方程的解使得，两个代数式的值互为相反数，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得． 解这个方程，得．             答：的值为8时，这两个代数式的值相等． （2）解：解方程，得．             由代数式和的值互为相反数，得：．    将代入上式中，得 ．         解这个方程，得．             答：的值为9． 15．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”． 例如：方程和为“互逆方程”． (1)方程与 （填“是”或“不是”）“互逆方程”； (2)若关于x的方程与为“互逆方程”，求c的值； (3)若关于x的方程和为“互逆方程”，求m的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）分别求出方程的解，然后根据定义进行判断； （2）求出方程的解，然后根据定义得出方程的解，即可求出参数； （3）分别表示出两个方程的解，然后根据定义列出方程求解． 【详解】（1）解：方程与是“互逆方程”，理由如下： 解方程得，； 解方程得，； ∵和互为相反数， ∴方程与是“互逆方程”； （2）解：， 解得：； ∵两个方程为“互逆方程”， ∴的解为，代入方程可得， ∴； （3）解：， 解得； ， 解得； ∵两个方程为“互逆方程”， ∴， 解得． 16．定义：若，分别是关于x的方程P、方程Q的解，且（n为非零常数），则称方程P是方程Q的“n阶伴生方程”．例如：方程的解是，方程的解是，且，则称方程是方程的“1阶伴生方程”． (1)下列方程中是的“2阶伴生方程”的是________（填写序号即可）； ①；②；③； (2)若方程是关于x的方程的“4阶伴生方程”，求k的值； (3)对任意满足的值，关于x的方程都是方程的“n阶伴生方程”，试判断的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)① (2) (3)的值是定值，定值为 【分析】（1）先求出方程的解，再根据“2阶伴生方程”的定义求出对应方程的解，逐一验证； （2）分别求出两个方程的解，再根据“4阶伴生方程”的定义列方程求的值； （3）分别求出两个方程的解，根据“n阶伴生方程”的定义得到关于、的等式，进而判断是否为定值． 【详解】（1）解：∵， ∴． 由“2阶伴生方程”定义，得，则． ①解 ， ，符合； ② ， ，不符合； ③ ， ，不符合． 故答案为：①； （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． 由“4阶伴生方程”定义，得， 解得； （3）解：， 去分母：， ∴． ， ， ， ， ∵， ∴． 由题意，（为定值） ， ， ， 则． 由，得，代入， ， ， ， 故当任意满足的值，的值是定值，定值为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第20讲一元一次方程的解法 了内容导航 01预习航标一析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破一析考点破方法：典型题型深度拆解 题型1解一元一次方程-一合并同类项与移项 题型2解一元一次方程-去括号 题型3解一元一次方程-去分母（整数） 题型4解一元一次方程-去分母（小数） 题型5一元一次方程的错解复原问题 题型6利用一元一次方程同解问题求解 题型7一元一次方程整数解问题 04过关检测一练考点强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解一元一次方程的概念（含一个未知数、未知数次数为1、整式方 一元一次方程、解方程)。 程、移项、去分母、 2.掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、 去括号、化归、 系数化为1。 x=a。 3.能熟练运用各步骤解一元一次方程，并检验方程的解是否正确。 4.体会化归思想（将方程逐步转化为x=α的形式），培养运算能力与严谨 性。 学习重点：解一元一次方程的五个基本步骤及其顺序，特别是移项和去分母的规则。 学习难点：去分母时各项都要乘以公分母（特别是常数项易漏乘），去括号时符号的处理（括号前为 负号)，以及移项时变号的正确性。 02 教材全解 1/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知|识|框|架 移项忘变号 化为x=a形式 去分母漏乘 高频易错点 解方程的目标 步步变形保证解不变 去括号符号错误 方程两边同乘各分母最小公倍数 移项符号判断 去分母 注意分子是多项式要加括号 去分母计算 高频考点 括号前正号不变号 完整求解过程 去括号 括号前负号全变号 将解代入原方程 解方程的检验 解一元一次方程的一般步骤 把含未知数项移到等号一边 左右两边相等即正确 一元一次方程的解法 移项 常数项移到另一边 按步骤求解标准形式 移项要变号 先分母整数化含分数形式 常见题型 合并同类项 系数相加字母指数不变 由内向外去括号含多重括号 系数化为 两边同除以未知数系数 等式性质2依据 依据 等式性质 去分母 漏乘不含分母项 移项 从等号一侧移到另一侧 易错点 注意 分子忘记加括号 移动项必须变号 知|识I精I讲 知识点01一元一次方程的解法 ◆合并同类项把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用： ◆移项把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项 ◆去括号括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号 ◆去分母在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中 含有小数时，先将小数化成整数： 【注意】：(1)移项的时候注意变号； (2)去括号的适合注意，若括号前是“.”号，那么去括号的时候要变号 【易错提醒】 解一元一次方程易错警示：去分母时每项都乘公倍数（勿漏常数项）；去括号注意符号（负号变号）；移 项要变号；系数化1时，若系数为负，勿忘两边同除以或乘。检验代入原方程。 即时即练1.解一元一次方程 (1)4(3x-2)=3(x+1) 5x+17x+2=1 ②)2 2.解下列方程： 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2)3x-1-2x=-1: 6)2x-3=5x+ 49 (4)0.3x+1.2-2x=1.2-2.7x. 知识点02一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得 到该方程解代入另一个方程求解字母的值. 【易错提醒】 同解方程错警示：两个方程解相同。对方程变形（如两边同乘非零数、去括号、移项）所得方程与原方 程同解。注意：若两边同乘含未知数的式子可能产生增根或失根，需检验。勿随意放大缩小系数。 3 即时即练1， 若方程a-)=6与方程x=3x+2同解，则a的值是一 2.已知关于x的方程2(-)+1=x与3(+m)=m-1有相同的解x=n. (I)求m,n的值： 3-mym-3n ②)求关于y的方程3=2的解。 3.在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，我们就称这两个方程为同解方程.例如：方程2x=4与方 程5x-10=0的解都为x=2,所以它们为同解方程. @店力程子-小号与关于的方0-4送3 1 7一是同解方程，求k的值. ②若关于x的方程20+a小-1=x+5与号2+1-4 4是同解方程，求a的值. ⊙)若关于x的两个方程)-m1 =6与x-m+nmm-x 「2三4一是同解方程，试求 18(n+3mn)）-3(4m-3mm）-18(1-2mn)的值. 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 03 题型突破 题型1解一元一次方程合并同类项与移项 【例1】解方程： (1)7x-2x=20: (2)6x-3=4x-8 【例2】解下列方程： 0)8x=2x-7; (2)6=8+2x: 11 6)2y-22y-3. 【技巧归纳】 移项：将含未知数项移到左边，常数项移到右边，移项要变号。合并同类项：将方程两边分别合并(=b 形式)。系数化为1：两边同除以未知数系数。步骤：去括号（如有）→移项→合并一→系数化1。注意符 号，避奂漏乘。检验代入原方程。 【变式1-1】解方程： 1)3x-2=4+2x: (2)9x-7=6x+8: 3)3x+7=32-2x: (4)12-4x=2.4 【变式1-2】解下列方程： 1)18=5-x; (2)2x-1=5x+7: 3)3x-7+4x=6x-2: 4)2y+3=11-6y: (5)x-1=5+2x; (6)10y+5=11y-5-2y. 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型2解一元一次方程去括号 【例3】解下列方程： 0)3=1-2(4+x: (2)3(2x+5)=2(4x+3)+1」 【例4】解方程 1)4y-320-y)=6y-711-y): (2)2(2x-1)-2(x+1)=3(x+3) 【技巧归纳】 去括号法则：括号前“+”直接去；括号前“””各项变号；系数乘括号内每项。注意分配律，防止漏乘。 去括号后，移项合并。如3x-2)=5→3x6=5。多层括号从内向外去。去括号后检查符号和系数是否正确， 可代入验证。 【变式21】解下列方程： 1)5(x+2)=2(5x-1): ②)(c+1)-2(x-1)=1-3x； 3)2(x-2)-(4x-1)=3(1-x). 【变式2-2】解方程： 1)2(x-1)=2-5(x+2): ®引-引 题型3解一元一次方程去分母（整数） 【例5】解方程： w =-10 【例6】解下列方程： 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 05- 4-x-x-3-1 ②)3 5 【技巧归纳】 去分母：方程两边同乘所有分母的最小公倍数（亿CM)。注意每一项都要乘，包括不含分母的项。分子是 多项式时加括号。去分母后去括号、移项、合并。如(+1)/2-x3=1,乘以6得3+1)2x=6。检验分 母不为0。注意整数项同样乘LCM。 【变式3-1】解方程： 05 =-2 22-2x-1-2x+1 6 3 【变式3-2】解方程： 41-7+3x-3x-10 8 4 o-+小- 【变式3-3】解方程： a51- 3 ②2x-7=9r-2 1 6 eg36-2-1 2x+15x-1-1 ④)36 题型4解一元一次方程去分母（小数） 【例7】解方程：0.3 =1+12-03x 0.2 x-1=0.6-3x 【例8】解方程：0.2 0.4 6/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【技巧归纳】 先将小数化分数（如0.5=1/2）或把分子分母同乘10、100变为整数。也可直接给方程两边乘适当的10的 幂，使所有系数变为整数，再去分母。注意每一项都要乘，不漏顶。如0.2x0.3=-0.5一→乘以10得2x3=5。 解后检验。 【变式41】解方程： 02x-01_03x+01-=1: 0.3 0.6 【变式42】解方程 5.3x ()640.4 2x65_14-3x=0 2)0.03+0.30.02 题型5一元一次方程的错解复原问题 【例】阅读下面解一元一次方程的过程，并解答问题： 2x+3x-5 -2 3 4 解：4(2x+3)-3(x-5)=24 (第一步) 8x+12-3x-15=24 (第二步) 8x-3x=24-12+15 (第三步) 5x=27 (第四步) 23 Γ (第五步) (1)第一步的步骤是 一，依据是 (②)从第—步开始出现错误，错误的原因是 (3)请写出正确的解方程的过程 (4)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项，给同学们提一条 建议， 【例10】下面是小马同学错题本上的一道题，请认真阅读并完成相应任务. 2x-1 =1-x+2 3 4 解：去分母得：4(2x-)=1-3(x+2),…第一步 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 去括号得：8x-4=1-3x-6,…第二步 得：8x+3x=1-6+4,…第三步 合并同类项得：11x=-1,…第四步 1 系数化为1得：x= …第五步 ()以上解方程步骤中第三步进行的是 这一步的依据是 (2)以上解题过程中，小马从第】 步开始出错，错误的原因是 3)请直接写出该方程正确的解 4)除上述错误外，还应注意哪些问题，请你给小马提一条合理的建议， 【技巧归纳】 从错误结果反推：将错解代入原方程（或错误变形后的方程），找到运算错误点（符号、漏乘、去分母漏 项)。再按正确步骤重解。常见错因：移项不变号、去分母漏乘、括号前负号。验证正解是否满足原方 程。分析差异。 【变式5-1】下面是小陈同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 诊y1=2-y+2 2 5 解：去分母，得5(0y-1)=20-2(y+2). …第一步 去括号，得5y-5=20-2y+4 …第二步 移项，得5y+2y=20+4+5 …第三步 合并同类项，得7y=29 …第四步 29 方程两边都除以7，得y= 7 …第五步 任务： ()以上求解过程中，第一步变形的依据是 (2)以上求解过程中，第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 (3)请你写出该方程的正确解答过程。 【变式5-2】复习课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题2： 习题1： 解方程：2(3x+1)-(x+3)=8 8/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3x-1-1=x+5 解方程4 3 解：去分母，得3(3x-1)-1=4(x+5)第① 解：去括号，得6x+2-x-3=8第①步 步 移项，得6x-x=8-3-2第②步 去括号，得12x-3-1=4x+20第②步 合并同类项，得5x=3第③步 移项，得12x-4x=20+3+1第③步 系数化为1，得：x=5第④步 合并同类项，得8x=24第④步 系数化为1，得x=3第⑤步 (1)习题1的解题过程从第 步开始出现错误，理由： (2)习题2的解题过程从第 步开始出现错误，理由： (3)从中任选一题，写出它的正确解答过程。 题型6利用一元一次方程同解问题求解 【例11】己知方程ax-1=7与方程2x+6=10的解相同，则a的值为 【例1以】老方程4-1-7与2-“号-0的解相铜，则a的液为 【技巧归纳】 两个方程同解：先解不含参数的方程，得到x的值。再将x代入含参数方程，求参数。或先将两个方程均 用参数表示解，令其相等。注意参数方程可能需分类讨论（如分母为0）。如+1=0与2x+3=0同解，先 解后者=-1.5，代入前者求a。 【变式61】若关于x的方程2mx+1=0和3x-1=2x+1有相同的解，则m= X4-8=-+2 【变式6-2】若方程3 2的解与关于x的方程4x-(3a+1)=6x+2a-1的解相同，则a的值为- 题型7一元一次方程整数解问题 【例13】若关于x的方程2rx=(a+)r+6的解为正整数，整数a的值是 【例14】若关于x的方程ax+3=2x-1的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值为 9/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【技巧归纳】 方程c=有整数解，需整除b。若含参数，将解表示为x=b/,再根据整除性求参数值。注意参数需使 ≠0。常利用因数分解，列出a的因数。如m-2)x=6有整数解，则m-2为6的因数，可求m。检验解的正 负。 【变式7-1】关于x的一元一次方程2 ,1+3=x的解为整数，则所有整数k的和为 【陵式72】已知关于x的方程2x=4-, 3 +2的解是非负整数，则符合条件的所有整数m的和是一 04 过关检测 一、单选题 1.解方程2(x-)=3x+4,去括号正确的是() A.2x-1=3x+4 B.2x-2=3x+4 C.2x-1=3x-4 D.2x-2=3x-4 2.已知关于x的一元一次方程m(c-)=3x-2m的解是x=2,则m的值为（) A.2 B.3 C.-6 D.0 ,x-12x+3 3。解方程2}°=1时，去分母正确的是（） A.3(x-1)-2(2x+3)=1 B.3(x-1)-2(2x+3)=6 C.3x-1-4x+3=1 D.3x-1-4x+3=6 4,小明解方程'”，由于租心大意，在去分母时，方程石边的设有乘以10，由此求得的 2x-1-+0-1正确的解是《） 解为x=4,则方程5=2 A.x=4 B.x=7 C.x=10 D.x=13 10/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 5,已知关于x的一元一次方程2026+3=2x+b的解为x=-3:那么关于y的一元一次方程 2026y+D+3=2y++b的解为y=C) A.1 B.-1 C.-3 D.-4 二、填空题 6.若x+2与x-8互为相反数，则x= 7.己知关于x的方程4r+2m=5x+1的解与方程3x=6x-1的解相同，则m的值为 8小方牌2=1。去分同时方程有边的1束6，有到设新-2·则方积正确的新 x= 9.对于任意实数m,n,定义一种运算：m※n=mn+m-n+1,例如3※(-2)=3×(-2)+3-(-2)+1=0.请 根据上述定义解决问题：若※(-3)=2，则x的值为一 +2_=1的解是负整数，且人也是整数，则满足条件的所有k的值为 10.若关于x的方程3-2 三、解答题 11.解方程： 1)2x+5=3x-1: (2)2(x-4)=3(x+5): 421 12.解下列方程. 21-2 6 5y+4+y-1=2-5y-5 ②)3 4 12: )8r=3- 4 2: 1-2x_3x+1-3 ④)3=7 13.在解方程03045时，两位同学提出了如下两种解法。 x x-1 11/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 嘉嘉的解法： 淇淇的解法： 利用分数的性质， 利用等式的性质， 10x5x-5 xx-11 得3 2 =5 得342’ .… x-1 (①)对于嘉嘉的解法，他是将0.4的分子、分母同时扩大为原来的 倍；对于淇淇的解法，他是将 等式两边同时乘以 ，或同时除以 (2)从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程. 14.己知代数式A=4x+7,B=3(2x-m),解答下列问题： (1)若m=3,则x为何值时，代数式A与B相等？ ②若关于x的方程3-)=的解使得A:B两个代数式的值互为相反数，求m的值。 15.定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“互逆方程”· 例如：方程2x=4和3x+6=0为“互逆方程”. 1)方程2x-4=x+1与-2x=10_(填“是”或“不是”)“互逆方程”： (2)若关于x的方程3x+3=0与6x-c=0为“互逆方程”，求c的值： 3)若关于x的方程2x+3m-2=0和3x-5m+4=0为“互逆方程”，求m的值， 16.定义：若x,x2分别是关于x的方程P、方程Q的解，且x+x=n(n为非零常数)，则称方程P是 方程2的“阶伴生方程”.例如：方程x-1=2的解是=3，方程x+2=0的解是2=-2，且 x+x2=3+(-2)=1,则称方程x-1=2是方程x+2=0的“1阶伴生方程”· )下列方程中是x-3=1的“2阶伴生方程”的是 (填写序号即可)： 1 @2x+40@3=文3：®350的 (2)若方程x+2=5是关于x的方程3x-k=6的“4阶伴生方程”，求k的值： 26+a=2+x+ 3)对任意满足4k-1≠0的k值，关于x的方程3 ,x1x-2 6都是方程 +2=1的“n阶伴生方程”， 试判断8a-b的值是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 12112