专题11多边形和圆的初步认识暑假预习讲义 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固) 2026年北师大版七年级数学上册

专题11多边形和圆的初步认识暑假预习讲义 1. 识记概念：掌握多边形的定义，分清多边形的顶点、边、内角、对角线；知道教材默认研究凸多边形，学会按顺时针/逆时针规范命名n边形。 2. 规律探索：自主总结n边形顶点、边、内角的数量规律，记住从一个顶点出发可画出(n-3)条对角线。 3. 辨析正多边形：牢记正多边形需要同时满足各边相等、各角相等两个条件，会区分普通多边形与正多边形。 4. 认识圆相关定义：理解圆的动态形成定义，分清圆心、半径、弧、扇形、圆心角的含义，规范书写弧的符号。 5. 基础简单计算：能根据扇形占圆的比例，求解对应圆心角的度数。 6. 识图抽象能力：可以从生活实物图片中抽象出多边形、圆、扇形等基础平面图形。 7. 规避易错点：误以为只边长相等就是正多边形；混淆弧和扇形的概念；数对角线时出现重复、漏数问题。 8. 几何素养：建立从具象实物抽象几何图形的思维，为后续多边形内角和、圆的深入学习打好基础。 预习必备 知识梳理 1.多边形的定义与判定 2.多边形的组成要素 3.多边形对角线相关公式 4.正多边形及多边形分类 5.圆的定义 6.圆的相关概念 常考题型 精讲精练 1.多边形的概念与分类 2.正多边形概念辨析 3.多边形截角后的边数问题 4.多边形的周长 5.网格中多边形面积比较 6.多边形对角线的条数问题 7.对角线分成的三角形个数问题 8.圆的基本概念辨析 9.圆的周长和面积问题 10.圆心角概念辨析及简单运算 强化题型 解答题5题 知识点 01 多边形定义与判定 1. 定义 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。 2. 判定三大条件（缺一不可） ① 全部由线段围成（不能含曲线）； ② 线段不在同一直线，首尾顺次相接； ③ 图形必须封闭，有内部、外部区分。 3. 命名规则 按边数命名：几条边就叫几边形。 例：3 条边→三角形；4 条边→四边形；5 条边→五边形；n 条边→n 边形（n3，且n为正整数）。 知识点 02 多边形的组成要素（顶点、边、内角、对角线） 要素名称 定义 图示说明 基础规律 顶点 相邻两条线段的公共端点 n 边形顶点数 = 边数 边 围成多边形的每一条线段 n 边形边数 = 顶点数 内角 多边形相邻两条边组成的内部角 每个顶点对应 1 个内角 对角线 连接多边形不相邻两个顶点的线段 从一个顶点出发对角线：n-3条 知识点03:多边形对角线相关公式（高频计算考点） 设多边形边数为 n(n3)，n为整数） 1.从一个顶点出发的对角线条数 公式：n-3 推导：自身顶点 + 左右相邻 2 个顶点不能连对角线，剩余可连顶点数 n-3。 2.被对角线分割成的三角形个数 公式：n-2 3.n边形总对角线条数 公式： 推导：每个顶点可连n-3条，n个顶点共n(n-3)条；每条对角线被两个顶点重复计算，因此除以 2。 知识点 04正多边形 1. 定义 各边长度完全相等，各个内角大小完全相等的多边形叫做正多边形。 2. 两大必备条件（必须同时满足） ① 各边相等； ② 各内角相等。 ⚠️易错提醒：只边长相等≠正多边形（例：菱形四边相等，但内角不等，不是正四边形）；只内角相等≠正多边形（长方形四角相等，边长不等，不是正四边形）。 3.常见正多边形对应名称 正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形…… 正n边形。 知识点 05 多边形分类（凸多边形 / 凹多边形） 凸多边形：画出多边形任意一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧。 特征：所有内角都小于180 ，课本只研究凸多边形。 凹多边形：存在至少一条边，直线两侧都有图形；存在大于180的内角（凹角），本章不深入考察。 知识点 06：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）. 1. 动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母O表示； 线段定长：半径，用字母r表示； 关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。 2. 静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O；定长：半径r； 几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O； 核心区分易错： 1 ⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部； 2 圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。 知识点 07：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） . 名称 文字定义 符号 / 关键特征 易错区分 半径 连接圆心与圆上任意一点的线段 同圆半径全部相等 线段，不是射线 直径 经过圆心，两端点都在圆上的线段 直径=2×半径(d=2r) 圆内最长线段 弦 连接圆上任意两点的线段 直径是特殊的弦 不经过圆心的弦只是普通弦 弧 圆上任意两点之间的部分 两点分圆为两段弧 弧是曲线，弦是线段 半圆 直径分圆得到的两段弧，每一段都是半圆 半圆长度 = 圆周长一半 半圆≠圆的一半图形 优弧 大于半圆的弧 书写用三个字母（区分劣弧） 例： 劣弧 小于半圆的弧 书写两个字母即可 例： 圆心角 顶点在圆心，两边都是半径的角 角度范围0360 顶点必须在圆心，圆上角不是圆心角 关键区分要点 1.弦是线段，弧是曲线，二者不能等同； 2.直径一定是弦，但弦不一定是直径； 3.半圆既不是优弧，也不是劣弧； 4.表示优弧必须写三个字母，防止和劣弧混淆。 知识点08：本章统一高频易错点 1.多边形判定：包含曲线、不封闭图形误认为多边形； 2.对角线公式混淆：忘记总条数要除以 2，只(n(n-3)； 3.正多边形概念：误以为四边相等就是正方形（忽略内角相等条件）； 4.圆概念混淆：把半径、直径说成直线（实际都是线段）； 5.弧与弦分不清：描述两点间曲线说成弦； 6.优弧只用两个字母表示，无法区分劣弧； 7.凹多边形内角大于 180°，做题默认所有多边形都是凸多边形。 题型1.多边形的概念与分类 【典例】如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 【答案】 ，，，， 点 ，，，， 【分析】本题考查了多边形．根据多边形的定义解答即可． 【详解】解：在多边形中，，，，，是多边形的边； 点是多边形的顶点； 是多边形的对角线； ，，，，是多边形的内角． 故答案为：，，，，；点；； ，，，，． 【跟踪专练1】如图所示的图形中，属于多边形的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查多边形，根据多边形定义，逐个验证即可得到答案． 【详解】解：所示的图形中，多边形共有2个， 故选：A． 【跟踪专练2】下列长度的三条线段与长度为4的线段首尾依次相连能组成四边形的是（    ）． A．1，1，2， B．1，1，1 C．1，2，2 D．1，1，6 【答案】C 【分析】将每个选项中的四条线段进行比较，任意三条线段的和都需大于另一条线段的长度，由此可组成四边形，据此解答． 【详解】解：A、因为1+1+2=4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意； B、因为1+1+1<4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意； C、因为1+2+2>4，所以能构成四边形，故该项符合题意； D、因为1+1+4=6，所以不能构成四边形，故该项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了多边形的构成特点：任意几条边的和大于另一条边长，正确理解多边形的构成特点是解题的关键． 【跟踪专练3】定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【详解】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 题型2.正多边形概念辨析 【典例】下面图形中，是正多边形的是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【答案】C 【分析】本题考查四边形，解题的关键是理解正多边形的定义． 正多边形需所有边相等且所有角相等，矩形角相等但边不一定相等；菱形边相等但角不一定相等；梯形边和角都不一定相等；正方形所有边相等且所有角相等，符合正多边形定义． 【详解】解： 正多边形必须所有边相等且所有角相等， A、矩形所有角相等但边不一定相等，故不一定是正多边形，不符合题意； B、菱形所有边相等但角不一定相等，故不一定是正多边形，不符合题意； C、正方形所有边相等且所有角相等，故是正多边形，符合题意； D、梯形边和角都不一定相等，故不是正多边形，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【详解】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【答案】D 【分析】根据图，将阴影部分等积变形，推出阴影部分和正十二边形的关系，计算得到结论即可． 本题考查了面积与等积变换，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：如图，正十二边形是有12个正三角形和6个四边形组成的， 设正三角形的面积为a，四边形的面积为b， 而阴影部分是有4个正三角形和2个四边形组成的，恰好是正十二边形的， 图中阴影部分的面积是， 故选：D． 题型3.多边形截角后的边数问题 【典例】若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是______． 【答案】4或5或6 【分析】本题考查的知识点是多边形的内角与外角，解题关键是列举出所有可能的情况． 一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变，如图： 故答案为：4或5或6． 【跟踪专练1】如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余部分是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的截法．分为三种情况，画出图形，解答即可． 【详解】解：如图， ，剩余图形是四边形； ，剩余图形是五边形； ，剩余图形是六边形； 故选D． 【跟踪专练2】将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查了多边形．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是3或4或5． 故答案为：3或4或5． 【跟踪专练3】把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】此题主要考查了多边形，此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 锯掉正方形一个角时，锯痕的位置不同会导致剩余多边形的边数变化，从而可能得到三角形、四边形或五边形． 【详解】解：设正方形，锯掉角A， 若锯痕连接上的两点（均非顶点），则增加一条边，剩余5条边，为五边形； 若锯痕连接上的顶点B（或上的顶点D）与上的点（或上的点）， 则边数不变，剩余4条边，为四边形； 若锯痕连接相邻顶点B和D，则减少一条边，剩余3条边，为三角形， ∴ 剩余多边形可能是三角形、四边形或五边形． 故选：D． 题型4.多边形的周长 【典例】如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形的边长等于_______． 【答案】4 【分析】本题考查正多边形，正六边形的周长除以6，可得正六边形的边长． 【详解】解：∵正六边形的周长是， ∴这个正六边形的边长是， 故答案为：4． 【跟踪专练1】我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 【跟踪专练2】如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 【答案】96 【分析】本题考查了求周长，需合理分析图形，利用的是矩形的周长公式．题目中是一个多边形，求周长应把图中的多边形分成各个矩形求解或把多边形变为整体一个矩形求解即可． 【详解】解：如图： 矩形的长为， ， ， ∴主板的周长为， 故答案为：96． 【跟踪专练3】将图1中周长为28的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为38的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为________． 【答案】31 【分析】本题主要考查的是整式的加减的应用、列代数式等知识点，列代数式表示出正方形的边长成为解题的关键． 设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中是周长为28的长方形，计算出，然后再列出图2中长方形的周长和没有覆盖的阴影部分的周长代数式，将代入计算即可． 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 如图1中是周长为28的长方形，可得， 解得：， 将A、B、C、D四点在图2中标出，如图所示： 如图，图2中长方形的周长为38， ∴， ∴， 根据平移得，没有覆盖的阴影部分的周长是如图中四边形的周长， ∴ ． 故答案为：31． 题型5.网格中多边形面积比较 【典例】如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有_______个 【答案】6 【分析】A，B两点的垂直距离为2，那么，只要保证水平距离为2即可使△ABC的面积为2个平方单位；A，B两点的水平距离为1，那么，只要保证垂直距离为4即可使△ABC的面积为2个平方单位． 【详解】解：符合条件的点C如图， 可知共有6个， 故答案为：6． 【点睛】本题考查三角形面积的求法，注意分水平距离和垂直距离两种情况． 【跟踪专练1】如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，掌握割补法求不规则图形的面积是解题关键． 【跟踪专练2】如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 【答案】9 【分析】本题考查了正六边形的性质，解题的关键是理解． 【详解】解：如下图，作， 六边形是正六边形， ，， 的面积为3， ， 四边形的面积为， 故答案为：9． 【跟踪专练3】边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”． （）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为________________； （）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为________________． 【答案】 【分析】（1）先分别求出菱形和正方形的面积，然后根据变形度为2求解即可； （2）先把网格中的菱形当成是正方形，然后算出三角形的面积，最后根据变形度求解即可得到答案. 【详解】解：（）∵边长为的正方形面积，边长为的菱形面积， ∴菱形面积：正方形面积， ∵菱形的变形度为，即， ∴． 故答案为：； （）∵菱形边长为，“形变度”为， ∴菱形形变前的面积与形变后面积比为， ∴． 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查了网格中面积的计算，解题的关键在于能够准确地读懂题意进行求解. 题型6.多边形对角线的条数问题 【典例】一个七边形从一个顶点出发，最多可引出的对角线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查多边形对角线的计算，利用n边形从一个顶点出发引出对角线的条数公式，代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵对于n边形，从一个顶点出发可引出的对角线条数为， 又∵该多边形为七边形，即， ∴代入得． 故选：C． 【跟踪专练1】连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，若从多边形的一个顶点可以引出九条对角线，则这个多边形是______边形． 【答案】十二 【分析】本题考查了多边形对角线数量问题，掌握多边形从一个顶点可以引出条对角线是解题的关键． 根据n边形从一个顶点可以引出条对角线即可求解． 【详解】解：∵从多边形的一个顶点可以引出九条对角线， ∴，则这个多边形是十二边形， 故答案为：十二． 【跟踪专练2】如果过某多边形的一个顶点的对角线有9条，则该多边形对角线一共有______条． 【答案】54 【分析】本题考查了多边形的对角线公式，熟记从每一个顶点出发可以作的对角线的条数为是解题的关键． 根据从每一个顶点出发可以作的对角线的总条数为计算即可得到该多边形的边数（或顶角数），然后由n边形的对角线总条数公式为进行解答． 【详解】解：：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有9条， ∴多边形的边数为， ∴这个多边形是十二边形． ∴该多边形对角线一共有：(条)， 故答案为：54． 【跟踪专练3】若一个凸多边形的对角线共有20条，这个多边形是（   ） A．八边形 B．十边形 C．十二边形 D．二十边形 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形．熟知多边形的对角线条数和边数的关系，是解决问题的关键． 根据n边形的对角线条数是，列方程可以求出多边形的边数． 【详解】解：设这个多边形的边为n， 根据题意，得， 即， 解得或 (不合题意，舍去)， ∴这个多边形是八边形． 故选：A． 题型7.对角线分成的三角形个数问题 【典例】若某个多边形从一个顶点出发可以分出7个三角形，则这个多边形是_____________边形． 【答案】九 【分析】本题考查了多边形．根据多边形从一个顶点出发可引出对角线将多边形分割成个三角形的性质，直接列方程求解． 【详解】解：设多边形边数为n，从一个顶点出发可分出的三角形个数为， 已知分出7个三角形，故， 解得，因此这个多边形是九边形． 故答案为：九． 【跟踪专练1】从多边形的一个顶点引对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查多边形对角线分割三角形的个数问题，根据从边形的一个顶点出发，可以将多边形分为个三角形，进行求解即可． 【详解】解：设多边形有条边，由题意，得：， ， 故选：C． 【跟踪专练2】过多边形的一个顶点最多可作5条对角线，则过一个顶点的对角线可将该多边形分为________个三角形． 【答案】6 【分析】本题考查多边形对角线，过n边形一个顶点有条对角线，这些对角线将这个n边形分成个三角形．根据过一个顶点有5条对角线，求出多边形边数，即可求对角线将这个n边形分成的三角形个数． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 解得：， ∴这5条对角线将这个8边形分成的三角形个数为：， 故答案为：6． 【跟踪专练3】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】B 【分析】本题考查图形的分割，根据题意列举即可． 【详解】解：如下图，共有10种， 故选：B． 题型8.圆的基本概念辨析 【典例】一个扇形的圆心角是，（   ）个这样的扇形可以拼成一个圆 A． B． C． 【答案】B 【详解】解：∵一个完整的圆的圆心角是，单个扇形的圆心角是， ∴需要的扇形个数为， ∴个这样的扇形可以拼成一个圆． 【跟踪专练1】在下列说法中，正确的有________．（填序号） ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做弧． 【答案】② 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．根据圆的相关概念，半圆是扇形的一种，也是弧的一种；但弧不一定是半圆，圆上两点间的线段是弦而非弧。 【详解】解：半圆不是扇形，故①错误； 半圆是圆上一条特殊的弧，故②正确； 弧可以是优弧或劣弧，不一定是半圆，故③错误； 圆上任意两点间的曲线是弧，线段是弦，故④错误． 故答案为：②． 【跟踪专练2】下列结论中正确的是___________．（填写所有正确结论的序号） ①直径是圆中最长的弦； ②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆； ④等弧所对的圆心角相等； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等； ⑥顶点在圆上的角是圆周角； ⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴； ⑨半圆是弧； ⑩过圆心的线段是直径． 【答案】①③④⑨ 【分析】本题主要考查圆的有关性质．根据弦、直径、等圆、等弧的概念判断即可． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦，说法正确； ②在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误； ③面积相等的两个圆是等圆，说法正确； ④等弧所对的圆心角相等，说法正确； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的优弧相等，劣弧相等，原说法错误； ⑥圆周角的定义包括两个基本特征：一是顶点位于圆周上，二是角的两边都与圆相交，原说法错误； ⑦将圆绕圆心旋转一个角度可以和自身重合，原说法错误； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径所在直线都是它的对称轴，原说法错误； ⑨半圆是弧，说法正确； ⑩过圆心且两端都在圆上的线段是直径，原说法错误； 故答案为：①③④⑨． 【跟踪专练3】《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是（   ） ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识，根据圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合解答即可． 【详解】解：由圆的定义可得，圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等且圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上， ∴能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是②③． 对于①：正方形也是轴对称图形，但不会用于当作车轮，故排除； 对于④：该描述为垂径定理的内容，与题干信息无关联，故排除； 故答案为：C． 题型9.圆的周长和面积问题 【典例】小海同学用一根细绳绕某一个圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出绳子的长度为（取），则这个圆形物体的直径是______． 【答案】 【分析】由题意可知，绳子拉直后的长度为该圆形物体的周长，根据圆的周长公式即可计算出直径． 【详解】由题意得，该圆形物体的周长，圆的周长公式为 （其中为圆的直径，取），变形得 ， ∵， 代入数据得 ． 【跟踪专练1】如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．2米 B．10米 C．20米 D．25米 【答案】D 【分析】求出即可得到答案． 【详解】解：当两人在同一条半径上时，， 当两人在同一条直径的两端时，， 故， 慢跑过程中两人的距离不可能是25米． 【跟踪专练2】“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如：在探究圆面积计算公式时（如下图），把一个圆平均分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )，因此圆的面积是( )．    【答案】 圆周长的一半 半径 【分析】根据圆拼成的长方形的过程可知:近似长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径，然后根据长方形的面积公式推导出圆的面积公式.据此解答． 【详解】解：近似长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径， 圆的面积近似长方形的面积长宽． 故答案为：圆周长的一半，半径，． 【点睛】本题主要考查了学生利用知识的迁移推导圆面积公式的过程，正确理解转化的思想是解答本题的关键． 【跟踪专练3】如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ）    A．D点 B．E点 C．F点 D．G点 【答案】A 【分析】先求出蚂蚁爬行一圈所走的路程，再根据停下来时重复的圈数和余数，进而求解即可． 【详解】解：根据题意，每段长度为四分之一的圆周长，即，又知绕行8段为一循环，则爬行一圈的路程为， ∵，， ∴行走后才停下来，那一个点为D点， 故选：A． 【点睛】本题考查圆的周长，图形类规律探究，解答的关键是理解题意，能根据爬行一圈的路程得出重复的圈数，再由余数确定最终的位置． 题型10.圆心角概念辨析及简单运算 【典例】小兰从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，图中的度数为 _______． 【答案】 【分析】本题考查了周角的定义，等分图形的角度计算方法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题目中明确青铜太阳轮的正面图形是将圆五等分，因此要求的角就是把周角平均分成份后每份的角度，即可得出的度数为． 【详解】解：由题意得正面图形是将圆五等分， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆心角，圆的等分，根据八个方位将圆形八等分，求出相邻两个方位间所夹的圆心角度数即可． 【详解】解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 解答题 1．如图，求多边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了求多边形的面积，根据题意可得多边形由梯形和长方形构成，即可得；掌握多边形由梯形和长方形构成是解题的关键 【详解】解：有图象可得： 答：多边形的面积为． 2．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了用“方格法”来计算四角形的面积，结合图形得出公式中的相关字母的值，则问题不难解答．根据图形分别得出和的值，代入公式计算即可． 【详解】解：由图形可知，， ． 3．观察、探究及应用． (1)观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； (2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； (3)结论：一个n边形有 条对角线； (4)应用：一个十二边形有多少条对角线？ 【答案】(1)2；5；9；14 (2)； (3) (4)54条 【分析】本题考查的是多边形的对角线的数量的探究； （1）根据多边形的边数计算多边形的对角线的数量即可； （2）根据从1个顶点出发的对角线的数量，可得答案； （3）由（1）的计数总结规律，再归纳即可； （4）利用（3）的规律，把代入计算即可． 【详解】（1）解：一个四边形有条对角线； 一个五边形有条对角线； 一个六边形有条对角线； 一个七边形有条对角线； （2）解：由（1）归纳总结可得： 由n边形的一个顶点出发，可作条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作条对角线； （3）解：由（1）归纳总结可得： 一个n边形有条对角线． （4）解：当时， 一个十二边形有条对角线． 4．学科素养•推理能力 如图，用三种方法分割五边形． (1)三种分割方法把多边形分成的三角形的个数与多边形的边数有没有关系？若有关系，具体是什么关系？ (2)若是边形，请分别写出用上述三种方法分割所得三角形的个数． 【答案】(1)有关系．题图①中，三角形的个数多边形的边数；题图②中，三角形的个数多边形的边数；题图③中，三角形的个数多边形的边数 (2)用上述三种方法分割边形所得三角形的个数分别为：，， 【分析】本题主要考查了多边形的对角线、图形规律等知识点，掌握从特殊中发现规律，进而推广到一般成为解题的关键． （1）观察图形即可解答； （2）根据（1）所得的规律进行归纳即可解答． 【详解】（1）解：有关系，关系如下： 如图①中，三角形的个数多边形的边数； 如图②中，三角形的个数多边形的边数； 如图③中，三角形的个数多边形的边数． （2）解：结合特殊图形，可以发现： 如图①中，三角形的个数； 如图②中，三角形的个数； 如图③中，三角形的个数． 5．一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 【答案】(1)71.4分米； (2)142.8平方分米 【分析】（1）首先求出半径，然后列式求解； （2）用半径为6的圆的面积减去半径为4的圆的面积，然后加上2个长为20分米，宽为2分米的长方形的面积，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：半径为（分米）， （分米）； 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长71.4分米； （2）解： （平方分米）； 答：扫地机器人扫过的面积是142.8平方分米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11多边形和圆的初步认识暑假预习讲义 1. 识记概念：掌握多边形的定义，分清多边形的顶点、边、内角、对角线；知道教材默认研究凸多边形，学会按顺时针/逆时针规范命名n边形。 2. 规律探索：自主总结n边形顶点、边、内角的数量规律，记住从一个顶点出发可画出(n-3)条对角线。 3. 辨析正多边形：牢记正多边形需要同时满足各边相等、各角相等两个条件，会区分普通多边形与正多边形。 4. 认识圆相关定义：理解圆的动态形成定义，分清圆心、半径、弧、扇形、圆心角的含义，规范书写弧的符号。 5. 基础简单计算：能根据扇形占圆的比例，求解对应圆心角的度数。 6. 识图抽象能力：可以从生活实物图片中抽象出多边形、圆、扇形等基础平面图形。 7. 规避易错点：误以为只边长相等就是正多边形；混淆弧和扇形的概念；数对角线时出现重复、漏数问题。 8. 几何素养：建立从具象实物抽象几何图形的思维，为后续多边形内角和、圆的深入学习打好基础。 预习必备 知识梳理 1.多边形的定义与判定 2.多边形的组成要素 3.多边形对角线相关公式 4.正多边形及多边形分类 5.圆的定义 6.圆的相关概念 常考题型 精讲精练 1.多边形的概念与分类 2.正多边形概念辨析 3.多边形截角后的边数问题 4.多边形的周长 5.网格中多边形面积比较 6.多边形对角线的条数问题 7.对角线分成的三角形个数问题 8.圆的基本概念辨析 9.圆的周长和面积问题 10.圆心角概念辨析及简单运算 强化题型 解答题5题 知识点 01 多边形定义与判定 1. 定义 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形。 2. 判定三大条件（缺一不可） ① 全部由线段围成（不能含曲线）； ② 线段不在同一直线，首尾顺次相接； ③ 图形必须封闭，有内部、外部区分。 3. 命名规则 按边数命名：几条边就叫几边形。 例：3 条边→三角形；4 条边→四边形；5 条边→五边形；n 条边→n 边形（n3，且n为正整数）。 知识点 02 多边形的组成要素（顶点、边、内角、对角线） 要素名称 定义 图示说明 基础规律 顶点 相邻两条线段的公共端点 n 边形顶点数 = 边数 边 围成多边形的每一条线段 n 边形边数 = 顶点数 内角 多边形相邻两条边组成的内部角 每个顶点对应 1 个内角 对角线 连接多边形不相邻两个顶点的线段 从一个顶点出发对角线：n-3条 知识点03:多边形对角线相关公式（高频计算考点） 设多边形边数为 n(n3)，n为整数） 1.从一个顶点出发的对角线条数 公式：n-3 推导：自身顶点 + 左右相邻 2 个顶点不能连对角线，剩余可连顶点数 n-3。 2.被对角线分割成的三角形个数 公式：n-2 3.n边形总对角线条数 公式： 推导：每个顶点可连n-3条，n个顶点共n(n-3)条；每条对角线被两个顶点重复计算，因此除以 2。 知识点 04正多边形 1. 定义 各边长度完全相等，各个内角大小完全相等的多边形叫做正多边形。 2. 两大必备条件（必须同时满足） ① 各边相等； ② 各内角相等。 ⚠️易错提醒：只边长相等≠正多边形（例：菱形四边相等，但内角不等，不是正四边形）；只内角相等≠正多边形（长方形四角相等，边长不等，不是正四边形）。 3.常见正多边形对应名称 正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形…… 正n边形。 知识点 05 多边形分类（凸多边形 / 凹多边形） 凸多边形：画出多边形任意一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧。 特征：所有内角都小于180 ，课本只研究凸多边形。 凹多边形：存在至少一条边，直线两侧都有图形；存在大于180的内角（凹角），本章不深入考察。 知识点 06：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）. 1. 动态定义（操作理解，画图用） 在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。 固定端点：圆心，用大写字母O表示； 线段定长：半径，用字母r表示； 关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。 2. 静态（集合）定义（考试核心考点） 平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。 定点：圆心O；定长：半径r； 几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O； 核心区分易错： 1 ⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部； 2 圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。 知识点 07：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念） . 名称 文字定义 符号 / 关键特征 易错区分 半径 连接圆心与圆上任意一点的线段 同圆半径全部相等 线段，不是射线 直径 经过圆心，两端点都在圆上的线段 直径=2×半径(d=2r) 圆内最长线段 弦 连接圆上任意两点的线段 直径是特殊的弦 不经过圆心的弦只是普通弦 弧 圆上任意两点之间的部分 两点分圆为两段弧 弧是曲线，弦是线段 半圆 直径分圆得到的两段弧，每一段都是半圆 半圆长度 = 圆周长一半 半圆≠圆的一半图形 优弧 大于半圆的弧 书写用三个字母（区分劣弧） 例： 劣弧 小于半圆的弧 书写两个字母即可 例： 圆心角 顶点在圆心，两边都是半径的角 角度范围0360 顶点必须在圆心，圆上角不是圆心角 关键区分要点 1.弦是线段，弧是曲线，二者不能等同； 2.直径一定是弦，但弦不一定是直径； 3.半圆既不是优弧，也不是劣弧； 4.表示优弧必须写三个字母，防止和劣弧混淆。 知识点08：本章统一高频易错点 1.多边形判定：包含曲线、不封闭图形误认为多边形； 2.对角线公式混淆：忘记总条数要除以 2，只(n(n-3)； 3.正多边形概念：误以为四边相等就是正方形（忽略内角相等条件）； 4.圆概念混淆：把半径、直径说成直线（实际都是线段）； 5.弧与弦分不清：描述两点间曲线说成弦； 6.优弧只用两个字母表示，无法区分劣弧； 7.凹多边形内角大于 180°，做题默认所有多边形都是凸多边形。 题型1.多边形的概念与分类 【典例】如图，在多边形中，___________是多边形的边；___________是多边形的顶点；___________是多边形的对角线；___________是多边形的内角． 【跟踪专练1】如图所示的图形中，属于多边形的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练2】下列长度的三条线段与长度为4的线段首尾依次相连能组成四边形的是（    ）． A．1，1，2， B．1，1，1 C．1，2，2 D．1，1，6 【跟踪专练3】定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2.正多边形概念辨析 【典例】下面图形中，是正多边形的是（   ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形 【跟踪专练1】下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【跟踪专练2】如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 题型3.多边形截角后的边数问题 【典例】若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是______． 【跟踪专练1】如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余部分是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．以上都有可能 【跟踪专练2】将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 【跟踪专练3】把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．三角形或四边形或五边形 题型4.多边形的周长 【典例】如果一个正六边形的周长等于，那么这个正六边形的边长等于_______． 【跟踪专练1】我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【跟踪专练2】如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 【跟踪专练3】将图1中周长为28的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为38的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为________． 题型5.网格中多边形面积比较 【典例】如图为边长为1的网格，线段为两个格点的连线，找一个格点C，使得的面积为2，则该图中点C有_______个 【跟踪专练1】如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【跟踪专练2】如图，在正六边形中，的面积为3，则四边形的面积为______ 【跟踪专练3】边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”． （）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为________________； （）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为________________． 题型6.多边形对角线的条数问题 【典例】一个七边形从一个顶点出发，最多可引出的对角线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练1】连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线，若从多边形的一个顶点可以引出九条对角线，则这个多边形是______边形． 【跟踪专练2】如果过某多边形的一个顶点的对角线有9条，则该多边形对角线一共有______条． 【跟踪专练3】若一个凸多边形的对角线共有20条，这个多边形是（   ） A．八边形 B．十边形 C．十二边形 D．二十边形 题型7.对角线分成的三角形个数问题 【典例】若某个多边形从一个顶点出发可以分出7个三角形，则这个多边形是_____________边形． 【跟踪专练1】从多边形的一个顶点引对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【跟踪专练2】过多边形的一个顶点最多可作5条对角线，则过一个顶点的对角线可将该多边形分为________个三角形． 【跟踪专练3】把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 题型8.圆的基本概念辨析 【典例】一个扇形的圆心角是，（   ）个这样的扇形可以拼成一个圆 A． B． C． 【跟踪专练1】在下列说法中，正确的有________．（填序号） ①半圆是扇形；②半圆是弧；③弧是半圆；④圆上任意两点间的线段叫做弧． 【跟踪专练2】下列结论中正确的是___________．（填写所有正确结论的序号） ①直径是圆中最长的弦； ②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆； ④等弧所对的圆心角相等； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等； ⑥顶点在圆上的角是圆周角； ⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴； ⑨半圆是弧； ⑩过圆心的线段是直径． 【跟踪专练3】《左传》记载，夏朝初，奚仲创造了世界上第一辆用马牵引的木质车辆．对于现代社会而言，车仍是不可缺少的重要交通工具．生活中，车轮通常的形状是圆形．下列选项中，能说明圆形的车轮可以保证车辆平稳行驶的是（   ） ①圆是轴对称图形； ②圆的圆心到圆周上任意一点的距离相等； ③圆沿一条直线滚动，圆心始终在平行于这条直线的一条直线上； ④圆中垂直于弦的直径平分弦． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 题型9.圆的周长和面积问题 【典例】小海同学用一根细绳绕某一个圆形物体一周，剪去多余的部分，再拉直量出绳子的长度为（取），则这个圆形物体的直径是______． 【跟踪专练1】如图，小明和小刚分别沿着室内环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，已知内圈跑道的半径为10米，外圈跑道的半径为12米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．2米 B．10米 C．20米 D．25米 【跟踪专练2】“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如：在探究圆面积计算公式时（如下图），把一个圆平均分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )，因此圆的面积是( )．    【跟踪专练3】如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ）    A．D点 B．E点 C．F点 D．G点 题型10.圆心角概念辨析及简单运算 【典例】小兰从正面观察三星堆青铜太阳轮（如图所示），发现它的正面图形可近似地看作是将圆五等分得到的，图中的度数为 _______． 【跟踪专练1】司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 解答题 1．如图，求多边形的面积． 2．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 3．观察、探究及应用． (1)观察如图所示的图形并填空． 一个四边形有 条对角线； 一个五边形有 条对角线； 一个六边形有 条对角线； 一个七边形有 条对角线； (2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线； (3)结论：一个n边形有 条对角线； (4)应用：一个十二边形有多少条对角线？ 4．学科素养•推理能力 如图，用三种方法分割五边形． (1)三种分割方法把多边形分成的三角形的个数与多边形的边数有没有关系？若有关系，具体是什么关系？ (2)若是边形，请分别写出用上述三种方法分割所得三角形的个数． 5．一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $