2.1 正方体的展开与折叠 课时同步训练 2026-2027学年北师大数学七年级上册

**基本信息** 初中数学七年级上册第一章第2课时同步练，以“正方体展开与折叠”为核心，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，构建“概念理解—空间推理—实际应用”的巩固路径，培养空间观念与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|立体图形展开图概念、11种展开图类型、相对面判定|以选择/填空题为主，如判断正方体展开图（知识点02）、相对面汉字匹配（知识点03），强化空间直观| |技能应用|含图案展开图折叠、相邻面关系|结合生活情境（如“绿色低碳发展”汉字折叠，知识点04），通过图形推理发展逻辑思维| |综合拓展|展开图面积/体积计算、动手实践|以解答题呈现，如长方体纸盒容积计算（知识点06）、无盖正方体制作（课时训练），体现应用意识与模型观念|

2026-2027学年度北师大数学七年级上册课时同步训练 第一章 丰富的图形世界 2 从立体图形到平面图形 第1课时 正方体的展开与折叠 ▌课时目标 1. 通过动手剪开、折叠正方体，理解立体图形与其平面展开图的对应关系，知道正方体共有11种不同的平面展开图。 2. 掌握11种展开图的四类基本形式，能运用"田凹不出"等规则判断一个平面图形能否折叠成正方体。 3. 能在正方体展开图中准确判断相对面与相邻面，解决含简单图案、数字、文字的折叠还原问题。 ▌课时目录 知识点01：立体图形展开图的概念 知识点02：正方体的11种平面展开图 知识点03：正方体展开图中的相对面判定 知识点04：含图案的正方体展开图折叠 知识点05：正方体展开图折叠后的相邻面关系 知识点06：由展开图进行面积或体积计算 ▌知识点01：立体图形展开图的概念 将一个正方体的表面沿某些棱剪开，使6个面展开在同一个平面上，所得到的平面图形叫做正方体的平面展开图。反之，若一个平面图形能够沿着某些棱折叠成一个正方体，则这个平面图形也就是正方体的平面展开图。正方体有6个面、12条棱、8个顶点，其展开图由6个完全相同的正方形组成。 1．（2024·山东青岛·一模）已知一个棱长为15的正方体木块，现在从它的八个顶点处分别截去棱长为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体，则所得到的几何体的各条棱的长度之和最少为______．    【答案】368 【分析】本题考查了正方体的特征，正确理解截一个几何体后的图形是本题的解题关键． 根据截去小正方体后棱长变化求出棱长和，再分析当棱长为7和棱长为8的小正方形相邻时，棱长和最少，计算求出即可． 【详解】∵在每个顶点处截去一个小正方体，原正方体棱数会多9，原正方体棱长和多出6个小正方体棱长， ∴八个顶点处分别截去棱长为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体后， 棱长和为：， 当棱长为7和棱长为8的小正方形相邻时，棱长和最少， 由于重合总棱长的和相当于少4个长为7的棱长， ∴最少棱长和为：， 故答案为：368． 2．（22-23七年级上·宁夏银川·阶段检测）如图所示，大正方体上截去一个小正方体后，可得到图2中的几何体． (1)设原大正方体的表面积为S，图2中几何体的表面积为，那么与S的大小关系是（    ） A．    B．    C．    D．不确定 (2)小明说：“设图1中大正方体各棱的长度之和为c，图2中几何体各棱的长度之和为，那么比c正好多出大正方体3条棱的长度．”若设大正方体的棱长为1，截去的小正方体的棱长为x，请问x为何值时，小明的说法才正确？ (3)如果截去的小正方体的棱长为大正方体棱长的一半，那么图3是图2中几何体的表面展开图吗？如有错误，请在图中用阴影表示出来． 【答案】(1)B (2)只有当时，小明的说法才正确； (3)见解析 【分析】（1）根据“切去三个面”但又“新增三个面”，因此与原来的表面积相等； （2）根据多出来的棱的条数及长度得出答案； （3）根据展开图判断即可． 【详解】（1）解：根据“切去三个小面”但又“新增三个相同的小面”，因此与原来的表面积相等，即 故选：B； （2）如图， 红颜色的棱是多出来的，共6条，当且仅当每一条棱都等于原来正方体的棱长的一半，比c正好多出大正方体的3条棱的长度， ∴， 解得， 即只有当时，小明的说法才正确； （3）图3不是图2几何体的表面展开图，左上角应该有一块空缺的小正方形，如图所示． 【点睛】本题考查几何体表面积的意义、棱长之和、几何体的表面展开图，考查学生的观察能力，关键是抓住几何图形变换后边长和棱长的变与不变的量． 3．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小明总共剪开了___________条棱，（直接写出答案） (2)现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全． (3)据小明说：他所剪的所有棱中，最长的棱是最短棱长的3倍，中间长度的棱是最短棱长的2倍．现在已知这个长方体纸盒所有棱长的和是72cm，求这个长方体纸盒的体积． (4)我们知道，长方体的展开图和正方体一样有多种不同的方式，在（3）条件下，直接写出该长方体的展开图中外围周长最长为___________． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)长方体纸盒的体积为； (4)． 【分析】本题考查了平面图形的折叠和立体几何的展开图，长方体的棱长总和公式等知识，掌握几何图形的展开图的特征是解题的关键． （1）根据平面图形的折叠和立体图形的表面展开图的特点，即可得出答案； （2）根据平面图形的折叠和立体图形的表面展开图的特点，即可得出答案； （3）根据长方体的棱长总和公式求出棱长，再利用体积公式即可求解； （4）根据平面图形的折叠和立体图形的表面展开图的特点，得到外围周长最长的展开图，求解即可． 【详解】（1）解：观察图形可知，小明总共剪开了条棱， 故答案为：； （2）解：如图，共有种情况． ， （3）解：设最短棱长为，则中间长度的棱长为，最长的棱长为， ∴， 解得：， ∴最短棱长为，则中间长度的棱长为，最长的棱长为， ∴长方体纸盒的体积为：； （4）解：外围周长最大的表面展开图如下： 由图可知，外围周长最长为， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·山东威海·期末）在“制作正方体纸盒”的实践活动中，某小组利用宽为m厘米，长为n厘米的长方形纸板制作正方体纸盒，有如下两种设计方案．（纸板厚度及接缝处忽略不计） (1)方案一：制作无盖正方体纸盒 若，按图1所示的方式，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，小正方形的边长为x厘米，再沿虚线折合起来，可以得到一个无盖正方体纸盒．此时，你发现x与m之间满足的等量关系是_______． (2)方案二：制作有盖正方体纸盒 若，在图2的长方形纸板的三个角各剪去1个大小相同的小长方形，剩下部分恰好可以折合成一个有盖的正方体纸盒，且其大小与方案一中的无盖正方体纸盒大小一样．此时，你发现n与m之间存在的数量关系是什么？若厘米，求有盖正方体纸盒的表面积？ 【答案】(1) (2)，平方厘米 【分析】本题考查正方体性质及展开图，找到图中边长的数量关系即为解答的关键． （1）正方体是特殊的长方体，长宽高三者相等，故回到图形有； （2）根据其大小与方案一中的无盖正方体纸盒大小一样，得出小正方形边长为，即，求出，根据厘米，求出厘米，再求出正方体的表面积即可． 【详解】（1）解：∵宽为厘米，长为厘米的长方形纸板制作正方体纸盒，， ∴，即：； （2）解：∵其大小与方案一中的无盖正方体纸盒大小一样， ∴小正方形边长为，即， ∴，， ∴， ∴， 当厘米时，厘米， ∴有盖正方体纸盒的表面积为：（平方厘米）． ▌知识点02：正方体的11种平面展开图 正方体的平面展开图共有11种，按每行正方形个数的分布可分为四类： 1. 1-4-1型（6种）：中间一排4个正方形，上下各1个正方形，上下两个小正方形可贴在不同位置，共6种。 2. 2-3-1型（3种）：中间一排3个正方形，一侧1个、另一侧2个（两侧错开排列），共3种。 3. 2-2-2型（1种）：三排各2个正方形，呈阶梯状错开排列，共1种。 4. 3-3型（1种）：两排各3个正方形，两排错开一格相连，共1种。 记忆口诀：“中间四个一连串，两边各一随便放；二三紧连错一个，二二阶梯三三错。” 判断一个图形能否折叠成正方体时，可直接排除"田"字形、"凹"字形以及出现7字形排布的图形。 5．（2026·四川雅安·一模）下列图形中，能折成正方体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵A选项中出现一行个正方形，不符合正方体展开图特征， ∴不能折成正方体； ∵B选项中一行个正方形，其余个正方形均在同一侧， ∴折叠后两个面重叠，不能折成正方体； ∵C选项中含有“田”字格结构， ∴不能折成正方体； ∵D选项属于“”型，中间个连成一串，两侧各有一个且不相邻， ∴能折成正方体． 6．（2026·陕西西安·三模）下列图形中，不是正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的种特征进行判断，主要类型包括“”型、“”型、“”型、“”型，出现“田”字格或“凹”字型的不是正方体展开图，据此判断即可求解． 【详解】解：∵ 正方体展开图共有种，选项属于“”型，能折叠成正方体；选项中，中间个正方形连成一行，另外个正方形在同一侧，折叠后有两个面重合，不能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体， ∴ 不是正方体展开图的是选项． 7．（2026·江西上饶·模拟预测）如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的常见类型，补充形成满足要求的展开图即可． 【详解】解：根据正方体展开图的常见类型：“”型，“”型， ∴可补全为正方体表面展开图的方格有如下种情况， 故选：． 8．（2026·福建泉州·模拟预测）母亲节时，小丽想做一个正方体礼盒装礼品送给妈妈，则下列图形中，小丽可以选择的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正方体展开图，不能出现“田字格”，“凹字格”，“7字型”． 【详解】解：A.折叠后有面会重叠，不符合题意； B.可折成正方体，符合题意； C.属于“7字型”，不符合题意； D.属于“凹字格”，不符合题意． ▌知识点03：正方体展开图中的相对面判定 正方体共有6个面，组成3组相对面。在展开图中判断相对面有两种常用方法： 1. 间隔法：在同一行（或同一列）中，间隔一个正方形的两个面互为相对面。例如在1-4-1型中，中间一排的4个正方形，第1个与第3个相对、第2个与第4个相对，上下两个单独的小正方形互为相对面。 2. Z字法：在展开图中，呈“Z”字形排列且处于Z字两端的面互为相对面（Z字两端须紧邻Z字的中线）。 相对面折叠后互不相邻，没有公共边，也没有公共顶点。 9．（2026·吉林松原·模拟预测）一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“壮”字一面的相对面上的字为（     ） A．满 B．少 C．年 D．怀 【答案】C 【详解】解：根据正方体展开图可知：有“壮”字一面的相对面上的字为“年”． 10．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字是（     ） A．我 B．中 C．国 D．梦 【答案】B 【分析】在正方体的表面展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形，由此即可得出结果． 【详解】解：由图形可得，有“的”字一面的相对面上的字是中． 11．（25-26七年级下·四川泸州·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“州”字一面的相对面上的字是（     ） A．中 B．国 C．酒 D．城 【答案】D 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知， “州”与“城”是对面． 12．（2026·河北邯郸·模拟预测）“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“成”字所在面相对的面上的字为（     ） A．有 B．志 C．者 D．事 【答案】B 【分析】利用正方体展开图的特点，相对的面之间一定相隔一个正方形，或者通过“Z”字形两端判断相对面． 【详解】解：“者”与“竟”相对，“有”与“事”相对，“志”与“成”相对． ▌知识点04：含图案的正方体展开图折叠 当展开图的面上标有数字、汉字、字母或简单图案时，折叠成正方体后，每个面上的标记位置保持不变。解题步骤一般为： 1. 先判断所给图形是否为合法的正方体展开图（排除田字、凹字）； 2. 用间隔法或Z字法确定各标记面的相对面； 3. 结合“相对面不能同时出现在一个侧视图中”的规则，判断选项的正误。 例如，展开图上标有数字1～6，若1与3是相对面，则折叠后从任意一个视角都不可能同时看到1和3。 13．（2026·河南平顶山·三模）把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正方体的展开图，先确定展开图中各个面的相对关系，首先判断带叶子图案、圆形图案、两个阴影三角形的面的相对面的图案即可． 【详解】解：根据展开图可知，阴影三角形所在的两个面为相邻面，且有公共边，“”和“”所在的两个面为相对的面，据此可排除A，B，D．所以只有符合题意，正确． 14．（2026·广东深圳·三模）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“扬”字所在面相对的面上的汉字是（     ）． A．统 B．化 C．文 D．弘 【答案】A 【分析】根据正方体展开图中，相对面不相邻，“隔一相对”的原则进行判断即可． 【详解】解：根据正方体的立体展开图中，从图中可知这是“”型展开图（第一行个正方形，第二行个正方形，第三行个正方形），对于“”型的展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴在本题的展开图中：与“扬”字相隔一个正方形的是“统”字． 15．（2026·山西阳泉·三模）为深入贯彻落实《山西省生态环境保护条例》，积极稳妥地推进碳达峰山西行动，山西省持续推动绿色低碳转型发展．将“绿”“色”“低”“碳”“发”“展”这六个字分别写在某个正方体的表面，如图所示是该正方体的一种表面展开图，则在该正方体中，与“绿”字所在面相对面上的汉字是（     ） A．低 B．碳 C．发 D．展 【答案】A 【分析】根据正方体的展开图进行判断即可． 【详解】解：由正方体的展开图可知“绿”字所在面相对的面上的汉字是“低”． 16．（2026·四川资阳·模拟预测）爱动脑的芮芮将“安岳石刻美”这五个字分别写在如图所示的方格纸中，将其折叠成无盖的正方体盒子，则无盖的这面所对的字是（     ） A．安 B．岳 C．石 D．刻 【答案】B 【详解】解：由正方体的展开图可得，“刻”所对的字是“石”， “美”所对的字是“安”，所以无盖的这面所对的字是“岳”． ▌知识点05：正方体展开图折叠后的相邻面关系 在正方体中，两个有公共边的面叫做相邻面。折叠后，相邻面的相对位置保持不变。判断相邻面关系的方法： 1. 公共边法：展开图中两个正方形共用的边，折叠后仍是这两个面的公共边。 2. 拐角相邻：三个面形成"L"型拐角时，这三个面两两相邻。 3. 排除法：一个面有4个相邻面，剩下的1个就是它的相对面。 当展开图中含有箭头、三角形、字母等指向性明显的图案时，可依据折叠前后相邻面的相对位置不变来判断选项是否正确。 17．（25-26七年级上·广东清远·期末）一个正方体的平面展开图如图所示，原正方体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含图案的正方体的展开图．根据正方体展开图的特征依次分析即可，也可动手操作． 【详解】 解：观察一个正方体的平面展开图，结合正方体的表面图形的圆图形，和×图形，空白面，三角形图形的分布情况，得原正方体可能是， 故选：A． 18．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）有一个立方体的六个面上分别写有：无、为、经、济、腾、飞，如图是能看到的三个面上写有的汉字，则其展开图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体可得，三个汉字的面均是相邻的，C选项中，还原正方体后，符合题意；其它选项不符合题意 故选：C． 19．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）一个正方体的侧面展开图如图所示，用它围成的正方体只可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据正方体的侧面展开图判断正方体． 根据正方体的侧面展开图的特征判断即可． 【详解】解：由图可知，正方体中圆相邻的四个面中，应为三个相邻的竖线面及一个空白面，且三条竖线均垂直于圆所在的面的边，A正确，B、C错误； 由图可知，正方体中三个竖线面中的竖线应指向统一方向，D错误； 故选：A． 20．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，图（乙）是正方体图（甲）沿棱展开得到的平面展开图，点A、B、C是展开过程中对应点，则图（乙）中黑点，在图（甲）中对应的字母是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查的是正方体的平面展开图，以及平面展开图与立体图之间的对应关系，掌握以上知识点是做题的关键．根据正方体的平面展开图与立体图之间的对应关系，将其还原为正方体，即可解答． 【详解】解：根据正方体的平面展开图与立体图之间的对应关系，将正方体的平面展开图（图乙）还原为正方体（图甲）时，通过观察可得，黑点所在的位置与点在正方体中的位置是对应的， 即图（乙）中黑点，在图（甲）中对应的字母是． 故答案为：． ▌知识点06：由展开图进行面积或体积计算 本节中涉及展开图的计算，以简单应用为主，不超出以下范围： 1. 已知正方体的棱长，求其表面积或体积。 2. 已知展开图中正方形小方格的边长，求原正方体的表面积或体积。 3. 从一个完整的正方体展开图中，识别面的数量、棱的数量。 例如，若展开图中每个小正方形的边长为a，则原正方体的棱长为a，表面积为6a²，体积为a³。计算时只需正确识别展开图对应的几何体棱长，再代入公式即可，不涉及复杂的空间计算。 21．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知一个直五棱柱的侧棱长为4，其中一个底面的周长为5，则这个直五棱柱的所有侧面的面积之和为（   ） A．80 B．60 C．20 D．15 【答案】C 【分析】本题考查直棱柱侧面积的计算，利用直棱柱侧面积之和等于侧棱长与底面周长的乘积即可求解． 【详解】解：∵直五棱柱的侧面均为长方形，且侧棱长为4，底面周长为5． ∴所有侧面的面积之和侧棱长底面周长 ． 故选：C． 22．（2026·河南南阳·一模）小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】A 【详解】解：， ∴这个盒子的容积为． 23．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 【答案】(1)①，④ (2)标注尺寸如图． (3) 【分析】（1）根据长方体的展开特点即可作出判断； （2）找到对应边，标注上尺寸即可； （3）根据长方体的侧面积，表面积的公式计算即可； 【详解】（1）解：①，④ （2）解：略 （3）解：； ； 24．（25-26七年级上·福建莆田·期末）问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． 【答案】(1)④ (2)①平方厘米；②． 【分析】本题主要考查了长方体的展开与折叠、长方体的底面积与容积计算，熟练掌握长方体展开图的特征及长方体容积公式是解题的关键． （1）根据长方体展开图的特征，判断四个图形能否折叠成长方体，找出不能折叠成长方体的图形序号． （2）①先根据剪去的小正方形边长，求出长方体纸盒底面的边长，再计算底面积．②分别根据甲、乙、丙三种方案，确定无盖长方体的长、宽、高，再根据长方体容积公式计算容积，最后比较大小． 【详解】（1）解：根据展开图的折叠，①②③能折成长方体，④不能折成长方体， 故答案为：④； （2）解：①正方形纸板边长为厘米，剪去的小正方形边长为厘米， 底面边长厘米， 底面积平方厘米； ②甲方案：底面四边形是正方形，且， 底面边长厘米，高厘米， 立方厘米； 乙方案：∵底面四边形是正方形，且厘米， ∴底面边长厘米，高厘米， ∴立方厘米； 丙方案：，且， ， 解得厘米，厘米， 高厘米， 立方厘米， ， ． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26七年级上·河北·期末）如图，是一个正方体，它的展开图是下列四个展开图中的（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点，即可求解． 【详解】解：由原正方体的特征可知，含有4，6，8数字的三个面相交于一点，所在的平面不可能是对面， A、折叠后，含有4，6，8数字的三个面相交于一点，故选项符合题意； B、折叠后，含有4，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意； C、折叠后，含有6，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意； D、折叠后，含有6，8数字的两个面是对面，故选项不符合题意． 2．（2026·河北邯郸·二模）在课题学习中，小明同学用纸板制作了一个如图1所示的无盖正方体包装盒展开图，然后折成如图2所示的无盖正方体盒子放置在桌子上，则贴在桌面上的底面是展开图中的（   ） A．①号面 B．②号面 C．③号面 D．⑤号面 【答案】A 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，由此得与①号面相对是空的，即可作答． 【详解】解：∵正方体表面展开图“141”型中，与①号面相对是空的， ∴贴在桌子上的底面对应的是展开图的①号面． 3．（2026·河南驻马店·三模）如图，裁掉写有我、爱、河、南中的一个正方形，得到的图形不是正方体展开图的是（     ） A．我 B．爱 C．河 D．南 【答案】A 【详解】解：由正方体的展开图可知，裁掉一个正方形“我”后不能折叠成正方体． 4．（2026·河南洛阳·三模）如图是正方体表面的展开图，将其折叠成正方体后，与点重合的点为（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【详解】解：把图形围成立方体如图所示： 所以与顶点重合的点是. 二、填空题 5．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则长方体的侧面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据展开图可得底面正方形的边长为即可得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图形可知：底面正方形的边长， ∴长方体的侧面积是：， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图是某包装盒的表面展开图，这个几何体的表面积是________平方米． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方体的展开图，求长方体的表面积，根据展开图可得该几何体是长方体，且长、宽、高分别为3米，2米，1米，据此根据长方体的表面积公式求解即可． 【详解】解：由展开图可知，该几何体是一个长方体，且长、宽、高分别为3米，2米，1米， ∴这个几何体的表面积是平方米， 故答案为：． 7．（25-26六年级上·山东烟台·期末）如图（1），在边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，折成一个如图（2）所示的无盖的长方体．设剪去的小正方形的边长为，则这样折成的无盖长方体的容积是_____． 【答案】400 【分析】本题主要考查了展开图折叠成几何体，由于正方形的边长为，同时在正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，剪去的小正方形的边长为，由此得到长方体的长、宽、高，最后利用长方体的容积公式即可求解． 【详解】解：依题意得：长方体的容积为：； 故答案为：400． 8．（2025·山东青岛·模拟预测）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，B、C、D、E四个点中，距顶点A最远的点是________． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，掌握正方体的展开图是解题的关键．将正方体的展开图重新折叠成正方体，观察图形即可得出答案． 【详解】解：把展开图折叠成正方体如图所示： 观察图形可知，距顶点A最远的点是C． 故答案为：C． 三、解答题 9．（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． (1)长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 【答案】(1)12，7 (2)长方体的表面积为，长方体的体积为 【分析】本题主要考查了长方体的展开图、长方体体积计算等知识，熟练掌握长方体及其展开图的性质是解题关键． （1）根据长方体及其展开图的性质，即可获得答案； （2）结合题意确定长方体的长、宽和高，然后根据长方体的表面积公式和体积公式求解即可． 【详解】（1）解：长方体共有12条棱，观察图形，可知，还有5条棱没有剪开， ∴若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中的平面图形，需要剪开7条棱． 故答案为：12，7； （2）解：∵该长方体的宽和高为：， ∴该长方体的长为， 表面积为， 体积为． 答：长方体的表面积为，长方体的体积为． 10．（25-26七年级上·广东茂名·期末）问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_；（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的体积为_； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为_； (3)若一个有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长是多少？请你画出外围周长最大时的一个表面展开图并标上相应的数据． 【答案】(1)② (2)①2000，②1000 (3)70cm， 该展开图的最大外围周长如图所示： 【分析】本题考查了正方体的表面展开图、长方体的体积计算及长方体表面展开图的外周长计算． （1）根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”进行判断即可； （2）①根据正方体的表面展开图得出所折叠成长方体的长、宽、高，再根据体积的计算方法进行计算即可； ②根据折叠的方法求出所折叠成长方体的长、宽、高，再根据体积的计算方法进行计算即可； （3）画出它的表面展开图，尽可能沿着棱长为的棱剪开，棱长为的棱不剪开． 【详解】（1）解：根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可知，②不是无盖正方体的表面展开图， 故答案为：②． （2）解：①按照图1的方式折叠可得到底是边长为的正方形，高为的长方体，即底面边长为，高为， ∴体积为， 故答案为：2000； ②按照图2的方式折叠可得到底面长为，宽为，高为的长方体， ∴体积为， 故答案为：1000． （3）解：将一个有盖长方体的长、宽、高分别为、、的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形， ∴最大周长为， 即这个展开图的最大周长为． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度北师大数学七年级上册课时同步训练 第一章 丰富的图形世界 2 从立体图形到平面图形 第1课时 正方体的展开与折叠 ▌课时目标 1. 通过动手剪开、折叠正方体，理解立体图形与其平面展开图的对应关系，知道正方体共有11种不同的平面展开图。 2. 掌握11种展开图的四类基本形式，能运用"田凹不出"等规则判断一个平面图形能否折叠成正方体。 3. 能在正方体展开图中准确判断相对面与相邻面，解决含简单图案、数字、文字的折叠还原问题。 ▌课时目录 知识点01：立体图形展开图的概念 知识点02：正方体的11种平面展开图 知识点03：正方体展开图中的相对面判定 知识点04：含图案的正方体展开图折叠 知识点05：正方体展开图折叠后的相邻面关系 知识点06：由展开图进行面积或体积计算 ▌知识点01：立体图形展开图的概念 将一个正方体的表面沿某些棱剪开，使6个面展开在同一个平面上，所得到的平面图形叫做正方体的平面展开图。反之，若一个平面图形能够沿着某些棱折叠成一个正方体，则这个平面图形也就是正方体的平面展开图。正方体有6个面、12条棱、8个顶点，其展开图由6个完全相同的正方形组成。 1．（2024·山东青岛·一模）已知一个棱长为15的正方体木块，现在从它的八个顶点处分别截去棱长为1，2，3，4，5，6，7，8的小正方体，则所得到的几何体的各条棱的长度之和最少为______．    2．（22-23七年级上·宁夏银川·阶段检测）如图所示，大正方体上截去一个小正方体后，可得到图2中的几何体． (1)设原大正方体的表面积为S，图2中几何体的表面积为，那么与S的大小关系是（    ） A．    B．    C．    D．不确定 (2)小明说：“设图1中大正方体各棱的长度之和为c，图2中几何体各棱的长度之和为，那么比c正好多出大正方体3条棱的长度．”若设大正方体的棱长为1，截去的小正方体的棱长为x，请问x为何值时，小明的说法才正确？ (3)如果截去的小正方体的棱长为大正方体棱长的一半，那么图3是图2中几何体的表面展开图吗？如有错误，请在图中用阴影表示出来． 3．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题： (1)小明总共剪开了___________条棱，（直接写出答案） (2)现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全． (3)据小明说：他所剪的所有棱中，最长的棱是最短棱长的3倍，中间长度的棱是最短棱长的2倍．现在已知这个长方体纸盒所有棱长的和是72cm，求这个长方体纸盒的体积． (4)我们知道，长方体的展开图和正方体一样有多种不同的方式，在（3）条件下，直接写出该长方体的展开图中外围周长最长为___________． 4．（24-25七年级上·山东威海·期末）在“制作正方体纸盒”的实践活动中，某小组利用宽为m厘米，长为n厘米的长方形纸板制作正方体纸盒，有如下两种设计方案．（纸板厚度及接缝处忽略不计） (1)方案一：制作无盖正方体纸盒 若，按图1所示的方式，在纸板四角剪去四个同样大小的小正方形，小正方形的边长为x厘米，再沿虚线折合起来，可以得到一个无盖正方体纸盒．此时，你发现x与m之间满足的等量关系是_______． (2)方案二：制作有盖正方体纸盒 若，在图2的长方形纸板的三个角各剪去1个大小相同的小长方形，剩下部分恰好可以折合成一个有盖的正方体纸盒，且其大小与方案一中的无盖正方体纸盒大小一样．此时，你发现n与m之间存在的数量关系是什么？若厘米，求有盖正方体纸盒的表面积？ ▌知识点02：正方体的11种平面展开图 正方体的平面展开图共有11种，按每行正方形个数的分布可分为四类： 1. 1-4-1型（6种）：中间一排4个正方形，上下各1个正方形，上下两个小正方形可贴在不同位置，共6种。 2. 2-3-1型（3种）：中间一排3个正方形，一侧1个、另一侧2个（两侧错开排列），共3种。 3. 2-2-2型（1种）：三排各2个正方形，呈阶梯状错开排列，共1种。 4. 3-3型（1种）：两排各3个正方形，两排错开一格相连，共1种。 记忆口诀：“中间四个一连串，两边各一随便放；二三紧连错一个，二二阶梯三三错。” 判断一个图形能否折叠成正方体时，可直接排除"田"字形、"凹"字形以及出现7字形排布的图形。 5．（2026·四川雅安·一模）下列图形中，能折成正方体的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西西安·三模）下列图形中，不是正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·江西上饶·模拟预测）如图是一个的正方形网格，图中阴影部分为一个正方体五个面的展开图形．现需在网格内的空白小正方形中选择一个，使它与阴影部分拼接后，恰好能构成一个完整的正方体表面展开图，则符合条件的选择方法共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 8．（2026·福建泉州·模拟预测）母亲节时，小丽想做一个正方体礼盒装礼品送给妈妈，则下列图形中，小丽可以选择的是（     ） A． B． C． D． ▌知识点03：正方体展开图中的相对面判定 正方体共有6个面，组成3组相对面。在展开图中判断相对面有两种常用方法： 1. 间隔法：在同一行（或同一列）中，间隔一个正方形的两个面互为相对面。例如在1-4-1型中，中间一排的4个正方形，第1个与第3个相对、第2个与第4个相对，上下两个单独的小正方形互为相对面。 2. Z字法：在展开图中，呈“Z”字形排列且处于Z字两端的面互为相对面（Z字两端须紧邻Z字的中线）。 相对面折叠后互不相邻，没有公共边，也没有公共顶点。 9．（2026·吉林松原·模拟预测）一个正方体的展开图如图所示，把它折叠成正方体后，有“壮”字一面的相对面上的字为（     ） A．满 B．少 C．年 D．怀 10．（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字是（     ） A．我 B．中 C．国 D．梦 11．（25-26七年级下·四川泸州·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“州”字一面的相对面上的字是（     ） A．中 B．国 C．酒 D．城 12．（2026·河北邯郸·模拟预测）“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“成”字所在面相对的面上的字为（     ） A．有 B．志 C．者 D．事 ▌知识点04：含图案的正方体展开图折叠 当展开图的面上标有数字、汉字、字母或简单图案时，折叠成正方体后，每个面上的标记位置保持不变。解题步骤一般为： 1. 先判断所给图形是否为合法的正方体展开图（排除田字、凹字）； 2. 用间隔法或Z字法确定各标记面的相对面； 3. 结合“相对面不能同时出现在一个侧视图中”的规则，判断选项的正误。 例如，展开图上标有数字1～6，若1与3是相对面，则折叠后从任意一个视角都不可能同时看到1和3。 13．（2026·河南平顶山·三模）把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 14．（2026·广东深圳·三模）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“扬”字所在面相对的面上的汉字是（     ）． A．统 B．化 C．文 D．弘 15．（2026·山西阳泉·三模）为深入贯彻落实《山西省生态环境保护条例》，积极稳妥地推进碳达峰山西行动，山西省持续推动绿色低碳转型发展．将“绿”“色”“低”“碳”“发”“展”这六个字分别写在某个正方体的表面，如图所示是该正方体的一种表面展开图，则在该正方体中，与“绿”字所在面相对面上的汉字是（     ） A．低 B．碳 C．发 D．展 16．（2026·四川资阳·模拟预测）爱动脑的芮芮将“安岳石刻美”这五个字分别写在如图所示的方格纸中，将其折叠成无盖的正方体盒子，则无盖的这面所对的字是（     ） A．安 B．岳 C．石 D．刻 ▌知识点05：正方体展开图折叠后的相邻面关系 在正方体中，两个有公共边的面叫做相邻面。折叠后，相邻面的相对位置保持不变。判断相邻面关系的方法： 1. 公共边法：展开图中两个正方形共用的边，折叠后仍是这两个面的公共边。 2. 拐角相邻：三个面形成"L"型拐角时，这三个面两两相邻。 3. 排除法：一个面有4个相邻面，剩下的1个就是它的相对面。 当展开图中含有箭头、三角形、字母等指向性明显的图案时，可依据折叠前后相邻面的相对位置不变来判断选项是否正确。 17．（25-26七年级上·广东清远·期末）一个正方体的平面展开图如图所示，原正方体可能是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）有一个立方体的六个面上分别写有：无、为、经、济、腾、飞，如图是能看到的三个面上写有的汉字，则其展开图可能是（   ） A． B． C． D． 19．（25-26七年级上·山东菏泽·期末）一个正方体的侧面展开图如图所示，用它围成的正方体只可能是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，图（乙）是正方体图（甲）沿棱展开得到的平面展开图，点A、B、C是展开过程中对应点，则图（乙）中黑点，在图（甲）中对应的字母是_______． ▌知识点06：由展开图进行面积或体积计算 本节中涉及展开图的计算，以简单应用为主，不超出以下范围： 1. 已知正方体的棱长，求其表面积或体积。 2. 已知展开图中正方形小方格的边长，求原正方体的表面积或体积。 3. 从一个完整的正方体展开图中，识别面的数量、棱的数量。 例如，若展开图中每个小正方形的边长为a，则原正方体的棱长为a，表面积为6a²，体积为a³。计算时只需正确识别展开图对应的几何体棱长，再代入公式即可，不涉及复杂的空间计算。 21．（25-26七年级上·陕西汉中·期中）已知一个直五棱柱的侧棱长为4，其中一个底面的周长为5，则这个直五棱柱的所有侧面的面积之和为（   ） A．80 B．60 C．20 D．15 22．（2026·河南南阳·一模）小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 23．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段检测）某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 24．（25-26七年级上·福建莆田·期末）问题情景：某综合实践小组开展了无盖长方体纸盒的制作实践活动． (1)下面不可能是长方体展开图的是_____．（填序号） (2)综合实践小组利用边长为12厘米的正方形纸板制作出两种不同方案的无盖长方体盒子． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为4厘米的小正方形，再沿虚线折叠起来，则长方体纸盒的底面积为_____平方厘米； ②如图2，将原正方形沿着剪开，得到两个长方形，用其中一个长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图3，盒子底面的四边形是正方形； 乙：如图4，盒子底面的四边形是正方形； 丙：如图5，盒子底面的四边形是长方形，． 请计算比较这三位同学所折成的无盖长方体的容积的大小． ▌课时训练 一、选择题 1．（25-26七年级上·河北·期末）如图，是一个正方体，它的展开图是下列四个展开图中的（     ） A． B． C． D． 2．（2026·河北邯郸·二模）在课题学习中，小明同学用纸板制作了一个如图1所示的无盖正方体包装盒展开图，然后折成如图2所示的无盖正方体盒子放置在桌子上，则贴在桌面上的底面是展开图中的（   ） A．①号面 B．②号面 C．③号面 D．⑤号面 3．（2026·河南驻马店·三模）如图，裁掉写有我、爱、河、南中的一个正方形，得到的图形不是正方体展开图的是（     ） A．我 B．爱 C．河 D．南 4．（2026·河南洛阳·三模）如图是正方体表面的展开图，将其折叠成正方体后，与点重合的点为（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 所以与顶点重合的点是. 二、填空题 5．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为，则长方体的侧面积是______． 6．（25-26七年级上·广东广州·期末）如图是某包装盒的表面展开图，这个几何体的表面积是________平方米． 7．（25-26六年级上·山东烟台·期末）如图（1），在边长为的正方形纸片的四个角各剪去一个同样大小的正方形，折成一个如图（2）所示的无盖的长方体．设剪去的小正方形的边长为，则这样折成的无盖长方体的容积是_____． 8．（2025·山东青岛·模拟预测）如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，B、C、D、E四个点中，距顶点A最远的点是________． 三、解答题 9．（25-26七年级上·重庆大渡口·期末）如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． (1)长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 10．（25-26七年级上·广东茂名·期末）问题情景：某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)下列图形中，不是无盖正方体的表面展开图的是_；（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．其中，． ①根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子． 方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则长方体纸盒的体积为_； ②根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒． 方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为_； (3)若一个有盖长方体的长、宽、高分别为、、，将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长是多少？请你画出外围周长最大时的一个表面展开图并标上相应的数据． / 学科网（北京）股份有限公司 $