数列：累加法求数列通项、累乘法求数列通项专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列通项核心方法，通过累加法与累乘法专项训练，以多地区模拟题构建从基础到综合的题型体系，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |累加法求通项|4例+4变式，含云南、天津等地模拟题|选择/填空/解答题，涉及前n项和及证明|基于aₙ-aₙ₋₁=f(n)递推关系，通过累加消项推导通项，体现从递推到通项的逻辑链条| |累乘法求通项|4例+4变式，含四川、河南等地模拟题|选择/填空/解答题，结合等差数列及求和|基于aₙ/aₙ₋₁=f(n)递推关系，通过累乘约分推导通项，与累加法形成互补的数列通项求解体系|

数列：累加法求数列通项、累乘法求数列通项专项训练 数列：累加法求数列通项、累乘法求数列通项专项训练 考点目录 累加法求数列通项 累乘法求数列通项 考点一 累加法求数列通项 例1．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 例2．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 例3．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列满足，，设数列的前项和为，则__ ． 例4．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知正项数列的前n项和为，，，，且为等比数列． (1)求； (2)求的通项公式； (3)求数列的前n项和． 变式1．（25-26高二下·安徽滁州·期中）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）若在数列中，，则（    ） A．9 B．1 C．10 D． 变式3．（24-25高二上·上海·期末）若数列满足，则其前2025项的和为________． 变式4．（2026·河南郑州·模拟预测）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 考点二 累乘法求数列通项 例1．（2025·四川德阳·二模）数列中，满足，，则______． 例2．（24-25高三上·河南驻马店·阶段检测）若数列满足，，则__________． 例3．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：. 例4．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知为数列的前项和，若，且数列为等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的首项为1，且，求数列的前n项和. 变式1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）数列中，，当时，，则数列的通项公式为______. 变式2．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）在数列中，首项，时，，则数列的前项和为__________. 变式3．（25-26高三上·广东惠州·月考）设数列的前项和为，且，． (1)求； (2)求的通项． 变式4．（25-26高三上·福建福州·期中）已知数列的前n项和为，满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：当时. 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列：累加法求数列通项、累乘法求数列通项专项训练 数列：累加法求数列通项、累乘法求数列通项专项训练 考点目录 累加法求数列通项 累乘法求数列通项 考点一 累加法求数列通项 例1．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】依题意，，， 令，得， 又可得， 所以 ， 当时也符合上式，所以，则， 所以. 例2．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 【答案】A 【分析】借助累加法及等差数列求和公式可求出数列的通项公式，即可得. 【详解】由，则，，， 则， 即， 又，故， 故. 例3．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列满足，，设数列的前项和为，则__ ． 【答案】 【详解】，， 当时，，，，，. ，即； ； 当时，，符合题意； 数列的通项公式. . ； . 例4．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知正项数列的前n项和为，，，，且为等比数列． (1)求； (2)求的通项公式； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) () (3) () 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解. （2）利用累加法求解. （3）利用错位相减法求解. 【详解】（1）正项数列中，因为，，所以， 因为数列为等比数列，设其公比为， 所以， 当时，， 当时，， 将上述两式左右两边分别相加可得， 因为，，所以， 解得，即，即，解得或， 当时，， 因为，所以，解得， 因为数列是正项数列，即任意，都有， 则不符合题意，则， 因为，，所以， 所以. （2）由（1）可知，等比数列的通项为， 当时,，，，， 将以上个等式左右分别累加，得到 ， 解得， 因为，所以， 当时，，与题干已知条件一致，公式对同样成立， 因此数列通项公式为. （3）设，因为，所以， ①， ②， ①减去②得到， ， ， ， ， . 变式1．（25-26高二下·安徽滁州·期中）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用累加法结合裂项相消法求解. 【详解】因为，，，即， 所以时， ， ， ， ， ， 又， 上述个等式相加得： . 也适合上式， 所以． 变式2．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）若在数列中，，则（    ） A．9 B．1 C．10 D． 【答案】B 【分析】用累加法结合对数运算即可求解. 【详解】由题意得， ， …， ， 以上各式相加得． 变式3．（24-25高二上·上海·期末）若数列满足，则其前2025项的和为________． 【答案】 【分析】取倒数，再结合等差数列求和公式结合累加法得出通项，最后裂项相消求和． 【详解】数列满足， 可得，， ， 所以， ， 所以， 所以， 可得数列的前2025项和:． 变式4．（2026·河南郑州·模拟预测）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的定义，求出，再利用累加法求通项即可； （2）对进行放缩，再利用裂项相消法求和，即可完成证明． 【详解】（1）由数列是公差为2的等差数列，且，， 则， 所以 ， 又满足上式，所以． （2）由（1）得，， 当时，， 当时，． 综上，． 考点二 累乘法求数列通项 例1．（2025·四川德阳·二模）数列中，满足，，则______． 【答案】 【分析】先利用“累乘法”求数列的通项公式，再利用“裂项求和法”求和. 【详解】因为，所以. 所以，，，…，（）. 各式相乘，可得：， 显然满足上式，则， 所以数列的前项和为， 所以. 故答案为：. 例2．（24-25高三上·河南驻马店·阶段检测）若数列满足，，则__________． 【答案】 【分析】根据与的关系，结合累乘法求解即可. 【详解】因为①， 所以②， ②①得，， 所以有， 所以． 故答案为：. 例3．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明：因为， 所以， 因为，所以. 【分析】（1）通过数列的递推公式，利用累乘法即可求解通项公式； （2）化简数列通项，通过裂项相消法即可求解出数列前项和的计算公式，进而即可证明； 【详解】（1）由题意可得. 当时，， 当时，满足， 所以. （2）略 例4．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）已知为数列的前项和，若，且数列为等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的首项为1，且，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求等差数列的通项公式，从而得到，再由求. （2）先利用累乘法求数列的通项公式，再利用裂项求和法求. 【详解】（1）由题意，， 因为数列为等差数列，设公差为，则， 所以， 所以. 当时，； 当时，. 当时，上式亦成立. 所以. （2）因为时，， 所以，，，，…，， 各式相乘得：， 又，所以，. 当时，上式亦成立. 所以， 所以. 变式1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）数列中，，当时，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】根据累乘法求通项公式即可. 【详解】因为，， 所以，，，…，， 累乘得，， 所以，， 由于，所以，， 显然当时，满足， 所以， 故答案为：. 变式2．（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）在数列中，首项，时，，则数列的前项和为__________. 【答案】/ 【分析】利用累乘法可求出数列的通项公式，再利用裂项求和法可求得数列的前项和. 【详解】在数列中，首项，时，， 即当时，， 所以，，，，， 上述等式全部相乘得，则， 也满足，故对任意的，， 所以，， 所以数列的前和为. 故答案为：. 变式3．（25-26高三上·广东惠州·月考）设数列的前项和为，且，． (1)求； (2)求的通项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用前项和与通项公式的关系得到，再结合赋值法求解即可. （2）结合已知结论得到，再利用累乘法求出，最后得到即可. 【详解】（1）由题意得，，则， 显然，则，当时，有， 故，化简得， 即，令，得到. （2）由已知得当时，， 则，且， 当时，， 故（） 当时，也符合上式，故数列的通项为. 变式4．（25-26高三上·福建福州·期中）已知数列的前n项和为，满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：当时. 【答案】(1) (2) ，， 首项满足，所以， 所以， 设数列， 数列前n项和为， 分析可得，数列从第2项开始放缩成， 设数列 数列前n项和为， 所以. 【分析】（1）利用公式时，，得到关于数列的递推关系式，法一，转化为，利用累乘法求通项公式，法二，转化为，判断数列是常数列，即可求通项公式； （2）首先根据（1）的结果求数列的通项公式，并放缩为，利用裂项相消法求和，即可证明. 【详解】（1）根据题意，当时， 法一： ∴ 当时， ，也满足. 法二： 可得， 所以数列是常数列， . （2）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $