暑假预习：二次根式的混合运算、与实数运算相关的规律问题专项训练-2026年七升八暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦二次根式混合运算与实数规律问题，通过区域期末真题构建“运算技能-规律探究”双模块训练，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式的混合运算|4例+4变式（天津、重庆等多地区期末题）|含加减乘除及化简的综合运算，覆盖不同地区期末典型考法|以二次根式性质为基础，从单一运算到混合运算的递进| |与实数运算相关的规律问题|4例+3变式（浙江、安徽等多地区期中/二模题）|基于等式观察的规律归纳与应用，涉及“穿墙”现象、面积规律等情境|从具体等式抽象一般规律，体现“特殊-一般-应用”的推理链条|

暑假预习：二次根式的混合运算、与实数运算相关的规律问题专项训练 暑假预习：二次根式的混合运算、与实数运算相关的规律问题专项训练 考点目录 二次根式的混合运算 与实数运算相关的规律问题 考点一 二次根式的混合运算 例1．（25-26八年级下·天津河北·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先用完全平方公式计算，再计算加减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例2．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例3．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再计算乘法、去绝对值，最后合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式乘法，利用平方差公式计算乘积，然后计算减法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 例4．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 变式1．（25-26八年级下·重庆开州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出结果； （2）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ． 变式3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式4．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点二 与实数运算相关的规律问题 例1．（2026·浙江嘉兴·二模）观察下列等式： ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： (1)求的值； (2)比较与2026的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) ；见解析 【分析】（1）根据规律计算的值即可； （2）根据题意，找到前2025个等式求和，再与2026比较即可． 【详解】（1）解：； （2）解：，，， ， ， ， ∵， ． 例2．（25-26八年级下·安徽六安·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______________；第个等式：________________；（用含的等式表示） (2)请用（1）中你发现的规律计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）观察3个等式得出第5个等式和第个等式； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：第5个等式：， 第个等式：； （2）解： ． 例3．（25-26八年级下·河北保定·期中）根据学习“数与式”积累的经验，探究下面二次根式的运算规律． ①； ②； ③______； ④______； … (1)【探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【应用】计算：； (3)小明写一个等式（a，b均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】(1)， (2) (3)22 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可． （2）分析所给的等式可知第n个等式为：，利用规律进行求解即可； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：由题意可得第n个等式为：， ∴． （3）解：∵（，均为正整数）符合上述规律， ∴，， 解得：，， ∴． 例4．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0．由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)若，其中，为有理数，则________，________； (2)如果，其中，为有理数，求的立方根． 【答案】(1)；2 (2) 【分析】（1）根据题意可得：，然后进行计算即可解答； （2）将已知等式进行整理可得，再根据题意可得，，进而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：． （2）解：， ， ． ，为有理数， ，， 解得，， ， ∴的立方根为． 变式1．（25-26八年级下·河南新乡·期中）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数．具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 (1)________； 【推理】 (2)请用含n（n为“穿墙”数，）的等式表示上述规律：_________； 【应用】 (3)按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】(1) (2) (3)89 【分析】（1）根据二次根式的性质化简二次根式即可得到答案； （2）根据题意得出规律即可； （3）根据规律计算求出a，b的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：； 理由：； （2）解：∵， ， ， …… 猜想：； 证明：； （3）解：∵， ∴根据（2）的规律可得 解得 ∴． 变式2．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出第个等式： ；（用含的等式表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式： 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题： (3) ； (4) （用含的式子表示）； (5)计算：； 【拓展应用】： (6)计算：． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据前面几个等式的特点写出第6个等式，可得答案； （2）由（1）归纳可得答案； （3）根据题中所给的式子归纳即可得到答案； （4）根据题中所给的式子归纳即可得到答案； （5）将变形为，结合所给规律代入进行计算即可得到答案； （6）根据材料阅读一和材料阅读二所给的规律，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； （2）解：由（1）归纳可得： 第个等式：. （3）解：第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， ； （4）解：第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， …， 观察可知，等式右边最后一个乘数为， ∴； （5）解： ； （6）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； 第6个等式：； 第99个等式：； 个等式的和为：； ∴ ； . 变式3．（25-26八年级下·北京·期中）对于实数x，表示不超过的最大整数，如 ．细心观察图形，解答下面问题： （是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ．．．依此类推，是的面积． (1)___________； ___________． (2)若 ，则的最大值为___________． 【答案】(1)；3 (2)98 【分析】（1）根据题意可求出，则，再估算出，可得 ； （2）根据题意可得当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，则可求出，据此可得到答案． 【详解】（1）解：（是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ……， 以此类推可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵，， ∴，，，，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵ ，且， ∴，且n为正整数 ∴的最大值为98． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：二次根式的混合运算、与实数运算相关的规律问题专项训练 暑假预习：二次根式的混合运算、与实数运算相关的规律问题专项训练 考点目录 二次根式的混合运算 与实数运算相关的规律问题 考点一 二次根式的混合运算 例1．（25-26八年级下·天津河北·期末）计算： (1)； (2)． 例2．（25-26八年级下·重庆潼南·期末）计算： (1)； (2)． 例3．（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）计算： (1) (2) 例4．（25-26八年级下·陕西榆林·期末）计算：． 变式1．（25-26八年级下·重庆开州·期末）计算： (1)； (2)． 变式2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）计算： (1)； (2)． 变式3．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）计算： (1)； (2)． 变式4．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期末）计算 (1)； (2)． 考点二 与实数运算相关的规律问题 例1．（2026·浙江嘉兴·二模）观察下列等式： ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： (1)求的值； (2)比较与2026的大小，并说明理由． 例2．（25-26八年级下·安徽六安·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______________；第个等式：________________；（用含的等式表示） (2)请用（1）中你发现的规律计算：． 例3．（25-26八年级下·河北保定·期中）根据学习“数与式”积累的经验，探究下面二次根式的运算规律． ①； ②； ③______； ④______； … (1)【探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【应用】计算：； (3)小明写一个等式（a，b均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 例4．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）同学们，本学期我们认识了无理数，数系从有理数扩充到实数，有理数的所有运算律对实数都适用．任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而0与无理数的积为0．由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)若，其中，为有理数，则________，________； (2)如果，其中，为有理数，求的立方根． 变式1．（25-26八年级下·河南新乡·期中）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数．具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 (1)________； 【推理】 (2)请用含n（n为“穿墙”数，）的等式表示上述规律：_________； 【应用】 (3)按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 变式2．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）请阅读以下材料完成以下题目． 【阅读材料一】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出第个等式： ；（用含的等式表示） 【阅读材料二】观察下列几个等式： 第①式：， 第②式：， 第③式：， 第④式：， 请你思考后解答下列问题： (3) ； (4) （用含的式子表示）； (5)计算：； 【拓展应用】： (6)计算：． 变式3．（25-26八年级下·北京·期中）对于实数x，表示不超过的最大整数，如 ．细心观察图形，解答下面问题： （是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ．．．依此类推，是的面积． (1)___________； ___________． (2)若 ，则的最大值为___________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $