暑假预习：有理数的混合运算、新定义运算类问题专项训练-2026年小升初暑假数学（人教版）

**基本信息** 聚焦有理数混合运算与新定义运算，通过分层例题与变式训练构建基础运算到创新应用的递进体系，培养运算能力与抽象意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数的混合运算|4例+4变式|含不同运算顺序的脱式计算，覆盖括号、乘方等易错点|从基础运算法则到复杂混合运算，强化符号意识与步骤规范性| |新定义运算类问题|3例+3变式|包含分段定义、等式定义、倒数差等创新题型|以有理数运算为基础，通过抽象新规则培养数学抽象与模型意识|

暑假预习：有理数的混合运算、新定义运算类问题专项训练 暑假预习：有理数的混合运算、新定义运算类问题专项训练 考点目录 有理数的混合运算 新定义运算类问题 考点一 有理数的混合运算 例1．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）脱式计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 例2．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)． (2). (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)2994 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握相关运算是解答的关键． （1）先将除法转化为乘法，再利用乘法运算法则求解即可； （2）先计算括号内的乘法，再利用除法运算法则求解即可； （3）先将小数化为分数，除法转化为乘法，再利用乘法运算法则求解即可； （4）先将原算式化为，再利用乘法分配律去掉括号，再利用乘法和减法运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 例3．（25-26七年级上·山东聊城·期末）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）直接根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）直接根据有理数的加减运算法则计算即可； （3）先计算乘除，再计算减法即可； （4）先计算括号内的加减运算，再计算除法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 例4．（25-26七年级上·四川广元·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 9 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）把小数化为分数，按照运算法则计算即可； （2）先计算各部分，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式1．（25-26七年级上·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则，是解题的关键： （1）利用混合运算法则和运算顺序，进行求解即可； （2）除法变乘法，利用乘法分配律进行求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 变式2．（24-25七年级上·云南红河·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，有理数的四则混合运算，乘法分配律，熟练掌握含乘方的有理数混合运算及乘法分配律是解题的关键． （1）先将除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算即可； （2）先算乘方及绝对值化简，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式3．（25-26七年级上·甘肃张掖·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，包括乘除、加减、绝对值和乘方运算，解题时需注意运算顺序：先乘方、乘除后加减，有括号和绝对值时先计算内部； （1）先计算除法与乘法，再计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算绝对值，最后计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式4．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）计算及解方程： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程． （1）先计算括号里的减法和绝对值，再计算乘除即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可； （3）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可； （4）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： （4）解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 考点二 新定义运算类问题 例1．（25-26七年级上·陕西西安·期中）新定义：对有理数a，b，定义的计算方式为：当时，；当时，． 例如：；． (1)填空： ______； (2)若，则______； (3)已知点A在数轴上表示的数为n，且点A到原点的距离为3，设，求Ｍ的值． 【答案】(1) (2)10 (3) 【分析】本题为新定义问题，考查了有理数的混合运算，理解新定义是解题关键． （1）根据新定义代入计算即可求解； （2）先根据新定义运算，然后合并同类项解答即可； （3）先根据题意计算出，再分，两种情况利用新定义的运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解：因为点到原点的距离为， 所以， 当时， ， ， ， ， ， 所以； 当时， ， ， ， ， ， 所以； 综上， 的值为． 例2．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数为“相伴有理数对”，记为．如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”． (1)数对、中，是“相伴有理数对”的是_______； (2)若是“相伴有理数对”，则的值是________； (3)若是“相伴有理数对”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值和新定义，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，正确理解新定义的含义． （1）根据“相伴有理数对“的定义对这两个数对进行计算，然后判断即可； （2）根据“相伴有理数对“的定义列出方程，解方程即可； （3）先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后把整体代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】（1）解： ，， ， ，， 成立的一对有理数，为“相伴有理数对， 是“相伴有理数对”的有， 故答案为：； （2）解：是“相伴有理数对”， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：是“相伴有理数对”， ， 则 ． 例3．（25-26七年级上·辽宁葫芦岛·期中）【初步感知】 已知有理数（不为0和1），我们把1与的倒数的差，即称为的倒数差，如：5的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】 若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，，以此类推． （1）分别求出，，的值； （2）的值为__________；（直接写出结果） 【拓展提升】 设a，b，c都是不为0和1的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组，第2次变换后得数组，，第次变换后得到数组． （3）若数组确定为，求的值． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】本题主要考查定义新运算，有理数的混合运算，理解差倒数的计算方法，掌握有理数的混合运算，代入求值是解题的关键． （1）根据差倒数的计算方法即可求解； （2）根据差倒数的计算方法可得，，，代入计算即可求解； （3）根据题意，分别算出的值，找出规律，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，，； （2）根据题意，，，， ∴从开始，三个一组，为一个循环， ∵， ∴； （3）∵， ∴，，，， ∴三个一组，为一个循环， ∴， ∵， ∴，，，， ∴三个一组，为一个循环， ∴， ∵， ∴，，，， ∴三个一组，为一个循环， ∴， ∴ ． 变式1．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）定义新运算“”：，例如：． (1)计算：； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算的应用，解题的关键是根据新运算规则将式子转化为常规运算． （1）代入新运算公式，计算乘法与加减法； （2）根据新运算列方程，再解一元一次方程． 【详解】（1）解： （2）解：由题意得：， 即， ， ． 答：的值为． 变式2．（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．规定：，如：，根据上述规定解决下列问题： (1)有理数对______． (2)若有理数对的值与x的取值无关，求k的值． 【答案】(1)19 (2) 【分析】本题考查了新定义，涉及整式的加减运算，有理数的混合运算，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据新定义得到原式，即可求解； （2）根据新定义得到，然后根据整式的加减运算法则计算，再使项前的系数为0求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，原式， 故答案为：； （2）解：由题意得， 由结果与x取值无关，得到 即． 变式3．（25-26七年级上·广东惠州·阶段检测）对于有理数、，定义了一种新运算，如：，． (1)计算： ， ； (2)若，． ①比较 A与B的大小； ②若，求的值． 【答案】(1)5；； (2)①；②16 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的加减运算. （1）根据新定义运算法则计算即可； （2）根据所给代数式计算，即可求解；②由①可知，，根据新定义运算法则，得出，再结合，得出，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ； （2）解：①∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由①可知，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：有理数的混合运算、新定义运算类问题专项训练 暑假预习：有理数的混合运算、新定义运算类问题专项训练 考点目录 有理数的混合运算 新定义运算类问题 例1.(25-26七年级上·四川成都开学考试)脱式计算 考点51_有理数的混合运算 (1)109(26力 25-275×号)-12 (2) 45-}375j 例2.(25-26七年级上广西崇左阶段检测)计算： a人8-别 812列x(x(-45 ④91×30 5 例3.(25-26七年级上山东聊城期末)计算： 412-（18)+(←7)-15 1 暑假预习：有理数的混合运算、新定义运算类问题专项训练 e引（引( o号9}(o=-(司 号++ 2 暑假预习：有理数的混合运算、新定义运算类问题专项训练 例4.(25-26七年级上四川广元阶段检测)计算： 人}1258 el+2+x4-(2-月 变式1.(25-26七年级上江苏南京·阶段检测)计算： )-1w-写×[-8+(-3]月 a目6)， 变式2.(24-25七年级上云南红河期末)计算： a后+8-(d. 2-1)x2-(-2÷4+1-3 暑假预习：有理数的混合运算、新定义运算类问题专项训练 变式3.(25-26七年级上甘肃张掖期末)计算： m95x02) 2+7-(+ 变式4.(25-26七年级上·黑龙江哈尔滨阶段检测)计算及解方程： a后-6叶 a)-1+(-10)+2×2-[2-(-3]. 8)3x-52x-7)=7 2x+1_5x-1=1 4)3-6 4 暑假预习：有理数的混合运算、新定义运算类问题专项训练 考点二 新定义运算类问题 G(a,b) 例1.(25-26七年级上陕西西安期中)新定义：对有理数a,b,定义 的计算方式为：当a≤b时， Ga,b)=a-b,当>b时，Ga,b)=a+b, G(1,3)=1-3=-2G(2,-1)=2+(-1)=1 例如： 00填空：G(-2,2) ②若m≤5，则G6,m)-G(m,5)= (3)已知点A在数轴上表示的数为，且点A到原点的距离为3，设 M=G(1,n)+G(2,2n)+G(3,3n)+…+G(199,199n ,求M的值. 例2.(25-26七年级上江苏苏州期中)给出定义如下：我们称使等式a-b=ab+1的成立的一对有理数a,b为 相作有理数对”，记为a).如3一3×分4- 1 数对”. 1)数对(-3，-2 、2)中，是“相件有理数对”的是 ②若任-14)是“相件有理数对”，则产的值是 暑假预习：有理数的混合运算、新定义运算类问题专项训练 (3)若(a,bD)是“相伴有理数对”，求3ab-a+2a+h-5ab)+l的值. 6 暑假预习：有理数的混合运算、新定义运算类问题专项训练 例3.(25-26七年级上辽宁葫芦岛期中)【初步感知】 1=4 己知有理数a（a不为0和1)，我们把1与a的倒数的差，即1-。称为a的倒数差，如：5的倒数差是1 55, 1 =2 -1的倒数差是 (-1) 【理解运用】 若“=3,4是“的倒数差，4是”的倒数差，0是”的倒数差，…，以此类推。 (1)分别求出，，4的值： 98 (2)”的值为 (直接写出结果) 【拓展提升】 a,b,c) 设a,b,c都是不为0和1的有理数，将一个数组 中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次 变换后得到数组 a1,b,G) 第2次变换后得数组4,6,9），，第”次变换后得到数组 ba,cn) (3)若数组(a,b,c)确定为 求4+6+G+a+b,+G++a,+b,+c的值. 变式1.(25-26七年级上河南周口阶段检测)定义新运算“*”：a*b=b+a-b,例如：2*3=2×3+2-3=5 (1)计算：（-)*2； (2)若x*(-3)=1,求x的值. > 暑假预习：有理数的混合运算、新定义运算类问题专项训练 a,b) 变式2.(25-26七年级上：河北唐山阶段检测)对于任意四个有理数a,b,c,d,可以组成两个有理数对 与 (c,d)规定： (a,b)★(，d)=ad-bc,(1,2)★(3,4)=1x4-2×3=-2 ，如： ,根据上述规定解决下列问题： (①0有理数对5，-3)★(3,2) (2)若有理数对 2,x-)★（低，2x+的值与x的取值无关，求k的值. 2a-b(azb) a★b= 变式3。(25-26七年级上广东惠州阶段检测)对于有理数。、b”定义了一种新运 a- ba<b,如 5*3=2x5-3=7,1*8=1-号x3=-1 (四计算： 2★(-1)=（-4)★(-3)= (2)若A=-x3+4x2-x+1,B=-x3+6x2-x+2. ①比较A与B的大小： ②若A★B=-3,求2x3+2x的值.