暑假专题：综合训练（有理数和有理数的运算）-2025-2026学年人教版七年级数学上册

**基本信息** 以有理数概念与运算为核心，通过分层题型构建“概念辨析-运算应用-综合拓展”逻辑体系，提炼数轴直观、符号规则等解题方法，培养抽象能力与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-3、11题|绝对值性质分类、相反数意义|从数的定义（正数/负数）到性质（绝对值/相反数）的生成链| |运算应用|单选4-6、12-13题|数轴点距计算、科学记数法规则|运算技巧（精确位数）与实际情境（温度变化、空瓶换水）结合| |综合拓展|单选7-10、14、20题|新定义运算转化、规律探究归纳|概念（倒数/数轴）→运算（混合运算）→模型（符号推理）的应用链|

暑假专题：综合训练（有理数和有理数的运算）-2025-2026学年七年级数学上册人教版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．一种面粉的质量标识为“”，则下面面粉中合格的是（　　） A． B． C． D． 2．对1270.394取近似值，正确的是（　　） A．1270.40（精确到0.01） B．1270.39（精确到十分位） C．（精确到百位） D．（精确到十位） 3．2025的绝对值数是（   ） A． B．2025 C． D．2022 4．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．下列四个结论： ①；②，③；④；⑤．其中正确的是（　　） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 5．如图，在数轴上点A表示数，点B表示数1，O是原点，点P表示的数是t．点P，Q所表示的数互为倒数，则下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．年月，中国三峡集团发布消息显示，年，三峡工程全年运行情况总体良好，三峡枢纽通过货运量万吨，同比增加，再创历史新高．请将万精确到千万位，并用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 7．用表示两数中的较小者，用表示两数中的较大者，例如．若是互不相等的自然数，，则（   ） A． B． C． D．和都有可能 8．有理数，，，，，中，其中等于的个数是（    ）． A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 9．有理数在数轴上的位置如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．下列各式，结果和相等的（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．绝对值等于它本身的有理数是_________，绝对值等于它的相反数的数是_________． 12．在范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长；反之，当温度每下降时，金属丝约缩短．把的这种金属丝先加热到，再使它冷却降温到，最后的长度比原长度约伸长________mm． 13．已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水1瓶，现有12个矿泉水空瓶，若不另外付钱，则最多可以换矿泉水__________瓶． 14．如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点A向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去，则在数轴上表示的数为______，如果点与原点的距离大于20，那么n的最小值是_____． 三、解答题 15．化简下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．如果互为倒数，互为相反数，是最大的负整数．求代数式的值． 17．请在数轴上表示3.5，，0，并将它们按从小到大的顺序用“”连接起来． 18．某公司去年月—月平均每月盈利万元，月—月平均每月盈利万元，7月—10月平均每月盈利万元，月—月平均每月盈利万元．这家公司去年平均每月盈利多少万元？ 19．有8筐白菜，以每筐为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称量记录如图所示（单位：），根据图中信息解答下列问题： (1)这8筐白菜中，最接近的那筐白菜的重量为 ； (2)以每筐为标准，这8筐白菜的总质量与标准质量相比超过多少千克或不足多少千克？ (3)若白菜每千克售价元，则售完这8筐白菜可卖多少元？ 20．对于有理数，，定义新运算“”，规则如下：，如． (1)求的值． (2)请你判断交换律在“”运算中是否成立？并给出证明． 21．已知有理数在数轴上的位置如图所示： (1)判断正负，用“”“”或“”填空： 0 ，b 0 (2)判断正负，用“”“”或“”填空：    0，   0，   0 (3)化简： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假专题：综合训练（有理数和有理数的运算）-2025-2026学年七年级数学上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B B A A D A B B 1．D 【分析】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正负数在题目中的实际意义．据一种面粉的质量标识为“千克”，可以求出合格面粉的质量的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵一种面粉的质量标识为“千克”， ∴该面粉质量合格的范围是：千克千克， 即该面粉质量合格的范围是：24.7千克千克， ∴面粉中合格的是． 故选D． 2．D 【分析】本题考查了科学记数法与有效数字，近似数，掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入即可． 【详解】解：A、1270.39（精确到0.01），原选项错误，不符合题意； B、1270.4（精确到十分位），原选项错误，不符合题意； C、（精确到百位），原选项错误，不符合题意； D、（精确到十位），原选项正确，符合题意； 故选：D． 3．B 【分析】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．根据一个正数的绝对值等于它的本身求解即可． 【详解】解：2025的绝对值数是． 故选B． 4．B 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和求法，有理数的加减以及数轴的特征和应用，根据图示，可得，，据此逐项判断即可，解答此题的关键是判断出a、b的取值范围． 【详解】解：根据图示，可得，， ①，故①正确； ②，故②正确； ③，故③错误； ④，故④正确； ⑤，故⑤正确． ∴正确的是①②④⑤． 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了倒数的概念，数轴点之间的距离，根据各个选项给出的的取值范围，得到Q所表示的数的取值范围，即可解答，熟知数轴上的点的距离计算是解题的关键． 【详解】解：A、当时， Q所表示的数为，，故A正确，符合题意； B、当时，Q所表示的数为，此时，故B不正确，不符合题意； C、当时，Q所表示的数为，此时，故C不正确，不符合题意； D、若，Q所表示的数为，此时，故D不正确，不符合题意； 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了科学记数法和精确度，先把万转化为，再根据精确度和科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法和精确度确定和的值是解题的关键． 【详解】解：万， 故选：． 7．D 【分析】本题考查有理数比较大小的法则，根据题意，采取取特殊值法，取依次为4，3，2，1，再由求解可得；同理，取依次为4，2，3，1，计算可得，从而确定答案，读懂题意，利用有理数比较大小的法则，按要求得到的值是解决问题的关键． 【详解】解：取依次为4，3，2，1， ， ， 则， ； 取依次为4，2，3，1， ， ， 则， ； 综上所述，和都有可能， 故选：D． 8．A 【分析】本题主要考查了乘方运算，求一个数的绝对值，求一个数的相反数等，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 利用乘方运算，求一个数的绝对值和求一个数的相反数法则逐项进行求解即可． 【详解】解：，，，，，， ∴等于的个数是2， 故选：A． 9．B 【分析】本题考查了数轴的性质，绝对值的化简，整式的加减，正确化简绝对值是解答本题的关键； 先判断出，，然后对每一个式子进行判断即可； 【详解】根据数轴上的点的位置判断出，， ①，正确； ②，此时应该是，故错误； ③，正确； ④，此时，故错误； ⑤，此时，故正确． 正确的有三个， 故选：B． 10．B 【分析】根据有理数的运算法则解法即可． 本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】A. ，错误，不符合题意； B. ，正确，符合题意；     C. ，错误，不符合题意；     D. ，错误，不符合题意； 故选B． 11． 非负数 非正数 【分析】本题考查了绝对值的性质和相反数的概念，解题的关键是理解绝对值与数本身、相反数之间的对应关系．​ 根据绝对值的定义，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；由此可知，绝对值等于它本身的数应满足非负条件，绝对值等于它的相反数的数应满足非正条件．​ 【详解】解：因为正数的绝对值是它本身，0 的绝对值是 0（即本身），所以绝对值等于它本身的有理数是非负数； 因为负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0（即 0 的相反数也是 0），所以绝对值等于它的相反数的数是非正数．​ 故答案为：非负数；非正数． 12． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，结合已知条件列出算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：， 所以最后的长度比原长度约伸长． 故答案为：． 13．3 【分析】根据题意，列式求解即可得到答案． 【详解】解：4个矿泉水空瓶可以换矿泉水1瓶， 由于题中未要求换取的矿泉水用空， ，即12个矿泉水空瓶若不另外付钱，则最多可以换矿泉水3瓶， 故答案为：3． 【点睛】本题考查用数学解决实际生活中的问题，读懂题意是解决问题的关键． 14． 7 14 【分析】此题考查规律型：数字变化类，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解题关键． 序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到表示的数为，表示的数为，则可判断点与原点的距离大于20时，n的最小值是． 【详解】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点，则表示的数，； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则表示的数为； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则表示的数为； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则表示的数为； 第5次从点向左移动15个单位长度至点，则表示的数为； …； 则表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 所以点An与原点的距离大于20，那么n的最小值是． 故答案为：7；14． 15．(1) (2) (3) (4)2 【分析】（1）根据绝对值的意义解答； （2）根据相反数的意义解答； （3）根据相反数的意义解答； （4）根据绝对值的意义解答． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查了多重符号的化简，涉及相反数和绝对值，熟练掌握有理数的基本知识是关键． 16．． 【分析】本题考查了倒数和相反数，有理数的加减，有理数的乘方等知识， 根据倒数、相反数和负整数的定义得到，，，然后代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵互为倒数，互为相反数，是最大的负整数， ∴，，， ∴ ． 17．见解析 【分析】本题主要考查了在数轴上表示数，利用数轴比较有理数的大小，正确掌握在数轴上表示数的方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示： 由图可知：． 18．这家公司去年平均每月盈利万元 【分析】首先表示出个时间段的情况，然后求出全年的盈利总额，再除以即可求得平均每月的盈利额. 【详解】解： （万元）． 答：这家公司去年平均每月盈利万元． 【点睛】本题考查了有理数混合运算的实际运用，正确理解题意并列式计算是解题的关键. 19．(1) (2)不足kg (3)可卖元 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）绝对值越小，离标准越接近，计算题干中数据的绝对值，进行比较即可解题． （2）把这8筐白菜的重量记录相加，若结果为正，则超过标准质量，超过的重量为计算的结果，若结果为负，则不足，不足的重量为计算结果的绝对值； （3）用总重量乘以每千克的售价即可得到答案． 【详解】（1）解：把这8筐白菜的重量记录取绝对值，的绝对值最小， ∴重量记录为的这筐白菜最接近标准， ∴最接近25千克的那筐白菜的重量为（千克）， 故答案为：． （2）解：（千克）， 答：以每筐25千克为标准，这8筐白菜总计不足千克． （3）解：（元）， 答：出售这8筐白菜可卖元． 20．(1) (2) 解：交换律在“”运算中成立 证明如下： 即交换律在“”运算中成立． 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据新定义进行计算即可求解； （2）根据交换律结合新定义进行计算即可求解． 【详解】（1） （2）略 21．(1)， (2)，， (3)a 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的符号，有理数的加减运算，化简绝对值等知识； （1）由数轴知，，据此即可判断a与b的符号； （2）由结合有理数的加减法则即可判断，，的符号； （3）确定的符号，结合（2）中，的符号，即可脱去绝对值，从而化简． 【详解】（1）解：由数轴知，， ∴， 故答案为：，； （2）解：由数轴知，，且， 则，，， 故答案为：，，； （3）解：因为，且， 所以， 由（2）知，，， 则 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $