专题1 集合的意义 同步练--2026年暑假预习新高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 聚焦集合核心概念，通过基础巩固-能力提升-综合拓展三层梯度设计，实现从概念理解到逻辑推理的递进，培养数学抽象与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|元素特性、集合关系等单一知识点|以判断能否构成集合（例1）、元素与集合关系（例8）为主，强化概念辨析，培养数学眼光| |能力提升|元素特性应用、集合相等求参数|通过集合元素互异性（例4）、参数求解（例6），发展逻辑推理，体现数学思维| |综合拓展|新定义与多知识点综合|设计集合运算新定义（例16）、元素个数探究（例15），提升创新意识，落实数学语言表达|

2026-2027年上海高一数学必修一暑假班预习提升讲义 专题01 集合的意义 知识点一、元素与集合的概念 1．集合：一般地，把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集；常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 2．元素：集合所含的各个对象叫做该集合的元素（element），简称元；常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 3．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性。 4．集合相等：如果两个集合A与B的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B． 知识点二、元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三、常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四、集合的分类 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 空集 不含有任何元素的集合，记作； 知识点一、集合的意义及元素的特征 题型一、判断元素能否构成集合 【例1】下面各组对象中不能形成集合的是（ ） A．所有的直角三角形 B．一次函数 C．高一年级中家离学校很远的学生 D．大于2的所有实数 【例2】给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年上海中考选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【跟踪训练】 1. 给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（       ） A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 2．下列说法中正确的是（       ） A．与定点A，B等距离的点不能构成集合 B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等边三角形 D．高中学生中的游泳能手能构成集合 3．下列所给对象不能构成集合的是（       ） A．一个平面内的所有点 B．所有小于零的实数 C．某校高一（1）班的高个子学生 D．某一天到商场买过货物的顾客 题型二、求集合中的元素 【例3】集合A中的元素x满足，x∈N，则集合A中的元素为________ 【跟踪训练】 1.集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________ 2. 已知非零实数，则代数式表示的所有的值的集合是（ ） A． B． C． D． 题型三、集合中元素的特性及应用 【例4】若集合，，中的元素是的三边长，则一定不是　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【例5】集合{x–1，x2–1，2}中的x不能取得值是 A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪训练】 1. 已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 2. 若为集合的四个元素，则以为边长的四边形可能为（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形 3.已知，则 ． 4.若，则实数 ． 题型四、由集合相等关系求参数 【例6】若集合，且，则实数的值为 （    ） A．或 B． C． D．或 【例7】已知集合，，若，则 ． 【跟踪训练】 1.已知，则 ． 2.已知，，若，则 . 3．已知集合与集合{a2，a+b，0}是两个相等的集合，求a2 020+b2 020的值. 知识点二、元素与集合的关系 题型五、元素与集合关系的判断 【例8】给出下列关系：①；②；③；④；⑤， 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例9】已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 用“”或“”填空 (1)－3______N； (2)3．14______Q； (3)______Z； (4)－______R； (5)1______N*； (6)0________N． 2.用或填空：0________ 3.给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 题型六、根据元素与集合的关系求参数 【例10】若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【例11】设集合A＝{2，3，a2﹣3a，a7}，B＝{|a﹣2|，0}．已知4∈A且4∉B，则实数a的取值集合为（　　） A．{﹣1，﹣2} B．{﹣1，2} C．{﹣2，4} D．{4} 【跟踪训练】 1.已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 2.设集合，若，则（       ） A．或或2 B．或 C．或2 D．或2 3.已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ） A． B． C． D． 知识点三、集合的分类 题型七、集合的分类 【例12】下列集合中是有限集的是（    ） ①使得有意义的所有实数组成的集合； ②使得有意义的所有自然数组成的集合； ③方程的所有实数解组成的集合. ④15的质因数的全体构成的集合 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【跟踪训练】 1．设集合A＝{面积为1的矩形}，B＝{面积为1的正三角形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 2. 判断下列各组对象能否组成集合．若能组成集合，指出是有限集还是无限集；若不能组成集合，请说明理由． (1)上海市现有各区的名称； (2)末位是3的自然数； (3)比较大的苹果． 题型八、空集的概念与应用 【例13】已知集合{x|x2－2x＋a＝0}＝∅，则实数a的取值范围是________． 【例14】关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【跟踪训练】 1.已知集合，下列选项中均为的元素的是（   ） （1）    （2）    （3）    （4）0 A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4） 2．若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 3．已知，则实数的取值范围是 知识点五、综合提升 题型九、根据集合中元素的个数求参数 【例15】已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【跟踪训练】 1.已知集合只有一个元素，则实数a的值为    A. B. 0 C. 或0 D. 1 2.已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十、新定义问题 【例16】已知集合A＝{1，2}，集合B＝{4，8}，则集合{z|z＝xy，x∈A，y∈B}的所有元素之和为 　　． 【跟踪训练】 1.定义集合运算，，，设集合，，，，则集合　 2.非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 3. 已知非空集合，若对任意（可以相同），与中至少有一个属于集合，则称为“好集合”． (1)写出所有的元素均小于3的“好集合”；（写出结论即可） (2)求出所有元素个数为4的“好集合”，并说明理由． 题型十一、综合提升 【例】已知由实数组成的集合，，又满足:若，则． （1）设中含有3个元素，且求A； （2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； （3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由． 【跟踪训练】 1.已知集合A＝{x|x＝mn，m，n∈Z}． （1）试分别判断x1，x2，x3＝（1﹣2）2与集合A的关系； （2）设x1，x2∈A，证明：x1•x2∈A． 2.设集合A由实数构成，且满足：若（且），则． (1)若，试证明集合A中有元素－1，； (2)判断集合A中至少有几个元素，并说明理由； (3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的积． 一、填空题 1.请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2023年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 2．“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________ 3.已知①；②；③④，其中正确的为______（填序号）. 4．若，则的值为 ． 5.已知集合，4，，若，则　　． 6.若，则 ． 7.若集合与相等，则 8．若关于x的方程的解集是空集，求k的值______ 9.设集合，，已知且，则的取值集合为 . 10.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m，n}，若3﹣m∈A，n+1∈A，则非零实数m+n的可能取值集合是 　　． 11.已知集合，若集合 中只有一个元素，则实数 的取值集合是_____. 12.设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合为“完美集合”.给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是___________.（写出所有正确命题的序号） 二、选择题 13.下列字母表示“自然数集”“整数集”“有理数集”“实数集”，其排列顺序正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 14.下列所给关系中正确的个数是  ； ；  ；  ；   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15.若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 16. 非空集合A具有下列性质：①若x、，则；②若x、，则，下列判断一定成立的是      ； ； 若x、，则； 若x、，则 A. B. C. D. 3、 解答题 17.集合中的元素为、，集合中的元素为0、，且集合，求的值． 18.判断下列集合是有限集、无限集还是空集： (1)所有大于0且小于20的奇数； (2)在实数范围内的解集； (3)所有大于3且小于4的实数； (4)方程的解集． 19.已知集合满足条件：若，则．若，试把集合中的所有元素都求出来． 20.已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 21.已知集合R，其中R. 若1是集合A中的一个元素，用列举法表示集合 若集合A中有且仅有一个元素，求实数a组成的集合 若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年上海高一数学必修一暑假班预习提升讲义 专题01 集合的意义 知识点一、元素与集合的概念 1．集合：一般地，把一些确定的对象的全体叫做集合，简称集；常用大写拉丁字母A，B，C…表示． 2．元素：集合所含的各个对象叫做该集合的元素（element），简称元；常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． 3．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性。 4．集合相等：如果两个集合A与B的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B． 知识点二、元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A. 知识点三、常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 知识点四、集合的分类 有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合 空集 不含有任何元素的集合，记作； 知识点一、集合的意义及元素的特征 题型一、判断元素能否构成集合 【例1】下面各组对象中不能形成集合的是（ ） A．所有的直角三角形 B．一次函数 C．高一年级中家离学校很远的学生 D．大于2的所有实数 【答案】C 【解析】所有的直角三角形，能形成直角三角形集合， 一次函数，元素是确定的，可以形成集合， 大于2的所有实数，能形成集合， 而高一年级中家离学校很远的学生，这里的“很远”的标准不确定， 这里的学生就不确定，所以高一年级中家离学校很远的学生不能形成集合，故选：C 【例2】给出下列说法： ①所有接近于的数构成一个集合； ②年上海中考选择题构成一个集合； ③高科技产品构成一个集合； ④所有不大于的自然数构成一个集合； ⑤，，，组成的集合含有个元素． 其中正确的是（   ） A．①②④ B．②③⑤ C．③④⑤ D．②④ 【解题思路】根据集合的性质逐项分析判断即可. 【解答过程】对于①：接近于的数不能确定，所以不能构成集合，故①错误； 对于②：年上海中考选择题构成一个集合是确定的，且互不相同，可以构成集合，故②正确； 对于③：高科技产品不能确定，所以不能构成一个集合，故③错误； 对于④：不大于的自然数为0，1，2，3，能构成集合，故④正确； 对于⑤：因为，不能构成一个集合，故⑤错误； 故选：D. 【跟踪训练】 1. 给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（       ） A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【解析】① 联合国的常任理事国有：中国、法国、美国、俄罗斯、英国.所以可以构成集合. ② 中的元素是不确定的，不满足集合确定性的条件，不能构成集合. ③ 方程的实数根是确定，所以能构成集合. ④ 全国著名的高等院校.不满足集合确定性的条件，不构成集合.故选：A 2．下列说法中正确的是（       ） A．与定点A，B等距离的点不能构成集合 B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5 C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等边三角形 D．高中学生中的游泳能手能构成集合 【答案】C 【解析】对于A：与定点A，B等距离的点在线段的中垂线上，故可以组成集合，即A错误； 对于B：由集合元素的互异性可知，由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为4，故B错误； 对于C：因为集合的元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，故不可能是等边三角形，即C正确； 对于D：游泳能手模棱两可，不具有确定性，故D错误；故选：C 3．下列所给对象不能构成集合的是（       ） A．一个平面内的所有点 B．所有小于零的实数 C．某校高一（1）班的高个子学生 D．某一天到商场买过货物的顾客 【答案】C 【解析】一个平面内的所有点具有确定性，符合集合定义，故A正确； 所有小于零的实数具有确定性，符合集合定义，故B正确； 某校高一（1）班的高个子学生目标不确定，不符合集合定义，故C不正确； 某一天到商场买过货物的顾客具有确定性，符合集合定义，故D正确．故选：C 题型二、求集合中的元素 【例3】集合A中的元素x满足，x∈N，则集合A中的元素为________ 【答案】 【分析】根据分式为正数，得出为15的因数，即可计算得出答案. 【详解】，且， 为15的因数， 或3或5或15，解得或12或10或0， 集合为. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为________ 【提示】注意仔细审题，明确元素满足的性质； 【答案】0，3，4，5； 【解析】∵∈N，x∈N，∴即∴0≤x<6，∴x＝0,1,2,3,4,5. 当x分别为0,3,4,5时，相应的值分别为1,2,3,6，也是自然数，故填0,3,4,5； 2. 已知非零实数，则代数式表示的所有的值的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，当时，， 因此，若都为正数，则； 若两正一负，则； 若一正两负，则； 若都为负数，则. 所以代数式表示的所有的值的集合是. 题型三、集合中元素的特性及应用 【例4】若集合，，中的元素是的三边长，则一定不是　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【分析】根据集合元素的互异性，在集合，，中，必有、、互不相等，则不会是等腰三角形． 【解答】解：根据集合元素的互异性， 在集合，，中，必有、、互不相等， 故一定不是等腰三角形； 故选：． 【点评】本题较简单，注意到集合的元素特征即可． 【例5】集合{x–1，x2–1，2}中的x不能取得值是 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】当x=2时，x–1=1，x2–1=3，满足集合元素的互异性，集合表示正确； 当x=3时，x-1=2，集合中元素重复，不满足互异性，集合表示错误； 当x=4时，x–1=3，x2–1=15，满足集合元素的互异性，集合表示正确； 当x=5时，x–1=4，x2–1=24，满足集合元素的互异性，集合表示正确； 故选B． 【跟踪训练】 1. 已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】D 【解析】根据集合中元素互异性可知，构成的四边形边长不相等， 其中平行四边形，矩形和菱形对边均相等，不合要求，梯形的四边可能互不相等，故可能为梯形. 故选：D 2. 若为集合的四个元素，则以为边长的四边形可能为（    ） A．等腰梯形 B．菱形 C．直角梯形 D．矩形 【答案】C 【分析】利用集合的互异性结合排除法求解即可. 【详解】因为为集合的四个元素，所以这四个元素均不相等， 而等腰梯形的两腰相等，菱形的四条边都相等，矩形的两组对边分别相等， 故该四边形不可能是等腰梯形，菱形，矩形，即A，B，D错误，C正确. 故选：C 3.已知，则 ． 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据题意，，则或，再根据集合中元素的互异性可解的值. 【详解】根据题意，， 则或， 当时，，不满足互异性； 当时，得或，因为不成立， 所以，此时集合为，符合题意. 故答案为： 4.若，则实数 ． 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合的关系求解，利用集合中元素的互异性验证． 【详解】当时，，不满足元素的互异性，舍去. 当时，解得或4， 当时，不符合题意， 当时，集合为，符合题意, 所以． 故答案为：． 题型四、由集合相等关系求参数 【例6】若集合，且，则实数的值为 （    ） A．或 B． C． D．或 【解题思路】根据集合相等可得，运算求解即可. 【解答过程】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 【例7】已知集合，，若，则 ． 【答案】 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可求解. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，不满足集合元素的互异性， 所以，则. 故答案为： 【跟踪训练】 1.已知，则 ． 【答案】0 【知识点】根据集合相等关系进行计算 【分析】根据题意结合集合相等即可得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 2.已知，，若，则 . 【答案】/ 【知识点】根据两个集合相等求参数 【分析】由集合相等，列出等式，再结合集合元素的互异性即可. 【详解】因为， 当解得：或，都不符合集合元素的互异性， 当解得：或（结合集合元素的互异性舍去） 所以. 故答案为： 3．已知集合与集合{a2，a+b，0}是两个相等的集合，求a2 020+b2 020的值. 【答案】a2 020+b2 020=1 【分析】先由集合相等及集合中元素的互异性求出a、b，代入求值即可. 【详解】由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得＝0，即b＝0，此时两集合中的元素分别为a，0，1和a2，a，0，因此a2＝1，解得a＝－1 (a＝1不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此a＝－1，且b＝0，所以a2 020＋b2 020＝(－1)2 020＋0＝1. 知识点二、元素与集合的关系 题型五、元素与集合关系的判断 【例8】给出下列关系：①；②；③；④；⑤， 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：（1），正确； （2）是无理数，，不正确； （3），正确； （4），不正确． （5）∵0是自然数，∴，不正确. 综上可知：正确命题的个数为2． 故选：． 【例9】已知集合为非零常数，则下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分，；，或，异号，进行求值，即可得解. 【详解】若，时，； 若，时，； 若，异号时，． 故选：A 【跟踪训练】 1. 用“”或“”填空 (1)－3______N； (2)3．14______Q； (3)______Z； (4)－______R； (5)1______N*； (6)0________N． 【答案】(1)　(2)　(3)　(4)　(5)　(6) 2.用或填空：0________ 【答案】 【分析】可知0是自然数，即可得出. 【详解】0是自然数， . 故答案为：. 3.给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】由于；；；， 故①错误；②正确；③错误；④错误， 故选：A． 4.给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据，，，，，这几个常用数集的含义判断即可． 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为是无理数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 对于⑥，因为，所以⑥错误． 故选：A． 题型六、根据元素与集合的关系求参数 【例10】若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【解题思路】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可. 【解答过程】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A. 【例11】设集合A＝{2，3，a2﹣3a，a7}，B＝{|a﹣2|，0}．已知4∈A且4∉B，则实数a的取值集合为（　　） A．{﹣1，﹣2} B．{﹣1，2} C．{﹣2，4} D．{4} 【分析】根据题意分a2﹣3a＝4且|a﹣2|≠4，a7＝4且|a﹣2|≠4两种情况讨论，求出a的值，并利用集合的互异性进行验证，即可求得符合题意的a的值． 【解答】解：由题意可得①当a2﹣3a＝4且|a﹣2|≠4时，解得a＝﹣1或4， a＝﹣1时，集合A＝{2，3，4，4}不满足集合的互异性，故a≠﹣1， a＝4时，集合A＝{2，3，4，11}，集合B＝{2，0}，符合题意． ②当a7＝4且|a﹣2|≠4，解得a＝﹣1，由①可得不符合题意． 综上，实数a的取值集合为{4}． 故选：D． 【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，考查集合的互异性，属于基础题． 【跟踪训练】 1.已知集合，若，则（    ） A．或3 B．或2 C．2 D． 【解题思路】分和两种情况讨论，注意集合中元素的互异性. 【解答过程】因为，， 当时，则，此时，不符题意； 当时，解得或（舍去）， 若，则，符合题意， 综上所述，. 故选：C. 2.设集合，若，则（       ） A．或或2 B．或 C．或2 D．或2 【答案】C 【解析】当时，，符合题意； 当时，或. 当时，符合题意；当时，，与集合元素的互异性矛盾.所以舍去.故或.故选：C 3.已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且 解得. 故选：C. 知识点三、集合的分类 题型七、集合的分类 【例12】下列集合中是有限集的是（    ） ①使得有意义的所有实数组成的集合； ②使得有意义的所有自然数组成的集合； ③方程的所有实数解组成的集合. ④15的质因数的全体构成的集合 A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】根据有限集的知识进行分析，由此确定正确选项. 【详解】①，，为无限集，不符合题意，①错误，所以选B. ②，，为有限集，符合题意，②正确. ③，方程的所有实数解组成的集合为空集，为有限集，符合题意，③正确. ④，15的质因数的全体构成的集合为，为有限集，符合题意，④正确. 故选：B 【跟踪训练】 1．设集合A＝{面积为1的矩形}，B＝{面积为1的正三角形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 【答案】C 【分析】根据集合A、B的元素的个数，判断集合的类型. 【详解】由于面积为1的矩形有无数个，所以集合A为无限集， 而面积为1的正三角形只有一个，所以集合B为有限集，所以C正确； 故选：C． 2. 判断下列各组对象能否组成集合．若能组成集合，指出是有限集还是无限集；若不能组成集合，请说明理由． (1)上海市现有各区的名称； (2)末位是3的自然数； (3)比较大的苹果． 【答案】(1)能，理由见解析； (2)能，理由见解析； (3)不能，理由见解析. 【分析】（1）（2）（3）根据集合的定义判断即可. 【详解】（1）能构成集合，元素是确定的且个数有限，该集合是有限集. （2）能构成集合，元素是确定的且个数无限，该集合是无限集. （3）不能构成集合，元素无法确定. 题型八、空集的概念与应用 【例13】已知集合{x|x2－2x＋a＝0}＝∅，则实数a的取值范围是________． 答案：a>1；解析：Δ＝4－4a<0得a>1. 【例14】关于x的不等式解集为空集，则实数m的值为 . 【答案】1 【分析】不等式化为，然后对系数进行分类讨论可得． 【详解】可化为， 若，不等式为，不成立，不等式解集为空集， 若，不等式的解为， 若，不等式的解为， 综上，， 故答案为：1. 【跟踪训练】 1.已知集合，下列选项中均为的元素的是（   ） （1）    （2）    （3）    （4）0 A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（3）（4） 【答案】D 【分析】根据元素和集合的关系即可求解. 【详解】由于，故和0是中元素. 故选：D 2．若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解. 【解析】因为集合为空集，所以，即或. 故答案为：或 3．已知，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】根据集合的定义求解即可. 【解析】由题意可知，一元二次方程无解，所以，故 故答案为： 知识点五、综合提升 题型九、根据集合中元素的个数求参数 【例15】已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围； (3)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）分和进行求解； （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素，进行求解； （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，进行求解. 【详解】（1）当时，原方程变为， 此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程， ，即， 原方程的解为，符合题意． 故当或时，原方程只有一个解，此时中只有一个元素． （2）中至多含有一个元素，即中有一个元素或没有元素． 当，即时，原方程无实数解． 结合（1）知，当或时中至多有一个元素． （3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素， 当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由得． 综上可知当时，中至少有一个元素． 【跟踪训练】 1.已知集合只有一个元素，则实数a的值为    A. B. 0 C. 或0 D. 1 【答案】C  【分析】根据和讨论集合A中方程解的情况即可． 【解析】当时，满足题意， 当时，集合A中一元二次方程中，得 若集合只有一个元素，实数a的值为0或 故选： 2.已知集合，若中恰有2个元素，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用集合的元素个数，结合一元二次方程根的情况列出不等式求解即得. 【详解】由集合中恰有2个元素，得方程有两个不相等的实数根， 因此，解得且， 所以的取值范围是. 故选：A 题型十、新定义问题 【例16】已知集合A＝{1，2}，集合B＝{4，8}，则集合{z|z＝xy，x∈A，y∈B}的所有元素之和为 　　． 【分析】根据新定义，求解出z的所有元素，再求所有元素之和． 【解答】解：有题意：{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1，2}，B＝{4，8}， 那么：当x＝1时：y＝4或8，可得z：4、8， 当x＝2时：y＝4或8，可得z：8、16， 故得z的所有元素：4、8、16，即集合{z|z＝xy，x∈A，y∈B}的所有元素为：4、8、16， 元素之和为：16+4+8＝28． 故答案为：28． 【点评】本题考查集合的基本运算，新定义的应用，是基础题． 【跟踪训练】 1.定义集合运算，，，设集合，，，，则集合　 【分析】利用集合中新定义的元素的属性得出集合中元素的构成是解决该问题的关键，集合中元素不多时，将各个元素列举出来从而得到所求的集合． 【解答】解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，， ，6，． 故答案为：，6，． 【点评】本题考查学生对新定义的题型的理解和把握程度，弄准集合中元素的构造方式，考查列举法写集合，分类讨论思想． 2.非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，错误的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【解题思路】根据给定条件，结合元素与集合的关系，逐项判断即得. 【解答过程】对于A，由①知，，由②知，，即，因此，A正确； 对于B，由①知，，，由②知，，，依此类推得正整数， 因此，则，B正确； 对于C，由选项B知，，，由①知，，则当时，，C正确； 对于D，若，则，D错误. 故选：D. 3. 已知非空集合，若对任意（可以相同），与中至少有一个属于集合，则称为“好集合”． (1)写出所有的元素均小于3的“好集合”；（写出结论即可） (2)求出所有元素个数为4的“好集合”，并说明理由． 【答案】(1) (2),其中为相异正整数，理由见解析 【分析】（1）根据好集合的定义列举求解即可； （2）设,其中，进而结合题意得或，再分类讨论求解即可. 【详解】（1）解：根据“好集合”的定义可知，所有的元素均小于3的“好集合”为： （2）解：设,其中, 由题意:,故， 所以，或, 下面讨论和时的情况， 当，即时，由于，故有，即， 所以，但此时，不满足“好集合”的定义，故舍去； 当，即时，此时， 满足“好集合”的定义. 所以，,其中为相异正整数. 题型十一、综合提升 【例】已知由实数组成的集合，，又满足:若，则． （1）设中含有3个元素，且求A； （2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由； （3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由． 【答案】（1）；（2）不存在这样的，理由见解析；（3）是，证明见解析. 【分析】（1）根据题意得，，，故； （2）假设集合是单元数集合，则，根据矛盾即可得答案； （3）根据已知条件证明，，是集合的元素即可. 【详解】解：（1）因为若，则，， 所以，，， 所以. （2）假设集合是仅含一个元素的单元素集合， 则，即：， 由于，故该方程无解， 所以不能是仅含一个元素的单元素集. （3）因为，，则，则， 所以，故该集合有三个元素，下证，，互不相等即可. 假设，则，该方程无解，故，不相等， 假设，则，该方程无解，故，不相等， 假设，则，该方程无解，故，不相等. 所以集合中含元素个数一定是个. 【点睛】本题考查集合与元素的关系，其中第三问解题的关键在于根据已知证明，，互不相等且属于集合即可.考查运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题. 【跟踪训练】 1.已知集合A＝{x|x＝mn，m，n∈Z}． （1）试分别判断x1，x2，x3＝（1﹣2）2与集合A的关系； （2）设x1，x2∈A，证明：x1•x2∈A． 【分析】（1）根据集合A的表示可知，满足，其中m，n∈Z的x为集合A的元素，从而判断一个元素是不是集合A的元素，就看能否将这个元素写成，（m，n∈Z）的形式，从而便可判断x1，x2，x3和集合A的关系； （2）由x1，x2∈A便可将x1，x2分别写成（m，n∈Z）的形式，然后判断能否将x1•x2写成该形式，从而便可证出x1•x2∈A； 【解答】（1）解：m＝0，n＝﹣1时，； ∴x1∈A； ，； ∴x2∉A； ； ∴x3∈A； （2）证明：∵x1，x2∈A； ∴，mi，ni∈Z，i＝1，2； ∴； ∵m1m2+2n1n2，m1n2+n1m2∈Z； ∴x1•x2∈A． 【点评】考查描述法表示集合，元素与集合的关系，以及元素与集合关系的判断方法． 2.设集合A由实数构成，且满足：若（且），则． (1)若，试证明集合A中有元素－1，； (2)判断集合A中至少有几个元素，并说明理由； (3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的积． 【答案】(1)证明见解析 (2)3个，理由见解析 (3)1或－1 【分析】（1）由，结合，分析即可得证； （2）若（且），则，，，从而可得出结论； （3）由（2）知A中元素的个数为，再分为奇数和为偶数，即可得出答案. 【详解】（1）证明：∵，∴． ∵，∴． ∴集合A中有元素－1，； （2）由题意，可知若（且）， 则，，， 且，，， 故集合A中至少有3个元素； （3）由（2）知A中元素的个数为． 又集合A是有限集，且， 所以若为奇数，则集合A中所有元素的积为； 若为偶数，则集合A中所有元素的积为1． 所以集合A中所有元素的积为1或－1． 一、填空题 1.请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2023年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 【答案】①②④ 【分析】根据集合的概念即可判断. 【详解】解：对于①，“上海市2023年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于②，“在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合； 对于④，“不等式的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合. 故答案为：①②④. 2．“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________ 【答案】7 【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素. 【详解】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7； 故答案为：7. 3.已知①；②；③④，其中正确的为______（填序号）. 【答案】①③ 【分析】由元素与集合的关系直接判断即可. 【详解】；；；，故①③正确. 故答案为：①③ 4．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得或或，分别求解后再验证即可. 【详解】解：因为， 当，即时，此时，不满足元素的互异性； 当，即时，此时，满足题意； 当，即时，此时无解； 综上，. 故答案为： 5.已知集合，4，，若，则　　． 【分析】根据，所以，然后根据集合的性质分别进行讨论验证即可． 【解答】解：因为，所以． 解得或．符合题意． 故的值为3或． 故答案为：3或． 【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判断，以及集合的确定性、互异性、无序性，属于基础题． 6.若，则 ． 【答案】 【分析】利用集合的互异性及集合相等，求出即得. 【详解】由，得且，当时，显然，于是， 解得，，所以. 故答案为： 7.若集合与相等，则 【答案】 【分析】根据集合相等列方程，由此求得的值. 【详解】因为集合与相等， 所以， 解得或（舍去，不满足集合中元素的互异性）. 故答案为： 8．若关于x的方程的解集是空集，求k的值______ 【分析】先对方程进行整理，然后结合一次方程的解集存在条件可求． 【解析】方程整理得， 当时，方程的解集为空集，显然成立； 当时，有，解方程得,显然不符合题意． 综上． 9.设集合，，已知且，则的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果. 【解析】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： 10.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m，n}，若3﹣m∈A，n+1∈A，则非零实数m+n的可能取值集合是 　　． 【分析】利用元素与集合的关系及集合中元素的互异性能求出非零实数m，n的数值，即可求得答案． 【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m，n}，3﹣m∈A，n+1∈A， ∴当3﹣m＝1，m＝2时， n+1＝1，得n＝0， n+1＝2，得n＝1， n+1＝3，得n＝2， 由函数互异性得n＝0， 故m+n＝2， 当3﹣m＝2，m＝1时，由函数互异性得m≠1， 当3﹣m＝3，m＝0时， n+1＝1，得n＝0， n+1＝2，得n＝1， n+1＝3，得n＝2， 由函数互异性得n＝2， 故m+n＝2， ∴非零实数m+n的可能取值集合是{2}， 故答案为：{2}． 【点评】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系及集合中元素的互异性等基础知识，属于基础题． 11.已知集合，若集合 中只有一个元素，则实数 的取值集合是_____. 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的等式，进而可求得实数的取值. 【详解】当时，则有，符合题意； 当时，由题意可得，解得.符合题意; 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 12.设集合为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称集合为“完美集合”.给出下列命题： ①若为“完美集合”，则一定有； ②“完美集合”一定是无限集； ③集合为“完美集合”； ④若为“完美集合”，则满足的任意集合也是“完美集合”. 其中真命题是___________.（写出所有正确命题的序号） 【答案】①③ 【分析】对于①③，可以利用完美集合的定义分析判断，对于②④可以举反例分析判断. 【详解】因为，是集合中任意的元素，所以与可以是同一个元素，故0一定在完美集合中，故①正确； 完美集合不一定是无限集，例如，故②错误； 集合，在集合中任意取两个元素，，其中，，，为整数，则，，，均为整数加上的整数倍的形式，故③正确； ，，，也满足④，但是集合不是一个完美集合，故④不正确. 故答案为：①③ 二、选择题 13.下列字母表示“自然数集”“整数集”“有理数集”“实数集”，其排列顺序正确的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】根据常用数集的记法做题即可. 【详解】“自然数集”记作，“整数集”记作， “有理数集”记作， “实数集”记作. 故选：D 14.下列所给关系中正确的个数是  ； ；  ；  ；   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C  【分析】 根据元素与集合的关系进行判断. 【解答】 解：对于：是实数，R是实数集，，正确； 对于 ：是无理数，Q是有理数集；  ，正确； 对于：0是自然数，N是自然数集，，正确；  对于：是正整数，是正整数集，，故不对； 对于：是一个分数，Z是整数集，，故不对. 故选 15.若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：分局题意分析即可. 【解析】对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误； 对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误； 对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误， 对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确； 故选：D. 16. 非空集合A具有下列性质：①若x、，则；②若x、，则，下列判断一定成立的是      ； ； 若x、，则； 若x、，则 A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 本题考查集合的新定义，考查元素与集合的关系的判断，属于中档题. 假设，可推出，由此可判断的正误；推导出，进而可推导出，，由此可判断的正误；推导出，结合可判断的正误；若x、，举出反例，可判断的正误.综合可得出结论. 【解答】 解：由①可知 对于，若，对任意的，，则， 所以，，这与矛盾，正确； 对于，若且，则， ，， 依此类推可得知，，， ，，，正确； 对于，若x、，则且， 由可知，，则， 所以，，正确； 对于，由得，， 取，则，所以错误. 故选： 3、 解答题 17.集合中的元素为、，集合中的元素为0、，且集合，求的值． 【答案】 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合相等关系进行计算、集合元素互异性的应用 【分析】由集合相等，得到方程，求出相应的，检验后得到答案. 【详解】由集合相等的定义得 或， 当时，，此时与元素的互异性矛盾，舍去； 当时，或（舍去）， 当，时，满足元素的互异性， 综上所述，． 18.判断下列集合是有限集、无限集还是空集： (1)所有大于0且小于20的奇数； (2)在实数范围内的解集； (3)所有大于3且小于4的实数； (4)方程的解集． 【答案】(1)有限集； (2)空集； (3)无限集； (4)有限集． 【详解】（1）所有大于0且小于20的奇数，是有限集； （2）的实数解集，是空集； （3）所有大于3且小于4的实数，是无限集； （4）方程的解集，是有限集． 19.已知集合满足条件：若，则．若，试把集合中的所有元素都求出来． 【答案】 【分析】由条件“若，则”可进行一步步推导，根据所得值循环出现可得答案． 【详解】∵，∴，从而，则， ∴，出现循环，根据集合中元素的互异性可得集合中的所有元素为． 【点睛】本题考查了集合中元素的互异性，属于基础题. 20.已知集合中的元素满足，. (1)若，求实数的值； (2)若为单元素集合，求实数的值； (3)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【解析】（1），故，解得. （2）当时，方程变为，得，满足题意； 当时，要使为单元素集合，则方程有两个相等的实数根， ，解得； 综上所述：或时为单元素集合. （3）若为双元素集合，则方程有两个不相等的实数根， 故且，解得且. 21.已知集合R，其中R. 若1是集合A中的一个元素，用列举法表示集合 若集合A中有且仅有一个元素，求实数a组成的集合 若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 【分析】 若，则，解方程可用列举法表示 若A中有且仅有一个元素，分，和且两种情况，分别求出满足条件a的值，可得集合 集合A中至多有一个元素包括有两种情况，①中有且仅有一个元素，②中一个元素也没有，分别求出即可得到 a的取值范围. 【答案】 解：是A的元素，是方程的一个根， ，即， 此时 ，， 此时集合 若，方程化为，此时方程有且仅有一个根， 若，则当且仅当方程的判别式，即时， 方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素， 所求集合 集合A中至多有一个元素包括有两种情况， ①中有且仅有一个元素，由可知此时或， ②中一个元素也没有，即，此时，且，解得， 综合①②知a的取值范围为或  1 学科网（北京）股份有限公司 $