专题2 集合的表示方法讲义- 2026年暑假预习新高一数学沪教版必修第一册

2026-2027年上海高一数学必修一暑假班预习提升讲义 专题02 集合的表示方法 知识点一、列举法 定义：将集合中的元素不重复地一一列举出来，并写一对在大括号“{}”内，这种表示集合的方法叫做列举法； 【要点】 （1）应用列举法表示集合时应关注以下四点： ①元素与元素之间必须用“，”隔开； ②集合中的元素必须是明确的； ③集合中的元素不能重复； ④集合中的元素可以是任何事物； （2）a与{a}是完全不同的，{a}表示一个集合，这个集合由一个元素a构成，a是集合{a}的元素； （3）能用列举法表示的集合一般是有限集，但对于一些有规律的无限集,在不会引起歧义的前提下,也可用列举法表示.例如，全体正偶数组成的集合可以表示为｛2,4,6,…,2n，…｝ （4）大括号“｛｝”表示“所有”“整体”的含义示例:实数集R可以写成｛实数｝,但如果写成{实数集}、｛全体实数｝、{R}都是不正确的. 知识点二、描述法 1.定义：在一对大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线，并在竖线的右边写上集合中元素所具有的特征，即A={x|x满足性质p}． 这种表示集合的方法叫做描述法 集合的特征性质：如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质； 【要点】 （1）应用描述法表示集合时应关注以下三点： ①写清楚集合中元素的符号，如：数或点等； ②说明该集合中元素的共同特征，如：方程、不等式、函数式或几何图形等； ③不能出现未被说明的字母； （2） 注意区分以下四个集合： ①A＝{x|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A＝R； ②B＝{y|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y＝x2＋1≥1，因此B＝{y|y≥1}； ③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示满足y＝x2＋1的点(x，y)组成的集合，因此C表示函数y＝x2＋1的图像上的点组成的集合； ④P＝{y＝x2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y＝x2＋1。 （1）所有描述的内容都要写在大括号内，如＂｛x｜x＝2k}, ＂不符合要求，应写为 ． （2）精确地写出集合中代表元素的符号，如 不能写成 ． （3）不能出现未被说明的字母，如 中不明确，故集合中的元素不确定． （4）多层描述时，应准确使用＂且＂＂或＂等表示元素之间关系的词语，如或． （5）元素的取值范围，如果从上下文的关系看是明确的，那么可以省略不写。如在实数集中取值，＂＂常省略不写， 常写为． 知识点三、区间的概念及表示 （1）区间的定义及表示：设a，b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] （2）无穷的概念及无穷区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【注意】关于无穷大的两点说明：（1）“∞”是一个符号，而不是一个数；（2）以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号； 知识点四、集合表示方法的选择 1.根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则. 2.一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合. 知识点一、列举法 题型一、用列举法表示集合 【例1】用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程的实数根组成的集合B； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用集合的描述法与列举法求解即可. 【详解】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以. （2）因为方程的实数根为，所以. （3）联立，解得， 所以一次函数与的交点为，所以. 【跟踪训练】 1.用列举法表示下列集合： (1)能整除10的所有正整数组成的集合； (2)绝对值小于4的所有整数组成的集合． 小于的正整数的集合 【答案】(1) (2) （3） 【详解】（1）能整除10的所有正整数组成的集合为. （2）绝对值小于4的所有整数组成的集合为. （3）因为， 所以小于的正整数只有．故所求集合为 2.用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (3)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合． 【解题思路】（1）根据一元二次方程的根，由列举法即可求解； （2）分析“Welcome”中包含的字母，即可由列举法求解； （3）求解函数与坐标轴的交点坐标，即可由列举法求解. 【解答过程】（1）方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素， 因此可以用列举法表示为． （3）函数y的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因 此可以用列举法表示为． 知识点二、描述法 题型二、用描述法表示集合 【例2】用描述法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数组成的集合； (2)不等式的解集； (3)方程的所有实数解组成的集合； (4)抛物线上所有点组成的集合； (5)集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)且 【分析】根据题设中的集合和集合的表示方法，逐项表示，即可求解. 【解析】(1)所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为： (2)不等式的解集，用描述法可表示为：. (3)方程的所有实数解组成的集合， 用描述法可表示为：. (4)抛物线上所有点组成的集合， 用描述法可表示为：. (5)集合，用描述法可表示为：且. 【跟踪训练】 1. 用描述法表示下列集合： (1)偶数组成的集合； (2)正奇数组成的集合； (3)不等式－x2≥0的解集； (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. 【答案】(1){x|x＝2n, n∈Z}或{x|x为偶数} (2){x|x＝2n＋1, n∈N}或{x|x为正奇数} (3){x|－x2≥0} (4){(x, y)|x>0,y<0} (5)且 【分析】根据描述法的定义，结合各个小题的条件，依次分析即得解 【解析】(1)由偶数可以表示成整数的两倍， 故偶数组成的集合可表示为{x|x＝2n, n∈Z}或{x|x为偶数} (2)由奇数可以表示成整数的两倍加1， 故正奇数组成的集合可表示为{x|x＝2n＋1, n∈N}或{x|x为正奇数} (3)不等式－x2≥0的解集可表示为{x|－x2≥0} (4)由第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负 故平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合可表示为：{(x, y)|x>0,y<0} (5)集合可用描述法表示为且 2. 用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （2）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （3）先确定集合中的代表元素是数x；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. （4）先确定集合中的代表元素是点；再确定集合中代表元素满足的条件即可解答. 【详解】（1）因为不等式的解组成的集合为， 则集合中的元素是数. 设代表元素为x， 则x满足， 所以，即． （2）设被3除余2的数为x， 则． 又因为元素为正整数， 故． 所以被3除余2的正整数的集合 （3）设偶数为x， 则． 但元素是2，4，6，8，10， 所以． 所以． （4）因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即， 故第二象限内的点的集合为． 题型三、理解描述法表示的集合 【例3】已知集合，集合，下列关系不正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】 本题主要考查集合元素和集合关系的判断，利用代表元素确定集合A为数集，B为点集是解决本题的关键．集合A为数集，集合B为点集，分别利用元素和集合的关系进行判断． 【解答】 解：，集合， 是数集且， 集合为点集． 当时，，， 当时，，， 故选B 【跟踪训练】 1．已知集合，则集合A中的元素（    ） A．除以3余数为； B．除以3余数为1； C．除以3余数为2； D．能被3整除. 【答案】C 【分析】根据集合的定义与整除的概念判断. 【详解】，因此集合A中的元素除以3余数为2， 故选：C. 2.集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解绝对值不等式再结合自然数定义计算即可. 【详解】集合. 故选：B. 3． ． 【答案】 【分析】根据描述法表示集合的意义，即可求解. 【详解】因为，，所以， 得， 则. 故答案为： 4.下列三个集合： ① ② ③ 它们是不是相同的集合? 它们各自的含义分别是什么? 【分析】 根据集合描述法判断即可； 根据代表元素区分，即可得各自的含义. 【答案】 解：故它们是互不相同的集合. 集合的代表元素是x，且 集合的代表元素是y，满足条件的y的取值范围是 集合的代表元素是，是抛物线上的点. 题型四、集合表示方法的选择与互化 【例4】用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【分析】（1）求得方程的解，然后用列举法书写； （2）根据第一、三象限点的特点，用描述法书写； （3）写出满足条件的正整数用描述法书写； （4）直接用描述法书写. 【详解】（1）方程的解集为 （2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. （3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. （4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． 【例5】用列举法表示下列集合： (1){x|x是14的正约数}； (2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}； (3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}； (4){x|x＝(－1)n, n∈N}； (5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}. 【答案】(1){1, 2, 7, 14} (2){(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)} (3) (4){－1, 1} (5){(0, 8), (2, 5), (4, 2)} 【解析】 【分析】 根据集合的列举法的概念即得. (1){x|x是14的正约数}={1, 2, 7, 14}. (2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}={(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}. (3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}=. (4){x|x＝(－1)n, n∈N}={－1, 1}. (5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}={(0, 8), (2, 5), (4, 2)}. 【跟踪训练】 1. 选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可； （4）利用描述法表示集合即可. 【详解】（1）利用列举法表示集合; （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用描述法表示集合. 2．用列举法表示下列集合： (1) (2) (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】 （1） . （2）. （3）且， ． ，即． ． （4），，， 或或 ． 题型五、判断是否表示同一集合 【例6】下列各组中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案. 【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故； 选项B中，与表示不同的点，故； 选项C中，，，故； 选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故. 故选：C. 【跟踪训练】 1.下列集合中表示同一集合的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D  【分析】 利用集合的三个特征及其定义，对A、B、C、D四个选项进行一一判断． 【解答】 解：A、， M集合的元素表示点的集合，， N表示数集，故不是同一集合，故A错误； B、，M集合的元素表示点的集合，，N表示直线的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故B错误； C、集合M的元素是点，，集合N的元素是点，故C错误； D、，根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故D正确； 故选： 2. 下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质逐一判断即可. 【详解】选项A：两个集合中元素对应的坐标不同，A错误； 选项B：集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，B正确； 选项C：两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，C错误； 选项D：是以0为元素的集合，是数字0，D错误. 故选：B 3. 下列表示同一个集合的有__________________ (1) ， (2) ， (3) ， (4)，且，， 【答案】(1) (3) (4) 【分析】本题考查集合相等，是基础题 【解答】 (1)中两个集合都是由元素2和5构成的，是同一个集合; (2)中集合P中的元素是点，集合Q中的元素是点，故P与Q不是同一个集合; (3)中两个集合都是由所有奇数组成的，是同一个集合; (4)中两个集合都是由所有6的整数倍数组成的，是同一个集合. 故选(1) (3) (4) 知识点三、区间表示及综合提升 题型六、区间的意义及其表示 【例7】下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【分析】根据区间的概念逐项判断即可． 【详解】对于选项A，用区间可表示为，故A错误； 对于选项B，用区间可表示为，故B错误； 对于选项C，用集合可表示为，故C错误； 对于选项D，用集合可表示为，故D正确． 故选：D． 【例8】若（m，4m﹣3）为一确定区间，则m的取值范围为 　 　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】由区间的含义列出限制条件可得答案． 【解答】解：由题意，m＜4m﹣3，解得m＞1． 故答案为：（1，+∞）． 【点评】本题主要考查区间的概念，属于基础题． 【跟踪训练】 1.用区间表示下列数集： （1） ； （2） ； （3）且 ； （4） ； （5） ． 【答案】 【解析】； ； 且； ； . 故答案为：；；；；. 2.用区间表示下列数集： (1)； (2)； (3)； (4)R； (5)； (6)或. 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）或. 题型七、求集合中元素或个数 【例9】集合A＝用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据自然数集与整数集的概念分析集合中的元素即可. 【详解】因为，， 所以或2或4或8， 即或4或2或， 即. 故选：D. 【跟踪训练】 1. 集合用列举法表示为 . 【答案】 【解析】时，；时，；时，；时，； 可得. 故答案为： 2. 已知集合，且，则M等于 （用列举法） 【答案】 【解析】由于，所以是6的正因数， 当时，，符合， 当时，，符合， 当时，，符合， 当时，，符合， 综上可得， 故答案为： 3. 已知集合，且，则M等于 A. B. ，3， C. ，3， D. ，3， 【答案】D  【分析】 本题考查了集合元素的属性，注意元素的约束条件是解答的关键，属于基础题. 【解答】 解：因为集合且， 所以可能为1，2，3，6， 对应a的值为4，3，2，， 所以 故选 题型八、集合新定义问题 【例10】定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据集合的新定义确定集合中的元素. 【详解】 因为，，， 所以， 故集合中的元素个数为3， 故选：C. 【跟踪训练】 1. 已知A＝{1，3}，B＝{1，2}，定义集合A，B之间的运算“*”，A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，则集合A*B＝ 　 　 【答案】{2，3，4，5}． 【分析】A*B中的元素是所有A中的元素与B中元素的和构成，求出两个集合中元素的和，写出集合A*B，注意元素的互异性． 【解答】解：由题意可知，A*B中的元素有1+1＝2，1+2＝3，1+3＝4，2+3＝5， 即A*B＝{2，3，4，5}． 故答案为：{2，3，4，5}． 【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题． 2.已知集合，，记且.则 ， . 【答案】 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【详解】由及可得可能的取值有1，2，3，6，即，4，3，0，故.因为且，所以；又且，则. 3.用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】 根据条件可得集合要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解. 【详解】 由，可得 因为等价于或， 且，所以集合要么是单元素集，要么是三元素集． （1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故； （2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且． 综上所求或，即，故， 故选：D． 【点睛】 关键点睛：本题以这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程与方程的实根的个数情况，属于中档题. 题型九、综合提升 【例11】已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【来源】江苏省连云港市海州区四校2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合中元素的个数求参数、描述法表示集合 【分析】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可 (2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素 的情况即可得出的取值范围 【详解】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时， 为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素， A中只有一个元素时或. （2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且 ，得且，再结合A中一个元素的情况， 的取值范围为. 【例12】已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 【答案】D 【分析】分、、三种情况讨论，若为一次方程则符合题意，若为二次方程只需即可. 【详解】若，则，符合题意； 若，则变为，显然不成立， 则，不符合题意； 当，即时，则， 解得（舍）或， 所以的所有可能值为，故所有可能值的乘积为． 故选：D 【跟踪训练】 1.已知，集合. (1)若A是空集，求实数a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求集合A； (3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)当时，；当时，； (3). 【分析】（1）根据空集，结合一元二次方程的判别式求参数范围； （2）（3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围. 【详解】（1）若A是空集，则关于x的方程无解， 此时，且， 所以，即实数a的取值范围是. （2）当时，，符合题意； 当时，关于x的方程应有两个相等的实数根， 则，得，此时，符合题意. 综上，当时；当时. （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 2.已知集合，a为实数. (1)若集合A是空集，求实数a的取值范围； (2)若集合A是单元素集，求实数a的值； (3)若集合A中元素个数为偶数，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或. (3)且 【分析】（1）若集合是空集，要满足二次方程无解； （2）若集合A是单元素集，则方程为一次方程或二次方程； （3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素，二次方程无解或两不相同的解. 【详解】（1）若集合是空集，则， 解得.故实数的取值范围为. （2）若集合是单元素集，则 ①当时，即时，，满足题意； ②当，即时，，解得， 此时. 综上所述，或. （3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素. 当中有0个元素时，由(1)知； 当中有2个元素时，解得且. 综上所述，实数的取值范围为且. 一、填空题 1.用列举法表示小于10的正偶数所构成的集合为______． 【答案】 【分析】直接根据列举法的概念即可得结果. 【详解】小于10的正偶数所构成的集合为， 故答案为：. 2.用列举法表示集合______． 【答案】 【分析】根据集合直接用列举法写出答案即可. 【详解】因为集合为， 则其中元素为，故集合为， 故答案为：. 3.用列举法表示_________． 【答案】 【分析】根据元素的特征用列举法表示即可. 【详解】解：. 故答案为： 4.已知集合，试用列举法表示集合__________． 【答案】 【分析】根据自然数集与整数集的概念分析集合中的元素即可. 【详解】要使，必然有是4的约数， 而4的约数有共六个，则的可能取值为， 又，则为， 故． 故答案为：. 5.解集用描述法表示为，解集用列举法表示为 ． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组，然后根据列举法求得正确答案. 【详解】由解得， 所以列举法表示为. 故答案为： 6.已知集合，则集合=______．（用列举法表示） 【答案】 【分析】根据给定条件直接计算作答. 【详解】 因，而，所以. 故答案为： 7.用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合______． 【答案】 【分析】用数学式子表示出自然语言即可． 【详解】 被4除余3的自然数即为4的整数倍加3， 因此． 故答案为：． 8. 用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为 ．    【答案】{(x，y)|0≤x≤2且0≤y≤1} 【解析】由题意得，图中的阴影部分构成的集合是点集，则且. 故答案为且. 9.若为一确定区间，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】因为为确定区间，所以右端点大于左端点，列出不等式求解a的取值范围. 【详解】根据区间表示数集的方法原则可知，，解得， 所以a的取值范围是, 故答案为：. 10.集合，用区间表示为______ 【分析】根据初中式子有意义的条件求出解集，后用区间表示. 【详解】因为，所以． 则区间表示为：. 11.已知集合，若集合 中只有一个元素，则实数 的取值集合是_____. 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的等式，进而可求得实数的取值. 【详解】当时，则有，符合题意； 当时，由题意可得，解得.符合题意; 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 12.已知集合，若且，则实数m的取值范围是______ 【解题思路】根据元素与集合的从属关系列式，可求实数m的取值范围. 【解答过程】由且，得，解得． 二、选择题 13.二元一次方程组 的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用代入消元法解二元二次方程组，用集合表示解集即可. 【详解】由，所以二元一次方程组 的解集是， 故选：B 14.已知集合，集合，下列关系错误的是（       ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的定义判断，注意集合中代表元形式． 【详解】由已知集合，集合是由抛物线上的点组成的集合， A正确，B错，C正确，D正确， 故选：B． 15.列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据集合的定义及表示方法求解即可. 【详解】选项A： 是表示平面直角坐标系中的一个点，不是集合，故A错误； 选项B： 是点集，与数集的元素类型不同，不是同一集合，故B错误； 选C：解方程 ，因式分解得 ，解得 或 ， 因此集合 ，与原集合是同一集合，故C正确； 选项D： 是两个等式构成的集合，不是同一集合，故D错误. 故选：C 16.已知集合，，则B中所含元素的个数为（       ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据集合的形式，逐个验证的值，从而可求出集合中的元素. 【详解】 因为， 所以时，；时，或；时，，或. 所以，所以B中所含元素的个数为. 故选：B. 三、解答题 17. 用列举法表示下列集合： (1){不超过30的素数}； (2){五边形的对角线}； (3){的正约数}； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据集合的表示方法，利用列举法，逐项计算，即可求解. 【解析】 (1)集合不超过30的素数可表示为. (2)集合五边形的对角线可表示为. (3)集合{的正约数}可表示. (4)集合可表示. 18. 将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 【分析】根据集合、区间以及数轴的知识确定正确答案. 【详解】（1）用区间表示为，用数轴表示如图：    （2）或用区间表示为，用数轴表示如图：    （3）且用区间表示为，用数轴表示如图:    （4）用区间表示为，用数轴表示如图：    19. 用适当的方法表示下列集合： (1)方程组的解集； (2)所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程的实数根组成的集合； (4)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； (5)二次函数的图象上所有的点组成的集合； (6)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【解析】（1）解方程组得， 故解集可用描述法表示为，也可用列举法表示为． （2）小于13的既是奇数又是素数的自然数有4个，分别为3，5，7，11， 可用列举法表示为． （3）方程的实数根为1，因此可用列举法表示为， 也可用描述法表示为． （4）集合的代表元素是点，可用描述法表示为且． （5）二次函数的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为点， 其中x，y满足，由于点有无数个， 则用描述法表示为． （6）二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合中， 代表元素y，是实数，故可用描述法表示为． 20. 已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【解题思路】（1）当时，直接解出集合即可； （2）解方程，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合的元素之和为进行检验或求出的值，即可得解. 【解答过程】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 21．已知集合，且． （1）判断是否为中元素 （2）设，求证： （3）证明：若，则是偶数； 【答案】（1）不 是集合中元素；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【分析】（1）根据集合元素的属性判断； （2）根据，由化简，由集合元素的属性判断； （3）根据，由化简判断. 【详解】（1）因为， 此时：，不满足， 所以不是集合中元素. （2）因为，则， ， ， 因为都是整数， 所以. （3）因为， 所以， ， 因为，所以为偶数即为偶数. 一、填空题 二、选择题 三、解答题 【跟踪训练2】．（2024高一上·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． (5)由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）写出大于1且小于6的整数即可；（2）求出方程的根即可；（3）解不等式即可求解；（4）写出符合条件的坐标即可；（5）分类讨论即可. 【详解】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为； （2） （3） （4） （5）由题意， 当时，＋； 当时，＋； 当时，＋； 当时，＋， 故由＋ （a， b∈R）所确定的实数组成的集合为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年上海高一数学必修一暑假班预习提升讲义 专题02 集合的表示方法 知识点一、列举法 定义：将集合中的元素不重复地一一列举出来，并写一对在大括号“{}”内，这种表示集合的方法叫做列举法； 【要点】 （1）应用列举法表示集合时应关注以下四点： ①元素与元素之间必须用“，”隔开； ②集合中的元素必须是明确的； ③集合中的元素不能重复； ④集合中的元素可以是任何事物； （2）a与{a}是完全不同的，{a}表示一个集合，这个集合由一个元素a构成，a是集合{a}的元素； （3）能用列举法表示的集合一般是有限集，但对于一些有规律的无限集,在不会引起歧义的前提下,也可用列举法表示.例如，全体正偶数组成的集合可以表示为｛2,4,6,…,2n，…｝ （4）大括号“｛｝”表示“所有”“整体”的含义示例:实数集R可以写成｛实数｝,但如果写成{实数集}、｛全体实数｝、{R}都是不正确的. 知识点二、描述法 1.定义：在一对大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线，并在竖线的右边写上集合中元素所具有的特征，即A={x|x满足性质p}． 这种表示集合的方法叫做描述法 集合的特征性质：如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质； 【要点】 （1）应用描述法表示集合时应关注以下三点： ①写清楚集合中元素的符号，如：数或点等； ②说明该集合中元素的共同特征，如：方程、不等式、函数式或几何图形等； ③不能出现未被说明的字母； （2） 注意区分以下四个集合： ①A＝{x|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A＝R； ②B＝{y|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y＝x2＋1≥1，因此B＝{y|y≥1}； ③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示满足y＝x2＋1的点(x，y)组成的集合，因此C表示函数y＝x2＋1的图像上的点组成的集合； ④P＝{y＝x2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y＝x2＋1。 （1）所有描述的内容都要写在大括号内，如＂｛x｜x＝2k}, ＂不符合要求，应写为 ． （2）精确地写出集合中代表元素的符号，如 不能写成 ． （3）不能出现未被说明的字母，如 中不明确，故集合中的元素不确定． （4）多层描述时，应准确使用＂且＂＂或＂等表示元素之间关系的词语，如或． （5）元素的取值范围，如果从上下文的关系看是明确的，那么可以省略不写。如在实数集中取值，＂＂常省略不写， 常写为． 知识点三、区间的概念及表示 （1）区间的定义及表示：设a，b是两个实数，而且a<b. 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] （2）无穷的概念及无穷区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【注意】关于无穷大的两点说明：（1）“∞”是一个符号，而不是一个数；（2）以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号； 知识点四、集合表示方法的选择 1.根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则. 2.一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合. 知识点一、列举法 题型一、用列举法表示集合 【例1】用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程的实数根组成的集合B； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C. 【跟踪训练】 1.用列举法表示下列集合： (1)能整除10的所有正整数组成的集合； (2)绝对值小于4的所有整数组成的集合． 小于的正整数的集合 2.用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)“Welcome”中的所有字母构成的集合； (3)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合． 知识点二、描述法 题型二、用描述法表示集合 【例2】用描述法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数组成的集合； (2)不等式的解集； (3)方程的所有实数解组成的集合； (4)抛物线上所有点组成的集合； (5)集合. 【跟踪训练】 1. 用描述法表示下列集合： (1)偶数组成的集合； (2)正奇数组成的集合； (3)不等式－x2≥0的解集； (4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合； (5)集合. 2. 用描述法表示下列集合： (1)不等式的解组成的集合； (2)被除余的正整数的集合； (3)； (4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 题型三、理解描述法表示的集合 【例3】已知集合，集合，下列关系不正确的是(    ) A. B. C. D. 【跟踪训练】 1．已知集合，则集合A中的元素（    ） A．除以3余数为； B．除以3余数为1； C．除以3余数为2； D．能被3整除. 2.集合，则集合（    ） A． B． C． D． 3． ． 4.下列三个集合： ①②③ 它们是不是相同的集合? 它们各自的含义分别是什么? 题型四、集合表示方法的选择与互化 【例4】用适当的方法表示下列集合： (1)方程的解集； (2)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)被5除余3的正整数组成的集合； (4)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【例5】用列举法表示下列集合： (1){x|x是14的正约数}； (2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}； (3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}； (4){x|x＝(－1)n, n∈N}； (5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}. 【跟踪训练】 1. 选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 2．用列举法表示下列集合： (1) (2) (3)； (4)； 题型五、判断是否表示同一集合 【例6】下列各组中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练】 1.下列集合中表示同一集合的是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列四组中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 3. 下列表示同一个集合的有__________________ (1) ， (2) ， (3) ， (4)，且，， 知识点三、区间表示及综合提升 题型六、区间的意义及其表示 【例7】下列叙述正确的是（　　） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【例8】若（m，4m﹣3）为一确定区间，则m的取值范围为 　 　 ． 【跟踪训练】 1.用区间表示下列数集： （1） ； （2） ； （3）且 ； （4） ； （5） ． 2.用区间表示下列数集： (1)； (2)； (3)； (4)R； (5)； (6)或. 题型七、求集合中元素或个数 【例9】集合A＝用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 集合用列举法表示为 . 2. 已知集合，且，则M等于 （用列举法） 3. 已知集合，且，则M等于 A. B. ，3， C. ，3， D. ，3， 题型八、集合新定义问题 【例10】定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1. 已知A＝{1，3}，B＝{1，2}，定义集合A，B之间的运算“*”，A*B＝{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，则集合A*B＝ 　 　 2.已知集合，，记且.则 ， . 3.用表示非空集合A中元素的个数，定义，已知集合，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型九、综合提升 【例11】已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【例12】已知集合中只有一个元素，则实数a的所有可能值的乘积为（   ） A． B．-1 C．1 D． 【跟踪训练】 1.已知，集合. (1)若A是空集，求实数a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求集合A； (3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围. 2.已知集合，a为实数. (1)若集合A是空集，求实数a的取值范围； (2)若集合A是单元素集，求实数a的值； (3)若集合A中元素个数为偶数，求实数a的取值范围. 一、填空题 1.用列举法表示小于10的正偶数所构成的集合为______． 2.用列举法表示集合______． 3.用列举法表示_________． 4.已知集合，试用列举法表示集合__________． 5.解集用描述法表示为，解集用列举法表示为 ． 6.已知集合，则集合=______．（用列举法表示） 7.用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合______． 8. 用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为 ．    9.若为一确定区间，则a的取值范围是________． 10.集合，用区间表示为______ 11.已知集合，若集合 中只有一个元素，则实数 的取值集合是_____. 12.已知集合，若且，则实数m的取值范围是______ 二、选择题 13.二元一次方程组 的解集是（    ） A． B． C． D． 14.已知集合，集合，下列关系错误的是（       ）． A． B． C． D． 15.列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 16.已知集合，，则B中所含元素的个数为（       ） A．3 B．6 C．8 D．10 三、解答题 17. 用列举法表示下列集合： (1){不超过30的素数}； (2){五边形的对角线}； (3){的正约数}； (4). 18. 将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 19. 用适当的方法表示下列集合： (1)方程组的解集； (2)所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合； (3)方程的实数根组成的集合； (4)平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合； (5)二次函数的图象上所有的点组成的集合； (6)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 20. 已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 21．已知集合，且． （1）判断是否为中元素 （2）设，求证： （3）证明：若，则是偶数； 1 学科网（北京）股份有限公司 $