暑假预习专题 第3讲 集合的运算（暑假预习讲义）新高一年级数学沪教版

暑假预习专题 第3讲 集合的运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 交集 并集 补集 1．理解交集、并集和补集的概念，会准确使用集合的运算符号“∩”、 “U”、“”(重点) 2.掌握集合之间的交、并运算，会求给定集合中一个子集的补集.(重、难点) 学习重点：集合的交、并、补运算的混合运算，以及根据集合的运算结果求参数的取值范围，常常 借助维恩图和数轴解决含有参数的问题，这里端点处的值不太好判断，比较好的方法是求出结果 带入端点验证是否符合题意。 学习难点：会用维恩图、数轴等图形语言表示集合的三种运算，体会困形对理解抽象概念的作用， 感悟数形结合思想。 1、交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”， 即 文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 2、并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 3、补集： 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 4、常用结论： （1）并集运算性质：；；若，则； （2）交集运算性质：；；若，则. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 交集 交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”， 即 ①； ②，； ③； ④； ⑤若，则； 定义 由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集, (1)两集合为不包含关系时 ①与有部分公共元素: ② (2) 两集合为包含关系时： ① ② ③ 【经典例题】 【例1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】先求得集合,再根据交集定义求解． 【例2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则 . 【技巧归纳】求两个集合的交集,关键在于紧扣交集的定义，找到两个集合的公共元素. 【例3】（24-25高一上·上海松江·期末）已知集合，则 【技巧归纳】根据给定条件，利用交集的定义直接求得答案. 【例4】设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．若A∩B＝B，求a的值. 【技巧归纳】根据分类讨论找到两个集合中的公共元素，就可以看出两个集合的交集即可． 【对点练习】 【练习1】已知集合，，求. 【练习2】已知集合，，求. 【练习3】已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，若A∩B＝{9}，求a的值. 【练习4】设集合，则集合 ____ 【练习5】已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，若9∈A∩B，求a的值. 知识点02 并集 并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即. ①； ②，；③； ④； ⑤若，则. 自然语言 定义 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的并集,记 符号语言 图形语言 （1）两集合为不包含关系时: ①A与B有部分公共元素; ②A与B没有公共元素 （2）两集合为包含关系时 ① ② ③ 【经典例题】 【例4】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是 ． 【易错提醒】据集合并集的定义即可求解. .【例5】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合满足， 则实数的值为 ． 【易错提醒】根据并集结果得到等式，依次求解并确定是否符合要求即可. 【例6】满足条件的集合的个数是 ． 【易错提醒】根据题意确定的元素，一定要有，最多只能有三个元素，直接得答案. 【例7】已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有 个. 【易错提醒】由题意可得集合B等于集合A的子集中加上元素5即可，所以集合B的个数就是集合A 子集的个数. 【例8】（23-24高一上·上海虹口·期中）已知全集为R，集合，集合． (1)求；(2)若，且，求实数m的取值范围． 【易错提醒】（1）先求出集合内元素的不等式，再求出交集即可； （2）由得到，然后分成是否为空集对分类讨论即可. 【对点练习】 【练习8】满足条件 的集合的个数是 ． 【练习9】集合各含8个元素，含5个元素，则含有 个元素. 【易错提醒】结合集合及的元素，利用集合元素的性质即可得到答案. 【练习10】设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A∪B＝B，求a的值． 【练习11】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋1}，若A∪B＝A，求实数m的取值范围． 【练习12】已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－6＝0}且A∪B＝A，求实数a的值组成的集合 知识点03 补集 补集：设为全集，是的子集，则由中所有不属于集合的元素组成的集合叫做集合在全集中的补集，记作“”或“”，读作“A补”， 即 ①，； ②若则； ③，； ④若，则；若，则； ⑤，. 1.全集的概念 在数学研究中,所研究的对象往往是某个确定集合的一个子集或元素,这个确定的集合称为全集, 常用符号U表示.它含有我们所要研究问题的全部可能的元素 2.补集的概念 自然语言 定义 设为全集,A是的子集.由中所有不属于的元素组成的集合称为集合在全集中的补集，记作 （读作＂ 补＂）．有时为了强调全集 ，集合 在全集 中的补集 符号语言 图形语言 3.补集的运算性质 性质 说明 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与共补集的交集为空集 任何集合的补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 【经典例题】 【例9】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集，集合，，则 . 【易错提醒】根据集合的交集运算和补集运算求解即可. 【例10】（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且， 求实数的值. 【易错提醒】本题考查集合的补集，利用补集的定义来求得正确答案． 【例11】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集，集合，， 是否存在实数a，使得？ 【易错提醒】根据集合补集和交集的定义，即可判断. 【例12】已知集合，且． (1)若，求实数a组成的集合；(2)若全集为A，，求m，a的值． 【易错提醒】（1），可得，由得，对B分类讨论即可求；（2）由全集 为A，，即得，代入可得m，，即，代入可得a. 【例13】（24-25高一上·上海虹口·期末）已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为 . 【易错提醒】利用并集的定义得，从而得，根据集合包含关系列不等式求解. 【例14】（24-25高一上·上海·阶段练习）若全集为的子集，且，，则 . 【易错提醒】本题考查集合的补集，根据题意画出韦恩图即可得知． 【例15】（24-25高一上·上海·阶段练习）设，. (1)若，求实数的值；(2)若全集为，，求实数的取值范围. 【易错提醒】（1）解出集合，根据可知是方程的两根， 求出的值，然后结合检验即可得解；（2）分析可得，分两种情况讨论：，根据可求得的范围；，分析可知，、不是方程的根，可得出关于实数的 不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【对点练习】 【练习13】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若全集，集合，，则= 【练习14】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知全集，集合，， 则 ． 【练习15】（24-25高一上·上海·期中）已知全集， 若，，，则集合 . 【练习16】已知集合，，， 全集． ；若，则实数b的取值范围为 ． 【练习17】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集，， ， ． 【练习18】已知全集，，，且，求的值． 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，如果，则的值是 . 2．集合，，若，则实数 ． 3．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合， 则 ． 4.（24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合， 则 ． 5.（24-25高一上·上海奉贤·期中），，则 ． 6.集合各含8个元素，含5个元素，则含有 个元素. 7.（24-25高一上·上海·期末）设全集，集合，则 ． 8.（24-25高一上·上海·期末）已知全集， ，则 ． 9.（24-25高一上·上海闵行·期末）已知全集，集合，则 10.（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）全集为，，， 则 . 11.（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，且， 则实数a的取值范围是 . 12.（24-25高一上·上海静安·期末）设全集为，若的子集集合， 子集，则= 13.（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知，，，记，，若，则集合为 . 14.若、、为三个集合，，则一定有（　　） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）判断下列命题为真命题的个数（   ） ①0是的真子集；②； ③如果集合A是集合B的子集，那么集合B就不是集合A的子集； ④如果，那么除以4的余数为0或1. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 17．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知全集，集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18.（24-25高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围. 19.已知集合，． (1)若是的真子集，求的取值范围；(2)若，求的取值范围． 20.（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知集合，集合或，全集. (1)若，求；(2)若，求实数的取值范围. 21.（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，. (1)若，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假预习专题 第3讲 集合的运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 交集 并集 补集 1．理解交集、并集和补集的概念，会准确使用集合的运算符号“∩”、 “U”、“”(重点) 2.掌握集合之间的交、并运算，会求给定集合中一个子集的补集.(重、难点) 学习重点：集合的交、并、补运算的混合运算，以及根据集合的运算结果求参数的取值范围，常常 借助维恩图和数轴解决含有参数的问题，这里端点处的值不太好判断，比较好的方法是求出结果 带入端点验证是否符合题意。 学习难点：会用维恩图、数轴等图形语言表示集合的三种运算，体会困形对理解抽象概念的作用， 感悟数形结合思想。 1、交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”， 即 文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 2、并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 3、补集： 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 4、常用结论： （1）并集运算性质：；；若，则； （2）交集运算性质：；；若，则. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 交集 交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”， 即 ①； ②，； ③； ④； ⑤若，则； 定义 由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集, (1)两集合为不包含关系时 ①与有部分公共元素: ② (2) 两集合为包含关系时： ① ② ③ 【经典例题】 【例1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，又，所以，故选：B． 【技巧归纳】先求得集合,再根据交集定义求解． 【例2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则 . 【答案】【分析】由集合交集可得答案. 【详解】由交集定义，结合，则；故答案为：. 【技巧归纳】求两个集合的交集,关键在于紧扣交集的定义，找到两个集合的公共元素. 【例3】（24-25高一上·上海松江·期末）已知集合，则 【答案】【详解】依题意，；故答案为：. 【技巧归纳】根据给定条件，利用交集的定义直接求得答案. 【例4】设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．若A∩B＝B，求a的值. 【解析】化简集合A，得A＝{－4，0}．由于A∩B＝B，则有B⊆A可知集合B或为空集， 或只含有根0或－4. ①若B＝∅，由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，得a<－1. ②若0∈B，代入x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，得a2－1＝0，即a＝1或a＝－1， 当a＝1时，B＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}＝A，符合题意； 当a＝－1时，B＝{x|x2＝0}＝{0}⊆A，也符合题意； ③若－4∈B，代入x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，得a2－8a＋7＝0，即a＝7或a＝1， 当a＝1时，②中已讨论，符合题意；当a＝7时，B＝{x|x2＋16x＋48＝0}＝{－12，－4}，不合题意； 综合①②③得a＝1或a≤－1． 【技巧归纳】根据分类讨论找到两个集合中的公共元素，就可以看出两个集合的交集即可． 【对点练习】 【练习1】已知集合，，求. 【答案】 【练习2】已知集合，，求. 【答案】 【解析】表示方程组的解得集合，也可以理解为两个函数图像的交点坐标的集合. 【练习3】已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，若A∩B＝{9}，求a的值. 【答案】∵A∩B＝{9}，∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3； 当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}．此时A∩B＝{－4，9}≠{9}．故a＝5舍去． 当a＝3时，B＝{－2，－2，9}，不符合要求，舍去．经检验可知a＝－3符合题意． 【练习4】设集合，则集合 ____ 【答案】 【练习5】已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，若9∈A∩B，求a的值. 【答案】∵9∈A∩B且9∈B，∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3. 而当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，故舍去．∴a＝5或a＝－3. 知识点02 并集 并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即. ①； ②，；③； ④； ⑤若，则. 自然语言 定义 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的并集,记 符号语言 图形语言 （1）两集合为不包含关系时: ①A与B有部分公共元素; ②A与B没有公共元素 （2）两集合为包含关系时 ① ② ③ 【经典例题】 【例4】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是 ．【答案】 【详解】因为，，所以.所以实数的取值范围是； 故答案为：. 【易错提醒】据集合并集的定义即可求解. .【例5】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合满足， 则实数的值为 ． 【答案】1或或0【详解】因为，所以或或， 若，解得或，当时出现两个1，矛盾；当时符合要求； 若，解得或，经验证都符合要求； 若，解得或者，由上知不符合，经验证时符合， 所以或或或；故答案为：1或或0. 【易错提醒】根据并集结果得到等式，依次求解并确定是否符合要求即可. 【例6】满足条件的集合的个数是 ． 【答案】【详解】因为，所以中最少有一个元素，最多有三个元素. 所以或，或，或； 满足条件的集合M的个数是4；故答案为：． 【易错提醒】根据题意确定的元素，一定要有，最多只能有三个元素，直接得答案. 【例7】已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有 个. 【答案】16【详解】因为集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}， 所以集合B等于集合A的子集中加上元素5即可，所以集合B的个数就是集合A子集的个数，即为， 故答案为：16. 【易错提醒】由题意可得集合B等于集合A的子集中加上元素5即可，所以集合B的个数就是集合A 子集的个数. 【例8】（23-24高一上·上海虹口·期中）已知全集为R，集合，集合． (1)求；(2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）先求出集合内元素的不等式，再求出交集即可； （2）由得到，然后分成是否为空集对分类讨论即可. 【详解】（1），或，所以或， 即； （2）因为，所以，①若，此时； ②若，此时需满足，不等式无解，综上可知. 【易错提醒】（1）先求出集合内元素的不等式，再求出交集即可； （2）由得到，然后分成是否为空集对分类讨论即可. 【对点练习】 【练习8】满足条件 的集合的个数是 ． 【答案】【解析】根据题意确定的元素，一定要有，最多只能有三个元素，直接得答案. 【详解】因为，所以中最少有一个元素，最多有三个元素. 所以或，或，或； 满足条件的集合M的个数是4；故答案为：． 【练习9】集合各含8个元素，含5个元素，则含有 个元素. 【答案】11【详解】因为集合各含8个元素，含5个元素， 所以由集合元素的互异性可得包含元素的个数为；故答案为：. 【易错提醒】结合集合及的元素，利用集合元素的性质即可得到答案. 【练习10】设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A∪B＝B，求a的值． 【详解】化简集合A，得A＝{－4，0}．因为A∪B＝B，所以A⊆B，又A＝{－4，0}， 而B至少只有两个根，且根据一元二次方程根的特点，因此应有A＝B.由(1)知，a＝1. 【练习11】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋1}，若A∪B＝A，求实数m的取值范围． 【详解】∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴，∴－≤m≤2. 【练习12】已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－6＝0}且A∪B＝A，求实数a的值组成的集合 【详解】因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，a＝0；当B≠∅时，由x2－3x＋2＝0， 得x＝1或2；当x＝1时，a＝6；当x＝2时，a＝3；所以C＝{0，3，6}． 知识点03 补集 补集：设为全集，是的子集，则由中所有不属于集合的元素组成的集合叫做集合在全集中的补集，记作“”或“”，读作“A补”， 即 ①，； ②若则； ③，； ④若，则；若，则； ⑤，. 1.全集的概念 在数学研究中,所研究的对象往往是某个确定集合的一个子集或元素,这个确定的集合称为全集, 常用符号U表示.它含有我们所要研究问题的全部可能的元素 2.补集的概念 自然语言 定义 设为全集,A是的子集.由中所有不属于的元素组成的集合称为集合在全集中的补集，记作 （读作＂ 补＂）．有时为了强调全集 ，集合 在全集 中的补集 符号语言 图形语言 3.补集的运算性质 性质 说明 任何集合与其补集的并集为全集 任何集合与共补集的交集为空集 任何集合的补集的补集为集合本身 全集的补集为空集，空集的补集为全集 【经典例题】 【例9】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集，集合，，则 . 【答案】 【详解】因为集合，，所以， 又全集，所以；故答案为：. 【易错提醒】根据集合的交集运算和补集运算求解即可. 【例10】（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且， 求实数的值. 【答案】 【详解】由题意可知：，则，解得，所以实数的值为. 【易错提醒】本题考查集合的补集，利用补集的定义来求得正确答案． 【例11】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集，集合，， 是否存在实数a，使得？ 【答案】存在实数a，使得.理由见解析. 【分析】根据集合补集和交集的定义，即可判断. 【详解】存在实数a，使得.理由如下：由题意， 所以或， 又因为当时，，不符合条件，故舍去； 当时，，，符合条件；综上，存在实数a，使得. 【易错提醒】根据集合补集和交集的定义，即可判断. 【例12】已知集合，且． (1)若，求实数a组成的集合；(2)若全集为A，，求m，a的值． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1），，由得， 当，则；当，则；当，则；综上可得实数a组成的集合为； （2）由全集为A，，即得，∴，∴，∴；综上，. 【易错提醒】（1），可得，由得，对B分类讨论即可求；（2）由全集 为A，，即得，代入可得m，，即，代入可得a. 【例13】（24-25高一上·上海虹口·期末）已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】全集，集合，，所以或， 所以．集合或，且，所以或， 解得或，即的范围为；故答案为：. 【易错提醒】利用并集的定义得，从而得，根据集合包含关系列不等式求解. 【例14】（24-25高一上·上海·阶段练习）若全集为的子集，且，，则 . 【答案】 【分析】根据题意画出韦恩图即可得知. 【详解】，，作出维恩图，如图所示：    则；故答案为：. 【易错提醒】本题考查集合的补集，根据题意画出韦恩图即可得知． 【例15】（24-25高一上·上海·阶段练习）设，. (1)若，求实数的值；(2)若全集为，，求实数的取值范围. 【答案】(1)或；(2)且且且. 【详解】（1）因为，，且， 则是方程的根，所以，，解得或， 当时，，此时，，合乎题意； 当时，，此时，，合乎题意.综上所述，或； （2）对于方程，， 因为全集为，，则，分以下几种情况讨论： 当时，则，可得，此时，，合乎题意； 当时，则，可得， 因为，则、都不是方程的根， 所以，，解得且且且， 此时，或或或. 综上所述，实数的取值范围是且且且. 【易错提醒】（1）解出集合，根据可知是方程的两根， 求出的值，然后结合检验即可得解；（2）分析可得，分两种情况讨论：，根据可求得的范围；，分析可知，、不是方程的根，可得出关于实数的 不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【对点练习】 【练习13】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若全集，集合，，则= 【答案】 【详解】，所以；故答案为： 【练习14】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知全集，集合，， 则 ． 【答案】． 【详解】全集，，则，集合，则；故答案为：． 【练习15】（24-25高一上·上海·期中）已知全集， 若，，，则集合 . 【答案】【分析】先求出，再求出，从而可求. 【详解】因为，故， 而且两两相交为空集， 故，故，故答案为：. 【练习16】已知集合，，， 全集． ；若，则实数b的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用交集的定义直接求解，再求出集合的补集，然后由， 列不等式组可求出实数b的取值范围. 【详解】因为，，所以； 因为，所以；因为，所以， 所以；故答案为：；． 【练习17】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集，，， ． 【答案】【分析】用列举法表示全集，再根据集合间运算求解. 【详解】由题意得，，∵∴， ∴；故答案为：. 【练习18】已知全集，，，且，求的值． 【答案】． 【分析】由题意可得，2是关于的方程的一个根，得且，故．进而得到，3一定是关于的方程的一个根，求得的值，即可得到的值． 【详解】解：∵，，∴，又， ∴2是关于的方程的一个根，∴，∴且， ∴，而，∴，又， ∴3一定是关于的方程的一个根，∴，∴且，∴． 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，如果，则的值是 . 【答案】/0.0625【分析】利用可得，再结合两个集合的约束条件求出即得. 【详解】由，得，因此方程与为同一方程， 则，解得，所以；故答案为：. 2．集合，，若，则实数 ． 【答案】【分析】根据交集的性质得，由此求得，并检验满足题意． 【详解】，则，所以，，此时满足题意；故答案为：． 3．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合， 则 ． 【答案】【分析】应用集合的并运算求集合. 【详解】由题设；故答案为：. 4.（24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合， 则 ． 【答案】【分析】应用集合的并运算求集合. 【详解】由题设；故答案为：. 5.（24-25高一上·上海奉贤·期中），，则 ． 【答案】【分析】根据题意结合并集运算求解即可. 【详解】因为，，所以；故答案为：. 6.集合各含8个元素，含5个元素，则含有 个元素. 【答案】11【分析】结合集合及的元素，利用集合元素的性质即可得到答案. 【详解】因为集合各含8个元素，含5个元素， 所以由集合元素的互异性可得包含元素的个数为；故答案为：. 7.（24-25高一上·上海·期末）设全集，集合，则 ． 【答案】【分析】应用集合的补运算求集合. 【详解】由全集，且，则.故答案为： 8.（24-25高一上·上海·期末）已知全集， ，则 ． 【答案】；【分析】根据集合的补集定义计算即可. 【详解】因为全集， ，所以.故答案为： 9.（24-25高一上·上海闵行·期末）已知全集，集合，则 【答案】【分析】根据补集概念进行求解.【详解】.故答案为： 10.（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）全集为，，， 则 . 【答案】【分析】根据集合的运算求解.【详解】，，， ，.故答案为：. 11.（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，且， 则实数a的取值范围是 . 【答案】【分析】根据并集的结论得集合的包含关系，再由包含关系得结论． 【详解】因为，所以，又，所以，故答案为：． 12.（24-25高一上·上海静安·期末）设全集为，若的子集集合，子集，则= 【答案】 【分析】根据一元二次方程以及一元一次不等式组，可得集合，根据补集与交集的运算，可得答案. 【详解】由，，解得或，则；由，解得，则，可得或；所以.故答案为：. 13.（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知，，，记，，若，则集合为 . 【答案】或或 【分析】由得到，进而得知与只能相差，由此求得. 【详解】因为，所以，，即，， 因为，所以由，，知与可能相差， 又因为，，所以与可能相差， 那么与只能相差，符合条件的集合可以为或或,故答案为：或或 14.若、、为三个集合，，则一定有（　　） A． B． C． D． 【答案】A【分析】由已知等式可推导得到，由此可依次判断各个选项得到结果. 【详解】因为，所以，，，所以, 所以，对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当且仅当时，，故B错误；对于C，当时，满足，故C错误； 对于D，当时，满足，故D错误；故选：A. 15．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B【分析】先求出集合M和集合N的长度，由此能求出集合的“长度”的最小值． 【详解】根据新定义可知集合M的长度为，集合N的长度为， 当集合的长度最小时，M与N应分别在区间上的左右两端， 故的长度的最小值是故选：B. 16．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）判断下列命题为真命题的个数（   ） ①0是的真子集；②； ③如果集合A是集合B的子集，那么集合B就不是集合A的子集； ④如果，那么除以4的余数为0或1. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B【分析】对①，根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断；对②，根据交集，并集运算，真子集的关系判断；对③，根据子集的定义判断；对④，设，，讨论，求解判断. 【详解】对于①，因为0是集合中的元素，所以，故①错误； 对于②，当时，，此时不是的真子集，故②错误； 对于③，当时，，且，故③错误； 对于④，，当，时，则除以4的余数为0， 当时，则除以4的余数为1， 综上，除以4的余数为0或1，故④正确；所以真命题个数为1；故选：B. 17．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知全集，集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合的补集，再对集合分空集和非空集讨论，建立不等式关系，进而可以求解． 【详解】由已知可得或，又， 当时，，解得，此时满足题意； 当时，要满足题意，只需，解得，综上，实数的范围为．故选：D 18.（24-25高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】(1)根据交集的定义即可求得结果；（2）由，得到,利用子集的定义即可得到结果. 【详解】（1）； （2）. 19.已知集合，． (1)若是的真子集，求的取值范围；(2)若，求的取值范围． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据真子集定义即可求出的取值范围；（2）根据子集定义即可求出的取值范围. 【详解】（1）若是的真子集，根据真子集定义，的范围要完全在的内部，且，故． （2）若，即，，由图知． 20.（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知集合，集合或，全集. (1)若，求；(2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或；(2)或. 【分析】（1）应用集合的并补运算求集合；（2）根据包含关系列不等式求参数范围即可. 【详解】（1）由题设，则或，所以或. （2）由且恒成立，即为非空集，所以或，即或. 21.（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，. (1)若，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）先求解出方程的根，则集合可知，再求解出的根， 则可确定出集合，根据得到，从而可求解出的可取值，则的值可求； （2）根据得到，分别考虑当为空集、单元素集、双元素集的情况，由此确定出的取值. 【详解】（1）由得或，所以，由得或， 所以，因为，所以，所以或，所以或； （2）因为，所以，当时，，解得， 当时，，无解，当时，，解得， 当时，，无解，综上，实数m的取值范围是. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $