暑假预习专题03 集合之间的关系（6知识+9题型+提升练）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

暑假预习专题03 集合之间的关系 1.掌握子集、真子集、空集的定义及其表示方法(重点) 2.能用符号和维恩图表示集合间的关系(重点) 3.理解和辨识集合之间的包含、相等、真包含关系 4.感悟分类讨论思想与数形结合思想(重、难点) 5.通过对子集定义的辨析、类比实数的大小关系，理解包含关系的三个结论(重点) 定义 对于两个集合与,如果集合的每个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集，记作（或），读作＂包含于＂（或＂包含＂）．对任何集合，规定． 我们常用维恩图来直观表示集合以及集合之间的关系．如图是的维恩图． （1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线. （2）用Venn图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显． 集合间关系的有关性质 （1）对于集合之间的包含关系，我们有下列结论： ① ； ②若且，则； ③传递性：若且，则． （2）集合关系中的＂若且，则＂与实数大小关系中＂若且 ，则＂类似． 下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可. 对于①，两个数集不能用符号，应为，①错误； 对于②，任何集合都是本身的子集，②正确； 对于③，空集是任何集合的子集，③正确； 对于④，集合是数集，有2个元素，集合是点集，只有1个元素，④错误； 所以正确的个数有2个. B. （2025·上海杨浦·期末）已知集合，且，则_____． 根据两个集合元素之间的关系，分类讨论，列式解方程即可． 由题意，, 若时，，满足题意； 若时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 又，故若时，解得或， 若时，，满足题意， 当时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 综上所述，. . 定义 对于两个集合与，如果，且中至少有一个元素不属于（即不是的子集），那么称集合是集合的真子集，记作（或），读作＂ 真包含于＂（或＂真包含＂）． 【注意：有的教材对真子集符号表示为，真包含于（或真包含）】 对于常用的数集，我们有如下的包含关系： 性质 （1）任何集合都不是它本身的真子集． （2）若，且，则． （3）若，且，则． （1）若 和 同时成立，则 更能准确表达集合 、 之间的关系． （2）真子集是子集的一种特殊情况. （3）真子集的定义同时也给出了证明是的真子集的方法，即欲证，可先证，再证中至少有一个元素不是集合中的元素． 满足的集合的个数为____________. 【答案】7 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 根据得到集合中一定有元素，再与其他几个数进行组合，得到满足要求的集合，得到答案. 因为 所以集合中一定有元素， 所以满足要求的集合有，，，，，，，共7个， 7 设集合，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 将两集合结构化为一致即可判断. ， 代表所有奇数，代表所有整数 所以 B 定义 已知两个集合与，若，且 ，则称这两个集合相等，记作．如图是集合 的维恩图． 两个集合相等除了用定义、互为集合子集的包含关系外，也可以用若两个集合相等，则集合元素之和、之积相等来解答问题 ＂＂与＂＂的区别 ＂＂是元素与集合之间的关系，如 ，不能写成；＂＂是集合与集合之间的关系（表示集合间关系的还有真包含关系＂＂），如，不能写成． 已知集合和，那么（   ） A． B． C． D． 根据集合中的元素满足的特征可得和，即可求解. 由于同号，又，所以均为负数，故则，故 对于任意中的元素，满足集合，故，因此， C 1.空集的定义 不含有任何元素的集合称为空集,记作 2.空集的性质 （1）空集是任何集合的子集,即 （2）空集是任何非空集合的真子集,即 （3）空集只有一个子集,即它本身. 空集是一个特殊且重要的集合,它不含任何元素,在解题过程中容易被忽视,特别是在隐含有空集参与的集合问题中,往往容易因忽视空集的特殊性而导致错误. 与的关系 与 与 与 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 是集合而是元素 不含任何元素； 含一个元素 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 或 写出集合 的所有子集，并指出哪些是真子集． 可以按照子集的元素个数分类： 不含任何元素的子集 1 个：空集 ； 含 1 个元素的子集 3 个： ； 含 2 个元素的子集 3 个： ； 含 3 个元素的子集 1 个： 。 除集合 本身外，其余 7 个都是真子集． 集合 的所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 1 0 3 2 8=23 7 6 2n （2024·上海宝山阶段练习）满足的集合M的个数为____个. 通过列举法即可求解. 由题意可知：可以是：，，共3个， 3. 1. 数轴法 对于由连续实数组成的集合,通常用数轴来表示,这也属于集合表示的图示法:在数轴上,若端点值是集合中的元素则用实心点表示;若端点值不是集合中的元素,则用空心点表示. 集合与用数轴表示分别如图所示． 2. 数轴表示集合间的关系 （1）集合与集合的关系是 ，用数轴表示如图所示． （2）集合或与集合的关系是 ，用数轴表示如图所示． 考点一．判断两个集合是否相同 例1 下列表示同一集合的是　　 A．，，， B．， C．， D．，， 直接根据集合相等的概念进行判断即可． 对于选项，由集合元素具有无序性可得：，，，故正确； 对于选项，集合表示直线上所有的点构成的集合，而集合表示直线上所有的点的纵坐标的取值集合，两者不相同，故不正确； 对于选项，点与点是不同的点，故不正确； 对于选项，集合中有两个元素2和4，而集合中仅有1个元素，故不正确． 1-1设是有理数，集合，，，，在下列集合中； （1），； （2），； （3），； （4），． 与相同的集合有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】 【分析】将，分别代入（1），（2），（3），化简并判断，与，是否一一对应，再举反例判断（4）． 【解答】解：对于（1）由，可得，，一一对应，则，，故（1）符合； 对于（2）由，可得，，一一对应，则，，故（2）符合； 对于（3）由，可得，，一一对应，则，，故（3）符合； 对于（4），但方程无解，则，与不相同． 故选：． 【点评】本题考查了函数的定义以及集合相等，考查了运算求解能力，属于基础题． 1-2（2023•闵行区校级期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②，； ③，，；④，，． 与集合相等的集合序号是 　④　． 【答案】④． 【分析】集合相等条件为集合元素相同，根据此条件分别判断①②③④四个集合中元素是否与集合一致即可． 【解答】解：对于①．，设，，，则，不妨取，，可知，而，，显然，故①的集合与不相等； 对于②．令，，，则，显然，但，，故②的集合与不相等： 对于③．当，，，时，，故③的集合与不相等； 对于④．令，，，，，，， 其中，，，故④的集合与相等． 故答案为：④． 【点评】本题考查了集合的新定义，关键在于学生对概念的理解，属中档题． 考点二．两个集合相等的应用 例2（2024•普陀区校级期末）给出下列四个命题：①设集合，则；②空集是任何集合的真子集；③集合表示同一集合；④集合，，集合，，则，其中正确的命题的序号是 　 　． 由集合间的关系判断①；注意空集自身的关系判断②；求函数的值域、定义域求集合判断③；根据集合元素的无序性判断④． 对于①，显然是的真子集，但不能表示为，应该表示为，故①错误； 对于②，空集是任何非空集合的真子集，故②错误； 对于③，由，或，故不是同一集合，故③错误； 对于④，根据集合的无序性知，，，故④正确． ④． 2-1（2024•浦东新区校级期中）已知集合，0，，，0，，且，则 　 　． 【答案】1． 【分析】根据集合相等的条件，由元素的相等列方程求解并检验集合中元素的互异性． 【解答】解：集合，0，，，0，，且，则， 解得或， 当，，0，与集合中元素的互异性矛盾，舍去； ，，0，，符合题意． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了集合相等条件的应用，属于基础题． 2-2（2024•宝山区校级期中）已知，，，．若，则　 　． 【答案】1． 【分析】由集合相等的定义可得或，由此即可求解． 【解答】解：因为，则或， 解得， 故答案为：1． 【点评】本题考查了集合相等的定义，属于基础题． 2-3（2024•徐汇区校级期中）已知集合，，，，且，则实数的值为 　 　． 【答案】1． 【分析】根据元素的互异性，确定，的范围，根据集合相等列方程求，即可． 【解答】解：由题意，，且，解得，且，， 因为，所以或， 由，可得，（舍去）； 由，可得，（舍去）或，； 所以． 故答案为：1． 【点评】本题考查集合的应用，属于基础题． 考点三．判断两个集合的包含关系 例3（2024•浦东新区校级月考）下列关系式错误的个数为：　　 ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可． 空集不含任何元素，错误，①错误； 空集是任何集合的子集，正确，②正确； 0是自然数，正确，③正确； ，错误，④错误， 错误的个数为2． 故选：． 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 3-1（2024•杨浦区校级期中）对任意集合和集合，下列两个命题　　 ① ② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【答案】 【分析】根据集合间包含关系的定义判断． 【解答】解：对于①，因为，， 所以，故①是真命题， 对于②，当时，，， 此时，故②是假命题． 故选：． 【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题． 3-2（2024•嘉定区校级月考）设集合，，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】将两集合结构化为一致即可判断． 【解答】解：， ， 代表所有奇数，代表所有整数， 所以． 故选：． 【点评】本题考查了集合的描述法的定义，子集的定义，是基础题． 3-3（2024•浦东新区校级月考）已知集合，，，，则，之间最适合的关系为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分析集合和中元素的特性，然后进行比较集合和的关系即可得出答案． 【解答】解：由集合，，可得中的元素是2的整数倍， 由集合，，，可得集合中的元素是2的奇数倍， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题． 3-4（2023•闵行区校级期中）设，，若，则实数的值为 　 　． 【答案】0或或． 【分析】可求出集合，，然后根据得出，然后讨论是否为0，根据子集的定义即可求出的值． 【解答】解：，，， ， ， ①时，，满足； ②时，或，解得或， 实数的值为：0或或． 故答案为：0或或． 【点评】本题考查了一元二次方程的求法，集合的描述法和列举法的定义，并集的定义及运算，子集的定义，是基础题． 考点四．Venn图表集合的包含关系 例4 已知非空集合、，具有性质，具有性质．如果命题“如果，那么”为假命题，那么下列哪张关于集合、包含关系的图象一定不成立　　 A． B． C． D． “如果，那么”为假命题，集合具有的性质，集合不一定没具，根据集合的关系判断即可． 由题意，“如果，那么”为假命题，说明集合具有的性质，集合不一定没具有， 根据集合的基本关系，可得选项不满足题意； 故选：． 第1步：明确集合：了解每个集合的元素和定义． 第2步：绘制圆圈：使用圆圈表示集合，每个集合一个圆圈．包含关系：一个集合完全包含于另一个集合，用一个圆圈完全包含另一个圆圈表示． 4-1下列图能正确表示集合，1，和关系的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由已知先求出集合，然后结合集合的包含关系进行判断即可． 【解答】解：因为，，，1，， 故． 故选：． 【点评】本题考查集合的表示法及包含关系的判断，考查数形结合思想，属于基础题． 4-2（容斥原理）现在，人们的生活水平有了很大的提高，在工作和生活之余喜欢参加体育锻炼活动．为了解居民在这方面的兴趣情况，某社区选取某一栋楼房的居民进行了对骑自行车、打羽毛球、打篮球是否有兴趣的问卷调查，要求每位居民至少选择一项，经统计有45人对骑自行车感兴趣，71人对打羽毛球感兴趣，60人对打篮球感兴趣，同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣的有35人，同时对打羽毛球和打篮球感兴趣的有40人，同时对骑自行车和打篮球感兴趣的有18人，三种都感兴趣的有10人，则该栋楼房的居民人数为　　 A．91 B．93 C．95 D．97 【答案】 【分析】根据容斥原理求解即可． 【解答】解：由集合的容斥原理可得有2人只对骑自行车感兴趣，6人只对打羽毛球感兴趣，12人只对打篮球感兴趣，同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣但对打篮球不感兴趣的有25人，同时对打羽毛球和打篮球感兴趣但对骑自行车不感兴趣的有30人，同时对骑自行车和打篮球感兴趣但对打羽毛球不感兴趣的有8人，三种都感兴趣的有10人， 则该栋楼房的居民人数为． 故选：． 【点评】本题主要考查了容斥原理的应用，属于基础题． 4-3（2024•虹口区校级期中）学校举办秋季趣味运动会，高一（6）班共42名学生报名参加，已知报名参加跑步的有16人，参加跳绳的有24人，参加踢毽子的有12人，其中有8人兼报了两个项目，则兼报三个项目的共 　 　人． 【答案】1人． 【分析】根据重复计算的数量来计算出正确答案． 【解答】解：由题意可知，兼报三个项目的人数为人． 故答案为：1人． 【点评】本题主要考查了集合中元素个数的计算，属于基础题． 考点五．集合的包含关系的应用（重难点） 例5 （2024•宝山区校级月考）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述： ①若为一个“封闭集”，则； ②若为一个“封闭集”且，，则； ③若，都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若，都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是　　 A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 由封闭集的定义，逐项判断即可，同时③用举例，④用反证法即可． 对于①，为一个“封闭集”， 由定义可知，则，，故①正确； 对于②，为一个“封闭集”， ，，，，故②正确； 对于③，，1，，，1，，都是封闭集， 则或不成立，故③错误； 对于④，充分性：，都是“封闭集”，若或，则由题意知是“封闭集”， 必要性：若是“封闭集”，令， 假设不包含于且不包含于， 则存在，，，，同时，， 是“封闭集”， ，，分两种情况讨论， 若，又，则， ，这与假设矛盾， 若，又，则， ，这与假设矛盾， 假设不成立，原结论是“封闭集“，则或，必要性成立，故④正确． 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 5-1（2024•浦东新区校级期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 【答案】 【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解． 【解答】解：当时，， 当时，则， 解得， 综上所述，实数的取值范围是，． 故选：． 【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题． 5-2（2024•普陀区校级期中）设，是实数，集合，，且，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】先分别求出集合，，然后结合集合的包含关系即可求解． 【解答】解：由题意得，，或， 因为， 所以或， 即或，即． 故选：． 【点评】本题主要考查了集合包含关系的应用，属于基础题． 5-3（2024•黄浦区校级期末）已知集合，，，，，且，则实数的值为 　　 ． 【分析】由集合包含关系得到即可求解； 【解答】解：因为集合，，，，，且， 所以， 解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了集合间的包含关系，属于基础题． 5-4（2024•宝山区校级期末）已知集合，，．若，则实数的值为 　1　． 【答案】1． 【分析】根据包含关系求解即可． 【解答】解：集合，，，， 则，， 又，则， 此时，，，符合题意． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于基础题． 5-5（2024•宝山区校级期中）已知集合，，且，则实数的取值范围是 　 　． 【答案】． 【分析】由已知中集合，满足，分和两种情况，分别求出满足条件的实数的取值范围，最后综合讨论结果，即可得到答案． 【解答】解：， 当，即时，，满足条件； 当，即时， ， 解得，此时； 综上所述，实数的取值范围为， 故的范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题． 考点六．集合中元素个数的最值 例6 （2024•普陀区校级期中）设集合为非空实数集，集合，且，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是　　 A．当，2，3，时，集合的积集，3，4，8， B．若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最多为8个 C．若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最少为7个 D．存在4个正实数构成的集合，使其积集，4，5，8，10， 利用积集的定义可判断，设，，，，，其中，利用积集定义分析积集中元素的大小关系可判断和，利用反证法分析集合中四个元素的乘积推出矛盾可判断． 对于，因为，2，3，，集合，且， 故集合中所有可能的元素有，，，，，， ，3，4，6，8，，故错误； 对于，设，，，，，不妨设， 因为，， 所以中元素个数小于等于10个， 如设，2，3，5，，集合，且， 则，3，5，6，7，10，14，15，21，， 所以积集中元素个数的最大值为10个，故错误； 对于，因为， 所以中元素个数大于等于7个， 如设，，，，，集合，且， 则，，，，，，， 此时中元素个数等于7个，所以积集中元素个数的最小值为7，故正确； 对于，假设存在4个正实数构成的集合，，，，使其积集，4，5，8，10，， 不妨设，则集合的积集，，，，，， 则必有，，其4个正实数的乘积， 又，或，，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合， 使其生成集，4，5，8，10，，故错误． 6-1 集合，且，则的个数是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】 【分析】根据条件，且，确定集合的元素． 【解答】解：因为，且， 所以由得． 因为，所以，1，2，3，4，5，6，7，8，共9个数值． 故选：． 【点评】本题主要考查集合元素的确定，比较基础． 6-2（2024•杨浦区校级期中）已知非空集合，满足以下两个条件： ，2，3，4，5，，； 的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序集合对的个数为 　 　． 【答案】10． 【分析】分别讨论集合，元素个数，即可得到结论． 【解答】解：若集合中只有1个元素，则集合中只有5个元素，则，， 即，，此时有1个； 若集合中只有2个元素，则集合中只有4个元素，则，， 即，，此时有； 若集合中只有3个元素，则集合中只有3个元素，则中，，不满足题意， 若集合中只有4个元素，则集合中只有2个元素，则，， 即，，此时有； 若集合中只有5个元素，则集合中只有1个元素，则，， 即，，此时有， 故有序集合对的个数是． 故答案为：10． 【点评】本题考查满足条件的有序集合的个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 6-3（2024•宝山区校级月考）已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 　 　． 【答案】或． 【分析】考虑和的情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案． 【解答】解：因为集合至多有一个元素， 当时，，解得，此时有一个元素， 当时，需要△，解得， 综上，或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了集合中元素个数的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题． 6-4（2024•宝山区校级月考）若集合，，且中只有一个元素，则　 　． 【答案】0或． 【分析】分和两种情况讨论，当时，△求出的值． 【解答】解：因为，，表示关于的方程的解集， 当时，由，解得，所以，符合题意； 当时，要使中只有一个元素，则△，解得， 此时方程，解得，所以，符合题意； 综上可得或． 故答案为：0或． 【点评】本题考查集合中元素个数，是基础题． 6-5（2024•闵行区校级期中）设集合是至少有两个元素的实数集，集合，，且，称集合为集合的积集． （1）当，3，时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）判断是否存在5个正实数构成的集合，使其积集，3，5，6，10，12，18，，并说明理由． 【答案】（1），7，； （2）5； （3）不存在，理由见解析． 【分析】（1）根据定义即可求解； （2）根据积集的定义即可求解； （3）根据，，，，，可得集合中最大两个元素以及最小的两个元素，即可根据，，，得矛盾求解． 【解答】解：（1）因为，3，， 所以集合中所有可能的元素有，，，即3，7，21， 所以，7，； （2）设，，，，不妨设， 因为， 所以中元素个数大于等于5个， 又当，，，时，，，，，，此时中元素个数等于5个， 此时积集中元素个数的最小值为5； （3）不存在，理由如下： 假设存在5个正实数构成的集合，，，，， 使其积集，3，5，6，10，12，18，，不妨设， 则．，， 所以，，，， 设，则，，，， 所以，但集合中不存在元素4，所以矛盾，假设不成立， 故不存在5个正实数构成的集合，使其生成集，3，5，6，10，12，18，． 【点评】本题主要考查了以集合为背景的新定义问题，考查了学生的数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力，属于中档题． 考点七．子集的判断与求解（重难点） 例7 （2024•闵行区期中）设集合，， ，，其中，，下列说法正确的是　　 A．对任意，是的子集，对任意，不是的子集 B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集 C．对任意，使得不是的子集，对任意，不是的子集 D．对任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集 运用集合的子集的概念，令，推得，可得对任意，是的子集；再由，，求得，，即可判断正确，，，错误． 对于集合，， 可得当，即，可得， 即有，可得对任意，是的子集； 当时，，， 可得是的子集，故错误，正确； 当时，，且， 可得不是的子集． 综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集，故错误，错误． 故选：． 7-1（2024•虹口区校级月考）若集合的子集只有两个，则实数　 　． 【答案】0或． 【分析】根据题意知道有一个元素，然后讨论是否为0，然后得出的值即可． 【解答】解：的子集只有两个， 有一个元素， ①时，，满足题意； ②时，△，解得， 或． 故答案为：0或． 【点评】本题考查了子集的定义，一元二次方程有一个解的充要条件，是基础题． 7-2（2024•浦东新区校级期中）写出所有满足，的集合 　 　． 【答案】，，． 【分析】根据子集的定义求解． 【解答】解：由题意，满足，的集合可以是，，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查集合的子集，属于基础题． 7-3（2024•浦东新区校级月考）设集合，，，，，的所有非空子集的元素之和为128，则 　 　． 【答案】8． 【分析】根据给定条件，求出含有每个元素的集合个数，再求和计算可得结果． 【解答】解：因为集合，，，，， 所以集合的所有非空子集中含有元素的子集有： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共16个， 同理集合的所有非空子集中含有元素，，，的子集都各有16个， 因为的所有非空子集的元素之和为128， 所以， 解得． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了子集的定义，属于中档题． 7-4（2024•杨浦区校级月考）设，若是集合的真子集，则的值为 　 　． 【答案】2． 【分析】集合的真子集为空集，即为空集，求出的值即可． 【解答】解：由题意，集合的真子集为空集，即集合为空集，则，即． 故答案为：2． 【点评】本题考查子集的应用，属于基础题． 7-5（2024•浦东新区校级开学）设集合，，，，若集合的所有非空子集的元素之和是64，则　 　． 【答案】8． 【分析】利用子集的定义计算即可． 【解答】解：易知的非空子集为，，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，，，， 则所有非空子集的元素之和为． 故答案为：8． 【点评】本题考查子集的定义，属于基础题． 考点八．空集及空集的性质 例8 （新定义）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点．用表示整数集，则在下列集合中： ①； ②，；③； ④整数集 以0为聚点的集合有　　 A．②③ B．①④ C．①③ D．①②④ 由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案． ①中，集合中的元素是极限为1的数列， 除了第一项0之外，其余的都至少比0大， 在的时候，不存在满足得的， 不是集合的聚点 ②集合，，对任意的，都存在（实际上任意比小得数都可以），使得 是集合，的聚点 ③集合中的元素是极限为0的数列， 对于任意的，存在，使 是集合的聚点 ④对于某个，比如，此时对任意的，都有或者，也就是说不可能，从而0不是整数集的聚点 8-1（2024•黄浦区校级期中）设，是实数，若关于，的方程组的解集为，则实数，所满足的条件为 　 　． 【答案】且． 【分析】由题意方程组消元后所得方程无解即可． 【解答】解：关于，的方程组的解集为， 则消元后无解， 故，解得且． 故答案为：且． 【点评】本题主要考查空集及其空集的性质，属于基础题． 8-2（2024•浦东新区校级期中）命题：空集是任何集合的真子集，此命题是 　 　命题．（填“真”或“假” 【答案】假． 【分析】可知空集不是空集的真子集，从而判断出此命题的真假． 【解答】解：空集不是空集的真子集，此命题是假命题． 故答案为：假． 【点评】本题考查了真子集的定义，空集的定义，是基础题． 8-3（2022秋•松江区校级期中）已知集合为空集，则　 　． 【答案】0． 【分析】根据已知条件，结合空集的定义，即可求解． 【解答】解：集合为空集， 则． 故答案为：0． 【点评】本题主要考查空集的定义，属于基础题． 8-4若集合，则实数的取值范围是 　 　． 【分析】当集合为空集时，关于的方程无解． 【解答】解：由题意知，△或． 解得． 即实数的取值范围是，． 故答案是：，． 【点评】此题考查了空集的定义、性质及运算，利用△或求出实数的取值范围是解题的关键． 8-5不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围是　 　． 【分析】从反面分析，根据题意，的解集为，若这个不等式组的解集是空集，则有，即的解集为的子集，分析可得的范围，进而可得答案． 【解答】解：根据题意，的解集为， 若这个不等式组的解集是空集， 则，即的解集为的子集， 分析可得，当，成立； 故当时，该不等式组的解集不是空集， 故答案为． 【点评】本题考查空集的性质的运用，注意结合题意，分析空集的几何或代数意义，有时需从反面下手． 考点九．子集的个数（难点） 例9 （2024•静安区校级期中）已知集合，4，，则集合的真子集的个数为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 利用真子集定义即可求得集合的真子集的个数． 解：由题意，集合中有3个元素，则的真子集的个数为． 故选：． 一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集． 9-1（2024•宝山区校级月考）判断下列命题为真命题的个数　　 ①0是，1，2，的真子集； ②； ③如果集合是集合的子集，那么集合就不是集合的子集； ④如果，那么除以4的余数为0或1． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】 【分析】根据真子集的定义可判断①，根据集合间的包含关系可判断②，根据子集的定义可判断③，对分奇数和偶数两种情况讨论可判断④． 【解答】解：对于①，0是，1，2，的元素，不是，1，2，的真子集，故①错误； 对于②，因为，， 所以，故②正确； 对于③，若，则集合是集合的子集，集合也是集合的子集，故③错误； 对于④，如果， 当时，则，此时除以4的余数为0， 当时，则，此时除以4的余数为1， 综上所述，除以4的余数为0或1，故④正确， 所以真命题的个数为2个． 故选：． 【点评】本题主要考查了子集和真子集的定义，考查了集合间的包含关系，属于基础题． 9-2（2024•青浦区校级月考）已知集合与集合的元素个数之和为个，中有个元素，若，则的元素个数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】可用图表示集合，，然后即可得出的元素个数． 【解答】解：根据条件用图表示，如下： 集合与集合的元素个数之和为个，中有个元素， 的元素个数为：． 故选：． 【点评】本题考查了的元素个数为与元素个数的和减去的元素个数，是基础题． 9-3（2024•长宁区校级月考）已知集合为正整数，则的所有真子集的个数是 　511　． 【答案】511． 【分析】根据为正整数可计算出集合中的元素，然后根据真子集个数的计算公式是元素个数）计算出结果． 【解答】解：因为为正整数，所以， 所以集合中共有9个元素， 因此所有真子集的个数为． 故答案为：511． 【点评】本题考查集合的运算，真子集的个数，属于基础题． 9-4（2024•杨浦区校级期中）已知集合，2，，且满足：“若，则”，则满足条件的集合的个数为 　 　． 【答案】4． 【分析】根据子集的定义及集合元素的关系可得出结论． 【解答】解：由集合，2，，可得的可能情况有： ，，，，，，，，，，，2，， 其中，满足“若，则”的集合有：，，，，， 故满足条件的集合的个数为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查集合子集的概念，集合元素的确定，属基础题． 9-5（2024•黄浦区校级期中）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 　 　． 【答案】． 【分析】根据真子集的定义，推断出中有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数，由此进行分类讨论求实数的取值范围． 【解答】解：若集合有15个真子集，则中有4个元素，又，可知，即，且区间，中有4个整数， 当时，，，，其中含有4、5、6、7共4个整数，符合题意； 当时，，的区间长度为，此时，中不可能有4个整数； 当时，，的区间长度大于3， 若，的区间长度，即， 若是整数，则区间，中含有4个整数， 根据可知，则， 此时，其中含有5、6、7、8四个整数，符合题意； 若不是整数，则区间，中含有5、6、7、8四个整数， 则必须有且，解得； 若时，，，，其中含有5、6、7、8、9五个整数，不符合题意； 若时，，的区间长度， 此时，中有6、7、8、9这四个整数，故，即， 结合，得； 综上所述，或或， 即实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查集合的子集，是中档题． 9-6（2024•浦东新区期中）若规定由整数组成的集合，1，2，，，，的子集，，，，为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 　 　． 【答案】，5，6，7，8，9，． 【分析】把2024写成2的自然数幂的和即可求解． 【解答】解：因为， 所以的第2024个子集是，5，6，7，8，9，． 故答案为：，5，6，7，8，9，． 【点评】本题主要考查了集合中的新定义问题，考查了子集的定义，属于中档题． 1．（基础题）（2023•上海）已知集合，，，，且，则　 　． 【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解． 【解答】解：集合，，，，且， 则． 故答案为：2． 2．（集合相等条件的应用）已知集合，，，且，则　 　． 若集合有且只有两个子集，则实数　　． 【答案】0；或． 【分析】结合集合相等的条件及集合元素的特征即可求解； 由有且只有两个子集可知只有一个根，结合方程根的存在条件对是否为0进行分类讨论即可求解． 【解答】解：集合，，，且， 所以，解得； 若集合有且只有两个子集， 则只有一个根， 当时，，即，符合题意； 当时，△，解得， 综上，或． 故答案为：0；或． 3．（2024•嘉定区校级月考）下列结论正确的是　　 A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】 【分析】利用空集的性质以及子集，真子集的定义、元素与集合的属于关系、集合与集合的包含关系对各个问题逐个判断即可求解． 【解答】解：．空集只有一个子集，是它本身，故错误，不符合题意； ．空集是任何非空集合的真子集，故错误，不符合题意； ．若且，则，正确，符合题意； ．若且，则，不一定相等，故错误，不符合题意． 故选：． 4．（2024•黄浦区校级月考）给出下列关系式，其中正确的是 　 　（填序号）． ①；②；③；④，；⑤，． 【答案】①③⑤． 【分析】利用空集的性质判断①，⑤，利用元素和集合的关系判断②，利用集合和集合的关系判断④，利用子集的性质判断③即可． 【解答】解：①因为空集是任何集合的子集，所以①正确； ②由元素和集合的关系得，故②错误； ③一个集合是自身的子集，故③正确； ④由集合和集合的关系得，，故④错误； ⑤因为空集是任何集合的子集，所以⑤正确． 故答案为：①③⑤． 【点评】本题考查了子集的定义，性质以及元素与集合的关系，考查了学生的理解能力，属于基础题． 5．（韦恩图）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 　 　． 【答案】． 【分析】根据韦恩图中集合的关系运算即可． 【解答】解：由题意可得如下所示韦恩图： 所求比例为：， 故答案为：． 【点评】本题考查韦恩图的应用，熟练掌握韦恩图中各集合的关系是解题关键． 6．（2024•青浦区期末）设，集合，若，则实数的取值范围为 　 　． 【答案】． 【分析】由已知结合二次不等式与二次函数的转化关系，结合二次函数的性质即可求解． 【解答】解：因为， 若，则，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了集合包含关系及二次函数性质的应用，属于基础题． 7．（2024•宝山区校级月考）满足，，的集合共有 　 　个． 【分析】根据题意，是，，的子集中含有元素的集合，依次列举集合可得答案． 【解答】解：根据，，可得可以为，，，，，，，，故共有4个符合条件的集合． 故答案为：4． 8．（2024•宝山区校级期中）已知，则的值为 　 　． 【答案】1或4． 【分析】根据集合的关系，得出或，解出，再根据集合元素的互异性即可判断的取值． 【解答】解：由题意，或； 若，则，，4，，符合题意； 若，解得或，根据集合元素的互异性，有； 若，则有，，4，符合题意； 所以的值为1或4． 故答案为：1或4． 【点评】本题考查集合间关系的应用，属于基础题． 1．（2023•徐汇区校级月考）设是集合，3，4，5，的非空子集，称中的元素之和为的“容量”，则的所有非空子集的“容量”之和为 　 　． 【答案】320． 【分析】根据题意写出的所有非空子集，结合“容量”的定义求的所有非空子集的“容量”之和． 【解答】解：由题设，的非空子集有，，，，，，，，，，，，，，，，，，， ，，，，，，，3，，，3，，，3，，，4，，，4，，，5，，，4，，，4，， ，5，，，5，，，3，4，，，3，4，，，3，5，，，4，5，，，4，5，，，3，4，5，， 含一个元素的子集“容量”之和为， 含两个元素的子集“容量”之和为， 含三个元素的子集“容量”之和为， 含四个元素的子集“容量”之和为， 含五个元素的子集“容量”之和为20， 所以的所有非空子集的“容量”之和为． 故答案为：320． 【点评】本题考查子集的定义，属于中档题． 2．（2024•浦东新区校级期末）已知集合，，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）先求出集合，，再利用集合的基本运算求解； （2）根据列出不等式组，求出的取值范围即可． 【解答】解：（1）由可得，且， 解得， 所以， 当时，， 所以； （2），， 因为，所以， 解得， 所以实数的取值范围为，． 【点评】本题主要考查了分式不等式的解法，考查了集合的基本运算，以及集合间的包含关系，属于中档题． 3．（2024•上海校级期中）已知集合，，，，中的元素均为正整数，其中且．若对任意，，都有，则称集合具有性质． （1）集合，2，具有性质，求的最小值； （2）若集合具有性质，且中最小元素和最大元素分别为、，求证：； （3）已知集合具有性质，求中元素个数的最大值，并说明理由． 【答案】（1）6； （2）证明见解析； （3）9，理由见解析． 【分析】（1）由性质定义列不等式组求参数范围，结合即可得最小值； （2）根据定义，进而有，应用累加法即可证结论； （3）首先应用放缩有求得，同理可得恒成立，假设得出矛盾，再讨论并应用基本不等式证恒成立，即可确定元素个数最大值． 【解答】解：（1）由性质定义知，， 所以，， 解得，且， 所以的最小值为6． 证明：（2）由，且， 所以， 所以，得证． 解：（3）由（2）知，即，解得， 因为， 利用累加法可得，，又， 所以恒成立， 当，取，则，， 故， 当，则，当且仅当时取等号， 则，即． 综上，集合中元素个数的最大值为9． 【点评】本题以新定义为载体，主要考查了累加法的应用，还考查了不等式的放缩，属于中档题． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习专题03 集合之间的关系 1.掌握子集、真子集、空集的定义及其表示方法(重点) 2.能用符号和维恩图表示集合间的关系(重点) 3.理解和辨识集合之间的包含、相等、真包含关系 4.感悟分类讨论思想与数形结合思想(重、难点) 5.通过对子集定义的辨析、类比实数的大小关系，理解包含关系的三个结论(重点) 定义 对于两个集合与,如果集合的每个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集，记作（或），读作＂包含于＂（或＂包含＂）．对任何集合，规定． 我们常用维恩图来直观表示集合以及集合之间的关系．如图是的维恩图． （1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线. （2）用Venn图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系，缺点是集合元素的公共特征不明显． 集合间关系的有关性质 （1）对于集合之间的包含关系，我们有下列结论： ① ； ②若且，则； ③传递性：若且，则． （2）集合关系中的＂若且，则＂与实数大小关系中＂若且 ，则＂类似． 下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 根据元素与集合的关系，以及空集的定义，集合与集合的关系，依次判断即可. 对于①，两个数集不能用符号，应为，①错误； 对于②，任何集合都是本身的子集，②正确； 对于③，空集是任何集合的子集，③正确； 对于④，集合是数集，有2个元素，集合是点集，只有1个元素，④错误； 所以正确的个数有2个. B. （2025·上海杨浦·期末）已知集合，且，则_____． 根据两个集合元素之间的关系，分类讨论，列式解方程即可． 由题意，, 若时，，满足题意； 若时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 又，故若时，解得或， 若时，，满足题意， 当时，，不满足集合元素的互异性，不满足题意； 综上所述，. . 定义 对于两个集合与，如果，且中至少有一个元素不属于（即不是的子集），那么称集合是集合的真子集，记作（或），读作＂ 真包含于＂（或＂真包含＂）． 【注意：有的教材对真子集符号表示为，真包含于（或真包含）】 对于常用的数集，我们有如下的包含关系： 性质 （1）任何集合都不是它本身的真子集． （2）若，且，则． （3）若，且，则． （1）若 和 同时成立，则 更能准确表达集合 、 之间的关系． （2）真子集是子集的一种特殊情况. （3）真子集的定义同时也给出了证明是的真子集的方法，即欲证，可先证，再证中至少有一个元素不是集合中的元素． 满足的集合的个数为____________. 【答案】7 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 根据得到集合中一定有元素，再与其他几个数进行组合，得到满足要求的集合，得到答案. 因为 所以集合中一定有元素， 所以满足要求的集合有，，，，，，，共7个， 7 设集合，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 将两集合结构化为一致即可判断. ， 代表所有奇数，代表所有整数 所以 B 定义 已知两个集合与，若，且 ，则称这两个集合相等，记作．如图是集合 的维恩图． 两个集合相等除了用定义、互为集合子集的包含关系外，也可以用若两个集合相等，则集合元素之和、之积相等来解答问题 ＂＂与＂＂的区别 ＂＂是元素与集合之间的关系，如 ，不能写成；＂＂是集合与集合之间的关系（表示集合间关系的还有真包含关系＂＂），如，不能写成． 已知集合和，那么（   ） A． B． C． D． 根据集合中的元素满足的特征可得和，即可求解. 由于同号，又，所以均为负数，故则，故 对于任意中的元素，满足集合，故，因此， C 1.空集的定义 不含有任何元素的集合称为空集,记作 2.空集的性质 （1）空集是任何集合的子集,即 （2）空集是任何非空集合的真子集,即 （3）空集只有一个子集,即它本身. 空集是一个特殊且重要的集合,它不含任何元素,在解题过程中容易被忽视,特别是在隐含有空集参与的集合问题中,往往容易因忽视空集的特殊性而导致错误. 与的关系 与 与 与 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 是集合而是元素 不含任何元素； 含一个元素 不含任何元素； 含一个元素，该元素是 关系 或 写出集合 的所有子集，并指出哪些是真子集． 可以按照子集的元素个数分类： 不含任何元素的子集 1 个：空集 ； 含 1 个元素的子集 3 个： ； 含 2 个元素的子集 3 个： ； 含 3 个元素的子集 1 个： 。 除集合 本身外，其余 7 个都是真子集． 集合 的所有子集 子集个数 真子集个数 非空真子集个数 1 0 3 2 8=23 7 6 2n （2024·上海宝山校级月考）满足的集合M的个数为____个. 通过列举法即可求解. 由题意可知：可以是：，，共3个， 3. 1. 数轴法 对于由连续实数组成的集合,通常用数轴来表示,这也属于集合表示的图示法:在数轴上,若端点值是集合中的元素则用实心点表示;若端点值不是集合中的元素,则用空心点表示. 集合与用数轴表示分别如图所示． 2. 数轴表示集合间的关系 （1）集合与集合的关系是 ，用数轴表示如图所示． （2）集合或与集合的关系是 ，用数轴表示如图所示． 考点一．判断两个集合是否相同 例1 下列表示同一集合的是　　 A．，，， B．， C．， D．，， 直接根据集合相等的概念进行判断即可． 对于选项，由集合元素具有无序性可得：，，，故正确； 对于选项，集合表示直线上所有的点构成的集合，而集合表示直线上所有的点的纵坐标的取值集合，两者不相同，故不正确； 对于选项，点与点是不同的点，故不正确； 对于选项，集合中有两个元素2和4，而集合中仅有1个元素，故不正确． 1-1设是有理数，集合，，，，在下列集合中； （1），； （2），； （3），； （4），． 与相同的集合有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 1-2（2023•闵行区校级期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②，； ③，，；④，，． 与集合相等的集合序号是 　 　． 考点二．两个集合相等的应用 例2（2024•普陀区校级期末）给出下列四个命题：①设集合，则；②空集是任何集合的真子集；③集合表示同一集合；④集合，，集合，，则，其中正确的命题的序号是 　 　． 由集合间的关系判断①；注意空集自身的关系判断②；求函数的值域、定义域求集合判断③；根据集合元素的无序性判断④． 对于①，显然是的真子集，但不能表示为，应该表示为，故①错误； 对于②，空集是任何非空集合的真子集，故②错误； 对于③，由，或，故不是同一集合，故③错误； 对于④，根据集合的无序性知，，，故④正确． ④． 2-1（2024•浦东新区校级期中）已知集合，0，，，0，，且，则 　 　． 2-2（2024•宝山区校级期中）已知，，，．若，则　 　． 2-3（2024•徐汇区校级期中）已知集合，，，，且，则实数的值为 　 　． 考点三．判断两个集合的包含关系 例3（2024•浦东新区校级月考）下列关系式错误的个数为：　　 ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可． 空集不含任何元素，错误，①错误； 空集是任何集合的子集，正确，②正确； 0是自然数，正确，③正确； ，错误，④错误， 错误的个数为2． 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 3-1（2024•杨浦区校级期中）对任意集合和集合，下列两个命题　　 ① ② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 3-2（2024•嘉定区校级月考）设集合，，则下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 3-3（2024•浦东新区校级月考）已知集合，，，，则，之间最适合的关系为　　 A． B． C． D． 3-4（2023•闵行区校级期中）设，，若，则实数的值为 　 　． 考点四．Venn图表集合的包含关系 例4 已知非空集合、，具有性质，具有性质．如果命题“如果，那么”为假命题，那么下列哪张关于集合、包含关系的图象一定不成立　　 A． B． C． D． “如果，那么”为假命题，集合具有的性质，集合不一定没具，根据集合的关系判断即可． 由题意，“如果，那么”为假命题，说明集合具有的性质，集合不一定没具有， 根据集合的基本关系，可得选项不满足题意； 第1步：明确集合：了解每个集合的元素和定义． 第2步：绘制圆圈：使用圆圈表示集合，每个集合一个圆圈．包含关系：一个集合完全包含于另一个集合，用一个圆圈完全包含另一个圆圈表示． 4-1下列图能正确表示集合，1，和关系的是　　 A． B． C． D． 4-2（容斥原理）现在，人们的生活水平有了很大的提高，在工作和生活之余喜欢参加体育锻炼活动．为了解居民在这方面的兴趣情况，某社区选取某一栋楼房的居民进行了对骑自行车、打羽毛球、打篮球是否有兴趣的问卷调查，要求每位居民至少选择一项，经统计有45人对骑自行车感兴趣，71人对打羽毛球感兴趣，60人对打篮球感兴趣，同时对骑自行车和打羽毛球感兴趣的有35人，同时对打羽毛球和打篮球感兴趣的有40人，同时对骑自行车和打篮球感兴趣的有18人，三种都感兴趣的有10人，则该栋楼房的居民人数为　　 A．91 B．93 C．95 D．97 4-3（2024•虹口区校级期中）学校举办秋季趣味运动会，高一（6）班共42名学生报名参加，已知报名参加跑步的有16人，参加跳绳的有24人，参加踢毽子的有12人，其中有8人兼报了两个项目，则兼报三个项目的共 　 　人． 考点五．集合的包含关系的应用（重难点） 例5 （2024•宝山区校级月考）非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述： ①若为一个“封闭集”，则； ②若为一个“封闭集”且，，则； ③若，都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若，都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是　　 A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 由封闭集的定义，逐项判断即可，同时③用举例，④用反证法即可． 对于①，为一个“封闭集”， 由定义可知，则，，故①正确； 对于②，为一个“封闭集”， ，，，，故②正确； 对于③，，1，，，1，，都是封闭集， 则或不成立，故③错误； 对于④，充分性：，都是“封闭集”，若或，则由题意知是“封闭集”， 必要性：若是“封闭集”，令， 假设不包含于且不包含于， 则存在，，，，同时，， 是“封闭集”， ，，分两种情况讨论， 若，又，则， ，这与假设矛盾， 若，又，则， ，这与假设矛盾， 假设不成立，原结论是“封闭集“，则或，必要性成立，故④正确． 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 5-1（2024•浦东新区校级期中）已知集合，，若，则实数的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 5-2（2024•普陀区校级期中）设，是实数，集合，，且，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 5-3（2024•黄浦区校级期末）已知集合，，，，，且，则实数的值为 　　 ． 5-4（2024•宝山区校级期末）已知集合，，．若，则实数的值为 　 　． 5-5（2024•宝山区校级期中）已知集合，，且，则实数的取值范围是 　 　． 考点六．集合中元素个数的最值 例6 （2024•普陀区校级期中）设集合为非空实数集，集合，且，称集合为集合的积集，则下列结论正确的是　　 A．当，2，3，时，集合的积集，3，4，8， B．若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最多为8个 C．若是由5个正实数构成的集合，其积集中元素个数最少为7个 D．存在4个正实数构成的集合，使其积集，4，5，8，10， 利用积集的定义可判断，设，，，，，其中，利用积集定义分析积集中元素的大小关系可判断和，利用反证法分析集合中四个元素的乘积推出矛盾可判断． 对于，因为，2，3，，集合，且， 故集合中所有可能的元素有，，，，，， ，3，4，6，8，，故错误； 对于，设，，，，，不妨设， 因为，， 所以中元素个数小于等于10个， 如设，2，3，5，，集合，且， 则，3，5，6，7，10，14，15，21，， 所以积集中元素个数的最大值为10个，故错误； 对于，因为， 所以中元素个数大于等于7个， 如设，，，，，集合，且， 则，，，，，，， 此时中元素个数等于7个，所以积集中元素个数的最小值为7，故正确； 对于，假设存在4个正实数构成的集合，，，，使其积集，4，5，8，10，， 不妨设，则集合的积集，，，，，， 则必有，，其4个正实数的乘积， 又，或，，其4个正实数的乘积，矛盾； 所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合， 使其生成集，4，5，8，10，，故错误． 6-1 集合，且，则的个数是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 6-2（2024•杨浦区校级期中）已知非空集合，满足以下两个条件： ，2，3，4，5，，； 的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序集合对的个数为 　 　． 6-3（2024•宝山区校级月考）已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 　 　． 6-4（2024•宝山区校级月考）若集合，，且中只有一个元素，则　 　． 6-5（2024•闵行区校级期中）设集合是至少有两个元素的实数集，集合，，且，称集合为集合的积集． （1）当，3，时，写出集合的积集； （2）若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； （3）判断是否存在5个正实数构成的集合，使其积集，3，5，6，10，12，18，，并说明理由． 考点七．子集的判断与求解（重难点） 例7 （2024•闵行区期中）设集合，， ，，其中，，下列说法正确的是　　 A．对任意，是的子集，对任意，不是的子集 B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集 C．对任意，使得不是的子集，对任意，不是的子集 D．对任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集 运用集合的子集的概念，令，推得，可得对任意，是的子集；再由，，求得，，即可判断正确，，，错误． 对于集合，， 可得当，即，可得， 即有，可得对任意，是的子集； 当时，，， 可得是的子集，故错误，正确； 当时，，且， 可得不是的子集． 综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集，故错误，错误． 故选：． 7-1（2024•虹口区校级月考）若集合的子集只有两个，则实数　 　． 7-2（2024•浦东新区校级期中）写出所有满足，的集合 　 　． 7-3（2024•浦东新区校级月考）设集合，，，，，的所有非空子集的元素之和为128，则 　 　． 7-4（2024•杨浦区校级月考）设，若是集合的真子集，则的值为 　 　． 7-5（2024•浦东新区校级开学）设集合，，，，若集合的所有非空子集的元素之和是64，则　 　． 考点八．空集及空集的性质 例8 （新定义）设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点．用表示整数集，则在下列集合中： ①； ②，；③； ④整数集 以0为聚点的集合有　　 A．②③ B．①④ C．①③ D．①②④ 由已知中关于集合聚点的定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案． ①中，集合中的元素是极限为1的数列， 除了第一项0之外，其余的都至少比0大， 在的时候，不存在满足得的， 不是集合的聚点 ②集合，，对任意的，都存在（实际上任意比小得数都可以），使得 是集合，的聚点 ③集合中的元素是极限为0的数列， 对于任意的，存在，使 是集合的聚点 ④对于某个，比如，此时对任意的，都有或者，也就是说不可能，从而0不是整数集的聚点 8-1（2024•黄浦区校级期中）设，是实数，若关于，的方程组的解集为，则实数，所满足的条件为 　 　． 8-2（2024•浦东新区校级期中）命题：空集是任何集合的真子集，此命题是 　 　命题．（填“真”或“假” 8-3（2022秋•松江区校级期中）已知集合为空集，则　 　． 8-4若集合，则实数的取值范围是 　 　． 8-5不等式组的解集不是空集，则实数的取值范围是　 　． 考点九．子集的个数（难点） 例9 （2024•静安区校级期中）已知集合，4，，则集合的真子集的个数为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 利用真子集定义即可求得集合的真子集的个数． 解：由题意，集合中有3个元素，则的真子集的个数为． 故选：． 一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集． 9-1（2024•宝山区校级月考）判断下列命题为真命题的个数　　 ①0是，1，2，的真子集； ②； ③如果集合是集合的子集，那么集合就不是集合的子集； ④如果，那么除以4的余数为0或1． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9-2（2024•青浦区校级月考）已知集合与集合的元素个数之和为个，中有个元素，若，则的元素个数为　　 A． B． C． D． 9-3（2024•长宁区校级月考）已知集合为正整数，则的所有真子集的个数是 　511　． 9-4（2024•杨浦区校级期中）已知集合，2，，且满足：“若，则”，则满足条件的集合的个数为 　 　． 9-5（2024•黄浦区校级期中）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 　 　． 9-6（2024•浦东新区期中）若规定由整数组成的集合，1，2，，，，的子集，，，，为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 　 　． 1．（基础题）（2023•上海）已知集合，，，，且，则　 　． 2．（集合相等条件的应用）已知集合，，，且，则　 　． 若集合有且只有两个子集，则实数　　． 3．（2024•嘉定区校级月考）下列结论正确的是　　 A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 4．（2024•黄浦区校级月考）给出下列关系式，其中正确的是 　 　（填序号）． ①；②；③；④，；⑤，． 5．（韦恩图）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 　 　． 6．（2024•青浦区期末）设，集合，若，则实数的取值范围为 　 　． 7．（2024•宝山区校级月考）满足，，的集合共有 　 　个． 8．（2024•宝山区校级期中）已知，则的值为 　 　． 1．（2023•徐汇区校级月考）设是集合，3，4，5，的非空子集，称中的元素之和为的“容量”，则的所有非空子集的“容量”之和为 　 　． 2．（2024•浦东新区校级期末）已知集合，，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 3．（2024•上海校级期中）已知集合，，，，中的元素均为正整数，其中且．若对任意，，都有，则称集合具有性质． （1）集合，2，具有性质，求的最小值； （2）若集合具有性质，且中最小元素和最大元素分别为、，求证：； （3）已知集合具有性质，求中元素个数的最大值，并说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$