专题8 不等式的性质讲义--2026年暑假预习新高一数学沪教版必修第一册

2026-2027年上海高一数学必修一暑假班预习提升讲义 专题2.1 等式与不等式的性质（2） 知识点1 实数(代数式)大小的比较 对于两个实数 、 ， 如果 是正数，就称 大于 ，记为 ； 如果 是负数，就称 小于 ，记为 ； 如果 是零，就称 等于 ，记为 ．这就是说 这是研究一切不等式的基础. 显然,对于任意给定的两个实数 (1)“”的左边反映的是实数的大小关系，右边反映的是实数的运算性质，合起来就是实数的大小与运算性质之间的关系.(2)从基本事实可知,比较两个实数的大小，只需比较它们的差与0的大小。 知识点2 不等式的性质 （1）可加性：设、均为实数，如果那么； （2）传递性：设、、均为实数，如果，那么； （3）可加性：设、、均为实数，如果，那么； （4）可乘性：设、、均为实数，如果，那么；如果，那么； （5）同向可加性：设、、、均为实数，如果，，那么； （6）同向可乘性：设均为实数，如果，，那么； （7）可乘方性：设、均为实数，如果，那么； （8）可开方性：设、均为实数，如果，那么 知识点3 数(式)比较大小的方法 1.作差法、作商法、平方法是比较两个实数(或代数式)大小的基本方法 ①作差法的步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论②作商法的步骤:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论,③平方法的步骤:两边平方、变形、作差、判断差的符号、得出结论. 2．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若 ，则 ；若 ，那么 ．其中 是介于 与 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 知识点4 用比较法证明不等式 证明不等式主要利用作差比较法和作商比较法.若要证明的不等式为几个多项式的和或差,则采用作差比较法;若要证明的不等式为几个多项式的积或商,则采用作商比较法. 采用作差比较法，将不等式左右两边的式子作差，然后将其进行适当的变形、放缩,再利用不等式的传递性、可加性来证明结论.运用作差比较法证明不等式时，作差后变形的结果都应是几个因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号. 知识点一、不等式的性质 题型1：不等式的性质辨析 【例1】若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．设，则下列选项中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 题型02：利用不等式的性质判断命题真假 【名师点拨】①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 5．利用不等式的性质解不等式，要求步步有据，特别是解含有参数的不等式更加要把握好分类讨论的标准．因为参数的范围不同，不等式的解集不同，所以对于参数的不同范围得到的解集都是独立的，不能求并集． 【例2】下列命题为真命题的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【例3】下列不等式中成立的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪训练】 1.已知，给出下列四个不等式：①；②；③；④，其中不正确的不等式个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 2.若且，则下列不等式中正确的是　　 A． B． C． D． 3.已知a＞b且a+b＝2，则下列结论错误的是（　　） A．a＞1 B．a2＞ab C．ab＞b2 D．a2+b2＞2 知识点二、利用不等式的性质比较大小 题型03：利用不等式的性质比较大小 【例4】当ab＞0时，． 【例5】已知a>b>0，c<d<0，比较与的大小． 【跟踪训练】 1.已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知a，b是实数，则“”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 3.若,试比较和的大小. 题型04：作差法比较代数式的大小 【名师点拨】(1)作商变形； (2)与1比较大小； (3)得出结论． 提醒：作商法比较大小仅适用同号的两个数． 【例6】已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例7】比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【跟踪训练】 1. 若，设 ,则的大小关系为 . 2. 比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 3.设，，，是四个正数． (1)已知，比较与的值的大小； (2)若，求证：，，，中至少有一个小于1． 题型05：作商法比较代数式的大小 【例8】已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【例9】已知，试比较与的大小. 【跟踪训练】 1.若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 2.设，，则（    ）． A． B． C． D． 3.已知，，试比较与的大小； 知识点三、利用不等式的性质求范围或证明不等式 题型06：利用不等式的性质求值或取值范围 【名师点拨】1同向不等式具有可加性，同正具有可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性． 2已知两个二元一次代数式的范围，求第三个二元一次式的范围，可以用双换元的方法，也可以通过待定系数法，先用已知的两个二元一次代数式表示未知的二元一次式． 【例10】已知，则代数式的取值范围为 ． 【跟踪训练】 1.已知，则的取值范围是____________. 2.已知，，分别求，，，的取值范围． 3.已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型07：利用不等式的性质证明不等式 【名师点拨】1不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小； 2证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导. 3利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. 4应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 【例11】已知为正实数．求证：. 【跟踪训练】 1.证明不等式 (). 2.已知，求证. 一、填空题 1．（24-25高一上·上海闵行期中）已知实数、满足，下列不等式中正确的是 （只填序号）． ①；②；③；④． 2．（24-25高一上·控江中学期中），则 ． 3．（2020高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ． 4.（24-25高一上·上海·期末）已知是正实数，那么“”是“”的 条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 5．（2023秋·上海浦东新·高一统考期末）设a、b、c、d是实数，则下列命题为真命题的是 . ①如果，且，那么； ②如果，且，那么； ③如果，那么； ④如果，那么. 6．（24-25高一上延安中学期中）下面四个条件中，使成立的充分而非必要的条件是 （填写序号）． ①    ②   ③    ④ 7．（24-25高一上·位育中学期中）已知，求的取值范围 ． 8.（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 . 9.（24-25高一上·格致中学期中）已知实数满足，，则的取值范围为 ，的取值范围是 ． 10.（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）给出下列命题：①若，则；②若，则；③对于正数若，则．其中真命题的序号是 ． 11.（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知为实数，满足，则等号成立的条件是 . 12.（24-25高一上·上海·阶段练习）对任意，方程和在上均有解，则的取值范围为 二、选择题 13．（2023秋•浦东新区校级期中）下列命题中，真命题是　　 A．且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 14.（24-25高一上·市西中学期中）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15.（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上模范中学期中）若，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式和均不能成立 B．不等式和均不能成立 C．不等式和均不能成立 D．不等式和均不能成立 3、 解答题 17．（24-25高一上大同中学期中）已知实数满足： (1)，，求，的取值范围； (2)，，求的取值范围. 18．（24-25高一上松江区期中）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 19.（24-25高一上大同中学期中）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 20．（24-25高一上·上海·阶段练习）解决下列问题： (1)设，比较与的大小； (2)若，，用反证法证明：和中至少有一个大于． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年上海高一数学必修一暑假班预习提升讲义 专题2.1 等式与不等式的性质（2） 知识点1 实数(代数式)大小的比较 对于两个实数 、 ， 如果 是正数，就称 大于 ，记为 ； 如果 是负数，就称 小于 ，记为 ； 如果 是零，就称 等于 ，记为 ．这就是说 这是研究一切不等式的基础. 显然,对于任意给定的两个实数 (1)“”的左边反映的是实数的大小关系，右边反映的是实数的运算性质，合起来就是实数的大小与运算性质之间的关系.(2)从基本事实可知,比较两个实数的大小，只需比较它们的差与0的大小。 知识点2 不等式的性质 （1）可加性：设、均为实数，如果那么； （2）传递性：设、、均为实数，如果，那么； （3）可加性：设、、均为实数，如果，那么； （4）可乘性：设、、均为实数，如果，那么；如果，那么； （5）同向可加性：设、、、均为实数，如果，，那么； （6）同向可乘性：设均为实数，如果，，那么； （7）可乘方性：设、均为实数，如果，那么； （8）可开方性：设、均为实数，如果，那么 知识点3 数(式)比较大小的方法 1.作差法、作商法、平方法是比较两个实数(或代数式)大小的基本方法 ①作差法的步骤:作差、变形、判断差的符号、得出结论②作商法的步骤:作商、变形、判断商与1的大小、得出结论,③平方法的步骤:两边平方、变形、作差、判断差的符号、得出结论. 2．介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：若 ，则 ；若 ，那么 ．其中 是介于 与 之间的值，此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 知识点4 用比较法证明不等式 证明不等式主要利用作差比较法和作商比较法.若要证明的不等式为几个多项式的和或差,则采用作差比较法;若要证明的不等式为几个多项式的积或商,则采用作商比较法. 采用作差比较法，将不等式左右两边的式子作差，然后将其进行适当的变形、放缩,再利用不等式的传递性、可加性来证明结论.运用作差比较法证明不等式时，作差后变形的结果都应是几个因式之积或完全平方式，这样有利于判断符号. 知识点一、不等式的性质 题型1：不等式的性质辨析 【例1】若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一分析. 【详解】若，则，A错误； 若，则，B错误； 若，则，C错误； 若，则，D正确. 故选：D 【跟踪训练】 1．设，则下列选项中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用不等式的性质推理判断AC；举例说明判断B，作差判断D. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，取满足，而不成立，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：B 2．若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断BC选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，不妨取，，，，则，B错； 对于C选项，取，则，C错； 对于D选项，由题意可知，，由不等式的基本性质可得，D对. 故选：D. 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质判断AC，举例说明判断BD. 【详解】A：若，则，故A错误； B：举例，不成立，故B错误； C：由题意知，则，故C正确； D：举例，不成立，故D错误. 故选：C 题型02：利用不等式的性质判断命题真假 【名师点拨】①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 5．利用不等式的性质解不等式，要求步步有据，特别是解含有参数的不等式更加要把握好分类讨论的标准．因为参数的范围不同，不等式的解集不同，所以对于参数的不同范围得到的解集都是独立的，不能求并集． 【例2】下列命题为真命题的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【解答】解：对于：当时，，错误； 对于：当，则，错误； 对于：取，，，满足，， 而，，此时，错误； 对于：当时，则，所以， 即，又，所以，正确． 故选：． 【例3】下列不等式中成立的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解答】解：．时不成立； ．成立． ．，则．因此不成立． ．，则．因此不成立． 故选：． 【跟踪训练】 1.已知，给出下列四个不等式：①；②；③；④，其中不正确的不等式个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：，， ，即，故①、②错误； ，正确，③正确； ，，故④正确； 故选：． 2.若且，则下列不等式中正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：且，，． ，，与大小关系不确定，、、大小关系不确定． 则上述不等式中正确的是． 故选：． 3.已知a＞b且a+b＝2，则下列结论错误的是（　　） A．a＞1 B．a2＞ab C．ab＞b2 D．a2+b2＞2 【解答】解：由a＞b且a+b＝2，可得2a＞a+b＝2，a＞1，A正确； 由a＞0，a＞b可得a2＞ab，B正确； 取a＝3，b＝﹣1，则ab＞b2不成立，C错误； a2+b2＝a2+（2﹣a）2＝2（a﹣1）2+2＞2，D正确． 故选：C． 知识点二、利用不等式的性质比较大小 题型03：利用不等式的性质比较大小 【例4】当ab＞0时，． 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的性质证明即可. 【详解】由ab＞0，知． 又∵a＞b，∴，即； 若，则 ∴a＞b． 即ab＞0时，. 【例5】已知a>b>0，c<d<0，比较与的大小． 【答案】. 【分析】根据不等式的性质可解得结果. 【详解】∵c<d<0，∴－c>－d>0． 又a>b>0，∴a－c>b－d>0， ∴， 又a>b>0，∴. 【跟踪训练】 1.已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】利用不等式的性质及充分、必要性定义判断条件的关系. 【解答过程】由，则，又，则，充分性成立； 由，则，且，无法确定的符号，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2.已知a，b是实数，则“”成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用充分不必要条件的定义，结合不等式的性质逐项判断. 【解答过程】对于A，由，得，而不能推出，A是； 对于BC，取，满足，，而，BC不是； 对于D，，D不是. 故选：A. 3.若,试比较和的大小. 【答案】 【分析】根据不等式的性质比较即可. 【详解】，， 又，∴， ∴， ∴， 又∵， ∴. 题型04：作差法比较代数式的大小 【名师点拨】(1)作商变形； (2)与1比较大小； (3)得出结论． 提醒：作商法比较大小仅适用同号的两个数． 【例6】已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 【例7】比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【解题思路】利用作差法求解即可. 【解答过程】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 【跟踪训练】 1. 若，设 ,则的大小关系为 . 【答案】 【分析】作差计算，根据差值即可比较大小. 【详解】由题恒成立， 所以. 故答案为：. 2. 比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】利用作差法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 3.设，，，是四个正数． (1)已知，比较与的值的大小； (2)若，求证：，，，中至少有一个小于1． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差比较即可判断； （2）利用反证法即可证明． 【详解】（1）因为， 则， 所以； （2）假设，，，都不小于1，即，，，， 则，，，， 所以，与已知矛盾， 故，，，中至少有一个小于1． 题型05：作商法比较代数式的大小 【例8】已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 【例9】已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 【跟踪训练】 1.若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据作商法比较大小，即可得出结果. 【解答过程】因为实数，，满足，，， 所以， ∴； 又， ∴； ∴． 故选：A． 2.设，，则（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小. 【解答过程】， ， 则 . 故，当且仅当时，取等号， 故选：D. 3.已知，，试比较与的大小； 【答案】（当且仅当时取等号） 【解析】由 ，当且仅当时等号成立， 所以（当且仅当时取等号）. 知识点三、利用不等式的性质求范围或证明不等式 题型06：利用不等式的性质求值或取值范围 【名师点拨】1同向不等式具有可加性，同正具有可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性． 2已知两个二元一次代数式的范围，求第三个二元一次式的范围，可以用双换元的方法，也可以通过待定系数法，先用已知的两个二元一次代数式表示未知的二元一次式． 【例10】已知，则代数式的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依据不等式的性质得到答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 故答案为：. 【跟踪训练】 1.已知，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】令， 则，解得， 所以， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以的取值范围为， 2.已知，，分别求，，，的取值范围． 【答案】详见解析. 【分析】根据不等式的基本性质和反比例函数特点即可求解. 【详解】因为，， 所以， 即的取值范围是． 由，， 得， 所以的取值范围是． 由，， 得， 所以的取值范围是． 易知， 而 则， 所以的取值范围是． 3.已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 则，∴， 又，…∴①， ∴…②∴①②得． 则．故选C． 题型07：利用不等式的性质证明不等式 【名师点拨】1不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小； 2证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导. 3利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. 4应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 【例11】已知为正实数．求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证. 【详解】证明：因为， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以. 【跟踪训练】 1.证明不等式 (). 【答案】证明见解析. 【解析】因为， 所以， 所以 两边同除以4，即得，当且仅当时，取等号. 2.已知，求证. 【答案】证明见解析. 【解析】证明： . 由，可知，， 从而， 又，，又， 因此上式分子、分母均小于零， ，即. 一、填空题 1．（24-25高一上·上海闵行期中）已知实数、满足，下列不等式中正确的是 （只填序号）． ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】利用不等式的性质判断③；取特值说明判断①②④. 【详解】对于①②④，取，满足，而，①②④错误； 对于③，， 由，得，，因此，，③正确. 故答案为：③ 2．（24-25高一上·控江中学期中），则 ． 【答案】 【分析】通过作差法即可判断. 【详解】由作差法得， 所以. 故答案为：. 3．（2020高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ． 【答案】≥ 【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果. 【详解】因为， 则 由 所以 故答案为： 4.（24-25高一上·上海·期末）已知是正实数，那么“”是“”的 条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 【答案】充要 【分析】由是正实数，可知，进而化简可得结果. 【详解】因为是正实数， 所以，, 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要 5．（2023秋·上海浦东新·高一统考期末）设a、b、c、d是实数，则下列命题为真命题的是 . ①如果，且，那么； ②如果，且，那么； ③如果，那么； ④如果，那么. 【答案】①③④ 【分析】根据不等式的性质一一判断求解. 【详解】对于①,因为，且，根据不等式的可加性， 所以，故①正确； 对于②，例如有，故②错误； 对于③, ，因为，所以， 即，故③正确； 对于④，因为，所以且， 所以，故④正确， 故答案为：①③④. 6．（24-25高一上延安中学期中）下面四个条件中，使成立的充分而非必要的条件是 （填写序号）． ①    ②   ③    ④ 【答案】② 【分析】通过举出反例，可得①③都不是充分条件，说明它们不正确．根据充分条件、必要条件的定义，可知②正确；而④给出的是一个充要条件，也不符合题意 【详解】对于①，取，则，但，不是充分条件，故①错误； 对于②，当时，因为，所以成立； 反之，由“”不能推出“”， 所以“”是“”成立的充分而不必要的条件，故②正确； 对于③，取，满足“”，但“”不成立， 故“”不是“”的充分条件，故③错误； 对于④，根据立方的意义，当“”成立时，必定有“”成立， 反之，当“”成立时，也有“”成立， 故“”是“”的充分必要条件，④不正确. 故答案为：②. 7．（24-25高一上·位育中学期中）已知，求的取值范围 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法设，得到方程组，解出，再根据不等式基本性质即可得到答案. 【详解】设,则解得 故， 由,故， 由,故， 所以. 故答案为：. 8.（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据不等式的性质得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 9.（24-25高一上·格致中学期中）已知实数满足，，则的取值范围为 ，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式性质即可求的取值范围，化简，再利用不等式的性质求解即可. 【详解】由，， 则两式相加得，故， 因为， 所以，， 则两式相加得. 故答案为：，. 10.（24-25高一上·上海嘉定·阶段练习）给出下列命题：①若，则；②若，则；③对于正数若，则．其中真命题的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】利用特殊值、不等式的性质、差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①若，则，所以①正确. ②若，如， 则，所以②错误. ③正数若，则， ，所以，所以③正确. 故答案为：①③ 11.（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知为实数，满足，则等号成立的条件是 . 【答案】 【分析】利用平方数的性质及已知确定等号成立条件. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 所以等号成立的条件是. 故答案为： 12.（24-25高一上·上海·阶段练习）对任意，方程和在上均有解，则的取值范围为 【答案】 【分析】根据绝对值函数的性质和方程的解法以及不等式的性质，可求得的取值范围. 【详解】因为方程和， 所以， 因为，所以，即， 因为任意，方程和在上均有解， 所以，即， 则，即， 所以 的取值范围为， 故答案为：. 二、选择题 13．（2023秋•浦东新区校级期中）下列命题中，真命题是　　 A．且，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【分析】举例说明判断；作差比较大小判断． 【解答】解：对于，取，，而，错误； 对于，取，而，错误； 对于，，，则，正确； 对于，取，，，，而，错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题． 14.（24-25高一上·市西中学期中）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】利用反例判断A选项，BCD均可以通过不等式的性质以及作差法进行判断. 【解答过程】对于A，令，满足，但，故A错误； 对于B，因为，所以，，故B正确； 对于C，，则，故C正确； 对于D，若，则有，则，故D正确； 故选：A. 15.（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先由题意得，进而求得即可求解. 【解答过程】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故选：D. 16．（24-25高一上模范中学期中）若，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式和均不能成立 B．不等式和均不能成立 C．不等式和均不能成立 D．不等式和均不能成立 【答案】B 【分析】利用不等式的性质结合已知条件逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，所以，即成立， 因为，所以，，所以，所以， 所以不成立，所以A错误， 对于B，由选项A可知不成立， 因为，所以，，所以，， 所以，所以，所以不成立，所以B正确， 对于CD，因为，所以， 所以，所以， 所以成立，所以CD错误， 故选：B 3、 解答题 17．（24-25高一上大同中学期中）已知实数满足： (1)，，求，的取值范围； (2)，，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据同向不等式的可加性及同向不等式的可乘性即可求解范围； （2）利用待定系数法，结合不等式的性质即可求解. 【详解】（1）因为所以又因为，所以； 因为所以，又因为，所以; （2）令， 则，解得， 又因为，,所以， 所以. 18．（24-25高一上松江区期中）已知实数，满足，． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【解题思路】（1）根据条件，利用不等式的性质，即可求解； （2）通过作差，得到，再根据条件，即可求解. 【解答过程】（1）因为，，所以， 当，时，则，，此时， 当，时，则，此时，得到， 当，时，则，此时，得到， 当，时，， 又当或时，， 综上，. （2）因为， 又，，则，， 所以，得到. 19.（24-25高一上大同中学期中）（1）已知，，求证：； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用不等式性质4，5得出，再取倒数，再利用性质6即可证明； （2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式． 【详解】证明：（1）因为，所以． 又．所以，所以． 又因为， 所以． （2）因为，要证，只需证明， 展开得， 即， 因为成立， 所以成立． 20．（24-25高一上·上海·阶段练习）解决下列问题： (1)设，比较与的大小； (2)若，，用反证法证明：和中至少有一个大于． 【解题思路】（1）用作差法比较大小； （2）假设和中都不大于，即，，两个不等式分别乘以它们的公分母后相加得出与已知矛盾的结论，从而可完成证明． 【解答过程】（1）∵，∴， ∴ ∴； （2）假设和中都不大于，即，， 因为，所以，， 两式相加得，即，与已知矛盾， 所以假设错误，从而和中至少有一个大于． 1 学科网（北京）股份有限公司 $