第09讲 幂函数（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（沪教版必修第一册）

第09讲 幂函数（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：幂函数的概念 知识点02：幂函数的图象 知识点03：幂函数的性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求幂函数的解析式 题型02：根据函数是幂函数求参数值 题型03：求幂函数的定义域 题型04：幂函数图象的判断及应用 题型05：判断一般幂函数的单调性 题型06：由幂函数的单调性求参数 题型07：由幂函数的单调性解不等式 题型08：由幂函数的单调性比较大小 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 【例1】判断下列函数是否为幂函数，并说明理由。 ① 𝑦=𝑥3 ② 𝑦=3𝑥2 ③ 𝑦=𝑥12 ④ 𝑦=𝑥2+2 解：根据幂函数定义 𝑦=𝑥𝛼（系数为1、底数为自变量、仅单项）逐一判定： ① 𝑦=𝑥3：符合幂函数标准形式，是幂函数； ② 𝑦=3𝑥2：自变量系数为3，不等于1，不是幂函数； ③ 𝑦=𝑥12：指数为常数，系数为1，符合定义，是幂函数； ④ 𝑦=𝑥2+2：含有常数项，不是单项幂形式，不是幂函数。 【知识点02】幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝，y＝，y＝，y＝的图象如图所示： 【例2】已知幂函数 𝑓(𝑥)=𝑥𝛼 的图象过点 (4,2)，画出该函数的大致图象，并写出定义域。 解：步骤1：代入定点求指数 𝛼 将 𝑥=4,𝑓(𝑥)=2 代入幂函数公式： 4𝛼=2 变形统一底数：(22)𝛼=21⇒22𝛼=21 根据指数相等原则：2𝛼=1⇒𝛼=12 步骤2：确定函数解析式 𝑓(𝑥)=𝑥12=𝑥 步骤3：分析定义域与图象特征 定义域：[0,+∞)； 图象特征：仅分布在第一象限，过定点 (0,0)、(1,1)，单调递增，曲线上升逐渐平缓。 【知识点03】幂函数的性质 y＝x y＝ y＝ y＝ y＝ 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，增函数 x∈(－∞，0]时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞)时，减函数 x∈(－∞，0)时，减函数 【例3】比较大小： 和 ，并说明依据。 解：步骤1：构造幂函数 观察两个式子结构，底数不同、指数相同，构造幂函数： 步骤2：判断函数单调性 此处 ，根据幂函数性质， 在 上单调递增。 步骤3：结合自变量大小比较函数值 因为 ，且函数在定义域内单调递增， 所以 即： 【题型01】求幂函数的解析式 【典例1-1】（24-25高一上·上海宝山·期末）幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．64 B．2 C．16 D．8 【答案】B 【分析】利用待定系数法求解析式，然后求函数值. 【详解】设幂函数的解析式为，则，解得， 所以，. 故选：B. 【变式1-1】（25-26高一下·上海黄浦·期中）若幂函数的图像经过点，则的值为______． 【答案】/ 【分析】将点的坐标代入函数表达式算出参数即可得解. 【详解】由题意得，所以，解得. 【变式1-2】（25-26高一上·上海·期末）若幂函数的图像经过点，则该幂函数的表达式为_______． 【答案】 【分析】设，根据可得出的值，由此可得出函数的解析式. 【详解】根据题意，设，则，解得，故. 故答案为：. 【变式1-3】已知幂函数的图像经过点，求的值. 【答案】-3. 【解析】把点的坐标代入函数的解析式中，求出参数，然后把代入函数解析式中求值即可 【详解】解：的图像经过点 ， . 【点睛】本题考查了求幂函数解析式，考查了求函数值问题，考查了数学运算能力. 【题型02】根据函数是幂函数求参数值 【典例2-1】（2026高一上·上海·专题练习）若函数是幂函数，则实数的值为______. 【答案】3或0 【分析】根据幂函数的定义求解即可. 【详解】因为是幂函数，则，解得或. 故答案为：3或0. 【变式2-1】（25-26高一上·上海·单元测试）已知函数是幂函数，且时，若此函数是严格减函数，则m的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 【答案】A 【分析】利用幂函数的定义及性质直接列式计算并判断作答. 【详解】因为函数是幂函数，且时，若此函数是严格减函数， 所以，解得， 故选：A 【变式2-2】（25-26高一上·上海·期末）若幂函数的图像不经过原点，则的值为__________. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及性质计算可得. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，则，不符合题意，故舍去； 当时定义域为，函数图像不经过原点，符合题意； 综上可得. 故答案为： 【变式2-3】（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数是幂函数，求m的值． 【答案】－1，2 【分析】幂函数的形式为，前面系数为1 【详解】函数是幂函数，则 则或 【题型03】求幂函数的定义域 【典例3-1】（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义直接求出定义域. 【详解】函数的定义域为. 故选：B 【变式3-1】（25-26高一上·上海·单元测试）函数的定义域是___________. 【答案】 【分析】结合指数幂的运算性质化简表达式，即可求解 【详解】由可知其定义域为. 故答案为： 【点睛】本题考查求解具体幂函数的定义域，属于基础题 【变式3-2】（24-25高一上·上海·期中）函数的定义域为_______． 【答案】 【解析】将函数解析式变形为，即可求得原函数的定义域. 【详解】，所以，. 因此，函数的定义域为. 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列幂函数中，定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合幂函数的图象与性质，分别求得其定义域，即可求解. 【详解】对于A中，函数的定义域为，不符合题意； 对于B中，函数的定义域为，不符合题意； 对于C中，函数的定义域为，不符合题意； 对于D中，函数的定义域为，符合题意. 故选：D. 【题型04】幂函数图象的判断及应用 【典例4-1】（24-25高一上·上海奉贤·期中）下列图象中，最符合函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象判断即可. 【详解】由，函数的定义域为，排除BC， 因为，所以函数的图象呈现下凸的趋势，排除D. 故选：A. 【变式4-1】如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（   ） A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解. 【详解】由函数是反比例函数，其对应图象为①； 函数的定义域为，应为图②； 因为的定义域为且为奇函数，故应为图③. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图表示的时四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图像，则幂函数的图像可能是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象与性质，得到为增函数，且增加的速度越来越缓慢，结合给定的图象，即可求解. 【详解】根据幂函数的图象与性质，可得幂函数为增函数，且增加的速度越来越缓慢， 结合给定的图象，只有④符合. 故选：D. 【变式4-3】（25-26高一上·上海·期中）如图是四个幂函数的部分图像，已知取、2、、这四个值，则与对应的曲线为________．（从、、、中选择一个填写） 【答案】 【分析】根据幂函数的图象特征即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增； 当时，幂函数在上单调递减； 且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大. 因为，所以与对应的曲线为. 故答案为：. 【题型05】判断一般幂函数的单调性 【典例5-1】下列关于函数的单调性的描述中，正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．在上是减函数 【答案】C 【分析】根据幂函数的知识可得答案. 【详解】在上是增函数 故选：C 【变式5-1】（25-26高一上·上海杨浦·期末）函数的严格增区间是_______. 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性即可得结果. 【详解】因为函数的定义域为， 由幂函数性质可知函数的严格增区间是. 故答案为：. 【变式5-2】下列函数在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基本初等函数的性质直接判断. 【详解】由基本初等函数的性质可知： 对于A：在上单调递减.故A错误； 对于B：在上单调递增.故B正确； 对于C：在上单调递减.故C错误； 对于D：在上单调递减..故D错误. 故选：B 【变式5-3】（24-25高一上·上海奉贤·阶段检测）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为__________. 【答案】 【分析】根据幂函数的图象和性质之间的关系进行判断即可. 【详解】当时，突函数在上单调递减， 当时，幂函数在上单调递增， 并且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大 故与曲线相应的依次为. 故答案为： 【题型06】由幂函数的单调性求参数 【典例6-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的值可能为（    ）． A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性可得答案. 【详解】若幂函数在区间上是严格减函数，只要即可． 故选：C. 【变式6-1】（25-26高一上·上海·期中）若幂函数在上是增函数，则实数________． 【答案】 【分析】结合幂函数的定义以及单调性求值. 【详解】是幂函数，所以，解得或； 当时，，在上递增，符合题意； 当时，，在上递减，不符合题意； 综上所述，. 故答案为： 【变式6-2】（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）幂函数在上为严格减函数，则______. 【答案】2或 【分析】先根据幂函数的定义得，求出或，进而检验即可. 【详解】由题意，或. 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，满足题意. 所以或. 故答案为：2或. 【变式6-3】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知函数的表达式为是幂函数，且当时，函数是严格增函数，求的解析式． 【答案】 【分析】由幂函数的定义和性质求解即可． 【详解】由已知可得，所以或， 当时，函数，当时，函数不是严格增函数， 当时，函数，当时，函数是严格增函数， 所以． 【题型07】由幂函数的单调性解不等式 【典例7-1】已知，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性与定义域求解即可. 【详解】由题意即， 故，即，解得. 【变式7-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）若，求实数的取值范围 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性，结合函数定义域，即可列出不等式，求解即可. 【详解】因为y＝在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以 解得－1≤m<. 故实数m的取值范围为. 【点睛】本题考查利用幂函数的单调性解不等式，属基础题. 【变式7-2】（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）已知幂函数经过点. (1)求此幂函数的表达式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出函数解析式，代入点的坐标可得答案； （2）把条件转化为根式不等式，结合限制条件和不等关系可得不等式组，进而可求范围. 【详解】（1）设，因为经过点，所以， 解得，所以. （2）由题意，即， 所以，解得，故实数的取值范围为. 【变式7-3】已知函数 ，且该函数的图象经过点. (1)确定m的值； (2)求满足条件的实数a的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）代入点的坐标求解即可； （2）利用幂函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为该函数的图象过点， 所以， 所以，所以或， 又，故. （2）由（1）知，故为上的增函数，又由， 得，解得. 所以满足条件的实数a的取值范围为. 【题型08】由幂函数的单调性比较大小 【典例8-1】（25-26高一上·上海·期中）图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（    ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象，结合幂函数的性质判断参数的大小关系，即可得答案. 【详解】由题图知：，，， 所以，，依次可以是，，3． 故选：D 【变式8-1】（24-25高一·上海·随堂练习）若，请比较两式大小：________． 【答案】 【分析】由幂函数的单调性得出大小关系. 【详解】由幂函数的性质可知，函数在上单调递增，且， 因此. 故答案为： 【变式8-2】（24-25高一上·上海·期中）比较下列两数的大小关系，______的大小（填、或符号） 【答案】 【分析】根据指数运算及幂函数单调性直接可判断. 【详解】由， ， 且， 又函数在上单调递增， 所以， 即， 故答案为：. 【变式8-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组数中两个数的大小. (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据幂函数的单调性比较大小 【详解】（1）因为幂函数在上单调递增，且， 所以， （2）因为幂函数在上单调递减，且， 所以. 知识点01幂函数的概念 1. 标准定义 形如 的函数称为幂函数，其中 为自变量， 为固定常数。 2. 严格判定标准（核心考点） 同时满足以下条件才是幂函数： 底数必须是自变量 ，指数为常数； 解析式系数为1； 仅含单项幂式，无常数项、无加减运算、无其他因式。 3. 易混函数区分 是幂函数： 不是幂函数：（指数函数） 知识点02幂函数的图象（五大基础模型） 1. 通用图象特征 所有幂函数图象均过定点 ； 图象过原点， 图象不过原点。 2. 五大核心幂函数图象汇总 解析式 指数 图象象限分布 过定点 一、三象限直线 一、二象限抛物线 一、三象限递增曲线 仅第一象限 一、三象限双曲线 知识点03幂函数的核心性质 1. 定义域与定点性质 任意幂函数恒过定点 ； ，幂函数在 处有定义，过 ； ， 无定义，图象不过原点。 2. 单调性（第一象限必考） 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减。 3. 奇偶性判定 指数为奇数，函数为奇函数，图象关于原点对称； 指数为偶数，函数为偶函数，图象关于 轴对称； 分数指数幂：定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数。 知识点04核心公式（微软标准公式） 1. 幂函数定义公式： 2. 分数指数与根式互化： 3. 负指数幂运算公式： 知识点05常用解题方法 1. 求幂函数解析式 设 ，将函数所过定点坐标代入解析式，求解常数 即可。 2. 幂值大小比较方法 同指数不同底数：利用幂函数单调性比较； 同底数不同指数：利用指数函数单调性比较； 底数指数均不同：借助中间值 搭桥比较。 知识点06高频易错点总结 混淆幂函数与指数函数：幂函数底数为变量，指数函数指数为变量； 错误认为所有幂函数都过原点，负指数幂函数在 无定义； 判定幂函数忽略系数，带系数、常数项的函数一定不是幂函数； 忽略分数指数幂的定义域，导致图象、奇偶性判断出错。 一、填空题 1．（25-26高一上·上海宝山·期末）若幂函数的图像经过点，则实数_______. 【答案】 【分析】将点的坐标代入函数解析式解方程求即可. 【详解】因为幂函数的图象经过点， 所以，所以， 所以， 故答案为：. 2．（25-26高一上·上海·期末）已知幂函数的图象不过原点，则实数________ 【答案】3 【分析】利用幂函数的定义及性质即可求解. 【详解】由幂函数的图象不过原点可知： ，解得：， 故答案为：3 3．（25-26高一下·上海宝山·期末）幂函数的图象过点，则实数____________． 【答案】 【分析】将已知点的坐标代入幂函数解析式，结合指数运算性质求解实数的值 【详解】已知幂函数的图像过点，因此该点坐标满足函数解析式，将，代入得： ， 根据根式与分数指数幂的转换规则，，因此等式可改写为： ， 由于底数且，指数函数在上单调递调，同底数幂相等时指数相等，因此可得. 4．（25-26高一上·上海·期末）已知幂函数，且在严格递减，则_____. 【答案】 【分析】由幂函数的性质结合单调性可解； 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 又在严格递减，所以. 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）幂函数的图象与轴、轴均无公共点，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题可得，然后由幂函数定义域，值域可确定答案. 【详解】由于幂函数图象与坐标轴均无交点，则. 当，函数定义域中不含数字0，值域也不含数字0，满足题意； 当，函数定义域中不含数字0，值域为不含数字0，满足题意； 当，注意到，即此时函数恒过定点，与坐标轴有交点，不满足题意. 综上，. 故答案为： 6．（25-26高一上·上海普陀·期末）若幂函数的图像经过点，则___________． 【答案】8 【分析】利用幂函数的定义可得答案. 【详解】设幂函数 ，由其图像经过点 ， 得：， 得：， 得：，即， 因此 ， . 故答案为 ：8. 7．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，设幂函数的图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则m的值为______. 【答案】1或3 【分析】利用幂函数的性质得到的相关条件，从而得解. 【详解】因为幂函数的图象关于原点成中心对称，且与轴及轴均无交点， 所以且为奇数，则， 又，结合为奇数，可得或3. 故答案为：1或3. 8．（25-26高一上·上海·阶段检测）幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数__________ 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和图象的性质可得出关于的等式与不等式，即可解得的值. 【详解】因为幂函数的图象与坐标轴没有公共点， 所以，解得. 故答案为：. 9．（25-26高一上·上海金山·期末）已知幂函数在上为严格增函数，则解析式为________． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义与幂函数的单调性可得出关于的等式与不等式，解之即可. 【详解】由题意得，，解得，则. 故答案为：. 10．（25-26高一上·上海·期中）若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个． 【答案】4 【分析】作出函数图象，结合图象分析交点个数，进而可得集合A. 【详解】分别作出函数、、和的图象，如图所示， 可知与、、的交点个数分别为1、1、2； 与、的交点个数分别为2、2； 与的交点个数为2； 可知集合或或或， 所以满足条件的不同集合有4个. 故答案为：4. 11.（24-25高一上·上海·期中）已知，，则关于x的不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】由不等式的性质及幂函数的单调性求解. 【详解】由知， 所以，即 所以，即，解得， 所以不等式的解集为， 故答案为： 12．（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数在上是严格减函数，则不等式的解集是__________. 【答案】 【分析】利用幂函数的定义确定的值，从而利用单调性解不等式即可求解. 【详解】因为是幂函数，则，得或， 又因为幂函数在上是严格减函数，所以，， 因为，则或或， 所以或. 所以解集为； 故答案为：. 二、单选题 13．（25-26高一上·上海·期末）下列函数中，定义域为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将选项中的幂函数分别化成根式，即可求得函数的定义域逐一判断即可. 【详解】对于A，因，则该函数的定义域为，故A不合题意； 对于B，因，该函数的定义域为，故B不合题意； 对于C，因，则该函数的定义域为，故C符合题意； 对于D，因，则该函数的定义域为，故D不合题意. 故选：C. 14．已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【详解】由题意得，解得，故， 所以. 15.（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数在上单调递增，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由幂函数的性质可得，再由不等式的性质逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为在上单调递增，所以. 由，得，反之也成立，则“”是“”的充要条件，故A错误. 由，推不出，则“”不是“”的必要条件，故B错误. 由，得，反之不成立，则“”是“”的必要不充分条件，故C正确. 同理可得，“”是“”的充分不必要条件，故D错误. 故选：C 16．（2025高一·上海·专题练习）如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合幂函数在第一象限的单调性和图象的变换趋势，依次判定，即可求解. 【详解】根据幂函数在第一象限的图象，知： 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向上靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右更靠近轴，符合的图象， 所以曲线对应的值依次是. 故选：B. 三、解答题 17．（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数． (1)求的值及的解析式； (2)作出幂函数的大致图象． 【答案】(1)，； (2)作图见解析 【分析】（1）由幂函数定义计算即可得； （2）利用幂函数性质作出大致图象即可得. 【详解】（1）由幂函数定义可得，解得，则； （2）如图所示： 18．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知幂函数在上是严格减函数，其中． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性求出值. （2）根据函数的单调性求出不等式的解集即可. 【详解】（1）由已知可得， 即， 解得或 当，则在上严格减，符合条件， 当，则在上严格增，不符合条件， 综上所述，． （2）由（1）及不等式，有， 可得， 解得或． 故所求解集为． 19．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图像经过点． (1)求幂函数解析式； (2)求证：幂函数在区间上是严格增函数． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由幂函数的解析式列出方程，求解即可； （2）由函数单调性的定义结合不等式的性质证明即可. 【详解】（1）因为的图像经过点，所以，则． （2）证明：由（1）可知，， 设，可得， 所以， 即， 所以在区间上是严格增函数． 20．（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数 ，且该函数在上是严格增函数. (1)求此幂函数的表达式； (2)求关于的不等式 的解， 其中. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由及可得； （2）根据与0的大小分类讨论解二次不等式． 【详解】（1）因为 是幂函数且该函数在上是严格增函数. 所以，所以， 所以； （2）不等式为，即， 时，解为，解集为； 时，解为或，解集为； 时，解为或，解集为． 21．（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)已知点，点在此幂函数的图象上，且满足，求实数的取值范围. 【答案】(1)，定义域为 (2) 【分析】（1）依题意可得，求出的值，即可求出函数解析式及定义域； （2）首先判断函数的单调性，即可得到，解得即可. 【详解】（1）幂函数经过点， ，即，解得， ； 因为，所以的定义域为. （2）由于函数在其定义域上单调递减， 又因为点，点在此幂函数的图象上，且满足， 可得，解得， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 幂函数（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：幂函数的概念 知识点02：幂函数的图象 知识点03：幂函数的性质 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求幂函数的解析式 题型02：根据函数是幂函数求参数值 题型03：求幂函数的定义域 题型04：幂函数图象的判断及应用 题型05：判断一般幂函数的单调性 题型06：由幂函数的单调性求参数 题型07：由幂函数的单调性解不等式 题型08：由幂函数的单调性比较大小 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 【例1】判断下列函数是否为幂函数，并说明理由。 ① 𝑦=𝑥3 ② 𝑦=3𝑥2 ③ 𝑦=𝑥12 ④ 𝑦=𝑥2+2 【知识点02】幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝，y＝，y＝，y＝的图象如图所示： 【例2】已知幂函数 𝑓(𝑥)=𝑥𝛼 的图象过点 (4,2)，画出该函数的大致图象，并写出定义域。 【知识点03】幂函数的性质 y＝x y＝ y＝ y＝ y＝ 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，增函数 x∈(－∞，0]时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞)时，减函数 x∈(－∞，0)时，减函数 【例3】比较大小： 和 ，并说明依据。 【题型01】求幂函数的解析式 【典例1-1】（24-25高一上·上海宝山·期末）幂函数的图像过点，则的值为（    ） A．64 B．2 C．16 D．8 【变式1-1】（25-26高一下·上海黄浦·期中）若幂函数的图像经过点，则的值为______． 【变式1-2】（25-26高一上·上海·期末）若幂函数的图像经过点，则该幂函数的表达式为_______． 【变式1-3】已知幂函数的图像经过点，求的值. 【题型02】根据函数是幂函数求参数值 【典例2-1】（2026高一上·上海·专题练习）若函数是幂函数，则实数的值为______. 【变式2-1】（25-26高一上·上海·单元测试）已知函数是幂函数，且时，若此函数是严格减函数，则m的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．3 【变式2-2】（25-26高一上·上海·期末）若幂函数的图像不经过原点，则的值为__________. 【变式2-3】（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数是幂函数，求m的值． 【题型03】求幂函数的定义域 【典例3-1】（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·上海·单元测试）函数的定义域是___________. 【变式3-2】（24-25高一上·上海·期中）函数的定义域为_______． 【变式3-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列幂函数中，定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【题型04】幂函数图象的判断及应用 【典例4-1】（24-25高一上·上海奉贤·期中）下列图象中，最符合函数的图象的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（   ） A．①，②，③ B．①，②，③ C．①，②，③ D．①，②，③ 【变式4-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图表示的时四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图像，则幂函数的图像可能是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式4-3】（25-26高一上·上海·期中）如图是四个幂函数的部分图像，已知取、2、、这四个值，则与对应的曲线为________．（从、、、中选择一个填写） 【题型05】判断一般幂函数的单调性 【典例5-1】下列关于函数的单调性的描述中，正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．在上是减函数 【变式5-1】（25-26高一上·上海杨浦·期末）函数的严格增区间是_______. 【变式5-2】下列函数在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·上海奉贤·阶段检测）如图是幂函数的部分图像，已知分别取这四个值，则与曲线相应的依次为__________. 【题型06】由幂函数的单调性求参数 【典例6-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的值可能为（    ）． A．1 B． C． D．2 【变式6-1】（25-26高一上·上海·期中）若幂函数在上是增函数，则实数________． 【变式6-2】（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）幂函数在上为严格减函数，则______. 【变式6-3】（24-25高一上·上海·阶段检测）已知函数的表达式为是幂函数，且当时，函数是严格增函数，求的解析式． 【题型07】由幂函数的单调性解不等式 【典例7-1】已知，求实数的取值范围. 【变式7-1】（24-25高一上·上海·课堂例题）若，求实数的取值范围 【变式7-2】（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）已知幂函数经过点. (1)求此幂函数的表达式； (2)若，求实数的取值范围. 【变式7-3】已知函数 ，且该函数的图象经过点. (1)确定m的值； (2)求满足条件的实数a的取值范围. 【题型08】由幂函数的单调性比较大小 【典例8-1】（25-26高一上·上海·期中）图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（    ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 【变式8-1】（24-25高一·上海·随堂练习）若，请比较两式大小：________． 【变式8-2】（24-25高一上·上海·期中）比较下列两数的大小关系，______的大小（填、或符号） 【变式8-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组数中两个数的大小. (1)与； (2)与. 知识点01幂函数的概念 1. 标准定义 形如 的函数称为幂函数，其中 为自变量， 为固定常数。 2. 严格判定标准（核心考点） 同时满足以下条件才是幂函数： 底数必须是自变量 ，指数为常数； 解析式系数为1； 仅含单项幂式，无常数项、无加减运算、无其他因式。 3. 易混函数区分 是幂函数： 不是幂函数：（指数函数） 知识点02幂函数的图象（五大基础模型） 1. 通用图象特征 所有幂函数图象均过定点 ； 图象过原点， 图象不过原点。 2. 五大核心幂函数图象汇总 解析式 指数 图象象限分布 过定点 一、三象限直线 一、二象限抛物线 一、三象限递增曲线 仅第一象限 一、三象限双曲线 知识点03幂函数的核心性质 1. 定义域与定点性质 任意幂函数恒过定点 ； ，幂函数在 处有定义，过 ； ， 无定义，图象不过原点。 2. 单调性（第一象限必考） 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减。 3. 奇偶性判定 指数为奇数，函数为奇函数，图象关于原点对称； 指数为偶数，函数为偶函数，图象关于 轴对称； 分数指数幂：定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数。 知识点04核心公式（微软标准公式） 1. 幂函数定义公式： 2. 分数指数与根式互化： 3. 负指数幂运算公式： 知识点05常用解题方法 1. 求幂函数解析式 设 ，将函数所过定点坐标代入解析式，求解常数 即可。 2. 幂值大小比较方法 同指数不同底数：利用幂函数单调性比较； 同底数不同指数：利用指数函数单调性比较； 底数指数均不同：借助中间值 搭桥比较。 知识点06高频易错点总结 混淆幂函数与指数函数：幂函数底数为变量，指数函数指数为变量； 错误认为所有幂函数都过原点，负指数幂函数在 无定义； 判定幂函数忽略系数，带系数、常数项的函数一定不是幂函数； 忽略分数指数幂的定义域，导致图象、奇偶性判断出错。 一、填空题 1．（25-26高一上·上海宝山·期末）若幂函数的图像经过点，则实数_______. 2．（25-26高一上·上海·期末）已知幂函数的图象不过原点，则实数________ 3．（25-26高一下·上海宝山·期末）幂函数的图象过点，则实数____________． 4．（25-26高一上·上海·期末）已知幂函数，且在严格递减，则_____. 5．（25-26高一上·上海·阶段检测）幂函数的图象与轴、轴均无公共点，则实数的取值范围是______. 6．（25-26高一上·上海普陀·期末）若幂函数的图像经过点，则___________． 7．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，设幂函数的图象关于原点成中心对称，且与x轴及y轴均无交点，则m的值为______. 8．（25-26高一上·上海·阶段检测）幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则实数__________ 9．（25-26高一上·上海金山·期末）已知幂函数在上为严格增函数，则解析式为________． 10．（25-26高一上·上海·期中）若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个． 11.（24-25高一上·上海·期中）已知，，则关于x的不等式的解集为__________. 12．（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数在上是严格减函数，则不等式的解集是__________. 二、单选题 13．（25-26高一上·上海·期末）下列函数中，定义域为的是（    ）. A． B． C． D． 14．已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 15.（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数在上单调递增，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 16．（2025高一·上海·专题练习）如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数． (1)求的值及的解析式； (2)作出幂函数的大致图象． 18．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知幂函数在上是严格减函数，其中． (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 19．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图像经过点． (1)求幂函数解析式； (2)求证：幂函数在区间上是严格增函数． 20．（24-25高一上·上海·期中）已知幂函数 ，且该函数在上是严格增函数. (1)求此幂函数的表达式； (2)求关于的不等式 的解， 其中. 21．（25-26高一上·上海·期中）已知幂函数经过点. (1)求此幂函数的表达式和定义域； (2)已知点，点在此幂函数的图象上，且满足，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $