第12讲 函数（知识详解+8典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（沪教版必修第一册）

第12讲 函数（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：函数的概念 知识点02：函数的表示方法 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求函数值 题型02：具体函数、抽象函数、复合函数的定义域 题型03：常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 题型04：复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型05：判断两个函数是否相等 题型06：解析法、图象法、列表法表示函数 题型07：求分段函数解析式或求函数的值 题型08：已知分段函数的值求参数或自变量 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 一般地，设D是非空的实数集，且对D中任意给定的实数x，按照某种确定法则，都有唯一确定的实数值y与之对应，则这种对应关系称为集合D上的一个函数；记作：y＝f(x)，x∈D. 其中x叫做自变量，其取值范围（数集D）称为 该函数的定义域； 值域 对于自变量x0,由法则f所确定的x0所对应的值y0，称为函数在x0处的函数值，记作y0=f(x0)； 所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈D}称为这个函数的值域； 【例1】判断下列对应关系是否为函数： ① ， ② ， 【知识点02】函数的表示方法 函数的解析法 用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应法则，这种表示函数的方法称为解析法； 函数的列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表达函数关系的方法 函数的图像法 对于函数；由（其中）的全体组成的集合叫做函数图像； 【例2】已知 ，求函数 的解析式。 【题型01】求函数值 【典例1-1】若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，则________． 【变式1-2】（25-26高一上·上海·期末）已知，且，则_____. 【变式1-3】已知，. (1)求，的值； (2)求，的值. 【题型02】具体函数、抽象函数、复合函数的定义域 【典例2-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域为________． 【变式2-2】（24-25高一上·上海·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________． 【变式2-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)． 【题型03】常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 【典例3-1】（2026高一上·上海·专题练习）函数的值域为______． 【变式3-1】函数的值域为__________． 【变式3-2】（24-25高一上·上海·阶段检测）函数的值域为________________ 【变式3-3】画出下列函数的图象，并说出函数的定义域､值域： (1)； (2)； (3)； (4). 【题型04】复杂(根式型、分式型等)函数的值域 【典例4-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______. 【变式4-2】（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 【变式4-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【题型05】判断两个函数是否相等 【典例5-1】（25-26高一上·上海·期中）下列函数中，与函数相同的函数是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列各组函数中，表示相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．，，， 【变式5-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列各组函数：①，；②，；③，；④，；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系与一次函数．其中表示相同函数的是________（填入所有正确项的序号）． 【题型06】解析法、图象法、列表法表示函数 【典例6-1】（25-26高一上·上海·期中）下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如果已知摄氏度C来求华氏度F，可以用温度经验公式来表示.已知华氏温度来求摄氏温度，需要使用的公式为______. 【变式6-2】（25-26高一上·上海·期中）已知函数和的部分取值如表所示．则_______． 1 2 3 6 9 10 2 3 4 【变式6-3】里约热内卢奥运会正在如火如荼地进行，奥运会纪念品销售火爆，已知某种纪念品的单价是5元，买x（x∈{1,2,3,4,5}）件该纪念品需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f（x）． 【题型07】求分段函数解析式或求函数的值 【典例7-1】（25-26高一上·上海·期中）已知函数则（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】已知，则________ 【变式7-2】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知函数 的表达式为 ，则 _____. 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，其中．用直线l：（）截这个正方形，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点D部分的面积记为S，将S表示为t的函数，则其解析式为________________． 【题型08】已知分段函数的值求参数或自变量 【典例8-1】函数，若，则实数的值为_______. 【变式8-1】已知若，则__________. 【变式8-2】已知，若，则______. 【变式8-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数 (1)在坐标系中作出函数的图象； (2)若时函数值等于，求a的取值集合． 知识点01函数的概念（核心定义） 1. 严格定义 设为两个非空实数集，如果按照某一确定的对应关系，对于集合中的任意一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与之对应，则称对应关系为定义在集合上的函数。 函数记作： 2. 函数三要素 （1）定义域：自变量的取值集合（首要要素，优先判定）； （2）对应关系：核心核心，决定变量对应规则； （3）值域：所有函数值构成的集合。 3. 函数判定黄金准则 满足：任取x，唯一y。 禁忌：一对多对应、定义域为空集，均不是函数。 4. 函数相等的条件 两个函数为同一函数，必须同时满足：定义域相同 + 对应关系相同，与函数符号、字母无关。 知识点02函数的三种表示方法 1. 解析法 用数学解析式表示变量间的对应关系，是高中最常用的表示方法。 通用形式： 优点：精准严谨、便于代数运算、可研究函数单调性、最值等性质； 缺点：抽象性强，无法直观体现函数变化趋势。 分类：整式函数、分式函数、根式函数、分段函数等。 2. 列表法 以表格形式罗列自变量与对应函数值的对应关系。 优点：读数直观、无需计算，适用于离散型变量； 缺点：只能呈现有限个数值，无法反映函数整体变化规律与解析式。 3. 图象法 在平面直角坐标系中，以点的集合构成的图形表示函数。 优点：直观反映函数增减性、最值、对称性、零点等几何特征； 缺点：数值精度低，不适合精准代数运算。 三种方法核心关系 同一函数的三种表示方法可以相互转化，解题中常“以式画图、以图助算”。 知识点03高频核心解题方法（求函数解析式） 1. 换元法（通用必考） 适用于复合型函数，令，反解代入原式，化简得到，最终替换变量为。 2. 配凑法 无需换元，直接对右侧表达式配凑出整体结构，直接写出解析式。 3. 待定系数法 已知函数类型（一次、二次、反比例函数等），设出通用解析式，代入已知点坐标求解参数。 知识点04本节必背公式与核心结论 1. 函数通用形式： 2. 值域定义集合： 3. 同一函数判定：定义域一致、对应关系一致 知识点05高频易错点总结（考试避坑） 1. 重对应、轻定义域：判定函数、判断同一函数时，优先看定义域，定义域不同一定不是同一函数； 2. 一对多误区：一个自变量对应多个函数值，绝对不是函数； 3. 换元疏漏：换元求解析式时，需同步更新新变量的取值范围； 4. 表示法误区：图象、表格、解析式只是形式，核心是满足函数对应规则。 一、填空题 1．（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）函数的值域为_______ 2．（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的定义域为______． 3．函数的定义域为______． 4．（25-26高一上·上海普陀·期末）已知则___________． 5．（24-25高一下·上海·期末）已知函数，则函数的定义域为________． 6．（24-25高一上·上海·阶段检测）若集合，则_______. 7．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，若函数的值域为，则的取值范围是______． 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数与为相同函数的序号是________． ①，； ②，； ③，． 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列表示函数，则________． x y 2 3 4 5 10．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为________． 11．（24-25高一上·上海·单元测试）已知时，；为无理数时，；我们知道函数表示法有三种：①列表法；②图像法；③解析法，那么该函数不能用________表示． 12．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知函数满足：对任意的实数，都有，且，则的值为___________． 二、单选题 13．如图是肖老师以恒定的速率夜跑时的离家距离（y）与跑步时间（x）之间的函数的图像，则肖老师跑步的路线可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   14．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 15．函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 16．（25-26高一上·上海·阶段检测）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 三、解答题 17．已知正三角形边长为x，周长为C，面积为S，求： （1）周长C关于边长x的函数解析式； （2）面积S关于边长x的函数解析式． 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域： ①；②. （2）函数的定义域是，求函数的定义域. 20．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中，． (1)将该函数写成分段函数的形式； (2)画出的大致图像并写出的单调区间． 21．已知 (1)若 求的值． (2)若 求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 函数（知识详解+8典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：函数的概念 知识点02：函数的表示方法 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：求函数值 题型02：具体函数、抽象函数、复合函数的定义域 题型03：常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 题型04：复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型05：判断两个函数是否相等 题型06：解析法、图象法、列表法表示函数 题型07：求分段函数解析式或求函数的值 题型08：已知分段函数的值求参数或自变量 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 一般地，设D是非空的实数集，且对D中任意给定的实数x，按照某种确定法则，都有唯一确定的实数值y与之对应，则这种对应关系称为集合D上的一个函数；记作：y＝f(x)，x∈D. 其中x叫做自变量，其取值范围（数集D）称为 该函数的定义域； 值域 对于自变量x0,由法则f所确定的x0所对应的值y0，称为函数在x0处的函数值，记作y0=f(x0)； 所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈D}称为这个函数的值域； 【例1】判断下列对应关系是否为函数： ① ， ② ， 解：① 对于 ，例如 ，存在 和 两个y值与之对应，不满足“唯一确定”，不是函数。 ② 对任意实数 ，都有唯一确定的 与之对应，符合函数定义，是函数。 结论：①不是函数；②是函数。 【知识点02】函数的表示方法 函数的解析法 用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应法则，这种表示函数的方法称为解析法； 函数的列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表达函数关系的方法 函数的图像法 对于函数；由（其中）的全体组成的集合叫做函数图像； 【例2】已知 ，求函数 的解析式。 解：步骤1：换元，令 ，则 步骤2：代入原式 步骤3：将变量符号换回 结论：函数解析式为 。 【题型01】求函数值 【典例1-1】若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】自变量代入解析式求函数值. 【详解】由已知. 故选：A 【变式1-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，则________． 【答案】 【分析】根据题意，结合函数，即可求解. 【详解】由函数，可得当自变量，其函数值均为，所以. 故答案为：. 【变式1-2】（25-26高一上·上海·期末）已知，且，则_____. 【答案】 【分析】根据的表达式求出，从而得到，根据的表达式及的值求出. 【详解】， ， ，， ，， . 故答案为：. 【变式1-3】已知，. (1)求，的值； (2)求，的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将分别代入与的解析式即可得解； （2）利用（1）中结论，将，的值分别代入与的解析式，从而得解. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以. （2）由（1）知， . 【题型02】具体函数、抽象函数、复合函数的定义域 【典例2-1】已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的定义域为，列出，解出的范围即可. 【详解】因为函数f(x)的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域是 故选：A. 【点睛】本题考查抽象函数的定义域及其求法，一般采用整体代换法求解． 【变式2-1】（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域为________． 【答案】 【详解】函数，所以，解得. 【变式2-2】（24-25高一上·上海·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________． 【答案】 【分析】根据负荷函数定义域的求法求函数定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 由 . 所以函数的定义域为：. 故答案为： 【变式2-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)且． 【分析】（1）根据对数函数真数大于0得到不等式，求出答案； （2）根据分母不为0和二次根式被开方数非负得到不等式，求出答案. 【详解】（1）要使函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为． （2）由题意知解得且，， 所以函数的定义域为且． 【题型03】常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 【典例3-1】（2026高一上·上海·专题练习）函数的值域为______． 【答案】 【分析】利用配方法可求得该函数的值域． 【详解】因为，所以， 因此，函数的值域为． 故答案为：． 【变式3-1】函数的值域为__________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，求得函数的最大值和最小值，即可求解. 【详解】由函数， 根据二次函数的性质，当时，得到；当时，得到， 所以函数在的值域为. 故答案为：. 【变式3-2】（24-25高一上·上海·阶段检测）函数的值域为________________ 【答案】 【分析】设，求出新函数的定义域即可求出值域. 【详解】设，，所以， 由图象易知值域为. 故答案为：. 【变式3-3】画出下列函数的图象，并说出函数的定义域､值域： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)答案见解析. (2)答案见解析. (3)答案见解析. (4)答案见解析. 【分析】根据基本初等函数的图像特征，直接画出图像，写出定义域和值域. 【详解】（1）一次函数的图形如图所示，定义域为R，值域为R.    （2）反比例函数的图形如图所示，定义域为，值域为.    （3）一次函数的图形如图所示，定义域为R，值域为R.    （4）二次函数的图形如图所示，定义域为R，值域为.    【题型04】复杂(根式型、分式型等)函数的值域 【典例4-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，再代入运算即可. 【详解】由，得， 所以． 故选：C. 【变式4-1】（25-26高一上·上海嘉定·阶段检测）函数的最大值为______. 【答案】/ 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质求得正确答案. 【详解】令，则，， 当时，. 故答案为： 【变式4-2】（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 【答案】 【分析】函数的定义域为，令，将问题转化为，再分，，三种情况，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以函数的定义域为 ， 令，则，代入解析式得：， 当时，， 当时， 当时，，当且仅当，即时等号成立，故，； 当时,,则，当且仅当，即时等号成立，故，； 综上，的值域为，即函数的值域为 故答案为： 【变式4-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】（1）因为，， 所以在上单调递增， 又，， ∴函数，的值域为． （2）令，即，解得， 所以的定义域为， 又∵，∴， 故， ∴的值域为． （3）因为， 又，所以， ∴函数的值域为． 【题型05】判断两个函数是否相等 【典例5-1】（25-26高一上·上海·期中）下列函数中，与函数相同的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】从对应关系与定义域两方面同时判断，均相同的即为同一个函数. 【详解】A选项，等价于，与原函数定义域不同，不是同一函数； B选项，等价于，与原函数定义域不同，不是同一函数； C选项，等价于，与原函数对应关系不同，不是同一函数. D选项，等价于，与原函数是同一函数； 故选：D. 【变式5-1】（24-25高一上·上海长宁·期末）下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过函数定义域及解析式逐个判断即可； 【详解】的定义域为， 对于A：易知，定义域为，错； 对于B: ，定义域为，对； 对于C：，定义域为，错； 对于D：，错； 故选：B 【变式5-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列各组函数中，表示相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．，，， 【答案】D 【分析】利用相同函数的性质逐个选项分析即可. 【详解】对于A，的定义域是，的定义域是， 两个函数的定义域不同，不是相同函数；故A错误， 对于B，，的定义域是， 两个函数的定义域不同，不是相同函数；故B错误， 对于C，的定义域为，的定义域是， 两个函数的定义域不同，不是相同函数；故C错误， 对于D，对应点的坐标为， 对应点的坐标为，两个函数对应坐标相同，是相同函数，故D正确. 故选：D 【变式5-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列各组函数：①，；②，；③，；④，；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系与一次函数．其中表示相同函数的是________（填入所有正确项的序号）． 【答案】③⑤ 【分析】判断定义域和对应关系是否相同，得到答案. 【详解】①不同，定义域不同，的定义域为，的定义域为； ②不同，对应关系不同，，； ③中，，解得， 中，令，解得， 故定义域、对应关系都相同，③相同； ④，， 故对应关系不同，④不同； ⑤相同，定义域、对应关系都相同． 故答案为：③⑤ 【题型06】解析法、图象法、列表法表示函数 【典例6-1】（25-26高一上·上海·期中）下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义，结合各个选项的图象，即可求解. 【详解】根据函数定义，在自变量的取值范围内，任意的取值，有且只有一个值与之对应， 从图象上看就是在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，直线与函数图象有且仅有一个交点， 对于A、B、C三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线， 与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于D选项，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点， 从而不能表示是的函数； 故选：D． 【变式6-1】如果已知摄氏度C来求华氏度F，可以用温度经验公式来表示.已知华氏温度来求摄氏温度，需要使用的公式为______. 【答案】 【分析】将公式化为华氏度F表示摄氏度C即可. 【详解】由题设，将公式化为华氏度F表示摄氏度C，即. 故答案为： 【变式6-2】（25-26高一上·上海·期中）已知函数和的部分取值如表所示．则_______． 1 2 3 6 9 10 2 3 4 【答案】10 【分析】根据表格求出对应函数值即可. 【详解】当时，，则. 故答案为：10 【变式6-3】里约热内卢奥运会正在如火如荼地进行，奥运会纪念品销售火爆，已知某种纪念品的单价是5元，买x（x∈{1,2,3,4,5}）件该纪念品需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y＝f（x）． 【答案】见解析 【分析】根据函数的三种表示方法写出结果即可. 【详解】解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}， 用解析法可将函数y＝f（x）表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}； 用列表法可将函数y＝f（x）表示为 x 1 2 3 4 5 y 5 10 15 20 25 用图象法可将函数y＝f（x）表示如图． 【题型07】求分段函数解析式或求函数的值 【典例7-1】（25-26高一上·上海·期中）已知函数则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的分段函数，分段判断代入求值. 【详解】依题意，. 故选：B 【变式7-1】已知，则________ 【答案】2 【分析】计算出，从而得到. 【详解】，故. 故答案为：2 【变式7-2】（24-25高一上·上海浦东新·期末）已知函数 的表达式为 ，则 _____. 【答案】 【分析】根据函数解析式直接代入运算即可. 【详解】因为，且，则. 故答案为：2. 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，其中．用直线l：（）截这个正方形，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点D部分的面积记为S，将S表示为t的函数，则其解析式为________________． 【答案】 【分析】讨论当直线在的左侧时，利用三角形的面积公式可求解；当直线在的右侧时，利用间接法即可求解. 【详解】由题意可知为等腰直角三角形，, 当直线在的左侧时，即直线与正方形的交点在上时， 即当 时，直线的左侧为等腰直角为三角形， 此时， 当直线与正方形的交点在上时， 即，直线的左侧为五边形， 则， 所以S表示为t的函数解析式为， 故答案为：. 【题型08】已知分段函数的值求参数或自变量 【典例8-1】函数，若，则实数的值为_______. 【答案】1 【分析】直接按分段函数的定义代入列方程即可求解. 【详解】由题意，解得，即实数的值为1. 故答案为：1. 【变式8-1】已知若，则__________. 【答案】2 【分析】令分段函数每一段都等于1，解出根，再根据范围取舍. 【详解】令，解得，；令，解得，. 所以 故答案为：2 【变式8-2】已知，若，则______. 【答案】或 【分析】分别令分段函数中的每一段解析式的函数值为列方程，由此解得的值. 【详解】由，得； 由， 得； 由，得（舍）； 综上或. 故答案为：或. 【变式8-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数 (1)在坐标系中作出函数的图象； (2)若时函数值等于，求a的取值集合． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）直接根据函数解析式得出函数性质，作图即可. （2）根据分段函数性质对分类讨论，列出方程即可求解. 【详解】（1）函数的图象如下图所示： （2）当时，，可得：； 当时，，可得：； 当时，，可得； 综上所述，a的取值构成集合为. 知识点01函数的概念（核心定义） 1. 严格定义 设为两个非空实数集，如果按照某一确定的对应关系，对于集合中的任意一个实数，在集合中都有唯一确定的实数与之对应，则称对应关系为定义在集合上的函数。 函数记作： 2. 函数三要素 （1）定义域：自变量的取值集合（首要要素，优先判定）； （2）对应关系：核心核心，决定变量对应规则； （3）值域：所有函数值构成的集合。 3. 函数判定黄金准则 满足：任取x，唯一y。 禁忌：一对多对应、定义域为空集，均不是函数。 4. 函数相等的条件 两个函数为同一函数，必须同时满足：定义域相同 + 对应关系相同，与函数符号、字母无关。 知识点02函数的三种表示方法 1. 解析法 用数学解析式表示变量间的对应关系，是高中最常用的表示方法。 通用形式： 优点：精准严谨、便于代数运算、可研究函数单调性、最值等性质； 缺点：抽象性强，无法直观体现函数变化趋势。 分类：整式函数、分式函数、根式函数、分段函数等。 2. 列表法 以表格形式罗列自变量与对应函数值的对应关系。 优点：读数直观、无需计算，适用于离散型变量； 缺点：只能呈现有限个数值，无法反映函数整体变化规律与解析式。 3. 图象法 在平面直角坐标系中，以点的集合构成的图形表示函数。 优点：直观反映函数增减性、最值、对称性、零点等几何特征； 缺点：数值精度低，不适合精准代数运算。 三种方法核心关系 同一函数的三种表示方法可以相互转化，解题中常“以式画图、以图助算”。 知识点03高频核心解题方法（求函数解析式） 1. 换元法（通用必考） 适用于复合型函数，令，反解代入原式，化简得到，最终替换变量为。 2. 配凑法 无需换元，直接对右侧表达式配凑出整体结构，直接写出解析式。 3. 待定系数法 已知函数类型（一次、二次、反比例函数等），设出通用解析式，代入已知点坐标求解参数。 知识点04本节必背公式与核心结论 1. 函数通用形式： 2. 值域定义集合： 3. 同一函数判定：定义域一致、对应关系一致 知识点05高频易错点总结（考试避坑） 1. 重对应、轻定义域：判定函数、判断同一函数时，优先看定义域，定义域不同一定不是同一函数； 2. 一对多误区：一个自变量对应多个函数值，绝对不是函数； 3. 换元疏漏：换元求解析式时，需同步更新新变量的取值范围； 4. 表示法误区：图象、表格、解析式只是形式，核心是满足函数对应规则。 一、填空题 1．（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）函数的值域为_______ 【答案】 【分析】求出函数的定义域，分离常数，结合反比例函数的值域即可得解. 【详解】函数的定义域为，， 而，则， 所以函数的值域是. 故答案为： 2．（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的定义域为______． 【答案】 【分析】直接解即可求得答案. 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为 故答案为： 3．函数的定义域为______． 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得且， 所以的定义域为. 故答案为： 4．（25-26高一上·上海普陀·期末）已知则___________． 【答案】 【分析】根据分段函数先求，再求即可. 【详解】由题设可得，故， 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海·期末）已知函数，则函数的定义域为________． 【答案】 【分析】先求出的定义域，再根据条件得，即可求解. 【详解】由，得到，所以的定义域为， 又，由，解得，所以的定义域为为， 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海·阶段检测）若集合，则_______. 【答案】 【分析】根据题意分别求集合和集合，然后通过并集求解即可 【详解】由题意， 因为，所以， 因为，所以，即. 所以. 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·阶段检测）已知，若函数的值域为，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出函数值域包含的范围即可. 【详解】由函数的值域为，得函数值域包含， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数与为相同函数的序号是________． ①，； ②，； ③，． 【答案】② 【分析】判断两函数的定义域是否相同、解析式是否一致，即可得解. 【详解】对于①：的定义域为， 的定义域为，定义域不相同，故不是相同函数，故①错误； 对于②：的定义域为，的定义域为，且， 所以两函数的定义域相同且解析式一致，故是相同函数，故②正确； 对于③：的定义域为，的定义域为，定义域不相同，故不是相同函数，故③错误. 故答案为：② 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列表示函数，则________． x y 2 3 4 5 【答案】4 【分析】由分段函数的表格表示法，观察表格即可求解. 【详解】由表可知． 故答案为：4. 10．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为________． 【答案】; 【分析】根据时，，由值域为判断出，再求出时的范围，从而 ，解不等式即可. 【详解】当时，，因为值域为， 所以，即， 此时时，，即， 由值域为得：， 综上：， 故答案为：. 11．（24-25高一上·上海·单元测试）已知时，；为无理数时，；我们知道函数表示法有三种：①列表法；②图像法；③解析法，那么该函数不能用________表示． 【答案】①② 【分析】根据分段函数的形式，只能用解析法表示. 【详解】函数不能用列表法和图像法表示，只能用解析法表示. 利用解析法表示为 . 故答案为：①② 12．（25-26高一上·上海虹口·期末）已知函数满足：对任意的实数，都有，且，则的值为___________． 【答案】70 【分析】利用赋值法结合累加计算可得. 【详解】因为函数满足：对任意的实数，都有，且， 所以令，则， 所以 ， 累加可得， 同理， 所以. 故答案为：70. 二、单选题 13．如图是肖老师以恒定的速率夜跑时的离家距离（y）与跑步时间（x）之间的函数的图像，则肖老师跑步的路线可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】由图象观察离家距离的变化情况，从而确定可能路线． 【详解】开始离家越来越远，中间离家距离不变，后来离家距离越来越近，因此路线是D符合题意， 故选：D． 14．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由解得结果即可得解. 【详解】因为函数的定义域是，所以， 要使有意义，只需，解得。 所以的定义域是. 故选：C 【点睛】方法点睛：复合函数定义域的求法： 一、已知的定义域为，求的定义域：解不等式即可得解； 二、已知的定义域为，求的定义域：求出在上的值域即可得解； 三、已知的定义域为，求的定义域：先用型二求出的定义域，再用类型一求出的定义域. 15．函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，再应用换元法结合二次函数的值域计算求解. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以其定义域为， 令，则， 则， 所以的值域为． 故选:B． 16．（25-26高一上·上海·阶段检测）下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】根据函数相同的条件需满足定义域相同且对应法则相同判断选项. 【详解】选项A，，定义域， ，且真数， 定义域相同，对应法则相同，是相同函数，A选项正确； 选项B，，定义域为定义域为R， 定义域不同，不是相同函数，B选项错误； 选项C，， 当时，对应法则不同，不是相同函数，C选项错误； 选项D，定义域为定义域为R， 定义域不同，不是相同函数，D选项错误． 故选：A 三、解答题 17．已知正三角形边长为x，周长为C，面积为S，求： （1）周长C关于边长x的函数解析式； （2）面积S关于边长x的函数解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据周长的概念直接求解即可；（2）求出等边三角形的高，代入三角形面积公式即可. 【详解】（1）； （2）如图，为等边三角形，，作于点D， ，. 【点睛】本题考查函数关系的建立，注意定义域，属于基础题. 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合零次方底数不为0运算求解； （2）根据题意结合根式的意义分析求解； （3）根据题意结合分式的意义运算求解. 【详解】（1）要使函数有意义，需满足， 解得，所以的定义域为． （2）要使函数有意义，需满足解得． 所以函数的定义域为． （3）要使函数有意义，需满足，解得． 所以函数的定义域为． 19．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域： ①；②. （2）函数的定义域是，求函数的定义域. 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）利用抽象函数定义域的性质求解即可. （2）利用抽象函数定义域的性质求解即可. 【详解】（1）①由已知，得，解得，故的定义域为. ②由已知，得，解得，故的定义域为. （2）先求的定义域： 因为的定义域是，所以， 所以，即的定义域是. 再求的定义域： 因为，解得， 所以的定义域是. 20．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中，． (1)将该函数写成分段函数的形式； (2)画出的大致图像并写出的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析，增区间为，减区间为． 【分析】（1）根据绝对值函数去掉绝对值符合即可得分段函数解析式； （2）根据一次函数的解析式画图即可. 【详解】（1）当时， ， 当时， ， 所以； （2）作出函数的图像如下图所示：    由图可知，函数的增区间为，减区间为． 21．已知 (1)若 求的值． (2)若 求的值． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）分类讨论和，带入解析式求出就即可. （2）先换元法另，分类讨论和求出，再分类讨论和求出即可. 【详解】（1）若时， ， 若时， （舍）或， 综上所述或； （2）令，则, 当时，由已知条件得， 得， 当时，由得（舍去）， 当时，由得（正值舍去）， 当时，由，得（舍去），， 若，，（舍） 若，，无实数解，舍去， 综上所述. 1 学科网（北京）股份有限公司 $