第二十五章 一元二次方程全章高频重点题型突破（八大高频+七大重难题型，专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以“基础-提升-专练”三级架构系统整合一元二次方程全章高频重点，通过题型分类构建从概念到应用的完整知识链，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|8类基础题型|聚焦概念辨析与四种解法（直接开平方/配方/公式/因式分解），含解法选择与根的判别式|从概念生成到解法掌握，构建“概念-解法-工具”递进逻辑| |核心提升|7类重难题型|涵盖增长率/几何面积/营销利润等实际应用，及含参方程、根与系数变形、换元法|从知识应用到综合拓展，体现“工具-建模-思想”深化路径| |题型专练|选择/填空/解答题|精选易错点（如不含一次项参数问题）与中考高频考法（如利润问题）|通过分层训练实现从理解到迁移，培养推理意识与应用能力|

第二十五章 一元二次方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 一元二次方程的概念与一般形式 题型2 直接开平方法 题型3 配方法 题型4 公式法 题型5 因式分解法 题型6 选择最优解法 题型7 根的判别式 题型8 根与系数的关系 核心提升：重难题型归纳 题型1 增长率/降低率问题 题型2 几何面积问题 题型3 握手/互赠问题 题型4 营销利润问题 题型5 含参方程与判别式 题型6 根与系数的关系变形求值 题型7 整体思想与换元法 题型专练：高频重难特训 ◆◆题型1 一元二次方程的概念与一般形式 1. 下列方程中，不是一元二次方程一般形式的是（ ） 【答案】 C 【详解】A.只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，并且是整式方程，符合一元二次方程 的定义. B.方程，移项可得，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，并且是整式方程，符合一元二次方程 的定义. C.方程，左边是分式形式，不满足一元二次方程是整式方程的条件，所以不是一元二次方程. D.方程，移项可得，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，并且是整式方程，符合一元二次方程 的定义. 2. 【易错题】若关于x的一元二次方程 化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ） A. 0 B. ±3 C. 3 D. −3 【答案】 D 【详解】移项整理得 ∵不含一次项，∴，解得. 综上 3. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m=________. 【答案】 【详解】把代入中得解得 4. 将一元二次方程化为一般形式为________________，其中二次项系数a=________，一次项系数b=________，常数项c=________. 【答案】 a=2, b=1, c=-3 【详解】移项得， 所以 a=2, b=1, c=-3 ◆题型2 直接开平方法 5.解方程 . 【答案】 【详解】 6.解方程 【答案】 【详解】 7.解方程 【答案】 【详解】 8.解方程 【答案】 【详解】 ◆题型3 配方法 9. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则m+n=________. 【答案】 21 【详解】 10. 【配方思想】求证：无论x取任何实数，代数式的值总大于0. 【详解】 所以代数式的值总大于0. ◆题型4 公式法 11. 用公式法解方程 【详解】 12. 解方程 【详解】 13.解方程 【详解】 展开整理： 原方程无实数根. ◆题型5因式分解法 14.解方程 【详解】原方程化为： 或 15. 若代数式的值为0，则x的值为（ ） A. 2 B. 0 C. −2或0 D. −2 【答案】 C 【详解】 或 ， 选 C. ◆题型6选择最优解法 16.选择适当的方法解方程 【详解】 17.选择适当的方法解方程 【详解】 18.解方程 【详解】 因式分解，得 ◆题型7根的判别式 19. 已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法判断 【答案】 A 【详解】 在第四象限， 又 方程有两个不相等的实数根， 选 A. 20. 若关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围. 【答案】 且 【详解】 是一元二次方程， 有实数根， 又 且 ◆题型8根与系数的关系 21. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，求m+n−mn的值. 【详解】由韦达定理：， 22. 已知方程的两个根互为相反数，则k=________，方程的根为________. 【详解】设两根为 ，由题意 由韦达定理： 方程化为 ，， 23. 若是方程的两个根，求下列各式的值： (1) （x₁−3）（x₂−3）； (2) （x₁−x₂）². 【详解】由韦达定理：， (1) (2) ◆题型1 增长率/降低率问题 1．今年3月份某图书角中有藏书2500册，到今年5月份藏书数量增长到3600册.求该图书角这两个月藏书的平均增长率. 【详解】设平均增长率为 ，则： 或 （不合实际，舍去） 平均增长率为 . 2. 受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由每平方米40000元下降到每平方米32400元，求最近两年该市房价的年平均下降率. 【详解】设年平均下降率为 ，则： 或 （不合实际，舍去） 年平均下降率为 . 3.有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有25台电脑被感染. (1) 求每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑； (2) 若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑是否超过600台？ 【详解】(1) 设每轮传播中平均一台电脑感染 台电脑. 第一轮后共有 台被感染； 第二轮后共有 台被感染. 或 （不合实际，舍去） 每轮传播中平均一台电脑感染 台电脑. (2) 四轮后共有 （台） 四轮感染后，被感染的电脑超过 台. ◆题型2 几何面积问题 4． 某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条"之"字路，余下部分绿化，绿化的面积为551 m².已知整个长方形空地的长为30 m、宽为20 m，求道路的宽. 【详解】设道路宽为 . 利用平移法，两条“之”字路可平移为矩形两条边的宽度： 绿化部分长 ，宽 . 或 （宽为 ） 不合实际，舍去. 道路的宽为 . 5． 将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.如果要使这两个正方形的面积之和等于17 cm²，那么这条铁丝剪成的两段的长度分别是多少？ 【详解】设一段长为 ，则另一段长 . 两个正方形边长分别为 和 . 或 铁丝剪成的两段长度分别为 和 . ◆题型3 握手/互赠问题 6. 毕业晚会上，同学们互送照片，每人给每位同学一张照片，一共送出90张照片，问毕业晚会上一共有多少位同学？ 【详解】设毕业晚会上一共有 位同学. 每人给其他 人各送一张，共 人： 或 （不合实际，舍去） 毕业晚会上一共有 位同学. 7. 于老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完.设该班级有x名学生，请列方程并求解该班级有多少名学生. 【详解】于老师向每位同学赠送：共 张 同学间互赠：共 张 ， 该班级有 名学生. ◆题型4 营销利润问题 8.. 某商场一款品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元.商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利.经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件.如果需要盈利700元，同时尽可能让利于顾客，那么每件降价多少元？ 【详解】设每件降价 元，则每件盈利 元，每天售出 件. 或 尽可能让利于顾客， 取较大降价. 每件降价 元. 9.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个.调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就减少10个. 要实现每月10000元的销售利润目标，且售价不能低于60元/个， (1)求这种台灯的定价； (2) 商场应进货多少个？ 【详解】设每个台灯涨价 元，则售价为 元，销量为 个. (1) 每个利润为 元. 或 当 时，售价 ，不合题意. 当 时，售价 ，符合题意. 台灯的定价为 元. (2) 月销售量 （个） 商场应进货 个. ◆题型5 含参方程与判别式 10. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________. 【详解】 是一元二次方程，，即 有两个不相等的实数根， 又 且 11. 已知关于x的一元二次方程，求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根. 【详解】 即 恒成立 无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根. ◆题型6 根与系数的关系变形求值 12. 已知关于x的一元二次方程. (1) 求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2) 如果方程的两个实数根为，且，求m的值. 【详解】（1） 即 恒成立 无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根. （2）由韦达定理：， 13. 已知m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根. (1) 若(m−1)(n−1)=28，求a的值； (2) 已知等腰△ABC的一边长为7，若m，n恰好是△ABC另外两边的长，求△ABC的周长. 【详解】由韦达定理：， 方程有实数根： (1) 或 ， 舍去. (2) ①当7为底边长时，此时方程有两个相等的实数根. ②当7为腰长时，设m=7. 将m=7代入方程， 得 解得 当a=10时，方程变为，解得x=7或x=15 当a=4时，方程变为 综上，的周长为17. ◆题型7 整体思想与换元法 14. 对于实数a，b，定义运算"※"：，例如：5※1=5²−2×1=23.如果x※x=0，那么x的值为________. 【详解】 或 15. 【阅读材料】解方程时，可以将x-1看成一个整体，设x-1=y，则原方程化为，解得y₁=1，y₂=4.当y=1时，即x-1=1,解得x=2;当y=4时，即x-1=4，解得x=5,所以原方程的解为x₁=2，x₂=5. 请利用上述方法解方程：(3x−5)²−4(5−3x)+3=0. 【详解】 原方程化为： 设 ，方程化为： 或 当 时，， 当 时，， 一、选择题 1．一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【详解】 ：展开得 ，，有两个不相等的实数根.选 B. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【详解】解： ，没有实数根.选 D. 3. 一次聚会中，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，则参加聚会的人数为（ ） A. 4人 B. 5人 C. 6人 D. 7人 【答案】B 【详解】解： 设参加聚会的人数为 ，则 ，，.选 B. 故选：B． 4. 某市平均房价由每平方米40000元下降到每平方米32400元，设年平均下降率为x，则可列方程为（ ） A. 40000(1−x)²=32400 B. 40000(1+x)²=32400 C. 40000−2×40000x=32400 D. 40000(1−2x)=32400 【答案】A 【详解】两年下降，列方程 .选 A. 5. 一种商品原价200元，连续两次降价后售价为162元，若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. 5% B. 10% C. 15% D. 20% 【答案】B 【详解】 ，，，.选 B. 6. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个.售价每上涨1元，月销售量就减少10个.要实现每月10000元的销售利润，且售价不能低于60元，则台灯的定价应为（ ） A. 50元 B. 60元 C. 80元 D. 50元或80元 【答案】C 【详解】由综合攻坚第8题可知定价为 元.选 C. 二、填空题 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x₁，x₂，则实数m的取值范围为________. 【答案】 【详解】 ，. 8. 一条直线上有n个点，共可以构成15条线段，则n=________. 【答案】 = 【详解】，，. 9. 某农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克，设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为________________. 【答案】 10. 某商品2022年每件进价为125元，2024年每件进价为80元，则这种商品每件进价的年平均下降率为________. 【答案】 【详解】 ，，，. 11. 有一种流感病毒，刚开始有2人患了流感，经过两轮传染后共有128人患流感.设每轮传染中平均一个人传染x个人，则可列方程为________________. 【详解】 . 12. n边形有________条对角线；若一个多边形有14条对角线，则它的边数为________. 【答案】7 【详解】 ，，. 三、解答题 13. 选择适当的方法解下列方程： (1) 2x²−16=0； (2) 2x²−16x=0； (3) x²−4x−1=0（用配方法）. 【详解】（1）（直接开平方法） （2）（因式分解法） 或 （3） 14. 某公司今年1月份盈利2万元，到今年3月份盈利4.5万元，假设每月盈利的平均增长率相同. (1) 求每月盈利的平均增长率； (2) 预计今年4月份盈利多少万元？ 【详解】(1) 设每月盈利的平均增长率为 . 或 （不合实际，舍去） 每月盈利的平均增长率为 . (2) 月份盈利 （万元） 15. 根据素材完成任务. (1) 【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4月份生产100个零部件，同年6月份生产144个.求4月份到6月份生产数量的平均增长率； (2) 【素材2】该零部件成本为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨1元，月销售量减少10个.批发商为使月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每个多少元？ 【详解】(1) 设平均增长率为 . 或 （不合实际，舍去） 平均增长率为 . (2) 设涨价 元，则售价为 元，销量为 个. 每个利润为 元. 或 尽可能让消费者得到实惠， 售价 元 16. 在△ABC中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm.点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发. (1) 经过几秒后，△PBQ的面积等于8 cm²？ (2) 线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由. 【详解】设运动时间为 秒，则 ， (1) 的面积 或 在 上运动，，即 ， 同时 在 上，，即 或 均满足. 经过 秒或 秒后， 的面积等于 . (2) 的面积 若 将 分成面积相等的两部分，则 的面积 方程无实数解. 线段 不能将 分成面积相等的两部分. 17. 已知关于x的一元二次方程. (1) 当方程有两个实数根时，求m的取值范围； (2) 当方程的两个根满足时，求m的值. 【详解】(1) (2) 由韦达定理：， 或 由（1）知，所以m=1 故m的值为1. 18. 已知关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根. (1) 求实数k的取值范围； (2) 若方程的两实数根满足，求k的值. 【详解】（1） （2）由根与系数的关系，得 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 一元二次方程的概念与一般形式 题型2 直接开平方法 题型3 配方法 题型4 公式法 题型5 因式分解法 题型6 选择最优解法 题型7 根的判别式 题型8 根与系数的关系 核心提升：重难题型归纳 题型1 增长率/降低率问题 题型2 几何面积问题 题型3 握手/互赠问题 题型4 营销利润问题 题型5 含参方程与判别式 题型6 根与系数的关系变形求值 题型7 整体思想与换元法 题型专练：高频重难特训 ◆◆题型1 一元二次方程的概念与一般形式 1. 下列方程中，不是一元二次方程一般形式的是（ ） 2. 【易错题】若关于x的一元二次方程 化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ） A. 0 B. ±3 C. 3 D. −3 3. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m=________. 4. 将一元二次方程化为一般形式为________________，其中二次项系数a=________，一次项系数b=________，常数项c=________. ◆题型2 直接开平方法 5.解方程 . 6.解方程 7.解方程 8.解方程 ◆题型3 配方法 9. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则m+n=________. 10. 【配方思想】求证：无论x取任何实数，代数式的值总大于0. ◆题型4 公式法 11. 用公式法解方程 12. 解方程 13.解方程 ◆题型5因式分解法 14.解方程 15. 若代数式的值为0，则x的值为（ ） A. 2 B. 0 C. −2或0 D. −2 ◆题型6选择最优解法 16.选择适当的方法解方程 17.选择适当的方法解方程 18.解方程 ◆题型7根的判别式 19. 已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法判断 20. 若关于x的一元二次方程有实数根，求k的取值范围. ◆题型8根与系数的关系 21. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，求m+n−mn的值. 22. 已知方程的两个根互为相反数，则k=________，方程的根为________. 23. 若是方程的两个根，求下列各式的值： (1) （x₁−3）（x₂−3）； (2) （x₁−x₂）². ◆题型1 增长率/降低率问题 1．今年3月份某图书角中有藏书2500册，到今年5月份藏书数量增长到3600册.求该图书角这两个月藏书的平均增长率. 2. 受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由每平方米40000元下降到每平方米32400元，求最近两年该市房价的年平均下降率. 3.有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有25台电脑被感染. (1) 求每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑； (2) 若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑是否超过600台？ ◆题型2 几何面积问题 4． 某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条"之"字路，余下部分绿化，绿化的面积为551 m².已知整个长方形空地的长为30 m、宽为20 m，求道路的宽. 5． 将一条长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.如果要使这两个正方形的面积之和等于17 cm²，那么这条铁丝剪成的两段的长度分别是多少？ ◆题型3 握手/互赠问题 6. 毕业晚会上，同学们互送照片，每人给每位同学一张照片，一共送出90张照片，问毕业晚会上一共有多少位同学？ 7. 于老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完.设该班级有x名学生，请列方程并求解该班级有多少名学生. ◆题型4 营销利润问题 8.. 某商场一款品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元.商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利.经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件.如果需要盈利700元，同时尽可能让利于顾客，那么每件降价多少元？ 9.某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个.调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其月销售量就减少10个. 要实现每月10000元的销售利润目标，且售价不能低于60元/个， (1)求这种台灯的定价； (2) 商场应进货多少个？ ◆题型5 含参方程与判别式 10. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________. 11. 已知关于x的一元二次方程，求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根. ◆题型6 根与系数的关系变形求值 12. 已知关于x的一元二次方程. (1) 求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2) 如果方程的两个实数根为，且，求m的值. 13. 已知m，n是关于x的一元二次方程的两个实数根. (1) 若(m−1)(n−1)=28，求a的值； (2) 已知等腰△ABC的一边长为7，若m，n恰好是△ABC另外两边的长，求△ABC的周长. ◆题型7 整体思想与换元法 14. 对于实数a，b，定义运算"※"：，例如：5※1=5²−2×1=23.如果x※x=0，那么x的值为________. 15. 【阅读材料】解方程时，可以将x-1看成一个整体，设x-1=y，则原方程化为，解得y₁=1，y₂=4.当y=1时，即x-1=1,解得x=2;当y=4时，即x-1=4，解得x=5,所以原方程的解为x₁=2，x₂=5. 请利用上述方法解方程：(3x−5)²−4(5−3x)+3=0. 一、选择题 1．一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 一次聚会中，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，则参加聚会的人数为（ ） A. 4人 B. 5人 C. 6人 D. 7人 4. 某市平均房价由每平方米40000元下降到每平方米32400元，设年平均下降率为x，则可列方程为（ ） A. 40000(1−x)²=32400 B. 40000(1+x)²=32400 C. 40000−2×40000x=32400 D. 40000(1−2x)=32400 5. 一种商品原价200元，连续两次降价后售价为162元，若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ） A. 5% B. 10% C. 15% D. 20% 6. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个.售价每上涨1元，月销售量就减少10个.要实现每月10000元的销售利润，且售价不能低于60元，则台灯的定价应为（ ） A. 50元 B. 60元 C. 80元 D. 50元或80元 二、填空题 7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x₁，x₂，则实数m的取值范围为________. 8. 一条直线上有n个点，共可以构成15条线段，则n=________. 9. 某农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克，设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为________________. 10. 某商品2022年每件进价为125元，2024年每件进价为80元，则这种商品每件进价的年平均下降率为________. 11. 有一种流感病毒，刚开始有2人患了流感，经过两轮传染后共有128人患流感.设每轮传染中平均一个人传染x个人，则可列方程为________________. 12. n边形有________条对角线；若一个多边形有14条对角线，则它的边数为________. 三、解答题 13. 选择适当的方法解下列方程： (1) 2x²−16=0； (2) 2x²−16x=0； (3) x²−4x−1=0（用配方法）. 14. 某公司今年1月份盈利2万元，到今年3月份盈利4.5万元，假设每月盈利的平均增长率相同. (1) 求每月盈利的平均增长率； (2) 预计今年4月份盈利多少万元？ 15. 根据素材完成任务. (1) 【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4月份生产100个零部件，同年6月份生产144个.求4月份到6月份生产数量的平均增长率； (2) 【素材2】该零部件成本为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨1元，月销售量减少10个.批发商为使月销售利润达到10000元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每个多少元？ 16. 在△ABC中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm.点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发. (1) 经过几秒后，△PBQ的面积等于8 cm²？ (2) 线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由. 17. 已知关于x的一元二次方程. (1) 当方程有两个实数根时，求m的取值范围； (2) 当方程的两个根满足时，求m的值. 18. 已知关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根. (1) 求实数k的取值范围； (2) 若方程的两实数根满足，求k的值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二十五章一元二次方程全章高频重点题型突破 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1一元二次方程的概念与一般形式 1.【详解】A。一x2+1=0,只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，并且是整式方程，符合一元二 次方程的定义。 B.方程x2=3X,移项可得x2-3x=0,只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，并且是整式方程， 符合一元二次方程的定义。 方程：★+之宁2，左边是分武形式，不清足一元二次方程是整式方程的条件，所以不是一元 程。 D.方程3x2-1=2x,移项可得3x2-2x-1=0,只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，并且 是整式方程，符合一元二次方程的定义。 2.【详解】移项整理得(m-3)x+mx-9x-5=0 :不含一次项，.m2-9=0,解得m=±3。 m-3≠0，∴.m≠3 综上m=-3 3.【详解】把x=-1代入x2-2x+m=0中得(-1)2-2×(-1)+m=0解得m=-3 4.【详解】移项得2x2+x-3=0,所以a=2,b=1,c=3 ◆题型2直接开平方法 5(1). 【详解】x=±V81 X=±9 6.【详解】X=士 7.【详解】 (x-12=49 x-1=±7 1/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-1=7或x-1=-7 X1=8,X2=-6 8.【详解】(2x-12=9 2x-1=±3 2x-1=3或2X-1=-3 X1=2,X2=-1 ◆题型3配方法 9. x2+8X=1 x2+8x+16=1+16 (x+4)2=17 .∴.m=4,n=17 m+n=4+17=21 x2+8x+18=xX2+8x+16-16+18 10.【详解】 (x+4)2+2 :(x+42≥0 .(x+4)2+2>0 所以代数式x+8x+18的值总大于0。 ◆题型4公式法 a=-2,b=7,c=-2 1.【i详解】6-4ac=72-4×-2×-2)）=49-16=33 X=-b±Yb-4ac=7+33 --7±V33 2a 2×(-2) -4 X,=7+3=7-33 7-V33_7+V33 -4 4 X2= -4 4 a=1,b=2V2,c=3 12.【详解】△=b2-4ac=2V2)2-4X1X3=8-12=-4<0 方程没有实数根。 13.【详解】展开整理： 2/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2x2-4x+8x+5=0 2x2+4x+5=0 a=2,b=4,c=5 △=b2-4ac=16-4×2×5=16-40=-24<0 .原方程无实数根。 ◆题型5因式分解法 14.【详解】原方程化为：3(x-3)=-2x(x-3) 3(x-3)+2x(x-3)=0 (x-3)(3+2x)=0 ∴.x-3=0或3+2x=0 X1=3,x2=-2 15.【答案】C ◆题型6选择最优解法 2x(x-8)=0 16.【详解2x=0或x-8=0 X1=0,X2=8 a=2,b=2V3,c=1 △=b2-4ac=2V32-4×2×1=12-8=4 17.【详解】 -b±Vb2-4ac-23±4=2V3±2=3±1 X= 2a 2×2 4 2 米3+1 2,水=3-1 2 18. 【详解】整理，得(2x-12-(5-x2=0 因式分解，得 (x+4)(3x+6)=0 x+4=0或3x-6=0 X1=-4,X2=2 ◆题型7根的判别式 19.【答案】A 3/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.【答案】k≤1且k≠0 ◆题型8根与系数的关系 21.【详解】由韦达定理：m+n 3,mn 3 .∴.m+n-mn= 51-4 333 22. 【详解】设两根为X1,X2,由题意X1+X2=0 由韦达定理：X1+X2=k=0 .k=0 方程化为x2-3=0,x2=3,x=±3 ∴.x1=3,x,=-V3 23【详解】由韦达定理X+X=号-2，名=月 (1) (x1-3)(x2-3) =X1X2-3(x1+x2)+9 =.3-3×(-2+9 2 、3 +6+9 27 2 (2) (x1x2月 =(x1+x22-4x1x2 -24到 =4+6 =10 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1增长率/降低率问题 1 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】设平均增长率为x,则： 2500(1+x)2=3600 (1+xP=360=1,4 2500 1+X=±1.2 x=0.2=20%或x=-2.2(不合实际，舍去) ∴.平均增长率为20%。 2. 【详解】设年平均下降率为X,则： 40000(1-x/=32400 (1-x2=32400 =0.81 40000 1-x=±0.9 x=0.1=10%或x=1.9(不合实际，舍去) .∴.年平均下降率为10%。 3.【详解】()设每轮传播中平均一台电脑感染x台电脑。 第一轮后共有(1+x)台被感染： 第二轮后共有(1+x尸台被感染。 (1+x2=25 1+x=±5 x=4或x=-6(不合实际，舍去) ·∴.每轮传播中平均一台电脑感染4台电脑。 (2)四轮后共有(1+4)4=54=625（台） 625>600 ·∴.四轮感染后，被感染的电脑超过600台。 ◆题型2几何面积问题 4.【详解】设道路宽为xm。 利用平移法，两条“之”字路可平移为矩形两条边的宽度： 绿化部分长(30-x)m,宽(20-x)m。 (30-x)(20-x)=551 600-30x-20x+x2=551 x2-50x+49=0 5/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x-1)(x-49)=0 x=1或x=49 .x<20(宽为20m) ∴.x=49不合实际，舍去。 .∴.道路的宽为1m。 5.【详解】设一段长为xcm,则另一段长(20-x)cm。 X 20-x 两个正方形边长分别为4cm和4cm。 4 X+(20-x=17 16 x2+(20-x)2=272 x+400-40x+x2=272 2x2-40x+128=0 x2-20x+64=0 (x-8)(x-12)=0 x=8或x=12 ∴.铁丝剪成的两段长度分别为8cm和12cm。 ◆题型3握手/互赠问题 6.【详解】设毕业晚会上一共有n位同学。 每人给其他(n-1)人各送一张，共n人： nn-1)=90 n2-n-90=0 (n-10)(n+9)=0 n=10或n=-9(不合实际，舍去) ∴.毕业晚会上一共有10位同学。 ⑦【详解】于老师向每位同学赠送：共x张 同学间互赠：共x(x-1)张 x+xx-1)=2304 X+x2-X=2304 x2=2304 6/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x=±48 .x>0,.x=48 .该班级有48名学生。 ◆题型4营销利润问题 8.【详解】设每件降价x元，则每件盈利(40-x)元，每天售出(10+2x)件。 (40-x)(10+2x)=700 400+80x-10x-2x2=700 -2x2+70x+400=700 2x2-70x+300=0 x2-35x+150=0 (x-5)(x-30)=0 x=5或x=30 尽可能让利于顾客，·取较大降价。 .每件降价30元。 9.【详解】设每个台灯涨价x元，则售价为(40+x)元，销量为(600-10x)个。 (1)每个利润为(40+x-30)=(10+x)元。 (10+x)600-10x)=10000 6000-100x+600x-10x2=10000 -10x2+500x-4000=0 x2-50x+400=0 (x-10)(x-40)=0 x=10或x=40 当x=10时，售价=40+10=50<60，不合题意。 当X=40时，售价=40+40=80≥60，符合题意。 .台灯的定价为80元。 (2)月销售量=600-10×40=200（个） .商场应进货200个。 ◆题型5含参方程与判别式 10.m<6且m≠2 11.【详解】△=m2-4×3×(-2)=m2+24 .m2≥0 7/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴.m+24≥24>0 即△>0恒成立 ∴.无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根。 ◆题型6根与系数的关系变形求值 12.【详解】(1)△=(m-22-4×1×(-m) =m2-4m+4+4m =m2+4 .‘m2≥0 .m2+4≥4>0 即△>0恒成立 .∴.无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根。 (2)由韦达定理：x1+x2=-(m-2)=2-m,x1x2=-m X1X2+X1+x2+1=-1 -m+2-m+1=-1 -2m=-4 m=2 13.【详解】由韦达定理：m+n=2(a+1),mn=a+5 方程有实数根：△=4(a+12-4(a2+5)=4(a2+2a+1-a2-5)=42a-4)=8a-32≥0 .∴.a≥4 (1) (m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1 =a+5-2(a+1)+1 =a2+5-2a-2+1 =a2-2a+4=28 a2-2a-24=0 (a-6)(a+4)=0 a=6或a=-4 .a≥4，∴.a=-4舍去。 ..a=6 (2) ①当7为底边长时，此时方程x-2(a+1)x+a2+5=0有两个相等的实数根。 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△=4(a+12-4a2+5)=0 解得a=2 .方程变为x2-6x+9=0 .m=n=3 3+3<7,.不能构成三角形 ②当7为腰长时，设m=7。 将m=7代入方程， 得49-14a+1)+a2+5=0 解得a=10或a=4 当a10时，方程变为x2-22x+105=0,解得x=7或x=15 .7+7<15 .不能组成三角形 当a=4时，方程变为x2-10x+21=0,解得x=3或=7 综上，△ABC的周长为17. ◆题型7整体思想与换元法 14.x=0或x=2 15. 【详解】.(5-3x)=-(3x-5) ∴.-45-3x)=-4×[-(3x-5)]=4(3x-5 原方程化为：(3x-5)2+4(3x-5)+3=0 设y=3x-5,方程化为： y2+4y+3=0 (y+1)(y+3)=0 y=-1或y=-3 当3x-5=-1时，3x=4,x-号 当3X-5=-3时，3x=2,x= .X1 33 3 题型专练 高频重难特训 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.B 2.D 3.B 4.A 5.B 6.C 7.m<3 4 8.n=6 9.300(1+x2=363 10.20% 11.2(1+x2=128。 12.7 13.【详解】(1)（直接开平方法） 2x2=16 x2=8 x=±2/2 ∴.x,=2V2,X2=-2V2 (2)(因式分解法) 2x(x-8)=0 2x=0或X-8=0 ..X1=0,X2=8 (3)x2-4x=1 x2-4x+4=1+4 (x-2}=5 x-2=±V/5 x=2±V5 .x1=2+/5,x2=2-V5 14. 【详解】()设每月盈利的平均增长率为x。 2(1+x2=4.5 (1+x2=2.25 10/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1+x=±1.5 x=0.5=50%或x=-2.5(不合实际，舍去) .∴每月盈利的平均增长率为50%。 (2)4月份盈利=4.5×(1+50%)=4.5×1.5=6.75（万元） 15.【详解】)设平均增长率为X。 100(1+x2=144 (1+x2=1.44 1+x=±1.2 x=0.2=20%或x=-2.2(不合实际，舍去) ∴.平均增长率为20%。 (2)设涨价y元，则售价为(40+y)元，销量为(600-10y)个。 每个利润为(40+y-30)=(10+y)元。 (10+y)(600-10y)=10000 6000-100y+600y-10y2=10000 y2-50y+400=0 (y-10)(y-40)=0 y=10或y=40 .尽可能让消费者得到实惠，.y=10 售价=40+10=50元 16.【详解】设运动时间为t秒，则AP=tcm,BQ=2tcm PB=(6-t)cm 0△PB0的面积号×PB×BQ-6-t小-2I=6-) t(6-t)=8 6t-t2=8 t-6t+8=0 (t-2)(t-4)=0 t=2或t=4 ,Q在BC上运动，BQ≤BC,即2t≤8，t≤4 同时P在AB上，AP≤AB,即t≤6 .t=2或t=4均满足。 ∴.经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8cm2。 11/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2②)△ABC的面积= ×6×8=24cm2 若PQ将△ABC分成面积相等的两部分，则△PBQ的面积=12cm t(6-t)=12 t2-6t+12=0 △=36-48=-12<0 ·∴.方程无实数解。 ·∴.线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分。 17. 【详解】(1)△=[-2(m-1)]2-4(m2-5)=4(m-12-4(m2-5) =4(m2-2m+1)-4m2+20 =4m2-8m+4-4m2+20 =-8m+24≥0 m≤3 (2)由韦达定理：X1+x2=2(m-1),x1x2=m2-5 x+x3-X1X2=(x1+x22-3x1x2 =4m-12-3(m2-5) =4m-8m+4-3m+15 =m2-8m+19=12 m2-8m+7=0 m=1或m=7 由(1)知m≤3，所以m=1 故m的值为1， 4=(2k+1)P-4X1Xk2+1) 18【详解】4④6(2k+12-4K2+1) 84k2+4k+1-4k2-4 64k-3 :方程有两个不相等的实数根 4>0,即4k-3>0,解得k>3 4 (2)由根与系数的关系，得X1+x2=2k+1,x1X2=k2+1 x1+X2=x1X2 12/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴2k+1=k2+1 号 .2k+1>0,即2k+1=2k+1 ∴.2k+1=k2+1,解得k=0=2. 又：k是k=0合法 ∴.k=2 13/13