第二十六章 二次函数高频易错题（单元通关检测）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元通关检测，聚焦高频易错题，覆盖定义、图像性质、实际应用等核心内容，通过分层设计适配单元复习，强化数学眼光、思维与语言的综合运用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|二次函数定义、图像与一次函数辨析、解析式确定|结合图像辨析考查几何直观，如第1题对比一次函数与二次函数图像| |填空题|8题|半径与函数关系、二次函数取值范围、抛物线与正方形综合|通过几何情境（如第12题圆与直角三角形）培养抽象能力| |解答题|7题|配方法、动点面积、实际问题建模（弹力球轨迹、拱桥问题）|综合题（如25题四边形运动）融合推理能力与模型意识，贴合真题命题趋势|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第二十六章 二次函数高频易错题（单元通关检测） 一、选择题 1．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 2．若是二次函数，且开口向上，则的值为（   ） A．3 B．-1 C． D．4 3．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 4．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 5．已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．已知抛物线与轴交于点，，且，，则的值是（     ） A． B． C．4 D． 8．已知二次函数 （ ）的自变量 与函数 的几组对应值如下表： 则下列关于该二次函数的说法正确的是（     ） A．图象开口向上 B．当 时， 的取值范围为 C．一元二次方程 有两个相等的实数根 D．图象的对称轴是直线 9．如图，在正方形中，是的中点，动点从点出发沿边匀速运动，到达点时停止运动，过点作，交于点，设，的面积为，的面积为，则与，与的函数关系分别是（    ） A．均为一次函数 B．均为二次函数 C．一次函数，二次函数 D．二次函数，一次函数 10．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（        ）米． A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题 11．函数是关于的二次函数，则______． 12．如图，在中，，，点是斜边上一点，以点为圆心的圆分别与，相切于点，．设，的半径为，则与的函数关系式为____________． 13．对于二次函数，当时，的取值范围是__________． 14．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 15．已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 16．已知抛物线与x轴的交点为，则代数式的值为__________． 17．如图，某建筑物的截面可以视作由两条线段，和一条曲线围成的封闭的平面图形．已知 ，曲线是以点为顶点的抛物线的一部分， ，点到、的距离分别为 和 ，则的长为________________． 18．如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 三、解答题 19．用配方法把二次函数化成的形式． 20．已知函数，回答下列问题： (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？ 21．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)抛物线可以由抛物线经过平移得到，请写出一种平移方式． 22．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向点以的速度移动（不与点重合）．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发；    (1)求出的面积随出发时间的函数解析式； (2)求经过多少秒，四边形的面积最小？最小值是多少？ 23．在一次趣味实验中，小宇将弹力球从弹球筐内弹出，其运动轨迹可抽象成抛物线．如图，小宇站在点O处，弹力球从点A处弹出，且点A距地面的竖直高度，当弹力球运动到距点A的水平距离为的位置时达到最高点，此时距地面的竖直高度为．以点O为原点，地面所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（本次实验只研究弹力球在第一次落地前的运动过程） (1)求弹力球运动轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)保持弹力球的运动轨迹形状不变，若弹力球从点O正上方的点M处弹出，m，落地点为N，求弹射点M与落地点N的水平距离． 24．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求二次函数的解析式； (2)当时，请直接写出的范围； (3)点是抛物线上位于第二象限的一个动点，连接，当时，求点的横坐标． 25．已知：如图，在四边形中，，，，，垂直平分，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点作，交于点，过点作，分别交、于点、．连接，，设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，点在的平分线上？ (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形的面积最大？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)连接，，在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第二十六章 二次函数高频易错题（单元通关检测） 参考答案 1．A 【分析】根据一次函数和二次函数的图象性质，分别分析、的符号，再逐一判断选项是否符合． 【详解】解：∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，，即， ∴符号均一致，A项符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，， ∴的符号矛盾，B项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，对称轴，则． ∴的符号矛盾，C项不符合题意． ∵一次函数的图象中，，；二次函数的图象中，，对称轴，则． ∴b的符号不一致，D项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数和二次函数中系数与图象的关系是解题的关键． 2．B 【分析】本题主要考查二次函数的定义和解一元二次方程，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 首先根据二次函数的定义，得到x的指数必须为2，且开口向上时二次项系数大于0，进而得到m的值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴，即， 解得：或， ∵二次函数开口向上， ∴， ∴， ∴m的值为， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 4．D 【分析】根据顶点坐标，利用待定系数法求解． 【详解】解：由顶点坐标可设二次函数表达式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式是． 5．C 【分析】先将A、 B两点横坐标代入抛物线解析式，得到 关于n的表达式，再结合 和 的条件列不等式，求出n的取值范围，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 ， ， ∴将 代入解析式得 ， 将 代入解析式得 ， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ 解得 观察选项，只有符合该范围． 6．D 【分析】根据点B和点C的坐标可求出对称轴为直线，则可推出，根据二次函数的图象与x轴没有交点，可得，进而推出，则离对称轴越远，函数值越小，求出A，C，D三点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数的图象过点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴； ∵二次函数的图象与x轴没有交点， ∴关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵二次函数的图象过点，，， 且， ∴． 7．A 【分析】抛物线与x轴交点的横坐标是对应一元二次方程的根，根据一元二次方程根与系数的关系求出和，再计算的值； 【详解】解：∵抛物线与轴交于， ∴是一元二次方程的两个根， ∴， 解得：，， ∴． 8．C 【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再结合二次函数的性质逐一判断各选项即可求解． 【详解】解：把，和 代入得， ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，故选项错误； ∵图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴的距离越近，函数值越大， ∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线，故选项错误； ∴当时，可知时函数取最大值， 又由表格知，时， ∴当 时，的取值范围为，故选项错误； ∵二次函数顶点坐标为， ∴直线与二次函数图象只有一个交点，即一元二次方程有两个相等的实数根，故选项正确． 9．D 【分析】设正方形的边长为a，如图，延长交于点G，可得四边形为矩形，再由，可得，，再利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：设正方形的边长为a， 如图，延长交于点G， 在正方形中，， ∵， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴， ， ∵a为定值， ∴与，与的函数关系分别是二次函数，一次函数． 10．B 【分析】本题考查二次函数的应用，求出抛物线当时的值即可得解． 【详解】解：根据题意，当时，得：， 解得：或． ∴水面宽度为：（米）． 故选：B． 11． 【分析】根据二次函数的定义，二次函数需满足自变量的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式解答即可求解． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得． 12． 【分析】连接，，根据切线的性质可得，从而可得四边形是正方形，进而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：连接，， 与相切于点，与相切于点， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，， ， ． ． ． 13． 【分析】根据二次函数，得出开口方向向下，对称轴是y轴，结合，得出的取值范围是，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，，对称轴为轴， ∴该函数图象开口向下，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，当时，y取得最大值5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 14．5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 15．， 【分析】将方程的解等价转化为二次函数中时对应的的值是解题关键，先根据表格数据求出抛物线的对称轴，再利用对称性得到时对应的所有的值即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过点，，， 点与点纵坐标相等， 抛物线的对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点横坐标为， 则， 解得，即对称点坐标为， 当时，的值为或， 即关于的方程的解为，． 16． 【分析】根据抛物线上点的坐标满足抛物线解析式，将交点代入解析式，得到的值，利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解：把代入抛物线解析式， 得 ， 整理得． ． 17． 【分析】利用顶点式求出二次函数解析式，进而得出答案，利用时，求出y的值即可得出的长． 【详解】解：由题意知， ∵点是抛物线的顶点，可设抛物线的解析式为：， 点在抛物线上，可得，， 解得：， 因此，； 当时，， 所以，． 18．不能 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把代入，把结果与50比较即可． 【详解】解：把代入，得， ， 不能击中昆虫． 19． 【详解】解： ． 20．(1) (2)或或或或 【分析】本题考查了一次函数的定义，二次函数的定义； （1）由二次函数的定义得，即可求解； （2）由一次函数的定义得①当时，②当时，③当时，进行求解，即可求解； 理解二次函数的定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．”，能根据一次函数的定义进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：； 故时，此函数是二次函数； （2）解：①当时， 解得：； ②当时， 解得：，； ③当时， 解得：，； 综上所述：取或或或或，此函数为一次函数． 21．(1) (2)先向右平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度或先向上平移3个单位长度、再向右平移1个单位长度（任选一个即可） 【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及将一般式化为顶点式、函数图像平移等知识，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键． （1）利用配方法即可将二次函数一般式化为顶点式； （2）根据函数图像平移法则：左加右减、上加下减，结合函数表达式，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 将化成的形式为； （2）解：由（1）中抛物线可化为， 抛物线经过平移得到可以是：①先向右平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度；②先向上平移3个单位长度、再向右平移1个单位长度；（任选一个即可）． 22．(1) (2)当时，四边形面积最小，最小值是 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握三角形面积公式，割补法求四边形面积，二次函数解析式配方求最值，是解决问题的关键． （1）根据，，得到， 根据，，运用三角形的面积公式计算即可； （2）根据，结合（1）结论列出函数关系式，配方求最小值． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵中，，， ∴； （2） ， ∵ ， ∴当时，四边形面积最小，最小值是． 23．(1) (2) 【分析】（1）由题意得到顶点坐标，设抛物线顶点式，根据待定系数法求解，进而根据“本次实验只研究弹力球在第一次落地前的运动过程”得到的取值范围即可； （2）由题意得到平移后的表达式，令，解一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，该抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时， 解得（舍去）， ∴， ∴； （2）解：由题意得抛物线向上平移个单位长度， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， 解得，（舍去）， ∴弹射点与落地点的水平距离的长为． 24．(1) (2)或； (3) 【分析】本题考查二次函数综合，待定系数法求解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质与判定； （1）用待定系数法解二次函数的解析式即可； （2）分别计算临界点、时，相对应的的值，再结合图象解题即可； （3）过点作轴于点，由题意设，证明是等腰直角三角形，进而根据列出方程，解一元二次方程解题． 【详解】（1）解：把、代入，得 ， 解得， 所以二次函数的解析式为； （2）当时，即抛物线与轴的交点， 当时，， 即， ， 结合图象可得， 当时，或； （3）解：，当时，， ∴， ∵、、， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 如图，过点作轴于点，    ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 设， ∵点在第二象限， ∴， ∴ ∴ 解得： 即点的横坐标是． 25．(1)当时，点在的平分线上 (2)存在，当时，四边形的面积最大为 (3)当时， 【分析】（1）利用角平分线的性质可以得到当点在的平分线上时，，再利用锐角三角函数把、的长度用的代数式表示出来即可求解； （2）利用割补法，，再依次表示出三角形的面积，结合二次函数的性质即可求解； （3）当可得，再利用正切值相等建立关于的等式即可求解； 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∵， 即：，，， 当点在的平分线上时， 则：， ∴， 解得： ∴当时，点在的平分线上； （2）如图，连接，过点作， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴，即：， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴存在，当时，四边形的面积最大为 ； （3）∵， ∴， 即：， ∴，即： 整理得： 解得：， ∴当时，； 【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数，二次函数的图象性质，角平分线的性质，四边形的面积，是一道四边形综合题目，利用参数构建方程是解决本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $