第二十七章 反比例函数高频易错题（单元通关检测）2026-2027学年人教版数学 九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学反比例函数单元复习检测，聚焦高频易错题，通过扫地机器人充电、杠杆原理等真实情境，考查函数图像性质、实际应用及与几何综合，适配单元通关需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|图像性质（如比较函数值大小）、实际应用（充电数据函数关系）|结合生活情境（扫地机器人），考查抽象能力与推理意识| |填空题|8题|解析式确定（线段交点求k）、杠杆原理（弹簧测力计与距离关系）|融入物理情境，培养模型意识与几何直观| |解答题|7题|函数综合（一次函数与反比例交点）、跨学科应用（压强计算）|设置分层问题（基础解析式到综合面积计算），发展应用意识与运算能力|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第二十七章 反比例函数高频易错题（单元通关检测） 参考答案 1．D 【分析】利用反比例函数中比例系数的性质，建立与的等量关系，再结合已知的范围，根据不等式性质推导的取值范围． 【详解】解：设反比例函数解析式为，由反比例函数性质可得， ∵ 点，在反比例函数图象上， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， 解得． 2．A 【分析】先根据数据判断函数形式，再代入已知点求系数，最后验证其余数据即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴电量与充电时长之间不是反比例函数关系． 由表格数据可知，时，假设其为一次函数，设函数关系式为． 把，代入解析式得． 解得， 得函数关系式为． 验证其余数据：当时，，符合数据；当时，，符合数据． 因此与之间的函数关系式为． 3．D 【分析】根据题意，判断出人均耕地面积y与总人口x成反比例关系，根据成反比例关系可判断A、B，再根据所列代数式求x值或y值，可判定C，D． 【详解】解：根据题意，，则， 故该村人均耕地面积y与总人口x成反比例，人均耕地面积随总人口的增多而减少， 故选项B、A错误，不符合题意； 当时，由得，即若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有25人，故选项C错误，不符合题意； 当时，，即当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷，故选项D正确，符合题意． 4．C 【分析】题目要求当时，即函数在给定区间内随的增大而减小，只需根据一次函数、二次函数、反比例函数的增减性，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵ 题目要求时，即函数在给定区间内随的增大而减小. 对选项A：是一次函数，， ∴ 随的增大而增大，不符合要求； 对选项B：，开口向上，对称轴为， ∴ 当时，随的增大而增大，不符合要求； 对选项C：是反比例函数，， ∴ 当时，随的增大而减小，符合要求； 对选项D：，开口向下，对称轴为， ∴ 当时，随的增大而增大，不符合要求． 5．D 【分析】根据反比例函数中，结合反比例函数性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：对于反比例函数，可得， A. ∵， ∴ 图象位于第二、四象限，不位于第一、三象限，A错误， B. 当时，只有在每个象限内随的增大而增大，选项未限定象限，B错误， C. 当时，， ∴ 图象不经过点，C错误， D. 当时，∵， ∴ . 又∵，可得，两边同乘得， ∴ ，D正确． 6．C 【分析】利用交点坐标同时满足两个函数解析式这一性质，对所求代数式进行变形化简即可． 【详解】解：因为点是函数与图像的交点， 将点代入，可得，变形得到， 将点代入，可得，移项得到， 所以． 7．A 【分析】先利用根的判别式求出的取值范围，再联立两个函数得到一元二次方程，结合的取值范围与非负数的性质判断方程根的个数即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 根的判别式， 解得 ， 联立反比例函数与一次函数可得， ， 整理，得， ∵，， ∴，即该方程没有实数根， ∴两个函数无交点． 8．C 【分析】设反比例函数表达式为，表示出甲、乙、丙、丁，过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，然后结合图象判断即可． 【详解】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴设反比例函数表达式为， 则甲、乙、丙、丁， 过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示： 由图可知， ∴甲、、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知合格人数， ∴，即甲、丁两个班级合格人数相同； ，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少； ，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多； 综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数， ∴这四个班合格人数最多的是丙． 9．C 【分析】根据题意确定与的函数关系为反比例函数，求出常数的值，再根据反比例函数图象的性质及图象上点的坐标进行判断即可． 【详解】，且为定值 是的反比例函数，且，图象位于第一象限 排除选项A、B 将，代入 得 函数解析式为 对于C选项，当时，，图象经过点，符合题意 对于D选项，当时，，不符合题意． 10．B 【分析】先利用一次函数求出点的坐标，由推出点的坐标，再次利用一次函数求出点的坐标，进而求得反比例函数的解析式，联立一次函数与反比例函数求出点的坐标，最后利用割补法求出的面积． 【详解】解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为， 联立一次函数与反比例函数得， ， 解得或， ∴点的坐标为， ． 11．（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数图象的一支与线段有交点，可得：，写出一个符合条件的整数即可． 【详解】解：当时，可得：， 反比例函数图象的一支与线段有交点， ， 解得：， 是整数， 或或或或或或， 写出一个符合条件的的整数值可以是（答案不唯一）． 12． 【分析】先根据题意确定弹簧测力计关于的函数解析式，再根据反比例函数上点的坐标特征，即可求解． 【详解】解：根据题意设反比例函数的解析式为， 根据图乙可得，反比例函数的图象经过点， 把代入求得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，代入得， 解得． 13． 【分析】先推导出得到点A的纵坐标为2，进而代入反比例函数的解析式求出，即可解答． 【详解】解：在中， ∴点A的纵坐标为2， 将代入，得 ， 解得， ∴点A的坐标是． 14． 或 【分析】先利用正比例函数和反比例函数的对称性，因为两个函数的交点关于原点对称，所以由点A的横坐标为1，可得到点B的横坐标．将不等式变形为，问题转化为找正比例函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围．结合函数图象，分和两个区间，根据两个交点的横坐标，确定满足的x的范围． 【详解】解：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点、也关于原点对称． 已知点横坐标为，因此点横坐标为． ，即找正比例函数值大于反比例函数值时的范围． 观察图象可得：当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足； 当时，正比例函数图象也在反比例函数图象上方，满足． 因此不等式的解集为 或 ． 15．4 【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论． 【详解】解：设点， ， 为的中点， ， 轴， ， 的面积为， ， ， ， 16．4 【分析】根据题意和图象中的数据，可以计算出阻力和阻力臂的函数关系式，然后根据动力动力臂阻力阻力臂，即可得到动力臂的最小值． 【详解】解：阻力和阻力臂的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， ∴阻力和阻力臂的函数关系式为， ∴， ∵， ∴当时，， ∴小明想使动力不超过，则动力臂需满足， ∴动力臂至少需要． 17． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是解题关键． 由每天分发数量与分发天数成反比例，设总徽章数为，根据两种分发情况列出方程，求解计划天数和，再写出函数关系式． 【详解】解：设总徽章数为枚，计划天数为天． 根据反比例关系，有． 当时，，即； 当时，，即． 由，解得． 则． 因此y与x的函数关系式为 ． 故答案为 18．6 【分析】本题主要考查了反比例函数的k的几何意义，熟练将k的几何意义与图形的面积有机结合是解题的关键． 如图：设与y轴相交于点E，利用反比例函数k的几何意义可得，再根据面积间的关系即可解答． 【详解】解：如图：设与y轴相交于点E， ∵反比例函数和，点、在轴上，点、在反比例函数图象上， ∴， ∴矩形的面积为：． 故答案为：6． 19．1 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、反比例函数的特征、代数式求值等知识点，掌握分比例函数图像上的点的横纵坐标之积等于k成为解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简，然后根据反比例函数上点的特征求得a的值，然后代入计算即可． 【详解】解： ， ∵ 是反比例函数 图像上的点， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ 原式 = = 1． 20． 【分析】本题考查反比例函数中系数k的几何意义以及平行四边形的性质，解题的关键是通过作辅助线，利用平行四边形的性质得到相关线段的关系，再结合系数k的几何意义来求解平行四边形的面积．作轴于D，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图作轴于D，延长交y轴于E， ∵四边形是平行四边形， ∴，； ∴轴， ∴， ∴， 根据系数k的几何意义，，， ∴四边形的面积． 21．(1) (2)此时的物距为 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）把代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式． 把，代入，得， 关于的函数关系式为． （2）解：把代入，得． 答：此时的物距为． 22．(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为； (2)，； (3)或． 【分析】（1）先将点B坐标代入反比例函数解析式，再将点A坐标代入所求反比例函数解析式，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题； （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 将点代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数解析式为． 将点A坐标代入得，， ∴点A坐标为． 将A，B两点坐标代入得， ， 解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：方程的解可看成函数与函数交点的横坐标， ∴方程的解为，． （3）解：由所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， ∴不等式的解集为：或． 23．(1)； (2)2 (3)或 【分析】（1）先将代入反比例解析式求解，然后求出点C坐标，再将点B，C坐标代入求解； （2）作轴交于点E，求出点D坐标及所在直线解析式，从而可得长度，再根据求解； （3）直接根据函数图象求解． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴， ∵A，B在反比例函数图象上， ∴点A，B关于原点成中心对称， ∴点B坐标为， 把代入得， ∴点C坐标为， 将，代入得， 解得， ∴； （2）解：如图，作轴交于点E， 设所在直线解析式为， 将，代入得， 解得， ∴， 将代入得， 解得， ∴点D坐标为， 把代入得， ∴点E坐标为，， ∴ ； （3）解：由函数图象可知，当时，或． 24．(1)函数图象如图所示： y与x之间的函数关系为 (2)托盘与点的距离是 (3)在移动前托盘B中的砝码质量为 【分析】（1）根据表格描点、连线即可，然后根据图象求函数表达式即可； （2）利用（1）函数表达式直接求解即可； （3）根据函数表达式求解即可，需要注意托盘运动前后仪器始终平衡． 【详解】（1）解：画图略； 观察图象可知，函数可能是反比例函数，设， 把的坐标代入，得， ∴， 经检验，其余各个点的坐标均满足 ∴该函数表达式为； （2）解：由（1）可知函数表达式为 ∴当时，代入函数表达式得， 解得， ∴托盘与点的距离是； （3）解：设移动前托盘中的砝码质量为，托盘与点的距离为， 由题意，得，， 解得， ∴在移动前托盘中的砝码质量为． 25．(1)①③ (2)①不安全，见解析；②平方米 【分析】（1）根据正比例函数与反比例函数的图象及其性质判断即可； （2）①根据，将数值代入判断即可； ②把代入函数解析式，再利用反比例函数的增减性判断即可． 【详解】（1）解：①当为定值时，越大，越小，且p与S是反比例函数关系， ∴函数图象符合规律，是正确的； ②当为定值时，越大，越大，且F与S是正比例函数关系， ∴函数图象不符合规律，是错误的； ③当为定值时，越大，越小，p与F是正比例函数关系， ∴函数图象符合规律，是正确的； 综上，正确的有①③； （2）解：①不安全，理由如下： 因为， 故不安全； ②把代入， 得， 根据（1）中的图象可知：当时，， 答：为了保证安全，这块薄木板的面积至少平方米． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 第二十七章 反比例函数高频易错题（单元通关检测） 一、选择题 1．反比例函数图象经过，两点，若，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．小王记录了家中扫地机器人（电量完全耗尽）充电状态下显示屏显示的电量与充电时长t（单位：）的部分数据如下表： 充电时长 0 20 100 120 … 电量 0 10 50 60 通过表中数据，小王发现该扫地机器人充电状态下显示屏显示的电量与充电时长之间满足学过的某种函数关系．则与之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3．某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 4．在下列函数图象上任取不同两点、，当时，的是（     ） A． B． C． D． 5．已知反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．图象分别位于第一、三象限 B．随的增大而增大 C．图象经过点 D．当时， 6．如图，在平面直角坐标系中，函数与图像交于点，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则函数的图象与函数的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（     ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 9．已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（） A． B． C． D． 10．如图，直线与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于 ，两点，轴，垂足为，连接．若，则的面积是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，已知点，，反比例函数图象的一支与线段有交点，写出一个符合条件的的整数值：______． 12．如图甲，根据杠杆原理，我们知道当杠杆水平平衡时，弹簧测力计的示数（单位：）与弹簧测力计与支点的距离（单位：）成反比例函数关系．已知它们之间的函数关系如图乙所示，那么当为时，弹簧测力计与支点的距离为______． 13．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点A，点B、C分别在x轴负半轴、y轴负半轴上，，则点A的坐标是____________． 14．如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______． 15．如图，A，B是双曲线上的两点，过点A作轴，垂足为点C，交于点D，若的面积为，D为的中点，则k的值为__________． 16．“杠杆原理”在实际生产和生活中，有着广泛的运用，如：小明用撬棍撬动一块大石头，运用的就是“杠杆原理”，已知阻力和阻力臂的函数图象如图，若小明想使动力不超过，则动力臂至少需要_______． 17．某校开放周筹备期间，小杨接到一项任务：将一批纪念徽章分发给志愿者．他们发现，每天分发的数量与分发天数成反比例关系．已知如果每天分发50枚，则恰好按计划天数完成；如果每天分发75枚，则可以提前2天完成．则每天分发数量y（枚）与分发天数x（天）之间的函数关系式为_________ 18．如图，反比例函数和，点、在轴上，点、在反比例函数图象上，则矩形的面积为__________． 三、解答题 19．已知： ，若是反比例函数 图像上的点，求A的值． 20．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，求平行四边形的面积． 21．根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）都不变时，火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，． (1)求与之间的函数关系式． (2)若火焰的像高为，求此时的物距． 22．如图，已知点，是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求方程的解（请直接写出答案）； (3)求不等式的解集（请直接写出答案）． 23．如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数图象于点，为反比例函数图象上一点，横坐标为，一次函数的图象经过、两点，与轴交于点，连接、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)当时，直接写出自变量的取值范围． 24．如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘与支撑点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出其余的点，并用一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 25．在物理中，压强p（）、压力F（N）、受力面积S（）满足公式． (1)下面的函数图象，正确的有 ．（填写序号） (2)比较薄的冰面最多承受的压强，小明的重量为． ①一双鞋底与冰面的接触面积共为，他能否安全地站在这块冰面上？ ②若小明平躺在一块质量不计的薄木板上，为了保证安全，这块薄木板的面积至少多大？ 学科网（北京）股份有限公司 $