精品解析：吉林大学附中力旺实验中学2021-2022学年九年级下学期开学数学试卷

吉林大学附中力旺实验中学2021-2022学年九年级（下） 开学数学试卷 一．选择题（共8小题，共24分） 1. 与的值最接近的整数是（ ） A. B. C. D. 2. 年春运期间，长春机场完成客流吞吐量人次，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的三棱柱的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 小明拿40元购买雪糕和矿泉水，已知每瓶矿泉水2元，每支雪糕1.5元，他买了5瓶矿泉水，x支雪糕，则列出关于x的不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，以点为圆心，以长为半径画圆弧交于点，为上一点，连结，，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在▱ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，在平面直角坐标系中，线段AC的端点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点C在第一象限，函数y＝（x＞0）的图象交边AC于点B．D为x轴上一点，连结CD、BD．若BC＝2AB，则△BCD的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0.5 二．填空题（本题共6小题，共18分） 9. 函数的自变量的取值范围是______． 10. 一元二次方程有两个实数根，则所取的可能的值是______填一个即可 11. 长泰大桥是长春市“两横三纵”快速路的关键节点工程，大桥建筑类型为斜拉式高架桥，其主塔高米，主塔处桥面距地面米，小明站在桥上测得拉索与水平桥面的夹角为，则拉索的长约为_______．（结果精确到米，参考数据：） 12. 如图，在矩形中，．以点B为圆心，长为半径作圆弧，与边交于点E，则的值为___________． 13. 如图，是的直径，点在上，连接、，平分交于点，若的半径是，则的长度是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，分别交抛物线与直线交于点A，B，以线段为对角线作菱形，使得，则菱形的面积最小值为______． 三．计算题（本题共1小题，共6分） 15. 先化简，再求值：，其中． 四．解答题（本题共9小题，共72分） 16. 校团委举办传承红色基因，牢记初心使命唱响红歌比赛活动．报名参赛的同学被随机分成A、B、C三个小组进行第一轮预选，求双胞胎兄弟小励和小志同学被分到同一个小组参加预选赛的概率． 17. 在大城市，很多上班族选择“低碳出行”，电动车和共享单车成为他们的代步工具．某人去距离家8千米的单位上班，骑共享单车虽然比骑电动车多用20分钟，但却能强身健体，已知他骑电动车的速度是骑共享单车的1.5倍，求骑共享单车从家到单位上班花费的时间． 18. 图①、图②、图③均为方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1． 【探究】在图①中，点A、B、C、D均为格点．证明：BD平分∠ABC． 【应用】在图②、图③中，点M、O、N均为格点． （1）利用【探究】的方法，在图②、图③中分别找到一个格点P，使OP平分∠MON．要求：图②、图③中所画的图形不相同，保留画图痕迹． （2）cos∠MOP的值为　 　． 19. 2017年为了建设幸福长春，长春市政府根据人民群众的需要，采取坚决措施，解决人民群众关切的问题，着力“治污、治堵、治乱、治粗”四个方面，为了努力提升城市综合承载能力，市统计部门对部分人群做了以下几个方面的调查，下面是统计部门对人民群众四类生活信息关注度统计图表，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次参与调查的人数有　 　人； （2）关注道路畅通信息的有　 　人，并补全条形统计图； （3）扇形统计图中，D部分的圆心角为　 　度． （4）若长春市有600万市民，请你估计全市可能有多少人关注道路畅通信息？ 20. 如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上一点，且BE＝BF，连接DE． （1）求证DE是⊙O的切线； （2）若BF＝1，BD=，则菱形ABCD的面积为 ． 21. 某景区的三个景点A、B、C在同一线路上．甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙乘景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C；甲、乙两人同时到达景点C．甲、乙两人距景点A的路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数图象如图所示． （1）乙步行的速度为______米分． （2）求乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式． （3）甲出发多长时间与乙第一次相遇？ 22. 在等边中，平分交于，，的两边分别交直线、于、，现要探究线段、和之间的数量关系． （1）【操作发现】如图，当点、分别在线段、上时，请直接写出线段、、之间的数量关系______； （2）【类比探究】如图，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请通过证明探究出线段、和之间的关系； （3）【拓展应用】若等边的边长为，当时，直接写出的面积． 23. 已知，如图①，在平行四边形中，，，．以为斜边在平行四边形的内部作，，． （1）求的周长； （2）若以每秒2个长度单位的速度沿向右平行移动，得到，当与重合时停止移动．设移动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）如图②，在（2）中，当停止移动后得到，将绕点C按顺时针方向旋转，在旋转过程中，B的对应点为，E的对应点为，设直线与直线交于点P、与直线交于点Q．是否存在这样的，使为等腰三角形？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 24. 在平面直角坐标系中，将函数为常数)的图象记为图象与直线的交点坐标为． （1）若点在图象上，求的值； （2）求的最小值； （3）当直线的图象与函数为常数)的图像只有一个公共点时，求的取值范围； （4）若点在图象上，且点的横坐标为点关于轴的对称点为点.当点不在坐标轴上时，以点为顶点构造矩形使点落在轴上.当图象与矩形的边有两个公共点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林大学附中力旺实验中学2021-2022学年九年级（下） 开学数学试卷 一．选择题（共8小题，共24分） 1. 与的值最接近的整数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出的值；然后根据有理数大小比较的方法，判断出与的值最接近的整数是哪个即可． 【详解】解：， ∵， 即 ∴与的值最接近的整数是． 2. 年春运期间，长春机场完成客流吞吐量人次，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 如图所示的三棱柱的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：从正面看易得三棱柱的一条棱位于三棱柱的主视图内， 故选：B． 4. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：、，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意． 故选C． 5. 小明拿40元购买雪糕和矿泉水，已知每瓶矿泉水2元，每支雪糕1.5元，他买了5瓶矿泉水，x支雪糕，则列出关于x的不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据题意得：2×5+1.5x≤40．故选D． 6. 如图，是的直径，以点为圆心，以长为半径画圆弧交于点，为上一点，连结，，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，则是等边三角形，求得．根据圆内接四边形的性质，可得结论． 【详解】解：连接， 由题意知：， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目考查了等边三角形的性质和判定，圆内接四边形的性质．解决本题的关键是得到是等边三角形．圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补． 7. 如图，在▱ABCD中，AD＝4，对角线BD＝8，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点E和点F，作直线EF，交对角线BD于点G，连接GA，GA恰好垂直于边AD，则GA的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AG＝BG，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设BG＝x，则DG＝8﹣x， 由作图可知：EF是线段AB的垂直平分线， ∴AG＝BG＝x， 在Rt△DAG中，AD2+AG2＝DG2， 即42+x2＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， 即AG＝3， 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理，根据线段垂直平分线的性质求出AG=BG是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，线段AC的端点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点C在第一象限，函数y＝（x＞0）的图象交边AC于点B．D为x轴上一点，连结CD、BD．若BC＝2AB，则△BCD的面积为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S△OBA＝|k|＝1，根据三角形面积公式得到S△OBC＝2S△OBA＝2，从而得到S△BCD的值． 【详解】解：连接OB、OC，如图， ∵AC∥x轴， ∴S△OBA＝|k|＝1， ∵BC＝2AB， ∴S△OBC＝2S△OBA＝2， ∵OD∥BC， ∴S△BCD＝S△OBC＝2． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质． 二．填空题（本题共6小题，共18分） 9. 函数的自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的分母不等于即可得出答案． 【详解】解：， ． 10. 一元二次方程有两个实数根，则所取的可能的值是______填一个即可 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：一元二次方程有两个实数根， ， 解得， 取(答案不唯一)． 11. 长泰大桥是长春市“两横三纵”快速路的关键节点工程，大桥建筑类型为斜拉式高架桥，其主塔高米，主塔处桥面距地面米，小明站在桥上测得拉索与水平桥面的夹角为，则拉索的长约为_______．（结果精确到米，参考数据：） 【答案】米 【解析】 【分析】先求出的长，在，利用，进行求解即可． 【详解】解：由题意得：（米）， 在中，， ∵， ∴（米）， 答：拉索的长约为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 12. 如图，在矩形中，．以点B为圆心，长为半径作圆弧，与边交于点E，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，则．设，．由矩形的性质得出，，，由勾股定理求出，进而求出，然后相比即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，则． 设，． ∵四边形是矩形， ∴，，， 由勾股定理得：， 则， ∴． 13. 如图，是的直径，点在上，连接、，平分交于点，若的半径是，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义求出的度数，根据圆周角定理得到，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， 是的直径， ， 平分， ， ， 则的长度是． 14. 如图，在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线，分别交抛物线与直线交于点A，B，以线段为对角线作菱形，使得，则菱形的面积最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接交于点M，过点作x轴的垂线，分别交抛物线与直线于A，B两点，得出，可得，即可求出当时，的最小值为．根据，四边形为菱形，得出为等边三角形，，且与互相平分，求出，．根据勾股定理求出DM，即可求出CD，即可求出菱形的面积最小值． 【详解】如图，连接交于点M． ∵过点作x轴的垂线，分别交抛物线与直线于A，B两点， ∴． ∴， ∴当时，的最小值为． ∵，四边形为菱形， ∴为等边三角形，，且与互相平分， ∴，． 在中，， ∴， ∴菱形的面积最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，掌握这些知识点灵活运用是解题关键． 三．计算题（本题共1小题，共6分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简分式，先做小括号里的，然后做除法，然后代入求值即可． 【详解】解： = = = 当时，原式=． 【点睛】本题考查分式的混合运算，二次根式的化简，掌握运算法则正确计算是解题关键． 四．解答题（本题共9小题，共72分） 16. 校团委举办传承红色基因，牢记初心使命唱响红歌比赛活动．报名参赛的同学被随机分成A、B、C三个小组进行第一轮预选，求双胞胎兄弟小励和小志同学被分到同一个小组参加预选赛的概率． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意画出树状图，然后再根据概率的计算公式进行计算即可． 【详解】解：画树状图，如图所示： ∵共有种等可能的结果数，其中双胞胎兄弟小励和小志同学被分到同一个小组参加预选赛的结果数为， ∴双胞胎兄弟小励和小志同学被分到同一个小组参加预选赛的概率． 17. 在大城市，很多上班族选择“低碳出行”，电动车和共享单车成为他们的代步工具．某人去距离家8千米的单位上班，骑共享单车虽然比骑电动车多用20分钟，但却能强身健体，已知他骑电动车的速度是骑共享单车的1.5倍，求骑共享单车从家到单位上班花费的时间． 【答案】骑共享单车从家到单位上班花费的时间是60分钟． 【解析】 【详解】试题分析：设骑共享单车从家到单位上班花费x分钟，找出题目中的等量关系，列出方程，求解即可. 试题解析：设骑共享单车从家到单位上班花费x分钟， 依题意得： 解得x=60． 经检验，x=60是原方程的解，且符合题意． 答：骑共享单车从家到单位上班花费的时间是60分钟． 18. 图①、图②、图③均为方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1． 【探究】在图①中，点A、B、C、D均为格点．证明：BD平分∠ABC． 【应用】在图②、图③中，点M、O、N均为格点． （1）利用【探究】的方法，在图②、图③中分别找到一个格点P，使OP平分∠MON．要求：图②、图③中所画的图形不相同，保留画图痕迹． （2）cos∠MOP的值为　 　． 【答案】【探究】：见解析；【应用】：（1）见解析；（2）. 【解析】 【分析】探究：通过计算证明利用SSS证明三角形全等即可解决问题． 应用：（1）根据要求画出图形即可．图②中，构造边长为5的菱形即可解决问题．图③中，构造全等三角形解决问题即可． （2）利用菱形的性质解决问题即可． 【详解】探究：证明：∵AB＝＝5，BC＝5， ∴AB＝BC ∵AD＝CD＝＝． BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， ∴∠ABD＝∠CBD， 即BD平分∠ABC． 应用：解：（1）射线OP如图所示． （2）如图②连接MN交OP于K， ∵四边形OMPN是菱形， ∴MN⊥OP， ∵OP＝，OM＝5， ∴OK＝， ∴cos∠MOP＝＝． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，菱形的性质. 在【应用】的（1）中我们可借助于探究的方法利用三角形全等去画一个图，第二个图时可根据菱形的对角线互相平分，画菱形画图；（2）中要求三角函数值要构造直角三角形，在三角形中求出cos∠MOP的临边和斜边的值即可. 19. 2017年为了建设幸福长春，长春市政府根据人民群众的需要，采取坚决措施，解决人民群众关切的问题，着力“治污、治堵、治乱、治粗”四个方面，为了努力提升城市综合承载能力，市统计部门对部分人群做了以下几个方面的调查，下面是统计部门对人民群众四类生活信息关注度统计图表，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次参与调查的人数有　 　人； （2）关注道路畅通信息的有　 　人，并补全条形统计图； （3）扇形统计图中，D部分的圆心角为　 　度． （4）若长春市有600万市民，请你估计全市可能有多少人关注道路畅通信息？ 【答案】（1）1000 （2）400，补全图形见解析 （3）144 （4）240万人 【解析】 【分析】（1）根据C类别的人数及其百分比可得总人数； （2）根据条形图可得关注道路通畅信息的人数，用总人数减去A、C、D的人数求得B类别的人数即可补全图形； （3）用360°乘以D类别人数所占比例可得； （4）用总人数乘以样本中D类别人数所占比例可得． 【小问1详解】 解：本次参与调查的人数为（人）， 故答案为：1000； 【小问2详解】 由条形图知关注道路通畅信息的人数为400人， 关注城市医疗信息的人数为（人）， 补全图形如下： 故答案为：400； 【小问3详解】 扇形统计图中，D部分的圆心角为， 故答案为：144； 【小问4详解】 （万人）， 答：估计全市关注道路畅通信息的人数约为240万人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20. 如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上一点，且BE＝BF，连接DE． （1）求证DE是⊙O的切线； （2）若BF＝1，BD=，则菱形ABCD的面积为 ． 【答案】（1）见解析；（2）5 【解析】 【分析】（1）根据菱形性质得出AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，可证△DAF≌△DCE，可得∠DFA=∠DEC，证出∠ADE=∠DEC=90°，即OD⊥DE，DE是⊙O的切线． （2）在Rt△ADF和Rt△BDF中，可得AD2-（AD-BF）2=DB2-BF2，解方程可求出AD的长即可． 【详解】（1）证明：连接DF， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C， ∵BF＝BE， ∴AB−BF＝BC−BE，即AF＝CE， 在△DAF和△DCE中， ， ∴△DAF≌△DCE（SAS）， ∴∠DFA＝∠DEC， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠DFA＝90°， ∴∠DEC＝90° ∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC＝90°， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵AD是⊙O的直径， ∴∠DFA＝90°， ∴∠DFB＝90°， 在Rt△BDF中，BF＝1，BD=， ∴DF2＝BD2−BF2＝5﹣1＝4， ∴DF＝2， 在Rt△ADF中，AD2＝DF2+AF2， ∴AB2＝22+（AB﹣1）2， 解得AB=， ∴S菱形ABCD＝AB•DF=＝5． 故答案为5． 【点睛】此题考查圆的综合，三角形全等的性质和判定，直径所对圆周角性质，菱形的性质，圆的切线的判定，勾股定理，拓展一元一次方程等知识，解题关键是根据勾股定理列方程解决问题． 21. 某景区的三个景点A、B、C在同一线路上．甲、乙两名游客从景点A出发，甲步行到景点C；乙乘景区观光车先到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C；甲、乙两人同时到达景点C．甲、乙两人距景点A的路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数图象如图所示． （1）乙步行的速度为______米分． （2）求乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式． （3）甲出发多长时间与乙第一次相遇？ 【答案】（1）80 （2） （3）甲出发25分钟与乙第一次相遇 【解析】 【分析】（1）根据速度=路程÷时间，即可求出乙步行的速度； （2）观察函数图象，运用待定系数法求解即可； （3）根据速度=路程÷时间求出甲步行的速度，进而找出甲步行时y与x之间的函数关系式，联立两函数关系式成方程组，通过解方程组即可求出二者第一次相遇的时间． 【小问1详解】 解：乙步行的速度为（米/分）． 【小问2详解】 解：设乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式为， 由图可得，该函数图象过点，， ∴，解得， ∴乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式为． 【小问3详解】 解：甲步行的速度为（米/分）， ∴甲步行时y与x之间的函数关系式为． 联立两函数关系式为，解得， ∴甲出发25分钟与乙第一次相遇． 22. 在等边中，平分交于，，的两边分别交直线、于、，现要探究线段、和之间的数量关系． （1）【操作发现】如图，当点、分别在线段、上时，请直接写出线段、、之间的数量关系______； （2）【类比探究】如图，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请通过证明探究出线段、和之间的关系； （3）【拓展应用】若等边的边长为，当时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）不成立，，证明如下： 过点作，交于， ，， 是等边三角形，平分， ，， ，， ， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ，则， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）过点作，交于，证明是等边三角形，得出，再证明得出，即可得解； （2）过点作，交于，证明是等边三角形，得出，再证明得出，即可得证； （3）分两种情况：当点在线段上时，作于，当点在线段延长线上时，作于，分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：过点作，交于， ，， 是等边三角形，平分， ，， ，， ， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ，则， ， ， ， ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：当点在线段上时，作于， 由（1）知，得，， 在中，， ， 当点在线段延长线上时，作于， 同理可得，， ， 综上：的面积为或． 23. 已知，如图①，在平行四边形中，，，．以为斜边在平行四边形的内部作，，． （1）求的周长； （2）若以每秒2个长度单位的速度沿向右平行移动，得到，当与重合时停止移动．设移动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）如图②，在（2）中，当停止移动后得到，将绕点C按顺时针方向旋转，在旋转过程中，B的对应点为，E的对应点为，设直线与直线交于点P、与直线交于点Q．是否存在这样的，使为等腰三角形？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）解：存在，使为等腰三角形．理由如下： ，， ， ∴当为等腰三角形时，也为等腰三角形． 当时（如图4），则， ，即， ， 当时，则若点在线段的延长线上时（如图5）， ， ，即 ； 若点在线段的延长线上时(如图6)， ， ，即 ， ③当时(如图7)则， ， ， 又点在直线上，， 点与点重合，此时三点不能构成三角形； 综上所述，存在或，使为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）在中，解直角三角形即可； （2）在向右平移的过程中：当时，如图1所示，此时重叠部分为一个三角形；当时，如图2所示，此时重叠部分为一个四边形；当时，如图3所示，此时重叠部分为一个五边形，分别表示出其面积即可得解； （3）根据旋转和等腰三角形的性质进行探究，分，，三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ． 在中，，， ，， 的周长为：． 【小问2详解】 解：，，， ， ， ， ， 在向右平移的过程中： (I)当时，如图1所示，此时重叠部分为． ， ，， ； (II)当时，如图2所示，此时重叠部分为四边形， ， ， ，． ； 当时，如图3所示，此时重叠部分为五边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 综上所述，与之间的函数关系式为： ； 【小问3详解】 略． 24. 在平面直角坐标系中，将函数为常数)的图象记为图象与直线的交点坐标为． （1）若点在图象上，求的值； （2）求的最小值； （3）当直线的图象与函数为常数)的图像只有一个公共点时，求的取值范围； （4）若点在图象上，且点的横坐标为点关于轴的对称点为点.当点不在坐标轴上时，以点为顶点构造矩形使点落在轴上.当图象与矩形的边有两个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）y0的最小值为；（3）m的取值范围是，m＞2或m≤0；（4）当m＞0时，若抛物线与矩形有2个交点，或． 【解析】 【分析】（1）把代入：即可得到答案； （2）把代入：，得到：根据的取值范围可得答案； （3）由函数 (m为常数)的对称轴为： 顶点坐标为 界点坐标，结合函数图像分情况讨论即可得到答案； （4）分情况讨论：先求解当m+1=2m，此时，①当0＜m＜1时，再根据界点在的上下方，可得的范围，② 当m＞1时，若点A在x轴上，则，讨论当1＜m＜时的交点情况，③ 当m＞时，点A在点B的上方，若有两个交点，还需满足界点在BC下方，结合函数图像可得答案，最后综合以上情况可得的范围． 【详解】解：（1）把代入： ； （2） (m为常数)， ， 当m＞0时，a=3＞0， y0有最小值，时，y0的最小值为， 当时，，因此，y0的最小值为． （3）函数 (m为常数)的对称轴为： 顶点坐标为 如图：当过顶点时， ， 当m＞0时， 当时，界点坐标为 当界点在直线时， （舍去）， 此时，直线在界点的下方， ＜ ＞， ＞， ＞， ＞，且＞， ＞， 此时，直线的图象与函数为常数)的图像只有一个公共点时，＞， 当＜时，界点坐标为 当界点在直线的上方时， ＜ ＞， ＞， ＜， ＜且＜， 解得：＜， 此时，直线的图象与函数为常数)的图像只有一个公共点时，则＜， 综上，m的取值范围是， m＞2或m≤0． （4）当m+1=2m，m=1，所以， ① 0＜m＜1时，此时，界点坐标为： 当顶点在边AD上方，若有两个交点，还需满足界点在AD下方， 解得： ≤m＜1． 同时，也说明当0＜m＜时，界点在AD上方，只有一个交点，不满足要求． ② 当m＞1时， 若点A在x轴上， 则．（舍去） 当1＜m＜时，函数图像在矩形的右下方，只有一个交点，不满足要求． ③ 当m＞时，点A在点B的上方，若有两个交点，还需满足界点在BC下方， 关于轴对称， 利用图像法得： 所以， ＜m≤． 综上，当m＞0时，若抛物线与矩形有2个交点，则≤m＜1 或＜m≤． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，特别是考查了含参数的二次函数的最值，以及含参数的二次函数图像与几何图形的交点个数问题，利用二次函数图像解不等式问题，掌握数型结合是解题的核心关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $