一元二次函数、方程和不等式单元复习--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦“一元二次函数、方程和不等式”，精选2025年高考真题及各地模拟题，覆盖不等式求解、集合运算、性质应用、实际建模等核心知识，适配单元复习，助力巩固基础与提升数学应用能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|9|不等式解集（如第1题）、集合运算（第2题）、性质判断（第3题）|结合高考真题（如第1、5题），设置工厂生产（第5题）等真实情境| |填空题|5|分式不等式（第10题）、最值问题（第11题）、恒成立（第14题）|融入数学建模（如第13题货物购买），考查数学思维| |解答题|3|造价优化（第15题）、含参不等式（第16题）、解集与系数关系（第17题）|综合应用数学语言表达（如第15题建模求解），体现分层设计|

一元二次函数、方程和不等式 一、选择题 1. 【2025·全国二卷·高考真题】 不等式 的解集是（ ） A. {x | -2 ≤ x < 1} B. {x | x ≤ -2} C. {x | -2 ≤ x ≤ 1} D. {x | x > 1} 【答案】A 【解析】将不等式移项得 ≥ 0，通分得 ≥ 0，等价于 (-x-2)(x-1) ≥ 0且。零点x=-2和x=1，解集为{x | -2 ≤ x < 1}.选A。 2. 【2025·四川德阳·二模】 已知集合 A = {x | x² - 3x + 2 ≤ 0}，集合 B = {x | x² + x - 2 < 0}，则 A ∩ B =（ ） A. [-2, 3] B. (1, 2] C. (-1, 2] D. ∅ 【答案】D 【解析】解A：x²-3x+2 ≤ 0 → (x-1)(x-2) ≤ 0 → 1 ≤ x ≤ 2，即A={x |1 ≤ x ≤ 2}。解B：x²+x-2 < 0 → (x+2)(x-1) < 0 → -2 < x < 1，即B={x |-2 x 1}。A∩B = ∅ 3. 【2025·北京海淀·二模】 设 a, b, c ∈ R，abc ≠ 0，且 a > b > c，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ≥ 2 B. ≥ 2 C. a + b > 2c D. a + b > c 【答案】C 【解析】A选项：当a,b,c异号时可能为负，不一定大于等于2。B选项：a>b>0时由基本不等式 ≥2成立，a,b可能为负数，若a=1,b=-1则 =-2<2，不成立。C选项：因为a>c，b > c，相加可得a+b>2c，成立。D选项：若a=-3,b=-4，c=-5,a+b=-7,不成立。选C 4. 【2025·山东菏泽·二模】 已知 a > b > 0，则下列不等式中正确的是（ ） A. a² > b² B. C. a - b > a + b D. < 【答案】A 【解析】A：a>b>0，故a²>b²，正确。B：a>b>0，取倒数改变方向， , 错误。C：a-b<a+b（因为b>0），错误。D：a>b>0，开方保持方向， ，错误。选A。 5. 【2025·天津·高考真题】 某工厂生产甲、乙两种产品，生产1吨甲产品需耗煤4吨、电力2千瓦时；生产1吨乙产品需耗煤3吨、电力5千瓦时。现有煤120吨、电力100千瓦时。设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则满足条件的不等式组为（ ） A. 4x + 3y ≤ 120, 2x + 5y ≤ 100, x ≥ 0, y ≥ 0 B. 4x + 3y ≥ 120, 2x + 5y ≥ 100, x ≥ 0, y ≥ 0 C. 4x + 2y ≤ 120, 3x + 5y ≤ 100, x ≥ 0, y ≥ 0 D. 3x + 4y ≤ 120, 5x + 2y ≤ 100, x ≥ 0, y ≥ 0 【答案】A 【解析】生产x吨甲产品耗煤4x吨、电力2x千瓦时；生产y吨乙产品耗煤3y吨、电力5y千瓦时。煤总量不超过120吨：4x+3y≤120；电力总量不超过100千瓦时：2x+5y≤100；产量非负：x≥0,y≥0。选A。本题考查用不等式组表示实际问题中的不等关系。 6. 【2025·广东·一模】 已知实数 a, b 满足 a + b = 4，ab = 3，则下列不等式成立的是（ ） A. a² + b² ≥ 10 B. a² + b² ≤ 10 C. a² + b² = 10 D. a² + b² > 16 【答案】C 【解析】a²+b² = (a+b)²-2ab = 16-6 = 10。故a²+b²=10，选C。本题考查利用等式关系推导不等式。 7. 【2025·河北衡水·模拟预测】 若 a > 0, b > 0，且 a + b = 1，则下列不等式中正确的是（ ） A. ab ≥ B. ab ≤ C. a² + b² ≤ D.+ ≤ 4 【答案】B 【解析】由基本不等式：ab ≤=，当且仅当a=b=时取等号。故B正确，A错误。a²+b² = (a+b)²-2ab = 1-2ab ≥，故C错误。+ = = ≥ 4，故D错误。选B。 8. 【2025·全国·模拟预测】 某学校计划用不超过2000元的资金购买A、B两种图书，A种图书每本30元，B种图书每本20元，且A种图书至少买10本，B种图书至少买20本。设购买A种x本、B种y本，则下列不等式组正确的是（ ） A. 30x + 20y ≤ 2000, x ≥ 10, y ≥ 20 B. 30x + 20y ≥ 2000, x ≥ 10, y ≥ 20 C. 30x + 20y ≤ 2000, x ≤ 10, y ≤ 20 D. 20x + 30y ≤ 2000, x ≥ 10, y ≥ 20 【答案】A 【解析】总费用不超过2000元：30x+20y≤2000；A种至少10本：x≥10；B种至少20本：y≥20。选A。本题考查从实际问题中抽象出不等式组。 9. 【2025·北京·高考真题】 已知 a > 0, b > 0，则下列不等式中正确的是（ ） A. a + b ≥ 2 B. a + b ≤ 2 C. + ≥ D.+ ≤ 【答案】A 【解析】A即基本不等式（均值不等式）：a+b≥2，当且仅当a=b时取等号，正确。B方向反了。C：+ == ≥，和 大小不确定，错误。D：由C的分析知+ ≥，方向反了。选A。 二、填空题 10. 【2025·上海·高考真题】 不等式 ≤ 0 的解集为________。 【答案】 【解析】分子零点x=1，分母零点x=3。由符号分析法，(x-1)/(x-3)≤0的解集为。x=3时分母为零不可取。 11. 【2025·全国·模拟预测】 已知 x > 0, y > 0，且 2x + y = 4，则 xy 的最大值为________。 【答案】2 【解析】由2x+y=4得y=4-2x。xy=x(4-2x)=4x-2x²=-2(x²-2x)=-2(x-1)²+2。当x=1时xy取最大值2，此时y=2。或由基本不等式：2x+y≥，即4≥，≤2，2xy≤4，xy≤2。 12. 【2025·河北衡水·模拟预测】 已知 a, b ∈ R，且 a² + b² = 1，则 a + b 的最大值为________。 【答案】 【解析】用基本不等式：a+b≤=。 13. 【2025·广东大湾区·一模】 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为x万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买________吨。 【答案】40 【解析】一年购买次数为次，总运费=4×=万元，总存储费为x万元。总费用y=+x。由基本不等式：+x≥=80，当且仅当=x即x²=1600,x=40时取等号。故每次购买40吨。 14. 【2025·全国·二模】 若关于x的不等式 x² - ax + 1 > 0 对一切 x ∈ R 恒成立，则实数a的取值范围是________。 【答案】 【解析】二次函数y=开口向上，要对一切x∈R恒有y>0，需判别式<0，即a²<4，解得-2<a<2。故a的取值范围为。 三、解答题 15. 【2025·广东大湾区·一模】 某工厂要建造一个容积为48m³的长方体无盖水池，池底每平方米造价为120元，池壁每平方米造价为80元。设水池底面一边长为xm，另一边长为ym。 （1）用x,y表示总造价W； （2）若水池深度为3m，求总造价W的最小值。 【答案】（1）W = 120xy + 80×2×3(x+y) = 120xy + 480(x+y)； （2）W的最小值为5760元。 【解析】（1）容积=xyh=48，池底面积=xy，池壁面积=2h(x+y)=2×3(x+y)=6(x+y)。 W=120xy+80×6(x+y)=120xy+480(x+y)。 （2）h=3时，xy=48/3=16，即y=16/x。 W=120×16+480(x+16/x)=1920+480(x+16/x)。 由基本不等式：x+16/x≥2√(x·16/x)=2×4=8，当且仅当x=16/x即x=4时取等号。 W≥1920+480×8=1920+3840=5760。 当x=y=4m时，总造价最小值为5760元。 16.【2025·广东·月考】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 【解析】　当a＝0时，原不等式可化为x>1. 当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0. 当a<0时，不等式可化为(x－1)>0， ∵<1，∴x<或x>1. 当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0. 若<1，即a>1，则<x<1； 若＝1，即a＝1，则x∈∅； 若>1，即0<a<1，则1<x<. 综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，原不等式的解集为；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a>1时，原不等式的解集为. 17.【2025·河北·期末考试】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 【答案】. 【解析】由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6a<0，故原不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 一元二次函数、方程和不等式 一、选择题 1. 【2025·全国二卷·高考真题】 不等式 的解集是（ ） A. {x | -2 ≤ x < 1} B. {x | x ≤ -2} C. {x | -2 ≤ x ≤ 1} D. {x | x > 1} 2. 【2025·四川德阳·二模】 已知集合 A = {x | x² - 3x + 2 ≤ 0}，集合 B = {x | x² + x - 2 < 0}，则 A ∩ B =（ ） A. [-2, 3] B. (1, 2] C. (-1, 2] D. ∅ 3. 【2025·北京海淀·二模】 设 a, b, c ∈ R，abc ≠ 0，且 a > b > c，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ≥ 2 B. ≥ 2 C. a + b > 2c D. a + b > c 4. 【2025·山东菏泽·二模】 已知 a > b > 0，则下列不等式中正确（ ） A. a² > b² B. C. a - b > a + b D. < 5. 【2025·天津·高考真题】 某工厂生产甲、乙两种产品，生产1吨甲产品需耗煤4吨、电力2千瓦时；生产1吨乙产品需耗煤3吨、电力5千瓦时。现有煤120吨、电力100千瓦时。设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则满足条件的不等式组为（ ） A. 4x + 3y ≤ 120, 2x + 5y ≤ 100, x ≥ 0, y ≥ 0 B. 4x + 3y ≥ 120, 2x + 5y ≥ 100, x ≥ 0, y ≥ 0 C. 4x + 2y ≤ 120, 3x + 5y ≤ 100, x ≥ 0, y ≥ 0 D. 3x + 4y ≤ 120, 5x + 2y ≤ 100, x ≥ 0, y ≥ 0 6. 【2025·广东·一模】 已知实数 a, b 满足 a + b = 4，ab = 3，则下列不等式成立的是（ ） A. a² + b² ≥ 10 B. a² + b² ≤ 10 C. a² + b² = 10 D. a² + b² > 16 7. 【2025·河北衡水·模拟预测】 若 a > 0, b > 0，且 a + b = 1，则下列不等式中正确的是（ ） A. ab ≥ B. ab ≤ C. a² + b² ≤ D.+ ≤ 4 8. 【2025·全国·模拟预测】 某学校计划用不超过2000元的资金购买A、B两种图书，A种图书每本30元，B种图书每本20元，且A种图书至少买10本，B种图书至少买20本。设购买A种x本、B种y本，则下列不等式组正确的是（ ） A. 30x + 20y ≤ 2000, x ≥ 10, y ≥ 20 B. 30x + 20y ≥ 2000, x ≥ 10, y ≥ 20 C. 30x + 20y ≤ 2000, x ≤ 10, y ≤ 20 D. 20x + 30y ≤ 2000, x ≥ 10, y ≥ 20 9. 【2025·北京·高考真题】 已知 a > 0, b > 0，则下列不等式中正确（ ） A. a + b ≥ 2 B. a + b ≤ 2 C. + ≥ D.+ ≤ 二、填空题 10. 【2025·上海·高考真题】 不等式 ≤ 0 的解集为________。 11. 【2025·全国·模拟预测】 已知 x > 0, y > 0，且 2x + y = 4，则 xy 的最大值为________。 12. 【2025·河北衡水·模拟预测】 已知 a, b ∈ R，且 a² + b² = 1，则 a + b 的最大值为________。 13. 【2025·广东大湾区·一模】 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为x万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买________吨。 14. 【2025·全国·二模】 若关于x的不等式 x² - ax + 1 > 0 对一切 x ∈ R 恒成立，则实数a的取值范围是________。 三、解答题 15. 【2025·广东大湾区·一模】 某工厂要建造一个容积为48m³的长方体无盖水池，池底每平方米造价为120元，池壁每平方米造价为80元。设水池底面一边长为xm，另一边长为ym。 （1）用x,y表示总造价W； （2）若水池深度为3m，求总造价W的最小值。 16.【2025·广东·月考】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 17.【2025·河北·期末考试】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集． 学科网（北京）股份有限公司 $