精品解析：广东深圳高级中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题

2024-2025学年深圳高级中学高二上数学第二次月考试卷 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若过，两点的直线的倾斜角为，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点间斜率公式，结合斜率与倾斜角的关系可得解. 【详解】过，两点的直线的斜率， 又直线的倾斜角为，即， 所以，解得， 故选：A. 2. 圆心为，且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆与直线相切可求得r的值，进而可求得圆的方程. 【详解】由题意知，， 所以所求圆的方程为. 故选：B. 3. 直线，，若两条直线平行，则实数（ ） A. B. 1 C. 3 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件，列式求解即可. 【详解】因为，， 由可得且， 解得， 故选：C. 4. 已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系，结合圆心到直线距离与半径的大小关系进行判断即可. 【详解】∵点是圆内不同于原点的一点， ， ∵圆心到直线的距离， 故直线和圆相离. 故选：C 5. 已知、，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设直线与线段交于点，其中，利用斜率公式可求得的取值范围. 【详解】设直线与线段交于点，其中， 所以，. 故选：A. 6. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的对称性得出圆心在直线上，求出圆心坐标代入直线方程计算并检验即可. 【详解】由题意可知，， 且圆心在直线上，代入直线方程得（舍去） 或. 故选：C 7. 已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若圆上有4个点到直线的距离等于1，则到直线的距离小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】由圆的方程，可得圆心为原点，半径为2， 若圆上有4个点到直线的距离等于1，则到直线的距离小于1， 又直线的一般方程为， ，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 8. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的方程得到直线恒过定点，根据曲线的方程曲线表示半圆，然后结合图形求的范围即可. 【详解】直线恒过定点， 曲线的方程可整理为，， 所以曲线表示以为圆心，半径为1的半圆，图象如下所示： ，为两种临界情况，由题意得，则， 令圆心到直线的距离，解得，则， 所以当时，直线与曲线有两个不同的交点. 故选：A. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线与两坐标轴围成的三角形面积为 C. 点到直线的距离为2 D. 直线关于轴对称的直线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由斜率与倾斜角的关系可判断A；求出直线与坐标轴的截距可判断B；由点到直线的距离公式可判断C；由点关于轴对称的特征，代入求解可判断D 【详解】对于A：因为直线：的斜率为， 所以直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：令，则；令，则； 所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故B错误； 对于C：点到直线的距离为，故C正确； 对于D：设在直线关于轴对称的直线上， 则关于轴对称点在直线上， 则有，即， 所以直线关于轴对称的直线方程为，故D正确； 故选：ACD 10. 已知直线与圆：，则下述正确的是（ ） A. 对，直线恒过一定点 B. ，使得直线与圆相切 C. 对，直线与圆一定相交 D. 直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由直线方程确定其所过的定点坐标，判断该定点与圆的位置关系即可判断A、B、C；根据直线与圆相交弦长最短，只需定点与圆心的连线与已知直线垂直，几何法求最短弦长判断D. 【详解】由题设，令， 所以直线恒过定点，A对； 又的标准式为，显然， 所以点在圆内，故直线与圆必相交，B错，C对； 要使直线与圆相交弦长最短，只需定点与圆心的连线与已知直线垂直， 此时定点与直线距离为，又圆的半径为2，则最短相交弦长为，D对. 故选：ACD 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有4条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离不超过5 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可. 【详解】曲线, 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 当时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示， 对于A：由图可知曲线围成的图形有4条对称轴，故A正确； 对于B：曲线由4个半圆组成，其周长为，故B正确； 对于C：由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C错误； 对于D：到直线的距离， 而到直线的距离为，由圆的性质得曲线上一点到直线的距离最小为， 故的最小值为，故D正确； 故选：ABD 三､填空题：本大题共3小题，每小题6分，共15分. 12. 已知点，到直线的距离相等，则实数的值为_______ 【答案】或 【解析】 【分析】利用点到直线的距离求解. 【详解】因为点，到直线的距离相等， 所以， 解得或， 故答案为：或 13. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，则该三角形的欧拉线方程为_____________． 【答案】． 【解析】 【分析】 根据的顶点为，求得重心坐标，设的外心的坐标，由求得坐标，然后写出欧拉线方程. 【详解】因为的顶点为， 所以重心， 设的外心为， 则，即， 解得， 所以． 所以该三角形的欧拉线方程为， 即：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查三角形外心，重心以及直线方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14. 已知，，动点P在直线上.则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】借助线段和的几何意义求解即可. 【详解】设关于直线对称对称点坐标为， 则，解得，即， ， 所以的最小值为. 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线的方程为，若直线过点，且. （1）求直线方程； （2）已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上截距的倍，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知可设直线的方程为.代入点的坐标，求解即可得出答案； （2）联立直线与直线的方程得出交点坐标.进而分为直线过原点以及不过原点两种情况，设出直线方程，代入交点坐标，求解即可得出答案. 【小问1详解】 由已知以及直线的方程，可设直线的方程为. 直线过点，所以有，解得， 所以，直线的方程为. 【小问2详解】 联立直线与直线的方程，可得， 所以，直线与直线的交点为. 当直线过原点时，设方程为，代入点可得， 所以，直线的方程为，即； 当直线不过原点时，由已知可设直线方程为， 代入点可得，，解得， 代入直线方程，整理可得. 综上所述，直线的方程为或. 16. 已知两直线， （1）求直线和的交点的坐标； （2）若过点作圆的切线有两条，求的取值范围； （3）若直线与，不能构成三角形，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立直线方程，解方程组，即得答案； （2）根据点在圆外可得不等式，即求得答案； （3）讨论直线与，不能构成三角形的情况即为或或过点P，由此可求得a的值. 【小问1详解】 联立方程组， 即直线和的交点的坐标； 【小问2详解】 由题意知点在圆外，，； 【小问3详解】 若直线与，不能构成三角形， 则或或过点P， 当时，则，满足题意； 当时，，满足题意； 当过点P时，， 故实数的值为. 17. 已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. （1）求外接圆的方程； （2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； （3）若直线与圆相交于，两点，求面积的最大值，并求出直线的斜率. 【答案】（1） （2）或 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法可得圆的方程； （2）根据直线方程，根据垂径定理可得圆心到直线的距离，进而可得直线方程； （3）由，可得当时面积最大，即此时为等腰直角三角形，进而可得圆心到直线的距离，根据点到直线距离公式可得解. 【小问1详解】 设圆的方程为，， 则，解得， 则圆的方程为， 即； 【小问2详解】 由（1）得圆心，半径， 又，可知圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，成立； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离， 解得，则直线方程为，即； 综上，直线方程为或. 【小问3详解】 由在圆外， 则在中，，， 又， 则当，即时，取得最大值为， 此时为等腰直角三角形， 即圆心到直线的距离， 即， 解得. 18. 已知，，，且，点． （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值； （3）求的最大值和最小值． 【答案】（1）最大值为，最小值为； （2）最大值为，最小值为0； （3）最大值，最小值为. 【解析】 【分析】（1）由求出点轨迹，结合两点间距离即可求； （2）将问题转化为直线与圆有交点问题，结合点到直线的距离公式计算； （3）将问题转化为直线与圆相切问题，结合点到直线的距离公式计算. 【小问1详解】 由题意，因为， 所以， 整理得， 所以点的轨迹为以为圆心，6为半径的圆. 所以点到的距离为， 所以的最小值为，最大值为. 【小问2详解】 设，则 ， 由题意与有交点， 所以， 解得， 所以的最大值为，最小值为0. 【小问3详解】 设，则 当直线与圆相切时，截距取到最值， 所以，解得或， 所以的最大值为，最小值为. 19. 在平面直角坐标系中，圆的方程，设直线的方程为 （1）若过点直线与圆相切，求切线的方程； （2）已知直线l与圆C相交于A，B两点．若是的中点，求直线l的方程； （3）当时，点在直线上，过作圆的切线，切点为，问经过的圆是否过定点？如果过定点，求出所有定点的坐标. 【答案】（1）或 （2） （3）恒过定点，， 【解析】 【分析】（1）讨论切线斜率是否存在，存在时，设出切线方程，利用圆心到直线距离等于半径，即可求得斜率，可得答案； （2）设，可得B点坐标，代入圆的方程，求得A点坐标，即可得答案； （3）由题意可表示出经过的圆，分离参数，结合解方程组，即可求得答案. 【小问1详解】 当直线l斜率不存在时，直线方程为，符合题意； 当直线l斜率存在时，设为，即， 由于直线l与圆相切，故圆心到直线的距离为， ，即， ，则直线l的方程为， 综上，符合条件的直线有2条，分别为或. 【小问2详解】 设，则， ，解得或 ， 即或 即的斜率， 则直线l的方程为. 【小问3详解】 当时，，设， 由于过作圆的切线，切点为，故, 过P，M，C的圆即为以CP为直径的圆，其方程为：， 即 由于，故令，解得或， 故经过的圆恒过定点，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年深圳高级中学高二上数学第二次月考试卷 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若过，两点的直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 2. 圆心为，且与直线相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 直线，，若两条直线平行，则实数（ ） A. B. 1 C. 3 D. 或3 4. 已知点在圆内，则直线与圆位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 5. 已知、，直线过定点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知圆关于直线对称，则实数（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 8. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线：，则（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线与两坐标轴围成的三角形面积为 C. 点到直线距离为2 D. 直线关于轴对称的直线方程为 10. 已知直线与圆：，则下述正确的是（ ） A. 对，直线恒过一定点 B. ，使得直线与圆相切 C. 对，直线与圆一定相交 D. 直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成图形有4条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离不超过5 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 三､填空题：本大题共3小题，每小题6分，共15分. 12. 已知点，到直线的距离相等，则实数的值为_______ 13. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，则该三角形的欧拉线方程为_____________． 14. 已知，，动点P在直线上.则的最小值为______. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知直线的方程为，若直线过点，且. （1）求直线的方程； （2）已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上截距的倍，求直线的方程. 16. 已知两直线， （1）求直线和的交点的坐标； （2）若过点作圆的切线有两条，求的取值范围； （3）若直线与，不能构成三角形，求实数的值. 17. 已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. （1）求外接圆的方程； （2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线方程； （3）若直线与圆相交于，两点，求面积的最大值，并求出直线的斜率. 18. 已知，，，且，点． （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值和最小值； （3）求的最大值和最小值． 19. 在平面直角坐标系中，圆的方程，设直线的方程为 （1）若过点的直线与圆相切，求切线的方程； （2）已知直线l与圆C相交于A，B两点．若是的中点，求直线l的方程； （3）当时，点在直线上，过作圆的切线，切点为，问经过的圆是否过定点？如果过定点，求出所有定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $