2.3 2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

2．3．3　点到直线的距离公式

2．3．4　两条平行直线间的距离

学习目标　1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与逻辑推理素养．(重点)　2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点、难点)　3.理解两条平行线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离，以提升数学抽象、数学运算能力．(难点)

 

巴塞罗那作为欧洲著名的旅游城市，这里的房子几乎都是规整的方形，街道之间几乎都是平行的，因为这样的规划，加上这里的人口不多，所以堵车在这里是不存在的事．穿梭在不同的街区之间，通过步行就可以丈量这座城市的宽度，欣赏这座城市的风情万种．

问题1　你能求出从街道边的一座房子到第二条街道之间的距离吗？

提示：可以，详细方法可参考课时探究任务．

问题2　你能求出从第一条街道到第二条街道之间的距离吗？

提示：可以，详细方法可参考课时探究任务．

【自主评测】

1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P74～75，分析思考： 能不能直接用直线的斜截式方程求点到直线的距离？

提示：不能，必须先化成一般式，再代入公式求距离．

(2)请认真阅读教材P78，分析思考： 当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，两条平行直线间的距离如何求？

提示：①两条直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；

②两条直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.

2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”．

(1)当点P在直线l上时，点到直线的距离为0，不能使用点到直线的距离公式．(　　 )

(2)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.(　　 )

(3)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.(　　 )

(4)两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的线段的长．(　　 )

(5)求两条平行直线间的距离可转化为求点到直线的距离．(　　 )

(6)两条平行直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，b1≠b2间的距离d＝.(　　 )

(7)两条直线2x＋2y＝m与x＋y＝2n的距离为.(　　 )

提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√  (6)√　(7)×

　点到直线的距离　　

在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.

问题3　如何建立数学模型，解决仓库到铁路的最短距离？

提示：如图，平面直角坐标系中，把铁路抽象为直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，仓库抽象为点P(x0，y0)，就转化为求出点P到直线l的最短距离．

问题4　如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，具体怎样求出点P到直线l的距离呢？

提示：点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，

过点P作直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为，

∴l′的方程为y－y0＝(x－x0)，与l联立方程组，

解得交点Q(，)，∴|PQ|＝.

点到直线的距离公式：d＝．

温馨提示

(1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.

 

例1　(链接教材：人A版教材P77例5)点P(5，－1)到直线＋＝1的距离为________，到直线x＝2的距离为________．

解析：把直线＋＝1化为一般式，得4x＋3y－12＝0，所以点P(5，－1)到直线＋＝1的距离为＝1，到直线x＝2的距离为5－2＝3.

答案：1　3

 

类题通法

求点到直线距离时，先把直线化成一般式方程，再套用点到直线的距离公式.

 

【迁移运用】 1.(1)原点到直线x＋2y－5＝0的距离为________．

解析：d＝＝.

答案：