2.3 2.3.3　点到直线的距离公式 2.3.4　两条平行直线间的距离-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

本讲义聚焦点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离公式，前承直线方程的一般式等基础，后接几何问题中的距离应用，通过现实情境、自主评测搭建学习支架，引导学生从实际问题抽象数学模型。 资料以巴塞罗那街道、铁路仓库等情境培养数学眼光，通过坐标法与向量法推导公式发展逻辑推理，例题分层设计提升数学运算能力。课中助力教师情境教学，课后自主评测与迁移运用帮助学生查漏补缺。

2．3．3　点到直线的距离公式 2．3．4　两条平行直线间的距离 学习目标　1.经历用坐标法、向量法推导点到直线的距离公式的运算过程，发展数学运算与逻辑推理素养．(重点)　2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点、难点)　3.理解两条平行线间的距离公式的推导，会求两条平行直线间的距离，以提升数学抽象、数学运算能力．(难点) 巴塞罗那作为欧洲著名的旅游城市，这里的房子几乎都是规整的方形，街道之间几乎都是平行的，因为这样的规划，加上这里的人口不多，所以堵车在这里是不存在的事．穿梭在不同的街区之间，通过步行就可以丈量这座城市的宽度，欣赏这座城市的风情万种． 问题1　你能求出从街道边的一座房子到第二条街道之间的距离吗？ 提示：可以，详细方法可参考课时探究任务． 问题2　你能求出从第一条街道到第二条街道之间的距离吗？ 提示：可以，详细方法可参考课时探究任务． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P74～75，分析思考： 能不能直接用直线的斜截式方程求点到直线的距离？ 提示：不能，必须先化成一般式，再代入公式求距离． (2)请认真阅读教材P78，分析思考： 当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，两条平行直线间的距离如何求？ 提示：①两条直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|； ②两条直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|. 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)当点P在直线l上时，点到直线的距离为0，不能使用点到直线的距离公式．(　　 ) (2)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.(　　 ) (3)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.(　　 ) (4)两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的线段的长．(　　 ) (5)求两条平行直线间的距离可转化为求点到直线的距离．(　　 ) (6)两条平行直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，b1≠b2间的距离d＝.(　　 ) (7)两条直线2x＋2y＝m与x＋y＝2n的距离为.(　　 ) 提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√ (6)√　(7)× 　点到直线的距离　　 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知，从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P. 问题3　如何建立数学模型，解决仓库到铁路的最短距离？ 提示：如图，平面直角坐标系中，把铁路抽象为直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，仓库抽象为点P(x0，y0)，就转化为求出点P到直线l的最短距离． 问题4　如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，具体怎样求出点P到直线l的距离呢？ 提示：点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图， 过点P作直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为， ∴l′的方程为y－y0＝(x－x0)，与l联立方程组， 解得交点Q(，)，∴|PQ|＝. 点到直线的距离公式：d＝． 温馨提示 (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. 例1　(链接教材：人A版教材P77例5)点P(5，－1)到直线＋＝1的距离为________，到直线x＝2的距离为________． 解析：把直线＋＝1化为一般式，得4x＋3y－12＝0，所以点P(5，－1)到直线＋＝1的距离为＝1，到直线x＝2的距离为5－2＝3. 答案：1　3 类题通法 求点到直线距离时，先把直线化成一般式方程，再套用点到直线的距离公式. 【迁移运用】 1.(1)原点到直线x＋2y－5＝0的距离为________． 解析：d＝＝. 答案： (2)点P(3，－2)到直线y＝6的距离为______；到直线y＝x＋的距离为_____． 解析：因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝. 答案：8　 　点到直线的距离公式的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 问题5　同学们，思考一下过点(1，3)且与原点的距离为1的直线共有几条？ 提示：显然直线x＝1过点(1，3)且与原点的距离为1；再设直线方程为y－3＝k(x－1)，由＝1得k＝，所以直线方程为4x－3y＋5＝0，因此满足条件的直线有两条． 角度一　求参数和直线方程 例2　(1)过点M(－2，1)，且与点A(－1，0)，B(3，0)的距离相等的直线的方程是(　　 ) A．x＋3y－1＝0 　 B．y＝1 C．x＋3y－1＝0或y＝1 　 D．x＝－2或y＝1 解析：选C.由题意得满足条件的直线的斜率存在，所以可设所求直线的方程为y＝k(x＋2)＋1， 即kx－y＋2k＋1＝0，因为该直线与点A(－1，0)，B(3，0)的距离相等， 所以＝，|k＋1|＝|5k＋1|，所以k＝0或k＝－， 所以所求直线的方程为y＝1或x＋3y－1＝0. (2)(链接教材：人A版教材P77练习T3)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________． 解析：点P到直线4x－3y－1＝0的距离为＝.又≤3， 所以|15－3a|≤15，解得0≤a≤10， 所以a的取值范围是[0，10]. 答案：[0，10] 类题通法 1．若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可． 2．根据距离求方程时先设出方程，然后由题意列方程求参数，也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l的特征，然后由已知条件写出l的方程. 【迁移运用】 2.(1)已知点P(3，1)到直线l：x＋ay－3＝0的距离为，则a＝________． 解析：由点到直线的距离公式得＝，解得a＝±. 答案：± (2)求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1，0)的距离是的直线l的方程． 解：设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知d＝＝＝.所以|m－3|＝6，即m－3＝±6， 得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0. 角度二　在几何问题中的应用 例3　(链接教材：人A版教材P77例6)如图，在△ABC中，A(5，－2)，B(7，4)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上． (1)求点C的坐标； (2)求△ABC的面积． 解：(1)设点C的坐标为(x，y). 根据AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，可得 解得所以点C的坐标是(－5，－4). (2)因为A(5，－2)，B(7，4)， 所以|AB|＝＝2，kAB＝＝3， 所以直线AB的方程为y＋2＝3(x－5)，即3x－y－17＝0， 所以点C到直线AB的距离d＝＝，所以△ABC的面积为|AB|·d＝×2×＝28. 类题通法 距离公式在几何中的应用 利用两点间的距离公式可以求几何图形的边长，利用点到直线的距离公式可以求几何图形的高. 【迁移运用】 3.已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A(－2，－1)，B(4，1)，C(2，3). (1)求AD所在的直线方程； (2)求平行四边形ABCD的面积． 解：(1)因为四边形ABCD为平行四边形，则AD∥BC， 则kAD＝kBC＝＝－1. 所以AD所在的直线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋y＋3＝0. (2)BC所在的直线方程为y－1＝－(x－4)，即x＋y－5＝0， 且|BC|＝＝2， 点A到BC的距离d＝＝4， 所以平行四边形ABCD的面积为2×4＝16. 　两条平行直线间的距离 如图，a，b是两根互相平行的水管，由于工程需要，现在要用一根水管把它们接通．这是设计草图． 问题6　你认为选用哪根水管更节约材料？ 提示：两条平行线a，b之间，垂直于这两条平行线的线段CE最短，我们把这条线段的长度叫做两条平行线之间的距离． 问题7　已知两条平行直线l1，l2的方程，如何求l1与l2间的距离？ 提示：根据两条平行直线间距离的含义，如图，在直线l1上取任一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行直线间的距离就转化为求点到直线的距离． 问题8　怎样求两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离？ 提示：在直线Ax＋By＋C1＝0上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C2＝0的距离，就是这两条平行直线间的距离即d＝， 因为点P(x0，y0)在直线Ax＋By＋C1＝0上， 所以Ax0＋By0＋C1＝0， 即Ax0＋By0＝－C1， 因此d＝＝＝. 1．两条平行直线间的距离：指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝. 温馨提示 (1)两平行直线间的距离可以转化为点到直线的距离． (2)运用两平行直线间的距离公式时，必须保证两直线方程中x，y的系数分别对应相同. 角度一　求两条平行直线间的距离 例4　(1)(链接教材：人A版教材P78例7)若倾斜角为45°的直线m被直线l1：x＋y－1＝0与l2：x＋y－3＝0所截得的线段为AB，则AB的长为(　　 ) A．1 B． C． D．2 解析：选B.由题意，可得直线m与直线l1，l2垂直，则由两平行线间的距离公式得|AB|＝＝. (2)已知两条直线l1：2x－4y＋7＝0，l2：x－2y＋5＝0.求l1，l2间的距离． 解：l1：2x－4y＋7＝0即x－2y＋＝0， 所以l1，l2间的距离为d＝＝＝. 类题通法 求两条平行直线间距离的两种方法 (1)转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (2)公式法：设直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则两条平行直线间的距离d＝. 【迁移运用】 4.(1)已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(　　 ) A．1 B．2 C． D．4 解析：选A.由两条直线平行可得＝，解得m＝24. 则直线10x＋24y＋20＝0，即5x＋12y＋10＝0， 由两条平行直线间的距离公式得d＝＝1. (2)若两条平行直线2x＋y－4＝0与y＝－2x－k－2间的距离不大于，则k的取值范围是(　　 ) A．[－11，－1] B．[－11，0] C．[－11，－6)∪(－6，－1] D．[－1，＋∞) 解析：选C.y＝－2x－k－2可化为2x＋y＋k＋2＝0.由题意得＝≤，且k＋2≠－4， 所以－11≤k≤－1，且k≠－6， 即k∈[－11，－6)∪(－6，－1]. 角度二　平行直线间距离的最值问题 例5　 已知直线l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________． 解析：当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大． 因为A(1，1)，B(0，－1). 所以kAB＝＝2， 所以两条平行直线的斜率为－， 所以直线l1的方程为y－1＝－(x－1)， 即x＋2y－3＝0. 答案：x＋2y－3＝0 类题通法 应用数形结合思想求最值 (1)解决此类题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决． (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到，当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围. 【迁移运用】 5.若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上，则AB的中点M到原点的距离的最小值为________． 解析：依题意知l1∥l2，故点M所在的直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0(－7<m<－5)，根据平行线间的距离公式，得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为＝3. 答案：3 1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　 ) A．1 B． C．2 D． 答案：D 2．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是(　　 ) A．3 B． C．1 D． 解析：选B.点P(1，－1)到直线l的距离d＝＝. 3．(多选)已知点M(1，4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于(　　 ) A．0 B． C．3 D．2 解析：选AB.点M到直线l的距离d＝＝3，所以m＝0或. 4．(多选)直线l经过点P(－2，1)且点A(－2，－1)到直线l的距离等于1，则直线l的方程可以是(　　 ) A．x－y＋1＋2＝0 B．－x－y＋1－2＝0 C．－x＋y＋1－2＝0 D．x－y＋1＋2＝0 解析：选AB.由题意可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，整理得kx－y＋2k＋1＝0，因为点A(－2，－1)到直线l的距离为1，由公式＝1，得k＝±.所以直线l的方程为x－y＋1＋2＝0或－x－y＋1－2＝0. 投影向量 (链接教材P76“思考”栏目) 向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，如图，怎样用向量方法求点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离呢？ 名师点拨　 设M(x，y)是直线l上的任意一点，n是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则是在n上的投影向量，||＝|·n|＝. 【解题步骤】 可以看作在直线l的垂线上的投影向量，直线l：Ax＋By＋C＝0(AB≠0)的斜率为－，所以m＝(B，－A)是它的一个方向向量． (1)由向量的数量积运算可求得与直线l垂直的一个单位向量n＝(A，B). (2)在直线l上任取点M(x，y)，可得向量＝(x－x0，y－y0). (3)|PQ|＝||＝|·n|＝. 学科网（北京）股份有限公司 $