精品解析：辽宁沈阳市第一二0中学2025-2026学年高一下学期期末质量监测数学试卷

沈阳市第120中学2025－2026学年度下学期 高一年级期末质量监测 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知 (为虚数单位)，则复数的共轭复数等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由复数的运算法则，化简复数，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，复数满足，即， 所以复数的共轭复数等于，故选A． 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 2. 已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，判断选项. 【详解】，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线， 对于，若，，则由线面垂直的性质得，故A错误； 对于B，若，，则与相交、平行或异面，故B错误； 对于C，若，，，则由线面平行的性质得，故C正确； 简单证明：如图，，过的一个平面与交于，则同理，，则， ，则，，，则，所以. 对于D，若，，，则与相交，故D错误． 故选：C． 3. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象， 所以， 所以. 4. 为圆锥底面圆的直径，，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知底面圆心为，是底面半径，因此， 圆锥的高底面，故是直角三角形， 由勾股定理得母线长， . 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用和差倍角的余弦公式进行求解计算即可. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以. 故选：C. 6. 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，且，当时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，根据条件得到，利用数量积的几何意义，即可求出结果. 【详解】因为， 如图，取中点，又，所以，即， 结合平面向量数量积的几何意义，又，得到， 故选：B. 7. 已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正四棱台存在内切球的条件求出正四棱台的高，再代入正四棱台的体积公式计算体积. 【详解】 正四棱台存在内切球，取,,,的中点，分别为,，,点，上底面与球相切的点为点，由此获得一个含内切圆的等腰梯形截面图，如上图所示，而梯形有内切圆的充要条件：上底下底两腰之和； ，，则，则梯形的高，此时梯形的高即为正四棱台的高，而正四棱台的体积公式：，为上底面的面积，，为下底面的面积，，将其均代入中，可得. 故选：D 8. 已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断为奇数，由在，单调，分在单调递增、单调递减两种情况，分别求得的最大值，综合可得它的最大值． 【详解】函数，，为的零点，为图象的对称轴， ，，且，， 相减可得，，即，即为奇数． 在单调， ①若在单调递增， 则，且，， 即①，且，②， 把①②可得：，，故有奇数的最大值为11． 当时，，，，． 此时在上不单调，不满足题意． 当时，，，，， 此时在上单调递减，不满足题意； 故此时无解． ②若在单调递减， 则，且，， 即③，且，④， 把③④可得：，，故有奇数的最大值为11． 当时，，，，． 此时在上不单调，不满足题意． 当时，由①在上单调递减，满足题意； 故的最大值为9． 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则与的夹角为钝角 C. 若为非零向量，则与同向 D. 在等边三角形中，与的夹角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据相等向量的定义即可判断A；举出反例即可判断B；根据的意义即可判断C；根据向量夹角的定义即可判断D. 【详解】对于A，由，得同向且模相等， 由，得同向且模相等， 所以同向且模相等，所以，故A正确； 对于B，若与的夹角为，则，故B错误； 对于C，表示与同向的单位向量，故C正确； 对于D，在等边三角形中，， 则与的夹角为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则一定为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若的平分线交AC于点，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A，因为，即，所以有， 整理可得，所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B，若为锐角三角形，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故B正确； 选项C，如图，若有两解，则，所以，则b的取值范围是，故C正确； 选项D，的平分线交于点D，，由， 由角平分线性质和三角形面积公式得，即，故D正确. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是线段，上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则直线与直线的夹角为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 存在，使得平面 D. 若，则三棱锥外接球的表面积为8π 【答案】ABC 【解析】 【分析】当时，分别为的中点，所以也是的中点.利用中位线定理及异面直线所成的角的定义求出直线与直线的夹角，判断A；将三棱锥体积表示成的函数，根据二次函数的最值求法求得三棱锥体积的最大值，判断B；当时，易得平面，可判断C正确；当时，求得三棱锥的外接球表面积，判断D. 【详解】对A，因为，所以 当时，分别为的中点，所以也是的中点. 过M作于Q，连接，则，所以. 因为，所以直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即. 又因为，所以，故A正确. 对B，过M作于Q， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， 又， 所以三棱锥体积， 当时，，故B正确. 对C，当时，是的中点，所以也是的中点. 因为是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面，故C正确. 对D，当时，，故Q为的中点， 又N为的中点，所以，， 所以Q到A，B，M，N的距离都为1， 即三棱锥外接球的球心为Q，球半径为1，所以外接球表面积，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是单位向量，，若，则的最大值是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求出，进而求出，再利用向量加法的三角不等式求出最大值. 【详解】由及， 将两边平方得， 则，，而， 所以，当且仅当向量与反向共线时取等号， 所以的最大值是. 故答案为： 13. 著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】将2sin18°替换t代入所求值的式子中，利用三角变换公式化简即得. 【详解】因t=2sin18°，则有 . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：含非特殊角三角函数式求值问题，合理选择诱导公式、同角三角函数基本关系、和差角的三角函数公式，二倍角公式等三角变换公式，借助通分、约分，合并等方法解决. 14. 享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下．如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高为，在地面上点处（、、三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度为________． 【答案】 【解析】 【分析】在中求出的长，然后在中利用正弦定理可求出的长，最后在中可求出的长，即为所求. 【详解】在中，，，，所以， 在中，，， 所以， 由正弦定理可得， 所以， 在中，，， 所以，故黄鹤楼的高度为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，． （1）若，求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可知：，，进而可求和其模长； （2）整理可得，结合复数的几何意义运算求解. 【小问1详解】 由题可知：，，则， 所以． 【小问2详解】 由题意可知：， 因为复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得， 故实数m的取值范围为． 16. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件结合向量垂直的表示及向量坐标运算公式列方程求，再由向量的模的坐标公式求结论； （2）由条件，结合向量平行的坐标表示列方程求，由此可得，再求，，，再由向量夹角坐标公式求结论. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，又，， 所以， 所以， 所以， 所以， 即； 【小问2详解】 因为，，， 所以，又， 所以， 所以，所以， 所以，，， 设与夹角为， 所以， 所以与夹角的余弦值为. 17. 已知，，函数． （1）求函数的解析式和单调增区间； （2）当时，求函数的最小值和最大值以及对应的值． 【答案】（1），单调增区间为． （2）当时，取得最小值；当时，取得最大值． 【解析】 【分析】代入计算得到函数解析式，再根据正弦函数单调性计算即可； 令，求出t范围，再计算最值即可. 【小问1详解】 已知， 又，， 所以 由，，解得 故，单调增区间为． 【小问2详解】 令，因为， 所以，， 在时取，即当时， 为最小值，对应当时， 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点． （1）证明：平面平面； （2）已知二面角的平面角的余弦为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）本题可连接，然后通过勾股定理得出，通过是的中点得出，再然后根据平面得出，最后根据线面垂直的判定以及面面垂直的判定即可得出结果； （2）本题首先可确定是二面角的平面角，然后根据得出，，再然后确定是与平面所成角，最后通过即可得出结果. 【详解】（1）如图，连接， 因为，，，所以， 因为是的中点，所以， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）由题易知，，，， 因为平面，平面，所以， 因为，所以是二面角的平面角， 因为二面角的平面角的余弦为，所以， 因为平面，所以，，解得，， 因为平面，所以是与平面所成角， 则，与平面所成角的正弦值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查面面垂直的证明以及线面所成角的求法，能否确定面面角以及线面角所对应的平面角是解决本题的关键，考查线面垂直的判定，考查数形结合思想，是难题. 19. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中． （1）若，求的值； （2）当取最大值时，记，求M； （3）在（2）的条件下设，若时，对于任意的均有恒成立，求t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式化简已知得，然后利用正弦定理并用两角和的正弦公式化简得，最后利用余弦定理求解即可； （2）当取最大值时最小，利用基本不等式求得的最小值，然后利用同角三角函数关系求解，即可得解； （3）将已知问题转化为，恒成立，设，利用正切函数的单调性求得，即，解不等式即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 在中由正弦定理得：， 则， 所以，即，由正弦定理得． 由及余弦定理得； 【小问2详解】 由得A为锐角，则当最大时最小， 所以 当且仅当时，即时取最小值，此时， 故； 【小问3详解】 ，则恒成立， 因为，所以，恒成立， 设，当时，是增函数，则， 又，设，则，解得， 所以，因为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市第120中学2025－2026学年度下学期 高一年级期末质量监测 数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知 (为虚数单位)，则复数的共轭复数等于 A. B. C. D. 2. 已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 3. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 4. 为圆锥底面圆的直径，，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，且，当时，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知在正四棱台中，，若此正四棱台存在内切球，则此正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 7 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列叙述正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则与的夹角为钝角 C. 若为非零向量，则与同向 D. 在等边三角形中，与的夹角为 10. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则一定为等腰三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，且有两解，则的取值范围是 D. 若的平分线交AC于点，则 11. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是线段，上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则直线与直线的夹角为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 存在，使得平面 D. 若，则三棱锥外接球的表面积为8π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是单位向量，，若，则的最大值是_____． 13. 著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则___________. 14. 享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下．如图，某同学为测量黄鹤楼的高度，在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物，高为，在地面上点处（、、三点共线）测得建筑物顶部，黄鹤楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则黄鹤楼的高度为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，． （1）若，求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围． 16. 已知向量，. （1）若，求； （2）若向量，，求与夹角的余弦值. 17. 已知，，函数． （1）求函数的解析式和单调增区间； （2）当时，求函数的最小值和最大值以及对应的值． 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点． （1）证明：平面平面； （2）已知二面角的平面角的余弦为，求与平面所成角的正弦值． 19. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中． （1）若，求的值； （2）当取最大值时，记，求M； （3）在（2）的条件下设，若时，对于任意的均有恒成立，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $