精品解析：辽宁大连市第十二中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

2025-2026学年度下学期高一期末考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 一家披萨店的某圆形披萨的半径为15厘米，以圆心为顶点，将该披萨切出一个扇形块，其弧长为10厘米，则这个扇形披萨所对的圆心角是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用弧度制的扇形圆心角计算公式求解即可． 【详解】已知半径，弧长， 则圆心角． 故选：D． 2. 设复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 则，所以的虚部为. 3. 已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知， 则，解得， 在方向上的投影向量为：． 4. 须弥座又名“金刚座”，是一种古建筑的基座形式，通常用来作为宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高的艺术价值.某古建筑的基座为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧面积为，则该正六棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用台体侧面积求斜高，再由斜高求台体的高，最后利用台体体积公式求体积即可. 【详解】 取上、下底面中心分别为，取一个侧面等腰梯形的上、下中点分别为， 连接，由底面是正六边形性质可得：， 由上底面边长为，下底面边长为，可得， 则， 再由侧面积为，可得， 根据勾股定理得， 所以正六棱台的体积为 ， 故选：B. 5. 如图，在正方体中，是的中点，是的中点，是的中点，直线与平面相交于点，则下列结论不正确的是（ ） A. 三点共线 B. 四点共面 C. 四点共面 D. 四点共面 【答案】D 【解析】 【详解】连接．因为平面， 所以平面．又因为平面， 所以点在平面与平面的交线上， 即三点共线，故A正确； 因为，所以四点共面，又因为三点共线， 所以四点共面，四点共面，故B，C正确； 因为平面，平面， 所以四点不共面，D错误． 6. 如图，在正三棱柱中，为上一点，，，平面将三棱柱截为两部分，则这两部分几何体的表面积之比为（ ） A. B. C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】几何体被截面截完后，分为两个部分，其中上部分的面积由一个正三角形、一个等腰三角形、两个直角梯形和一个正方形构成，下部分是由两个直角三角形、一个等腰三角形和一个正三角形组成的,逐个计算即可求解. 【详解】该几何体被截面截完后，分为两个部分， 其中上部分的面积由一个正三角形、一个等腰三角形、两个直角梯形和一个正方形构成， 下部分是由两个直角三角形、一个等腰三角形和一个正三角形组成的. 为了便于计算，设，，， 中，边上的高， 则上部分几何体的面积， 下部分几何体的面积， 故上下两部分表面积之比为. 故选：A 7. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 【答案】D 【解析】 【分析】对于型函数，可根据图中的最值确定A的值，由图象可确定周期，利用计算，代点计算的值，得到解析式，再根据余弦函数的单调性，对称性等性质整体代换计算判断即可． 【详解】由图可得， 函数的最小正周期， 又，所以， 则，由， 得，解得， 又，所以，故A错误； 由上分析，得， 令， 解得， 故函数的单调递增区间为； 令，解得， 故函数的单调递减区间为， 则函数在区间上单调递减，在上单调递增，故B错误； 因为， 故函数的图象不关于点对称，故C错误； 当时，则， 要使在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，需使，解得，故D正确． 8. 在中，，，且的面积为，则（ ）． A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长到，使得，可得，由可得，进而求得，，在中，由余弦定理求得答案. 【详解】如图，延长到，使得， 由，可得，即，所以， 因为，所以，即，得， 由勾股定理可得，则， 在中，，则， 在中，由余弦定理得， 所以. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则有两解 D. 在中，若，则为直角三角形或等腰三角形. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：结合三角形大角对大边的基本性质，搭配正弦定理的边角互化规则，可直接推导. 选项B：若两个角的正弦值相等，存在两角相等、两角互补两种情况，因此不能直接推出，需考虑的特殊情况. 选项C：对比、、三者的大小关系，即可快速判断解的数量. 选项D：利用三角形内角和定理将转化为，再通过两角和差的正弦公式展开化简，即可判定三角形的形状. 【详解】对选项A：∵ 在中，若，由大角对大边性质得，由正弦定理得（为外接圆半径）， ∴ ，，代入得， 又，∴ ，故A正确. 对选项B：∵ ，且， ∴ 或，即或，故B错误. 对选项C：∵ ，，， ∴ ，满足， 根据三角形解的个数判定规则，此时有两解，故C正确. 对选项D：∵ ，∴ ， 代入等式得：， 展开左边得：， 右边， 移项整理得：， ∴ 或， ∵， ∴ 若，则，为直角三角形； 若，则，为等腰三角形，故D正确. 10. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为4 C. 三棱锥外接球的表面积为 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助侧面积公式计算可得A；借助体积公式结合点位置计算可得B；三棱锥的外接球即为圆锥的外接球，计算出圆锥的外接球半径即可得其体积，即可得C；将平面沿折叠，使得、、、共面，再计算出相应边长与角度，即可计算出的最小值. 【详解】对A：，故A正确； 对B：由题意可得点到平面的距离最大值为底面圆半径，即为， 则，故B错误； 对C：三棱锥的外接球即为圆锥的外接球， 设圆锥的外接球球心为，半径为，画出圆锥的轴截面图如下： 则有，解得， 故，故C正确； 对D：由为圆锥底面圆的直径，则， 又，则，， 又，故为等边三角形， 将平面沿折叠，使得、、、共面，如图： 由为等边三角形，则， 由，，则，故， 由图可得，当且仅当、、三点共线时，有最小值， 即，故D正确. 11. 已知中，，点P为边BC上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（ ） A. 的面积的最大值为 B. 当P为BC中点时， C. 若的面积为面积的，则 D. 若，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义，平面向量数量积的运算律及三角形面积公式即可判断A；由平面向量数量积的运算律即可判断B；由三点共线即可判断C；由平面向量数量积的运算律即可判断D． 【详解】对于A，由已知条件，得， 由，得， 平方得，得，． ， 由，得，则， 所以，故A正确． 对于B，当为中点时，， 则，故B正确． 对于C，由在上，设且，则与面积比等于， 由得，故C正确． 对于D，若，则，结合，得，为等边三角形． ,， 则 ， 当时，取得最小值，故D错误． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，向量，，若，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示即可求得结果. 【详解】由已知得， 解得或，又，所以， 故答案为： 13. 设，若函数在区间上的最大值为，则 _____. 【答案】## 【解析】 【分析】由可求得，分析函数在上的单调性，结合可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 14. 设中角所对的边分别为，，，为边上的中线；已知且，．则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意利用正、余弦定理分析可得，由结合数量积相关运算整理得关于的方程，运算求解即可. 【详解】因为，且， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得：，整理得， 又因为D为中点，所以，设的夹角为θ， 则 ， 即， 且， 因为，则为锐角，可知， 可得，解得或（舍去） 所以， 整理得，解得或， 且，即，所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：对于等分点问题，常利用向量的线性运算以及数量积建立关系，运算求解即可. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知，，，，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积及两角差的余弦公式可得，由及两角差的正弦公式，可得，从而得，由同角的平方关系求解即可； （2）结合（1）可求得，，由两角和的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 由题知， 由，结合已知， 可得， 所以， 又，所以有． 所以， 则． 【小问2详解】 由（1）知， 所以有， 由（1）可知, 所以， 所以． 又因为， 所以． 所以． 16. 如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周上，点 F 在线段DE 上. （1）求证： ； （2）若点E是的中点，求直线DE与平面ABD所成角正切值的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明平面，得证线线垂直； （2）设是中点，证明是直线与平面所成的角，然后在直角三角形中求出此角. 【小问1详解】 连接，则，又平面，而平面， ∴，又，平面， ∴平面，又∵平面， ∴. 【小问2详解】 设是中点，连接，因为点E是的中点，则， 平面平面，平面平面，平面， 平面 是直线与平面所成的角. 设正方形的边长为，则，， ∴，∴， ∴与平面所成的角为. 17. 在中，角所对的边分别是.已知的面积为. （1）求角； （2）若， （i）求边的大小： （ii）求 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式及二倍角公式计算求解； （2）（i）根据三角形面积公式及余弦定理计算求解；（ii）根据正弦定理、同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和余弦公式计算求解. 【小问1详解】 在中，， 所以，故， 所以，即， 因为，所以，； 【小问2详解】 （i）因为，所以， 由余弦定理可得，解得； （ii）由正弦定理可得， 所以， 因为，所以，， 所以， ， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是正三角形，为线段的中点. （1）若中点为，求证：平面； （2）若平面平面，点为平面上的动点， ①当点恰为中点时，求异面直线与所成角的余弦值； ②若点是平面内的动点，求的最小值. 【答案】（1）如图，取中点，连接， 为线段的中点，，， ； 四边形为平行四边形，， 平面平面，平面. （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据中位线可得线线平行，即可证明四边形为平行四边形，可得，即可由线面平行的判定求证， （2）①作辅助线，根据平移法找到异面直线与所成角，解三角形即可求得其余弦值；②根据图形的几何性质说明当时，最短，此时，点在棱上，然后通过解三角形求得相关线段长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①取的中点，连接， 为中点，， 就是异面直线和所成的角或所成角的补角. 平面平面， 平面平面，平面， 平面平面， 菱形的边长为， 与是全等的正三角形， 分别为的中点，， 在中，， 在中，，， 在中，； ②,平面， 平面，又为线段的中点， ，， 要使最小只需最短即可，即为点到面的距离. 在中，，， ，， ，的最小值为. 19. 已知，，，其中 （1）已知，求的对称中心． （2）已知，其中，求函数的最大值与最小值． （3）已知，求的对称轴方程；并证明：对任意的正整数，的图象都关于直线对称． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3）；证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简，结合三角函数求对称中心； （2）令，结合三角函数求出的范围，再求一元二次函数的最值即可； （3）利用倍角公式和降幂公式化简并结合三角函数的性质求出对称轴，并求证即可. 【小问1详解】 ， 令，得， 故的对称中心为； 【小问2详解】 ， 令， 则， 因为，所以，则，则， 因为， 所以函数的最大值为，最小值为； 【小问3详解】 ， 令，得， 故的对称轴方程为； ， 则对任意的正整数，的图象都关于直线对称. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期高一期末考试 数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 一家披萨店的某圆形披萨的半径为15厘米，以圆心为顶点，将该披萨切出一个扇形块，其弧长为10厘米，则这个扇形披萨所对的圆心角是（ ） A. B. 3 C. D. 2. 设复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 须弥座又名“金刚座”，是一种古建筑的基座形式，通常用来作为宫殿、寺庙、塔、碑等重要建筑的基座，由多层不同形状的构件组成，一般上下宽、中间窄，呈束腰状，具有很高的艺术价值.某古建筑的基座为须弥座，其最下层为正六棱台形状，如图所示，该正六棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧面积为，则该正六棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方体中，是的中点，是的中点，是的中点，直线与平面相交于点，则下列结论不正确的是（ ） A. 三点共线 B. 四点共面 C. 四点共面 D. 四点共面 6. 如图，在正三棱柱中，为上一点，，，平面将三棱柱截为两部分，则这两部分几何体的表面积之比为（ ） A. B. C. 8 D. 9 7. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 函数在区间上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 8. 在中，，，且的面积为，则（ ）． A. 3 B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则有两解 D. 在中，若，则为直角三角形或等腰三角形. 10. 如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为4 C. 三棱锥外接球的表面积为 D. 若，为线段上的动点，则的最小值为 11. 已知中，，点P为边BC上的动点，满足（，为实数），则下列说法正确的有（ ） A. 的面积的最大值为 B. 当P为BC中点时， C. 若的面积为面积的，则 D. 若，则的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设，向量，，若，则_____. 13. 设，若函数在区间上的最大值为，则 _____. 14. 设中角所对的边分别为，，，为边上的中线；已知且，．则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知，，，，，． （1）求的值； （2）求的值． 16. 如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周上，点 F 在线段DE 上. （1）求证： ； （2）若点E是的中点，求直线DE与平面ABD所成角正切值的大小. 17. 在中，角所对的边分别是.已知的面积为. （1）求角； （2）若， （i）求边的大小： （ii）求 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是正三角形，为线段的中点. （1）若中点为，求证：平面； （2）若平面平面，点为平面上的动点， ①当点恰为中点时，求异面直线与所成角的余弦值； ②若点是平面内的动点，求的最小值. 19. 已知，，，其中 （1）已知，求的对称中心． （2）已知，其中，求函数的最大值与最小值． （3）已知，求的对称轴方程；并证明：对任意的正整数，的图象都关于直线对称． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $