1.4正方形的性质与判定 同步训练 2026-2027学年 北师大版九年级上册数学

**基本信息** 聚焦正方形性质与判定，以基础巩固为核心，通过三级梯度设计实现从概念理解到综合应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|性质计算、判定条件辨析|单选1-7直接考查对角线性质、判定定理，填空11-14强化定义应用| |中档|性质与判定综合应用|单选8-10结合矩形、菱形转化，解答题18-21通过证明深化逻辑推理| |提高|动态与多知识点融合|综合题22-24涉及旋转、中点四边形等，培养空间观念与创新意识|

1.4正方形的性质与判定 同步训练 一、单选题 1．正方形的一条对角线之长为4,则此正方形的面积是（　　） A．16 B．4 C．8 D．8 2．下列条件中，能判定四边形是正方形的是（　　） A．对角线相等的平行四边形 B．对角线互相平分且垂直的四边形 C．对角线互相垂直且相等的四边形 D．对角线相等且互相垂直的平行四边形 3．如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形 的周长记为c，若 (a为正整数)，则a的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列条件：①AC⊥BD，②AB=BC，③∠ACB=45°，④OA=OB．上述条件能使矩形ABCD是正方形的是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 5．如图，四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中，选出其中两个，使平行四边形ABCD变为正方形．下面组合错误的是（　　） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 6．下列命题正确的是（　　） A．有一组邻边相等的平行四边形是正方形 B．有一个角是直角的平行四边形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相平分的矩形是正方形 7．正方形具有而矩形不一定有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角互补 D．四个角相等 8．如图， ，其中 ， ， ，M为BC中点，EF过点M交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误的是（　　）． A．四边形BECF为平行四边形 B．当 时，四边形BECF为矩形 C．当 时，四边形BECF为菱形 D．四边形BECF不可能为正方形 9．如图四边形ABCD是正方形，点E、F分别在线段BC、DC上，∠BAE＝30°.若线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，则旋转的角度是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 10．如图，在平行四边形 中， ， ， ， 是对角线 上的动点，且 ， ， 分别是边 ，边 上的动点．下列四种说法： ①存在无数个平行四边形 ； ②存在无数个矩形 ； ③存在无数个菱形 ； ④存在无数个正方形 ．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF＝EB，以线段AF为边作正方形AFGH，点H在线段AB上，则的值是 　 　． 12．已知在四边形ABCD中， ，若使四边形ABCD是正方形，则还需加上一个条件：　 　． 13．如图，四边形和四边形都是边长为4的正方形，点O是正方形对角线的交点，正方形绕点O旋转过程中分别交，于点E，F，则四边形的面积为　 　． 14．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为　 　°． 15．如图，连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，还要添加　 　，才能保证四边形EFGH是正方形. 16．如图，在中，，，分别以的三边为边向外作三个正方形，，，连接.过点作的垂线，垂足为，分别交，于点，.若，，则四边形的面积是　 　. 三、作图题 17．如图为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上． （1）在图中画一个以 为一边的菱形 ，且菱形 的面积等于20． （2）在图中画一个以 为对角线的正方形 ，并直接写出正方形 的面积． 四、解答题 18．如图，四边形 是正方形，对角线 、 相交于点F， ， .求证：四边形 是正方形. 19．如图，已知在矩形 中， ， ， ， 分别是四个内角的平分线， ， 相交于点 ， ， 相交于点 求证：四边形 是正方形． 20．如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN，联结FN，EC. 求证：FN=EC. 21．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，. 求证：四边形是正方形. 五、综合题 22．问题背景：在课外小组活动中，“创新小组”对“正方形旋转”问题进行了探究，如图①，边长为6的正方形ABCD的对角线相交于点E，分别延长EA到点F，EB到点H，使AF＝BH，再以EF，EH为邻边做正方形EFGH，连接AH，DF； （1）解决问题：AH与DF之间的数量关系是　 　，位置关系是　 　； （2）深入研究：如图②正方形EFGH固定不动，将正方形ABCD绕点E顺时针方向旋转α°，判断AH与DF的关系，并证明： （3）拓展延伸：如图③，在正方形ABCD旋转过程中（0 °＜α＜90 °），AB，BC分别交EF，EH于点M，N，连接MN，EC. ①当AM＝2时，直接写出S△BMN＋S△CEN的值； ②若α＝45°，在不添加字母的情况下，请你在图中再找两个点，和点M，N所围成的四边形是特殊四边形，直接写出这个特殊四边形.（写两个，不需要证明，需要指明是什么特殊四边形） 23．如图，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形． 24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE． （1）求证：CE＝AD； （2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由） 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】正方形的性质 【解析】【解答】∵正方形的一条对角线长为4， ∴这个正方形的面积= ×4×4=8， 故答案为：C． 【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 2．【答案】D 【知识点】正方形的判定 【解析】【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故此选项不符合题意； C、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故C选项不符合题意，D选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】利用对角线互相平分，垂直且相等的四边形是正方形；对角线相等且互相垂直的平行四边形 是正方形，一一判断可得答案. 3．【答案】C 【知识点】正方形的性质 【解析】【解答】解：∵每个小正方形的边长均为 ，则四边形ABCD的周长为4 ， ∴ =4 ，即 4 ， 解得：4 4 +1,且a为正整数， 故a=6． 故答案为：C． 【分析】先利用勾股定理求出四边形ABCD的各边长度，的带周长c的值，再利用夹值法即可求解。 4．【答案】B 【知识点】正方形的判定 【解析】【解答】解：①添加AC⊥BD，根据对角线互相垂直的矩形是正方形，故添加AC⊥BD，能使矩形ABCD成为正方形； ②添加AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加AB=BC，能使矩形ABCD成为正方形； ③添加∠ACB=45°， ∵∠ABC=90°， ∴∠ACB=B∠AC=45°， ∴AB=BC，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，故添加∠ACB=45°，能使矩形ABCD成为正方形； ④∵矩形ABCD中， ∴AC=BD，则AO=BO，故添加OA=OB，不能使矩形ABCD成为正方形； 综上，①②③符合题意， 故答案为：B． 【分析】利用矩形的性质，结合图形，对每个条件一一判断即可。 5．【答案】D 【知识点】正方形的判定 【解析】【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形， 所以平行四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意； B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形， 所以平行四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意； C、由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 所以平行四边形ABCD是正方形，故本选项不符合题意； D、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，故本选项符合题意； 故答案为：D． 【分析】利用平行四边形的性质，对每个条件一一判断即可。 6．【答案】C 【知识点】正方形的判定 【解析】【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题是假命题； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，原命题是假命题； C、对角线相等的菱形是正方形，是真命题； D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原命题是假命题； 故答案为：C. 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方法，逐项进行判断，即可求解. 7．【答案】A 【知识点】矩形的性质；正方形的性质 【解析】【解答】解：A中对角线互相垂直，是正方形具有而矩形不具有，故符合题意； B中对角线相等，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意； C中对角互补，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意； D中四个角相等，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意； 故答案为：A． 【分析】根据正方形和矩形的性质逐项判断即可。 8．【答案】B 【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定 【解析】【解答】解：∵ ， ∴∠ACB=∠CBD， ∴AC∥BD， ∴∠CEM=∠BFM， ∵M为BC中点， ∴CM=BM， ∴△CEM≌△BFM， ∴CE=BF， ∵AC∥BD， ∴四边形BECF为平行四边形，故A不符合题意； 当 时，若BE⊥AC， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴CE≠BF， ∴当 时，四边形BECF不是矩形，故B符合题意； ∵BF=2.5，四边形BECF是平行四边形， ∴CE=BF= 2.5， ∴AE=AC-CE= 2.5， ∴E为AC中点， ∴BE=CE， ∴四边形BECF是平行四边形， ∴当BF= 2.5时，四边形BECF为菱形，故C不符合题意； 当BF=2.5时，四边形BECF为菱形，此时∠BEC≠90°， ∴四边形BECF不可能为正方形，故D符合题意． 故答案为：B 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定逐项判断即可。 9．【答案】A 【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；正方形的性质；旋转的性质 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠B=∠D=90°， ∵线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合， ∴AE=AF， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴∠DAF=∠BAE， ∵∠BAE=30°， ∴∠DAF=30°， ∴∠EAF=90°-∠BAE-∠DAF=90°-30°-30°=30°， ∴旋转角为30°. 故答案为：A. 【分析】由正方形的性质得AB=AD，∠B=∠D=90°，由旋转性质得AE=AF，证Rt△ABE≌Rt△ADF，得∠DAF=∠BAE=30°，然后求出∠EAF的度数，据此可得旋转角. 10．【答案】C 【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定 【解析】【解答】解：连接AC交BD于点O，连接MN，MF，NF，ME，NE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，AD∥BC，OB=OD ∴∠MAO=∠NCO， 在△MAO和△NCO中 ∴△MAO≌△NCO（ASA） ∴OM=ON； ∵BE=DF， ∴OE=OF， ∴四边形MENF是平行四边形， ∵M，N是边AD，BC上的动点，点E，F是BD上的动点， ∴当OM=ON时四边形MENF一定是平行四边形， ∴ 存在无数个平行四边形MENF，故①正确； ∵四边形MENF是平行四边形， ∴当MN=EF时，四边形MENF是矩形， ∵M，N是边AD，BC上的动点，点E，F是BD上的动点， ∴存在无数个矩形MENF，故②正确； ∵点E，F是BD上的动点， ∴只需MN⊥EF，OM=ON， 就存在无数个菱形MENF，故③正确； 只要MN=EF，MN⊥EF，OM=ON，则四边形MENF是正方形， 而符合要求的正方形只有一个，故④不符合题意； ∴正确结论的个数有3个. 故答案为：C. 【分析】连接AC交BD于点O，连接MN，MF，NF，ME，NE，利用平行四边形的性质可证得OA=OC，AD∥BC，OB=OD，利用平行线的性质可得到∠MAO=∠NCO，利用ASA证明△MAO≌△NCO，利用全等三角形的性质去证明OE=OF，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证得四边形MENF是平行四边形，利用M，N是边AD，BC上的动点，点E，F是BD上的动点，可对①作出判断；易证四边形MENF是平行四边形，利用对角线相等的四边形是矩形，可对②作出判断；利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，利用点E，F是动点，可对③作出判断；只要MN=EF，MN⊥EF，OM=ON，则四边形MENF是正方形，这样的正方形只有一个，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数. 11．【答案】 【知识点】正方形的性质 【解析】【解答】解：设， 四边形为正方形， ，， 点为的中点， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， 故答案为：． 【分析】设AB=2a，由正方形的性质和勾股定理求出BE的长，可得EF的长，再求出AF的长，得出AH的长，进而可得结果。 12．【答案】 （答案不唯一） 【知识点】正方形的判定 【解析】【解答】解：四边形ABCD中， ，使得四边形ABCD是正方形还需加上一个 条件.理由如下： ， 四边形ABCD是矩形， 又 ， 矩形ABCD是正方形． 故答案为： 答案不唯一 . 【分析】根据正方形的判定定理进行添加条件，注意答案不唯一. 13．【答案】4 【知识点】正方形的性质；旋转的性质 【解析】【解答】解：如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，过点O作OH⊥BC，垂足为H， ∵四边形ABCD的对角线交点为O， ∴OA=OC，∠ABC=90°，AB=BC， ∴OG∥BC，OH∥AB， ∴四边形OGBH是矩形，OG=OH=，∠GOH=90°， ∴=4， ∵∠FOH+∠FOG=90°，∠EOG+∠FOG=90°， ∴∠FOH=∠EOG， ∵∠OGE=∠OHF=90°，OG=OH， ∴△OGE≌△OHF， ∴， ∴， ∴=4， 故答案为：4． 【分析】过点O作OG⊥AB，垂足为G，过点O作OH⊥BC，垂足为H，先证明△OGE≌△OHF，再利用全等三角形的性质可得，再利用等量代换可得，再求解即可。 14．【答案】135 【知识点】正方形的性质 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠BAC＝45°， ∴∠2+∠BCP＝45°， ∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠BCP＝45°， ∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP， ∴∠BPC＝135°， 故答案为：135． 【分析】先求出∠2+∠BCP＝45°，再求出∠1+∠BCP＝45°，最后计算求解即可。 15．【答案】AC⊥BD，AC=BD， AC⊥BD 【知识点】正方形的判定；三角形的中位线定理 【解析】【解答】解：当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH为正方形. ∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF∥AC，EF= AC，GH∥AC，GH= AC，EH∥BD，EH= BD， ∴EF∥GH，EF=GH， ∴四边形EFGH为平行四边形， 当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH， ∴四边形EFGH为正方形. 故答案为：AC⊥BD，AC=BD. 【分析】利用三角形的中位线定理可证得EF∥GH，EF=GH，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形EFGH为平行四边形，再根据一组邻边相等的矩形是正方形，可以添加：AC⊥BD，AC=BD. 16．【答案】80 【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：过点D作DM⊥JC，交JC的延长线于点M，过点F作FN⊥JC，交JC的延长线于点N，则∠M=∠FNC=∠FNI=90°， ∴∠DCM+∠CDM=90°，∠FCN+∠CFN=90°. ∵四边形ABHL、ACDE、BCFG为正方形， ∴AB=BH=HL=AL，∠BAL=∠L=∠H=∠ABH=∠ACD=∠BCF=90°，AC=CD，BC=CF， ∴∠DCM+∠ACJ=90°，∠FCN+∠BCJ=90°， ∴∠CDM=∠ACJ，∠CFN=∠BCJ. ∵CJ⊥AB， ∴∠AJC=∠BJC=∠AJK=∠BJK=90°， 、∴四边形AJKL、BJKH均为矩形， ∴∠M=∠AJC，∠CNF=∠BJC. ∵∠M=∠AJC，∠CDM=∠ACJ，CD=AC， ∴△CDM≌△ACJ， ∴DM=CJ=4，CM=AJ. ∵∠CNF=∠BJC，∠CFN=∠BCJ，CF=BC， ∴△CFN≌△BCJ， ∴FN=CJ=4， ∴DM=FN=4. ∵∠DIM=∠FIN，∠M=∠FNI，DM=FN， ∴△DMI≌△FNI， ∴DI=FI. ∵∠DCF=∠ACB=90°， ∴CI=DF， ∴DF=10，FI=DI=DF=5， ∴IM==3， ∴AJ=CM=CI+MI=8. ∵AC=DC，∠ACB=∠DCF，BC=FC， ∴△ABC≌△DFC， ∴AB=DF=10， ∴AL=AB=10， ∴S四边形AJKL=AJ·AL=80. 故答案为：80. 【分析】过点D作DM⊥JC，交JC的延长线于点M，过点F作FN⊥JC，交JC的延长线于点N，根据正方形的性质很容易得到AB=BH=HL=AL，∠BAL=∠L=∠H=∠ABH=∠ACD=∠BCF=90°，AC=CD，BC=CF，根据同角的余角相等可得∠CDM=∠ACJ，∠CFN=∠BCJ，易得四边形AJKL、BJKH均为矩形，根据矩形的性质得到∠M=∠AJC，∠CNF=∠BJC，证明△CDM≌△ACJ，△CFN≌△BCJ，△DMI≌△FNI，得到DM=CJ=4，FN=CJ=4，DM=FN=4，DI=FI，根据直角三角形斜边上中线的性质可得CI=DF，据此可得DF、FI、IM的值，然后证明△ABC≌△DFC，求出AB、AL的值，接下来根据S四边形AJKL=AJ·AL进行计算. 17．【答案】（1）解：根据菱形面积公式可得，底边AB的高为4，结合AD=5即可得到点D的坐标，同理得到点C的坐标，连接A，C，D.如图所示. （2）解：作线段EF的中线与网格交于G、H，且 ，依次连接E、G、F、H即可，如图所示. 正方形 面积为10. 【知识点】菱形的性质；正方形的性质 【解析】【分析】（1）根据菱形面积公式可得，底边AB的高为4，结合AD=5即可得到点D的坐标，同理得到点C的坐标，连接A，C，D即可．（2）作线段EF的中线与网格交于G、H，且 ，依次连接E、G、F、H即可，利用正方形面积公式即可求得正方形 的面积． 18．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠FDC＝∠DCF＝45°， ∵∠E＝90°，ED＝EC， ∴∠EDC＝∠ECD＝45°， ∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°， ∴四边形DFCE是矩形， ∵DE＝CE， ∴四边形DFCE是正方形. 【知识点】正方形的判定与性质 【解析】【分析】由正方形的性质得∠FDC＝∠DCF＝45°， 由等腰直角三角形的性质得 ∠EDC＝∠ECD＝45°， 进而即可判断出四边形DFCE是矩形， 最后根据一组邻边相等的矩形是正方形得出结论. 19．【答案】证明：∵在矩形ABCD中， ， ， ， 分别是四个内角的平分线， ∴∠FDC＝∠FCD＝45°， ∴△FDC是等腰直角三角形， 同理可得：△MDA、△EAB、△NBC都是等腰直角三角形， ∴∠E＝∠F＝∠EMF＝∠ENF＝90°， ∴四边形EMFN是矩形， 在△FDC和△EAB中， ， ∴△FDC≌△EAB（ASA）， ∴FD＝EA， 又∵MD＝MA， ∴ME＝MF， ∴矩形EMFN是正方形 【知识点】正方形的判定 【解析】【分析】根据矩形的性质和角平分线定义易得△FDC、△MDA、△EAB、△NBC都是等腰直角三角形，则∠E＝∠F＝∠EMF＝∠ENF＝90°，可得四边形EMFN是矩形，然后证明△FDC≌△EAB，求出ME＝MF即可证得结论． 20．【答案】证明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中， AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°， ∵AB=2BC，即BC=BN= AB， ∴BN= BE，即N为BE的中点， ∴EN=NB=BC， 在△△FNE和△ECB中， ∴△FNE≌△ECB， ∴FN=EC. 【知识点】正方形的性质；线段的中点；三角形全等的判定（SAS） 【解析】【分析】由正方形的性质可得AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°，结合AB=2BC可得EN=NB=BC，然后证明△FNE≌△ECB，据此可得结论. 21．【答案】证明：∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ OA=OC，OB=OD且AC⊥BD， 又∵ BE=DF ∴ OB-BE=OD-DF 即OE=OF ∵OE=OA ∴OA=OC=OE=OF， ∴AC=EF 又∵AC⊥EF ∴ 四边形DEBF是正方形. 【知识点】菱形的性质；正方形的判定 【解析】【分析】根据菱形的性质可得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，由已知条件知BE=DF，结合线段的和差关系可得OE=OF ，结合OE=OA可得OA=OC=OE=OF，即AC=EF，然后根据正方形的判定定理进行证明. 22．【答案】（1）相等；互相垂直 （2）解：AH⊥DF，AH=DF， 证明：连接AE、DE， ∵∠FEA+∠AED=∠FEA+∠FEH， 即：∠FED=∠AEH， 又∵EH=EF，EA=ED， ∴△FED≌△AEH（SAS）， ∴DF=AH， ∵∠AHE+∠HOE=90°， ∴∠EFD+∠AOF=90°， ∴FD⊥AH； （3）解：①S△BMN+S△CEN=10；②答案不唯一，四边形BMEN是正方形；四边形NMEC是平行四边形；四边形NMAE是平行四边形. 【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；平行四边形的判定；正方形的判定与性质 【解析】【解答】解：（1）延长HA交FD于T， ∵AB=AD，HB=AF，∠ABH=∠DAH=180°-45°=135°， ∴△ABH≌△DAF（SAS）， ∴AH=DF，∠AHE=∠AFD， 又∵∠HAE=∠FAT， ∴180°-∠FAT-∠AFD=180°-∠HAE-∠AHE， 即∠FTA=∠AEH=90°， ∴AH⊥DF， 故答案为：AH=DF，AH⊥DF（相等；互相垂直）； （3）①连接BE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BE=CE，∠MBE=∠NCE=45°，∠BEC=90°， ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠FEH=90°， ∴∠MEB+∠BEN=∠NEC+∠BEN， ∴∠MEB=∠NEC， ∴△MBE≌△NCE（ASA）， ∴BM=CN， ∵AM=2，AB=6， ∴BM=CN=4，BN=2， ∴S△BMN+S△CEN= ； ②若α=45°，如下图： 答案不唯一，四边形BMEN是正方形；四边形NMEC是平行四边形；四边形NMAE是平行四边形. 【分析】（1）延长HA交FD于T，易证△ABH≌△DAF，得到AH=DF，∠AHE=∠AFD，结合内角和定理可得∠FTA=∠AEH=90°，据此解答； （2）连接AE、DE，根据角的和差关系可得∠FED=∠AEH，证明△FED≌△AEH，得到DF=AH，根据∠AHE+∠HOE=90°可得∠EFD+∠AOF=90°，据此解答； （3）①连接BE，根据正方形的性质可得BE=CE，∠MBE=∠NCE=45°，∠BEC=90°，∠FEH=90°，证明△MBE≌△NCE，得到BM=CN，易得BM=CN=4，BN=2，然后根据三角形的面积公式进行计算； ②根据正方形、平行四边形的判定定理进行解答. 23．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，OB=OD， ∵AE=CE， ∴EO⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵∠DAC=∠EAD+∠AED， ∠ADB=∠EAD+∠AED， ∴∠DAC=∠ADB， ∴OA=OD， ∴AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形. 【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；正方形的判定 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出AO=CO，OB=OD，再根据等腰三角形的性质得出EO⊥AC， 即可得出四边形ABCD是菱形； （2）根据三角形外角性质得出∠ADB=∠EAD+∠AED，从而得出∠DAC=∠ADB，根据等角对等边得出OA=OD，从而得出AC=BD，即可得出四边形ABCD是正方形. 24．【答案】（1）证明：∵DE⊥BC， ∴∠DFB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠DFB， ∴AC∥DE， ∵MN∥AB，即CE∥AD， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴CE＝AD． （2）解：四边形BECD是菱形，理由如下： ∵D为AB中点，∠ACB＝90°， ∴AD＝BD=CD， ∵CE＝AD， ∴BD＝CE， ∵BD∥CE， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵BD=CD， ∴四边形BECD是菱形． （3）解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形，理由如下： 由（2）可知，四边形BECD是菱形， ∴∠BDC=90°时，四边形BECD是正方形， ∴∠CBD＝45°， ∵∠ACB=90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴当△ABC是等腰直角三角形时，四边形BECD是正方形． 【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定 【解析】【分析】（1）先证四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可； （2）先证出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据正方形的判定推出即可； （3）由（2）可知，四边形BECD是菱形，得出∠BDC=90°时，四边形BECD是正方形，由此得出△ABC是等腰直角三角形。 1 学科网（北京）股份有限公司 $