1.3 矩形的性质与判定 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学矩形性质与判定同步练，分层设计梯度清晰，从基础概念辨析到动态综合探究，强化几何直观与推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题|矩形性质（对角线、直角）与判定（角、对角线）单一知识点|选择2考查矩形与平行四边形性质差异，填空10直接应用判定依据，夯实基础概念| |提升题|性质与判定综合应用，含分类讨论|填空12分类讨论矩形顶点坐标，选择7动点问题结合垂线性质，培养逻辑思维| |拔高题|动态探究与跨知识整合|解答18结合折纸操作探究菱形与平行四边形，选择8动点轨迹最值问题，发展创新意识与空间观念|

1.3 矩形的性质与判定 一、选择题： 1.如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，的度数为(    ) A. B. C. D. 2.下列结论中，矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(    ) A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角相等 3.已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是    ． A. B. C. D. 4.如图，将矩形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点处．若，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 5.如图，一张矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中的度数是(    ) A. B. C. D. 6.如图，矩形在平面直角坐标系内，点的坐标为，则对角线的长为(    ) A. B. C. D. 7.（经典题）如图，在矩形中，，，是上不与点，重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足为，。则的值为(    ) A. B. C. D. 8.（拔高题）如图，在矩形中，，，动点，分别从点，同时出发，以每秒个单位长度的速度沿，向终点，运动，过点，作直线，过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为  (    ) A. B. C. D. 二、填空题： 9.如图，矩形的对角线，相交于点，，，则           10.如图，已知是的边不含点，上的一点，交于点，交于点要使四边形是矩形，则在中要增加的一个条件是          判定矩形的依据是          ． 11.如图，工人师傅砌门时，要想检验门框是否符合设计要求即门框是不是矩形，在确保两组对边分别相等的前提下，只要测量出对角线，的长度，然后看它们是否相等就可以判断了，这种做法的根据是          ． 12.（分类讨论）在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别是，，点在轴上，点在坐标平面内若以，，，为顶点的四边形是矩形，则点的坐标为          ． 13.如图，在矩形中，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，以大于的一半长为半径作弧，两弧相交于点，；作直线分别与，，相交于点，，若，，则矩形的面积为          ． 14.（拔高题）如图，有一张一个角为，最小边长为的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是          ． 三、解答题： 15.如图，在矩形中，与相交于点若，，求矩形的周长和面积． 16.如图，，分别是矩形的边，上的点，． 求证：若，的面积为，求线段的长． 17.中国古代数学家刘徽在九章算术注中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法如图所示，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，延长至点，使得，延长至点，使得，连接，．求证：四边形是矩形．若，，求的面积． 18.（拔高题）在矩形纸片中，，嘉嘉和琪琪用折纸的方法分别得到了一个四边形． 嘉嘉的方法：如图，两次对折矩形纸片，分别得到两组对边的中点，并顺次连接各边中点得到四边形； 琪琪的方法：如图，先折出，将，折叠，使，分别落在上，得到，，点，分别在边，上，连接，，得到四边形． 如图，求证：四边形是菱形； 如图，求证：四边形是平行四边形； 比较：           填“”“”或“” 1.3 矩形的性质与判定 参考答案和解析 1.  2.  3. 【解析】  四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是矩形， 故选项A不符合题意； 四边形是平行四边形， ，， 当时，， 平行四边形为矩形， 故选项B不符合题意； 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是矩形， 故选项C不符合题意； 当时，不能判定平行四边形是矩形，故选项D符合题意．故选D． 4.  5.  6.  7.  8.  【解析】解：连接，交于点，取中点，连接， 如图所示： 四边形是矩形，，，， 在中，，， ，， 在与中， ，， ，，共线， ，是中点，在中，， 的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧． 的最大值为的长，即． 故选 D． 9.  10. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 11.两组对边分别相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形  12.或或  13.  14.或  【解析】【详解】 由题意可得：， ， ，， 图中所示的中位线剪开， ，，， 如图所示：拼成一个矩形，矩形周长为：； 如图所示，可以拼成一个平行四边形，周长为：， 故答案为：或． 15.解：四边形是矩形，，，，，  ，，，，，，  由勾股定理得，，，矩形的周长是，  矩形的面积是．  16.【小题】证明：， ，．．四边形是矩形，．．．．． 17.【小题】 解：证明：，． ，分别是，的中点， 在和中， ．，． 同理可得． ，． ，． 四边形为平行四边形． ，平行四边形是矩形． 【小题】 由可知，，，． ，分别是，的中点，是的中位线．． 由可知，，． ． 18.【小题】证明：如图所示，连接，， 点、、、分别是，，，的中点， ，分别是的中位线， ， 同理可得， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形； 【小题】解：由折叠性质，得，， 四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形． 【小题】 【解析】  连接，，由三角形中位线定理得到，由矩形的性质得到，则可证明，进而可证明四边形是菱形；  由折叠性质，得，，根据矩形的性质得出，则，即可得，证出，结合，即可证明四边形是平行四边形．  分别计算出两个四边形的面积，比较即可得到答案． 解：连接， 根据折叠可得， 四边形是菱形， ； 令为折叠后点的对称点，连接， 在中，由勾股定理得， 设，由折叠得，，， ，， 在中：，解得， ， ， ， 图中四边形的面积小于图中四边形的面积． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $