1.3 矩形的性质与判定 同步练习2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，分层设计从概念辨析到动态综合，梯度衔接紧密，助力新授课知识巩固与推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|矩形性质（角、对角线）、判定（直角、对角线）|选择1考性质辨析，填空9用平行四边形性质证矩形，强化抽象能力| |中档|性质综合应用（对角线、中位线、坐标）|选择6结合中位线求长度，填空11用对角线性质算周长，提升推理意识| |拔高|动态问题（折叠、动点）、跨知识点综合（菱形证矩形）|填空13折叠求线段长，解答20动点探究矩形存在性，发展空间观念与创新意识|

1.3矩形的性质与判定 同步练习2026-2027学年九年级数学上册北师大版 一、选择题 1.关于矩形的性质，以下说法不正确的是(    ) A. 四个角都是直角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形 2.如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长等于(    ) A. B. C. D. 3.如图，在四边形中，点，，，分别是，，，的中点，若四边形是矩形，则四边形需满足的条件是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点．连接，，，且，，则的长是(    ) A. B. C. D. 5.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是(    ) A. 测量对角线是否相互平分 B. 测量两组对边是否分别相等 C. 测量对角线是否相等 D. 测量其中三个角是否都为直角 6.如图，在矩形中，，交于点，，分别为，的中点若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在矩形中，点的坐标是，则、两点间的距离是(    ) A. B. C. D. 8.在矩形中，，，点、分别是边，上的动点，且，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题 9.平行四边形中，若，则四边形的形状一定是          ． 10.已知的周长是，斜边上的中线长是，则          ． 11.如图，矩形对角线相交于点，点为上一点，，，则周长为        ． 12.如图，在矩形中，点是线段上一动点，且，，，为垂足，，，则的值为          ． 13.如图，在矩形中，，，为上一点，把沿折叠，使点落在边上的处，则的长为          ． 14.如图，矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，交的延长线于点，连接，则的长为          ． 15.已知矩形，，，是边的中点，是边上的动点，线段分别与，相交于点，若，则的长为          ． 三、解答题 16.如图，在中，，，垂足分别为，，求证：四边形是矩形． 17.如图，为矩形对角线的交点，，． 判断四边形的形状，并说明理由； 若，，则四边形的面积为______． 18.如图，将矩形 的边 折叠，使点落在 上的点处，折痕为 ，已知 ， ． 求 的长； 求 的面积． 19.如图，在菱形中，过点作于点，延长至点，使，连接． 求证：四边形是矩形； 若，，求的长． 20.如图，在▱中，，，点，在对角线上点从点出发，以的速度向点运动同时点从点出发，以相同速度向点运动，到端点时运动停止设运动时间为． 求证：四边形为平行四边形． 点，在上运动的过程中，以点，，，为顶点的四边形能否为矩形如果能，请求出此时的值如果不能，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  【解析】解：四边形是矩形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：． 根据矩形的对角线互相平分且相等可得，结合邻补角定义求出，从而判定为等边三角形，进而求出的长，求解即可． 本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 3.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了三角形的中位线定理和平行四边形的判定和矩形的判定等知识，熟练掌握中点四边形的判定是解题关键． 根据“有一内角为直角的平行四边形是矩形”来推断．由三角形中位线定理和平行四边形的判定定理易推知四边形是平行四边形，若或者就可以判定四边形是矩形． 【解答】解：当时，四边形是矩形， 理由：点，，，分别是，，，的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， 即， 四边形是矩形； 故选A． 4.【答案】  【解析】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 根据三角形中位线定理求得长度，再利用直角三角形斜边上的中线求得长度，即可得到结论． 解：点，分别是边，的中点， 是的中位线， ， ， ，， ， ， 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是矩形的判定定理，牢记矩形的判定方法是解答本题的关键，难度较小． 根据矩形的判定定理有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此逐项判断即可． 【解答】 解：对角线是否相互平分，能判定平行四边形； B.两组对边是否分别相等，能判定平行四边形； C.对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定形状； D.四边形中三个角都为直角，能判定矩形． 故选D． 6.【答案】  【解析】解：在矩形中，，交于点，若，， ， ，即， ， 又、分别为、的中点， 是的中位线， ． 故选：． 根据矩形的性质和含的直角三角形的性质得出，进而求出，再依据中位线的性质推知． 本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系． 7.【答案】  【解析】解：如图，连接， 四边形是矩形， ， 点的坐标是，点， ， ，两点间的距离为， 故选：． 由矩形的性质可得，由两点距离公式可求解． 本题考查了矩形的性质，两点距离公式，掌握矩形的性质是本题的关键． 8.【答案】  【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称最短路线问题，勾股定理，连接，根据矩形的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，要求的最小值，即求的最小值，作点关于的对称点，连接交于，则的值最小，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接． 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 要求的最小值，即求的最小值， 作点关于的对称点，连接交于， 则的值最小， ，， ，， ， 即的最小值为 ． 故选：． 9.【答案】矩形  【解析】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是矩形． 故答案为：矩形． 10.【答案】  【解析】设的两直角边长分别为，，斜边长为， 在中，斜边上的中线长是， ， 的周长是， ， ，即， 由勾股定理得， ， ． 11.【答案】  【解析】解：矩形对角线相交于点，，， ，，， ， 的周长． 故答案为：． 由矩形的性质得出，再结合周长公式及线段的和差关系计算即可得出结果． 本题主要考查了矩形的性质，解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质． 12.【答案】  13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了翻折问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，则，由折叠性质可知，，，所以，，在中利用勾股定理列式求出的值即可求解． 【解答】 解：设，则，由折叠性质可知，，， 在中，，， 由勾股定理得， ， 在中，， 即， 解得， 故答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 根据勾股定理可得，再根据可得，所以得，在中，根据勾股定理即可得的长． 【解答】 解：矩形中，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理，得 ． 故答案为． 15.【答案】  【解析】解：在上找到一点，使，连接、，则，    在和中，  ，  ≌，  ，，  ，  是等腰直角三角形，  ，  ，  ，  ，  又，  四边形是平行四边形，  ，  在中，由勾股定理可得：  故答案为：． 在上找到一点，使，连接、，则，易证≌，继而得到是等腰直角三角形，再利用平行四边形判定得到，由勾股定理求出就可得到的长． 本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 16.【答案】【证明】，，四边形是平行四边形，，，，四边形是矩形．  17.【答案】四边形是菱形， 理由：四边形是矩形，对角线与相交于点， ，，且， ， ，，即，， 四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形   【解析】解：四边形是菱形， 理由：四边形是矩形，对角线与相交于点， ，，且， ， ，，即，， 四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形． ，，， ， ， ， 四边形是菱形， ， 在和中， ， ≌， ， ， 故答案为：． 由矩形的性质推导出，由，，证明四边形是平行四边形，即可由四边形是平行四边形，且，证明四边形是菱形． 由，，，求得，则，由菱形的性质得，可证明≌，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查矩形的性质、菱形的判定与性质、三角形的面积公式、全等三角形的判定与性质等知识，推导出四边形是平行四边形，且，进而证明四边形是菱形是解题的关键． 18.【答案】【小题】 解： 四边形 是矩形，  ，  ， ，  ； 【小题】 解：由折叠得 ，  ，  ，  在 中， ，  ， 解得： ，  的面积 ． 19.【答案】【小题】 证明：四边形是菱形，，，延长至点，使，，且，四边形是平行四边形，于点，，四边形是矩形． 【小题】 解：，，且，， 四边形是矩形，，，，解得，的长为．   20.【答案】【小题】 证明：在▱中，，， ． 由题意可知，． 在与中， ．． 同理可得，．四边形为平行四边形． 【小题】 解：能理由如下：由矩形的性质，知，． 要使是直角，只需，则，． ， ． ，即． 此时或． 此时，的值分别为． 故当或时，以点，，，为顶点的四边形为矩形． 学科网（北京）股份有限公司 $